Titel: Wiegrebe, über die zwekmäßigste Richtung der Zugstränge bei dem Fuhrwesen.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1825, Band 17, Nr. XLVII. (S. 196–231)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj017/ar017047

XLVII. Ueber die zwekmäßigste Richtung der Zugstränge bei dem Fuhrwesen, und über den Vortheil, welchen sie gegen die gewöhnliche Lage derselben gewährt. – Entworfen von Wiegrebe, Ch. Hess. Capitän.

Mit Abbildungen auf Tab. I.

§ 1. Theorie und Erfahrung, behauptet die allgemeine Ansicht, bestätigen diejenige Richtung der Zugstränge als die beste, welche mit dem befahrenen Boden parallel läuft. Eine nähere Beurtheilung der eintretenden Umstände widerspricht diesem und ergibt eine, auf der Seite des Wagens niedrigere Befestigung, d.h. eine nach vorn aufsteigende Lage der Stränge als vortheilhafter; dann:

§. 2. Man denke sich Fig. 1. unter BE, eine gegen den Horizont, BW, geneigte Ebene mit dem Böschungswinkel, γ. Auf ihr steigt das Rad, h, k, l, in die Höhe. In dem Mittelpunkte, c, von dessen Achsschenkel ab; ist das Gewicht der gefahrenen Last vereinigt, und drükt mit einer Kraft = L' lothrecht gegen den Horizont. Es entsteht daraus für die Bewegung des Rades, von Seiten der geneigten Ebene, ein Hinderniß = A, und zu diesen noch von Seiten der Friktion ein zweites = F.

§. 3. VGI, bedeute die Richtung des Fahrweges, die unter dem Winkel, β, gegen den Horizont austeigt, und von der, BE, nur eine Anomalie ist. In dieser befinden sich bei G, die Hinterhufe und ohngefähr bei, I, die Vorderhufe des Pferdes. Bei, H, sind die Zugstränge an der Brust des Pferdes befestigt, welche um den Winkel, ψ von der Lothrichtung, HI, abweichend über, P, hinaus in die Last greifen.

§. 4. Aus dem Bestreben des Pferdes, die Brust (H), von den Hinterhufen (G) zu entfernen, geht in H, eine Kraft, M, nach der, unter dem Winkel, α, von dem Boden, GI, auf welchem das Pferd steht, aufsteigenden Richtung hervor.

Eine zweite Kraft, Q, steht in demselben Punkte durch das Gewicht des Vorderkörpers lothrecht nach unten (+ Q), |197| oder auch durch Belastbarkeit der Vorderbeine entgegengesezt nach oben (– Q.) zu Gebote;

§. 5. Nach den Gesezen des dynamischen Parallelogramms, ergibt sich, aus M und Q, eine gemeinschaftliche Wirkung = P, welche die Richtung der Zugstränge besizt, und so die Bewegung des Rades bewirken kann.

§ 6. Geht nun der Zug nach vorn zu divergirend gegen die Richtung des Bodens (wie in der Zeichnung PH divergirend mit GI), so leuchtet es ein, daß nur ein Theil direkt auf die Fortbewegung und das Uebrige hebend oder tragend auf das Fuhrwerk wirkt. Sind dagegen die Zugstränge nach gewöhnlicher Art dem Boden parallel (PH # GL), so findet diese Zerlegung nicht Statt, alles wirkt geradezu auf das Fortrüken des Wagens.

Dieser Voltheil ist aber:

1) nur scheinbar, indem die Zugstränge auf diese Weise, bei gleicher Kraft, M, im Ganzen genau nur so viel Spannung erhalten können, als bei divergirender Lage, der direkt auf die Fortschreitung wirkende Krafttheil ausmacht.

2) durch die Eigenthümlichkeiten der divergirenden Lage überwogen, indem 1stens der zuvor genannte hebende oder tragende Theil des divergirenden Zuges das Fortschreiten des Wagens indirekt merklich befördert, und 2tens weil nur auf diese Weise die ganze Kraft, M, des Pferdes, unabhängig von dem Gewichte desselben, in Thätigkeit gelangen kann, was bei der gewöhnlichen Lage nicht Statt findet, da hier M, und in gleichem Maaße P, nur bis dahin steigen kann, wo + Q, als Gegengewicht von P, völlig in Anwendung gelangt ist, und aufhört das Vordertheil des Pferdes, noch im Bedarfe zum sichern Stande, auf dem Boden fest zu halten.

§. 7. Die Mechanik gibt folgende nähere Erörterungen über diesen Gegenstand: Um zuerst über das gegenseitige Verhältniß der, auf Seiten der Last und der Kraft aufgezählten, Elemente allgemein urtheilen zu können, bedarf es einer Gleichung zwischen ihnen. Dazu

A. d.h. die Kraft, welche, ohne Rüksicht auf Friction, |198| die Last nach der Richtung, cH, in Gleichgewicht zu sezen vermag) × Sin. ACD = L (die Belastung des Punktes c) × Sin. LCD; daher, weil Winkel ACD = ψ + γ und Winkel LCD = γ ist,

Textabbildung Bd. 17, S. 198

2) F, die Friktion, welche sich der Bewegung des Rades entgegen stellt. Es genügt, an dieser Stelle, nur die Reibung des Achsschenkels in Betracht zu ziehen, woraus F = dem, auf, die Unterlage (BE) senkrecht drükenden Gewichte D, multiplizirt mit dem, für diesen Fall (angenommen. Eisen auf Bronze) passenden Reibungs-Koeffizienten, f, mahl

Textabbildung Bd. 17, S. 198

also F = Df r/R oder, weil D.Sin.DCA = L.Sin.LCA und Winkel DCA = ψ + γ, so wie LCA = ψ, folglich, D = L Sin.ψ/Sin.(ψ + γ)'

Textabbildung Bd. 17, S. 198

3) P, die Kraft, mit welcher ein Pferd in der Richtung cH zu ziehen vermag, bestimmt sich, wie die Figur zeigt, nach der Gleichung P Sin. ψ = M Sin. GHQ oder, da Winkel GHQ = 90° – (α + β) ist,´

Textabbildung Bd. 17, S. 198

§. 8. Soll nun die Kraft des Zuges mit dem Hindernisse der Last im Gleichgewichte stehen, so bedingt sich, wie schon früher bemerkt,

A + F = P.

oder durch Substitution der unter 1, 2, 3 gefundenen Werthe

Textabbildung Bd. 17, S. 198

und also (durch Auflösung von Sin. (ψ + γ) u.s.w.)

Textabbildung Bd. 17, S. 198

§. 9. Zu einem allgemeinen Urtheile über das Verhältniß der Anstrengung des Pferdes zu dem Gewichte der Last (L), |199| wird neben der Berüksichtigung von M aber auch noch die vom Q nöthig; denn beide gemeinschaftlich bilden den Umfang der betreffenden Kraftäußerung. Um daher auch Q mit in die aufgestellte Gleichung einzuführen, ergibt die Figur (1) als Gleichung zwischen M, Q, Wkl GHQ = 90° – (α + β) und Winkel HQG = 180° – ψ.

M Cos. (α + β) = (M. Sin.(α + β). – Q). Tang ψ.

Textabbildung Bd. 17, S. 199

Durch Substitution dieser Cotang. und Sin. Werthe in die für L, gefundenen Gleichung

Textabbildung Bd. 17, S. 199

§. 10. Die aufgestellte Gleichung zeigt auch ohne Anwendung höherer Analysis, schon in ihrer vorliegenden Gestalt, daß es für die Last L, bei veränderlichen M und Q, kein wirkliches Maximum gibt, sondern daß sie selbst bei gleich bleibenden M, durch Verminderung von + Q, immer mehr wächst, und bei negativen Wachsen von Q noch über jede Gränze hinaussteigen kann. Da indeß sowohl die Größe von – Q, (Tragkraft der Vorderbeine des Pferdes) als die von + M, für die Wirklichkeit in bestimmten Gränzen enthalten ist, so gilt der Schluß: L kann alsdann für ein Größtes gehalten werden, wenn man dem + M und – Q die noch zu bestimmenden annehmbar größten Werthe beilegt.

§. 11. Aus diesem Resultate läßt sich rükwärts auf die nöthige Beschaffenheit des Winkels ψ schließen, indem man in die zuvor (§. 9.) gefundene Gleichung

Textabbildung Bd. 17, S. 199

neben dem Werthe von α + β zugleich das größte + M und größte – Q substituirt.

Für die gedachte Substitution der Zahlwerthe von M, Q, α und β, wird eine Betrachtung derselben im Einzelnen nöthig.

|200|

12. α, der Winkel, welchen eine Linie, die man sich aus dem Punkte H, Fig. 1. wo die Zugstränge befestigt sind, nach dem Stüzpunkte der Hinterhufe, G, gezogen denkt, mit dem Boden macht, auf welchen das Pferd steht, findet sich bei dem Nachmessen an einem Pferde mittlerer Statur im stillstehenden Zustande = 39° 24'. Beobachtet man ein ziehendes Pferd, so zeigt sich, daß dasselbe durch Rukwärtsstämmen der Hinter- und Vorderbeine, jenen Winkel soweit als möglich zu vermindern sucht; es erreicht dadurch einen doppelten Vortheil, nämlich:

1, befindet es sich im Stande, durch die daraus hervorgehende Vergrößerung des in Beziehung stehenden Winkels im Gelenke der Kruppe, die Kraft, M, zu verstärken, und

2, nimmt der Winkel α + β ab, was eben so, wie jenes durch die §. 9. gegebene Formel,

Textabbildung Bd. 17, S. 200

als vortheilhaft bewiesen ist. Jene Verminderung beträgt bei etwas starkem Zuge uhngefähr 4 1/2 Grad; daher α = 39° 24' – 4 1/2° oder als runde Zahl und überflüßig genau

α = 35°.

§. 13. Für die Bestimmung des Winkels β, unter welchem ein vorausgesezter Fahrweg gegen den Horizont ansteigt, ergibt die Erfahrung, daß es auf Wegen nur höchst selten Stellen von mehr als 15° Böschung gibt; gewöhnlich reichen sie nur bis 5, und in bösen Fällen auf 10°. Im Humbold's Reifen heißt es, pag. 224, 22 Grad Neigung geben einen Berg, den man im Wagen nicht mehr herabfahren kann. In Frankreich dürfen nach den Gesezen die Heerstraßen nicht über 4° 46' geneigt seyn. (Im Ch. Hessen und Preußen 5°). Es mag hier auf den üblem Fall von 10° Rüksicht genommen werden, dann ist

β = 10°.

und also, das in den gegebenen Formeln häufig vorkommende α + β = 45°.

|201|

§. 14. M, die größte Kraft, mit welcher ein ziehendes Pferd die Hinterhufe von der Brust zu entfernen vermag, und

– Q, die Kraft, mit welcher ein Pferd noch über das respective Gewichte seines Körpers hinaus auf den Vorderbeinen tragen kann.

Die Ausmittelung der Zahlwerthe von beiden (M und Q) hat besondere Schwierigkeit; glüklicherweise wird für den vorliegenden Zwek nicht die absolute Zahlangabe für jedes, sondern nur ihr gegenseitiges Verhältniß gefordert, und dieses läßt sich bestimmen, wenn man annimmt, daß ein Pferd auf horizontalen Boden (Q ist, wie sich à priori schließen läßt, und sich §. 34, Gl. 2. beweist, theilweise eine Funktion der Neigung des Bodens) ohngefähr soviel Tragbarkeit in den Vorderbeinen besizen wird, als in den Hinterbeinen. Zerlegt man nämlich die Kraft M, bei G (Fig. 1.), in eine horizontale und in eine vertikale, so findet sich leztere = M Sin. (α + β); oder bei α = 35° (§. 13.) und β, wie vorausgesezt. = 0, der Vertikaldruk von Seiten der Kraft M auf die Hinterhufe = 0,57357 M = 4/7 M, nahe. Mit diesem gleich groß müßte nun, jener Voraussezung gemäß, auch – Q = 4/7 M angenommen werden. Um indeß sicher zu seyn, die sich in der Folge ergebende Verschiedenheit der Einrichtung und Wirkung der vortheilhaftesten Lage der Zugstränge, gegen die der gewöhnlichen, nicht durch Überschreiten der zuläßigen Große für – Q herbeigeführt zu haben (§. 10.), so mag – Q nur zur Hälfte dieses Werthes, = 2/7 M, angenommen werden, und folglich seyn

Q : M = 2 : 7.

Damit jedoch eine ohngefähre Controlle des zuvor gegebenen Verhältnisses angestellt werden könne, und insbesondere, weil in der Folge ein zweiter Punkt der Untersuchung auf die Frage nach der absoluten Größe von M führt, mag, wenigstens beiläufig, folgende nähere Bestimmung desselben Plaz finden:

Es sind dem Verf. keine Versuche bekannt, welche direkt oder indirekt einen Zahlwerth für M ergäben; in Ermanglung der Gelegenheit, sie anstellen zu können, mag folgender |202| halb theoretischer Weg genügen, der in seinem Resultate sicher eben die Genauigkeit gewährt, als die Vergleichung mancher über ähnliche Gegenstände angestellte Versuche zeigt, z.B. Gehler, (physikalisches Lexikon Art. Kraft), gibt die Stärke des horizontalen Zuges eines Pferdes = 175 Pfund, und nach Desagulier, = 200 Pfund an; der Bürger Regnier dagegen (Grimms Physik) will als Mittel 736 Pfund gefunden haben.

§. 16. Die Sprungweite eines Pferdes, oder eigentlicher Fig. 2. die Horizontal-Linie dn, über welche sich der Schwer-Punkt desselben bei dem Uebersezen, z.B. über einen Graben, fortbewegt, sey = w. Um seinem Körper (dessen Schwer-Punkte) a, eine Geschwindigkeit zu geben, die ihn, in der Bahn dmn, über den Raum w hinaus wirft, nimmt das sich zum Sprunge vorbereitende Pferd die Hinterhufe unter den Körper, nähert sie also dem Schwerpunkte, und gibt lezterem sodann durch Muskelkraft eine zunehmende Bewegung, in der sich die Beschleunigung, bei genauerer Erwägung der Umstände, nahe als gleichförmig zeigt. Nach jener Vorbereitung mag sich der Schwerpunkt in a befinden, und zwar auf die Hinterhufe k (den Stüzpunkt) bezogen, in derjenigen Richtung, nach welcher es die bewegende Muskelkraft anwenden wird – angenommen unter dem Winkel δ, gegen den Horizont aufsteigend. Der Schwerpunkt werde mit einer Beschleunigung G, nach der Richtung ab, getrieben. In der Zeit t würde er sodann den Raum G. = ab durchlaufen, und sich in b befinden, wenn ihn nicht die eigene Schwere um die Höhe g.t² = bd sinken machte (g = der Beschleunigung des freien Falls).

§. 17. Die Gleichung für die während der Kraftäußerung beschriebene Bahn des Körpers ist diesem gemäß

y = G.t² Sin.δg.t² .

oder auch, weil x = G.t² Cos δ und y/x wie die Fig. zeigt = Tang π ist.

|203|
Textabbildung Bd. 17, S. 203

offenbar, weil G und δ sowohl als g, beständige Größen sind, eine Gleichung für die gerade Linie.

Anmerkung.

Eine kleine Voraussezung, die, zu Gunsten der Einfachheit, in Beziehung auf die Richtung der Kraft, gleich anfangs gemacht wurde, nämlich, daß die Richtung der bewegenden Kraft gleich bleibend nach ab, statt nach der gegen jene veränderlichen Richtung, kd, wirke, kann für den zur Untersuchung gekommenen kurzen Theil der Bewegungsbahn keinen zu bemerkenden Einfluß haben.

§. 18. Der Schwerpunkt des Pferdes geht also divergirend von ab, mit einer langsameren Beschleunigung F, als die zuvor genannte G ist, in einer geraden Linie ad, fort, so, daß er sich in dem Punkte d befindet, wenn er, ohne Einwirkung der Gravitation, in b seyn würde. Da sich die, in gleichen Zeiten durchlaufende, Räume wie die Beschleunigungen verhalten, so ergibt sich: ab/ad = G/F.

Ferner geometrisch aus der Figur auch

Textabbildung Bd. 17, S. 203

folglich

Textabbildung Bd. 17, S. 203

Durch Substitution dieser Werthe in die Gleichung §. 17,

Textabbildung Bd. 17, S. 203

und geordnet, erhält man

G² = F.² + 2 F.g Sin.π + g².

§. 19. Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes in d = c und ad = S gesezt, gibt in Übereinstimmung mit den Verhältnissen bei dem freien Falle.

Textabbildung Bd. 17, S. 203
|204|

Diesen F Werth in die zuvor für G² gefundene Gleichung gesezt, gibt:

Textabbildung Bd. 17, S. 204

§. 20. Da sich die Beschleunigungen (Bewegungsräume der ersten Secunde G und g) wie die auf den Körper wirkenden Kräfte verhalten, so findet, das Gewicht des Pferdes = P, und die von den Hinterhufen nach dem Schwerpunkte (von k nach a und b) wirkende Kraft = N, gesezt, die Gleichung

Statt

N/P = G/g

darin, für G, den im vorigen §. gefundenen Werth substituirt:

Textabbildung Bd. 17, S. 204

§. 21. Wenn nun d derjenige Punkt ist, in welchem sich der Schwerpunkt befindet sobald die Hinterhufe den Boden verlassen, so hört in diesem Punkte die beschleunigende Kraft auf, und der Schwerpunkt würde, wenn die Gravitation etc. nicht fortwährend ihren Einfluß behielte, mit der Geschwindigkeit c unabgeändert nach der einmahl angenommenen Richtung (unter den Winkel π) fortgehn. Die fernere Betrachtung der Bewegung des Schwerpunktes führt demnach auf das ballistische Problem, wo aus der anfänglichen Geschwindigkeit i und dem Erhöhungswinkel π auf die Wurfweite (Sprungweite) w, und wieder zurük, geschlossen werden soll. Es genügt an dieser Stelle die rein parabolische Theorie, indem der, in andern Fällen sehr beträchtliche, Widerstand der Luft, hier durch unbedeutende Geschwindigkeit (im quadratischen Verhältniße mit derselben), zu gering wird, als daß er einen merklichen Einfluß auf die Fehlergränze des Resultats erhielte, welche hauptsächlich von den sich aus Erfahrung bestimmenden, und dem Ganzen zum Grunde liegenden, mittleren Werthen für S, w, P, abhängt.

Die parabolisch-ballistische Formel gibt bekanntlich

|205|
Textabbildung Bd. 17, S. 205

Diesen Werth in die §. 20. für N entwikelte Gleichung gesezt,

Textabbildung Bd. 17, S. 205

§. 22. In diese Gleichung sind endlich die für P, W/S und π gehörigen Zahlwerthe zu sezen; dazu folgende Aufstellung derselben:

1. P, das Gewicht eines Zugpferdes, läßt sich der Erfahrung gemäß als Mittel auf 600 Pfund anschlagen.

P = 600 Pfund.

2. W/S wie die Figur (2.) seine Bedeutung ausspricht, bestimmt sich mit Zuziehung der Erfahrung ohngefähr = 5/2.

W/S = 5/2.

Bei der Anwendung desselben wird noch Einiges über den Einfluß des vielleicht darin enthaltenen Irrthumes Plaz finden.

3. π, der Winkel, unter welchem das Pferd seinen Schwerpunkt fortstößt. Da man annehmen darf, daß dabei die möglichsten zu Gebote stehenden Vortheile in Anwendung kommen, so muß auch hier der Winkel π so eingerichtet werden, daß bei angenommenen Werthen für P und W/S, N durch π ein Minimum wird.

Die vorherige Gleichung

Textabbildung Bd. 17, S. 205

für diesen Zwek P und W/S als konstant angenommen, differenzirt, gibt

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oder auch durch Umgestaltung zur Annäherungsformel,

Textabbildung Bd. 17, S. 205
|206|
Textabbildung Bd. 17, S. 206

Ein Ausdruk in dem offenbar (da Cos. π der Natur des Gegenstandes gemäß, nicht negativ, d.h. π im 3ten oder 4ten Quadranten liegen kann), von dem ± Zeichen vor

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nur das + auf einen möglichen Werth für Sin. π zu führen im Stande ist, und in welchem auf gleiche Weise von dem ± vor dem Wurzelzeichen des ganzen Ausdrukes, hier, wo man keinen π Werth in 3ten oder 4ten Quadranten sucht, wieder nur das + in Betracht kommt.

Sezt man zur Abkürzung des Ausdrukes, wie bekanntlich zuläßig ist, 8 S/w Cos. π = Tang z² (worin z irgend einen Winkel bedeutet), so verwandelt sich die für Sin. π gegeben. Gleichung, mit Einführung der zuvor erwähnten Zeichenabkürzung, in:

Textabbildung Bd. 17, S. 206

worin der Winkel z, durch die Gleichung

Textabbildung Bd. 17, S. 206

oder, da (nach §. 22,2) S/w = 2/5 ist, durch

Textabbildung Bd. 17, S. 206

gegeben ist.

Um nun π in Graden zu erfahren, nimmt man bekanntlich in dem Ausdruke

Textabbildung Bd. 17, S. 206

anfangs einen beliebigen |207| Werth (z.B. 0°) für π an, es ergibt sich daraus der Winkel z. (= 60° 48') und durch Substitution desselben in der Gleichung

Textabbildung Bd. 17, S. 207

ein Werth für π (= 34° 57'), welcher der Wahrheit bedeutend näher liegt, als der angenommene, und nun zu einer neuen Bestimmung von z (= 58° 18') dient, durch welches ein noch richtigerer Werth für π (35° 55') aufgefunden wird. Eine Wiederholung dieser Operation bis dahin, wo der entwikelte π Werth, den für die lezte Bestimmung von z gedienten π, innerhalb der verlangten Genauigkeitsgränze gleich bleibt (höchstens noch ein Mahl), gibt

π = 36°.

Ein Winkel, für welchen ein Pferd das zugehörige δ, (ohngefähr = 59°) vermöge seines Baues bewerkstelligen kann, und der also physisch möglich ist.

§. 23. Durch Substitution der im vorigen §. gefundenen Zahlwerthe P = 600 Pfund, W/S = 5/2 und π = 36° in die §. 21. gegebene Gleichung für N, gibt

Textabbildung Bd. 17, S. 207

welche Angabe wenigstens nicht zu groß erscheint, sobald man bedenkt, mit welcher Leichtigkeit sich ein Pferd mit seinem Reuter bäumt etc.

Es verdient dabei bemerkt zu werden, daß der Umstand, daß man, statt zu fordern w und S absolut anzugeben, nur ihr gegenseitiges Verhältniß verlangte, sehr zur Beförderung der Genauigkeit beitrug. Fragte man nach dem, durch etwa fehlerhafte Annahme jenes Verhältnisses, entstandenen Irrthum im Resultate, so findet sich:

Für die Voraussezung S/w = 2/4 wird π zuerst = 36 angenommen, gibt z = 60° 6' folglich π = 34° 53', daher z = 61° 6'' und also π¹ = 34° 48', und ferner N = 1,852 P, oder bei P abermahls 600 Pfund, N¹ = 1099 Pfund. Aus einer Vergleichung |208| dieses N¹ Werthes mit dem früher gefundenen, ergibt sich noch N/N¹ = 1,12; es war ferner W/W¹ (bei gleichem S) = 125; daher ziemlich nahe W/W' = N²/N'² diesem zufolge würde also eine neue Annahme von S''/w'' = 2/6, ouhngefähr N = 2,264 P = 1358 Pfund geben.

Da nun w ohne allen Zweifel mehr als das Doppelte, (Annahme S/W = 2/4) und wohl noch über das Dreifache (Annahme S/W = 2/6), beträgt, so darf man sich überzeugt halten, bei dem wirklich in Rechnung gebrachten S/W = 2/5, den Werth von N nicht überschäzt zu haben.

§. 24. In dem vorigen §. ist die Größe der Kraft bestimmt, mit welcher ein Pferd von den Hinterhufen gegen den Schwerpunkt zu wirken vermag. Ist GI, Fig. 3. eine unter den Winkel β, gegen den Horizont GO, geneigte Ebene, auf welcher dasselbe in ziehender Stellung so steht, daß sich in G die Hinterhufe befindet, und in β der Schwerpunkt anzunehmen ist; bedeutet ferner AC eine mit dem Boden # laufende, GA eine auf diese senkrecht gerichtete Linie, so ergibt sich, daß ein Theil der Kraft N auf die Stüzung des eigenen Gewichts verwendet wird, und daß, wenn man dieses = D sezt, das eigentlich disponible N, angenommen = N¹, nur noch N – D bleibt.

Die Auffindung der Größe D' ist leicht, nämlich P, (das vollständige und senkrecht auf GO wirkende Gewicht des Pferdes), läßt sich in zwei andere zerlegen; in D, gegen G, und in K, senkrecht auf den Boden gerichtet, d.h., so, daß es rein durch die 4 Beine getragen wird. (Die dabei näher zu erwägende Stellung der Beine, würde auf unnöthige Subtilitäten führen.) In Beziehung auf die Winkel ist alsdann:

GDP = GBK = 90° – ABG

DPB = PBK = β.

DBP = 90° – (ABG + PBK) = 90° – ABG + β).

|209|

Aus der Figur zeigt sich ferner

P´ Sin. BPD = D Sin. GDP, und

P. Sin. DBP = K Sin. GDP, folglich

Textabbildung Bd. 17, S. 209

Durch Ausmessungen an einem Pferde, in ziehender Stellung findet sich als Mittel a = 15 und d = 16 (Viertel-Fuß), daher Tang ABG = 16/15 oder ABG = 46° 51' folglich:

N = N.D = 2,067 PP Sin.β/Cos. 46°51'

oder, wenn β nach §. 13, auch hier = 10° gesezt wird etc.

N' = (2,0670 – 0,2539) P = 1,8131 P = 1088 Pfund.

§. 25. Aus N' findet sich nun leicht das Maximum der von den Hinterhufen gegen die Brust gerichteten disponiblen Muskelkraft des Pferdes, indem sich das von G ausgehende N' in eine nach der Linie d aufsteigende, und folglich nur zum Tragen des Pferdes wirksame, Kraft, und in eine andere M zerlegen läßt, welche nach §. 12. unter dem Winkel α vom Boden aufsteigend, nach der Brust (H), dem Stüzpunkte des Zuges gerichtet ist, wobei sich aus der Fig. zeigt.

M. Cos. α = N Cos. BGI.

oder, weil α nach §. 12 = 35° und Winkel BGI. = Winkel ABG nach §. 24 = 46° 51' ist.

Textabbildung Bd. 17, S. 209

Auf ebenen Boden, d.h., bei β = o, würde dagegen M = 1035 Pfund gefunden, von denen also auf einer um 10° ansteigenden Ebene 127 Pfund zu der Stüzung der eigenen Körperlast verloren gehen.

Anmerkung

Vergleicht man den nunmehr für M gefundenen Zahlwerth mit dem §. 14. aufgestellten Verhältniß von – Q : M = 2 : 7; so zeigt sich auch auf diesem Wege, daß lezterem so wenig |210| bei β = 0° (M = 1035 Pfund, und folglich – Q = 296) als bei β = 10° (M = 908 Pfund, und folglich – Q = 259 Pfund), eine Wahrscheinlichkeit der Uebertreibung des – Q Werthes entgegen steht.

§. 26. Nach den erreichten Zahlbestimmungen von α = 35° (§. 12.), β = 10° (§. 13.) und – Q : M – 2 : 7.) (§. 14.), läßt sich endlich der §. 11. nach der Gleichung

Textabbildung Bd. 17, S. 210

gesuchte Winkel ψ bestimmen, nämlich

ψ = 35° 28'

die kräftigste Einwirkung des Pferdes auf die Bewegung des Fuhrwerks tritt also bei dem Stande an einer um 10° geneigten Anhöhe ein, wenn die Richtung der Zugstränge um 34° 28' d.h. auf ebenen Boden um 45° 28' von der Lothrichtung abweicht, oder sich überhaupt (auf ebenen wie auf geneigten Boden) um 90°– β – ψ = 44° 32', von der Befestigung am Pferde abwärts, unter die gewöhnliche, mit dem Boden parallel laufende, Richtung, und also noch um GHO – ψ, (Fig. 1.) = 90 – (α + β) – ψ = 9° 32' unter der Richtung von der Brust nach den Hinterhufen (HG) senkt.

Anmerkung.

Die Zuverläßigkeit dieses Hauptresultates der Untersuchung hängt offenbar nur davon ab, ob das Verhältniß von – Q : M durch 2 : 7 §. 14.) richtig angenommen wurde, indem der Natur ihrer Bedeutung nach, so wenig für α, als für β (die Größe, welche den Zustand anzeigt, für welchen bestimmt wird) ein Fehler in dem substituirten Zahlwerthe anzunehmen ist. Das in Zweifel gestellte Verhältniß (– Q : M) wurde aber bereits so angenommen (§. 14.) daß die, für die Zugstränge entwikelte, vortheilhafteste Neigung wohl eine Verstärkung aber keine Verminderung erleiden darf. Uebrigens zeigt sich, daß selbst ein in jenem Verhältniß begangener merklicher Fehler, nur unbeträchtlichen Einfluß auf die Größe von ψ besizen würde; den bei der Annahme von

|211|
Q : M = 0 : 7 und also (wenn M nach Q
§. 25 = 1035 Pf. gesetzt wird)
= o wird ψ = 45° u. folglich, die Neigung
unter die parall. Lage
mit dem Boden
= 35°
= 1 : 7 = 148 Pf. = 39° 45' = 40° 15'
= 2 : 7 = 296 Pf. = 35° 28' = 44° 32'
= 4 : 7 = 591 Pf. = 28° 57' = 51° 3'
= 7 : 7 = 1035 Pf. = 22° 30' = 57° 38'

d h. innerhalb den Gränzen, in welchen man über die Annahme von – Q : M, noch zweifelhaft seyn könnte (von = 1 : 7 bis 4 : 7) weicht das daraus hervorgehende Resultat des Neigungs-Winkels der Zugstränge nur so von dem hier gegebenen (ψ = 35° 28') ab, daß leztere vielleicht noch um 6 1/2 Grad steiler gelegt werden dürfen, aber an dieser Stelle, aller Wahrscheinlichkeit nach, gar nicht, oder im äußersten Falle doch nur um 4 1/2 Grad, zu steil angegeben sind.

27. Nachdem nunmehr die vortheilhafteste Größe des Winkels ψ bestimmt ist, dringt sich die Frage nach dem Verhältnisse der Last auf, welche ein Pferd bei der projectirten Einrichtung, gegen jene der gewöhnlichen, ziehen kann. Die Beantwortung derselben, ist in der §. 8. abgeleiteten Gleichung

Textabbildung Bd. 17, S. 211

enthalten, die natürlich auch für die gewöhnliche Lage der Zugstränge (parallel mit dem Boden) ihre Richtigkeit behält, sobald die von jenem Zustande abhängigen Größen ψ und M die nöthige Berüksichtigung ihrer nun entsprechenden Zahlwerthe erhalten.

Bei einer andern und namentlich für die herkömmliche Lage der Stränge bezeichne

l die Bedeutung von L,
m M,
ψ ψ;

so ist

|212|
Textabbildung Bd. 17, S. 212

Ein Ausdruk, in welchem der Zähler das Maximum der durch ein Pferd ziehbaren Last bei der projektirten, so wieder Nenner eben dasselbe bei der gewöhnlichen parallelen, Lage der Zugstränge ausdrükt, und der nicht gehoben werden darf, wenn diese Eigenschaft absolut und nicht bloß relativ bleiben soll.

§. 28. Um den für L/l aufgestellten Formelwerth in Zahlen zu erhalten, bedarf es einer Zahlausmittelung für die darin vorkommenden einzelnen Größen.

M = 908 Pfund (§. 25.), α = 35° (§. 12.), β = 10°, (§. 13.) und ψ = 35° 28' (§. 26.) haben bereits früher ihre Bestimmung erhalten; der Bedarf weiterer Aufsuchung, erstrekt sich daher nur noch auf die Zahlwerthe für f r/R, γ, ψ und m; dazu

§. 29. f, der Reibungs-Koefficient für drehende Bewegung von Eisen auf Kupfer mit Theer geschmiert, beträgt angestellten Versuchen zufolge = 1/8 = 0,125.

§. 30. r/R das Verhältniß zwischen dem Halbmesser des Achsschenkels und des Rades, ist, als Mittelwerth für die Vorder- und Hinterräder, in der Ch. Hess. Artillerie auf 1/20 = 0,05 zu sezen.

§. 31. γ, der Winkel, unter welchem das Rad gegen den Horizont ansteigen soll. Außer der Böschung des Weges (= β = 10°, §. 13.) sind es noch verschiedene andere Hindernisse z.B. kleine Steine, Brükenabsäze etc. welche die Größe des zu ersteigenden Winkels bestimmen. Da es die extremsten Fälle sind, welche die annehmbar größte Last bestimmen, so bedarf es der dahin einschlagenden Berüksichtigung.

Es sey R, Fig. 4. der Halbmesser des Rades, h, die |213| Höhe des zu übersteigenden Hindernisses und φ der Winkel, um welchen sich die Steilheit des Weges durch Anstoß vermehrt, dann ist

Cos. φ = (Rh)/R

Hierin die mittleren Zahlwerthe: R = 2 1/2 Fuß, und h = 1 1/2 Dec. Zoll = 0,15 Fuß gesezt, gibt

Cos. φ = 2,35/2,5 = 0,94; folglich φ = 19° 57'

diesen für φ gefundenen Werth zu dem bereits auf 10° gesezten Neigungswinkel (β) des Berges addirt, gebe den extremsten Fall der Steilheit im Steigen des Rades = Winkel afd = 30° (nahe).

Indeß darf dieser Werth nicht für γ in Rechnung gebracht werden, indem derselbe nur für den ersten Augenblik des Anstoßes richtig ist, in welchem die, der zu hebenden Last schon mitgetheilte, Bewegung noch vortheilhaft einwirkt. Die Bestimmung des wahren γ fordert in dieser Rüksicht noch folgende Entwikelung.

§. 32. Der Punkt a, (Fig. 4.) läßt sich als das Centrum einer Kreisbewegung ansehen, welche der Mittelpunkt des Rades, b, nach der Richtung des Bogens, bn, macht.

Anmerkung.

Eigentlich ist freilich nicht b der Schwingungspunkt, auf welchen es hier ankommt; indeß sind die Ursachen den wahren Punkt aufzusuchen zu unbedeutend, als daß die erwähnte Abkürzung nicht ein völlig genügendes Resultat erwarten ließe.

Aus der Mechanik ist bekannt, daß Massen, die in Bogen (von n nach i, nach b,) fallen, eben die Endgeschwindigkeit bekommen, als wären sie von der Vertikalhöhe dieses Bogens (np, nq) gefallen, und daß rükwärts eine Geschwindigkeit v, nach bv, welche der Fallhöhe pq entspricht, die bewegte Masse auch bis zu der Vertikalhöhe, pq = x, d.h. von b nach i, hebt. Die Höhe, um welche die Last sodann durch ferneres Zuthun noch steigen muß, um das getroffene Hinderniß überwunden zu haben = pn = s genannt, gibt

s = anaqqp.

|214|

Ist aber der Punkt b nach i fortgerükt, so zeigt die alsdann in a, zu konstituirende Tangente des Rades nur noch eine, als das wahre γ = Winkel ian, anzunehmende Neigung gegen den Horizont, von

Cos. γ = (Rs)/R = (aq + qp)/R.

In diesem Ausdruke ist offenbar, weil Winkel baq = Winkel afd = 30° ist, (wie zuvor §. 31. abgeleitet wurde)

Cos. γ = (R Cos. 30° + qp)/R.

Für die Bestimmung von pq ergibt sich, wenn die Geschwindigkeit, mit welcher sich das Fuhrwerk nach der Richtung des Weges, also nach bc bewegt = c gesezt wird, zuerst v (Fig. 4.) = c Cos. vbc = c Cos. φ = c Cos. 20° (§. 31.), und ferner, weil v der Endgeschwindigkeit einer Fallhöhe von pq entsprechen soll, nach den Gesezen vom freien Falle

pq = v²/4 g. = c² Cos.²20°/4 g.,

worin g abermals die Beschleunigung in der ersten Secunde bedeutet.

Anmerkung.

Da sich diesem zufolge x, oder die mögliche Höhe, über welche die Last durch die ihr bereits ertheilte Geschwindigkeit, hinweg gehoben wird, wie das Quadrat dieser Geschwindigkeit (c²) verhält, so erklärt sich zugleich, warum an Bergen sich die Pferde bestreben vorzugsweise schnell zu fahren.

Führt man auch diesen für pq gefundenen Werth in die zuvor für Cos. γ aufgestellte Gleichung ein, so ergibt sich

Cos. γ = Cos. 30° + c² Cos.²20°/4 g.R.

Sezt man hierin, wie früher gesagt, R = 2,5 Fuß, g = 15 Fuß, und c, als Mittelangabe der Erfahrung = 3 F. so findet sich

Cos. γ = 0,91902 oder γ = 24° 21'.

§. 33. Ψ der Winkel, unter welchem die Zugstränge herkömmlich |215| gegen die Lothrichtung (gegen HI, Fig. 1.) stoßen. Wenn in diesem Falle PH # VI (§. 1.) und < IVW = β = 10° ist (§. 13.) so wird natürlich

< PHI, oder Ψ = < VIO = 90° – β = 80°.

§. 34. M, das mögliche Maximum der thätigen Kraft des Pferdes von den Hinterhufen nach der Brust, bei gewöhnlicher Lage der Zugstränge.

Eine frühere Gleichung (§. 11.) gab.

Textabbildung Bd. 17, S. 215

daher in Gemäßheit von §. 27. statt M und ψ, m und Ψ gesezt.

Textabbildung Bd. 17, S. 215

worin Q, das an der Brust des Pferdes senkrecht gegen den Horizont drükende Gewicht des Pferdes bedeutet, und als solches abermals eine Funktion des befahrenen Bodens ist, nämlich: es sey Fig. 3. alles von der §. 24. beschriebenen Bedeutung und ferner, H, die Brust des Pferdes, die mit dem Gewichte = Q, lothrecht gegen den Horizont GO, wirkt etc. so ist nach den Lehren der Statik: GF × P = GO × Q, oder, weil GF = a Cos. β – d Sin. β und GO = GH Cos. (α + β)

Textabbildung Bd. 17, S. 215

durch Substitution dieses Q Werthes in die zuvor für m gegebene Gleichung

Textabbildung Bd. 17, S. 215

oder bei # Lage der Zugstränge mit dem Boden, wo ψ = 90° – β wird.

Textabbildung Bd. 17, S. 215

Den früheren Bestimmungen gemäß α = 35° (§. 12.); a = 15 d = 16 (§. 24.) und nach eben dem Verhältniße b = 5 1/2 gesezt, gibt für die Lage der Stränge # mit dem Böden

|216|
Textabbildung Bd. 17, S. 216

und also ferner für β = 10° (§. 13.) und, P = 600 Pfund (§. 22.)

6) m = 1,1637 P = 693,2 Pfund,

wobei übrigens noch darauf Rüksicht zu nehmen ist, daß ein Theil von Q, zur Bewahrung des sicheren Standes, nicht mit in Anwendung kommen kann, und daß sich m, genau in demselben Verhältnisse, mit vermindern muß.

§. 35. Die Gleichungen des vorigen Paragraphen gestattet mehrere Folgerungen, nämlich: 1) ergibt sich die Wahrheit der §. 5 sub 2,2, aufgestellten Behauptung, nach welcher bei gewöhnlicher Lage der Zugstränge die Kraft, M, und daher zugleich die Ziehkraft des Pferdes, nicht mehr von dem Umfange der Muskelkraft abhängt, sondern fast lediglich eine Funktion seiner Schwere wird; denn M mag für sich noch so groß seyn, das von ihm in Wirksamkeit gelangende Theil m kann nur bis zu dem Werthe von

Textabbildung Bd. 17, S. 216

gelangen, welcher Ausdruk aus lauter Größen zusammengesezt ist, die von der Kraft und Geschiklichkeit des Pferdes unabhängig sind. Es dringt sich dabei die Frage als wichtig auf, wie groß Ψ, als Maximum zuläßig ist, wenn dem Pferde noch die freie Anwendung der ganzen Kraft, M, möglich bleiben soll; oder, was dasselbe sagt, welchen Werth erhält in der Gleichung 3, Ψ, wenn m = M werden soll. In der Gleichung 2, für m, M gesezt, findet sich

Textabbildung Bd. 17, S. 216

die im lezten §. vor der Gleichung 5 aufgeführten Zahlwerthe und ferner, M = 908 Pfund (§. 25.) substituirt, gibt

Ψ = 75° 40'

welches eine Richtung der Zugstränge anzeigt, die um (90° – β) – Ψ = 4° 20' unter jene # mit dem Boden fällt.

Auf horizontalem Wege (bei β = o und folglich, M = |217| 1035 Pfund gesezt (§. 35.) ergibt sich indeß durch dieselbe Gleichung (3.)

Ψ = 79° 40'

oder die Bedingung, daß die Stränge um 90° – β – Ψ = 10° 20' unter die parallele Lage mit dem Boden fallen müssen.

Da nun häufig Fälle vorkommen, wo das Pferd auf horizontalen Boden steht, aber dennoch durch die Stellung des Fuhrwerks zu der Aufbietung aller Kräfte genöthigt wird, so darf man schließen, daß die Zugstränge nicht weniger als 10° 20' unter d. # Lage, mit dem Boden geneigt seyn dürfen, wenn es dem Pferde unbenommen seyn soll, die ganzen zu Gebothe stehende Kräfte, M, auf horizontalen wie auf steigenden Boden anwenden zu können.

2. bestätigt es sich, daß m abnimmt, je steiler der befahrene Weg (je größer β) wird; denn

bei β = 0, findet sich aus d. zulezt abgel. Gl. m = 675,6 Pf.
= 10°, = 698,2
= 20°, = 590,5
= 30°, = 427,4
= 43° 9', = 0

3. ergibt sich aus dem so eben für β = 0 gefundenen m Werthe = 765,6 Pfund eine günstige Folgerung für die angewendete Ableitungs-Methode überhaupt; denn, wenn β = 0 und folglich Fig. 1, ψ = 90° ist, so findet sich die Kraft des horizontalen Zuges PH (Fig. 1.) = m. Cos. α oder bei m = 765,6 Pfund, und α = 35°, = 627 Pfund, was, mit den in §. 15. angebenen, aus Versuchen bekannten Größen verglichen, der Wahrheit so weit zu entsprechen scheint, als es Abweichungen in der Schwere und Gestalt der Pferde (je schwerer und dabei im Allgemeinen je niedriger und gestrekter, desto besser) gestatten, sie aufzufinden.

§. 36. Die nunmehr gefundenen Zahlwerthe für = 1/8 (§. 29.) r/R = 1/20 (§. 30.); γ = 24° 21' (§. 32.) Ψ = 80° (§. 33.) und m = 698 Pfund (§. 34.), so wie jene im §. 25. genannten (M = 908 Pfund α = 35°, β 10° und Ψ = 35° 28' nach der Bestimmung von §. 27 und 28. substituirt, gibt

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Textabbildung Bd. 17, S. 218

oder L : l = 2300, : 1160,3 = 1,982

d.h. das Aeußerste und so auch das Gewöhnliche, was ein Pferd bei der projektirten Lage der Zugstränge (incl. des Gewichtes vom Wagen) ziehen kann, ist sehr nahe doppelt so groß, als das der Belastung nach gewöhnlicher Art.

§. 37. Die Zuverläßigkeit dieses aufgestellten Verhältnisses ist von zwei Haupttheilen abhängig, 1) von den Werthen für M und m, und 2) von den aus α, γ, f etc. zusammengesezten Faktoren. Angenommen, daß in den Zahlwerthen von α, β, γ, f und r/R (von ψ und Ψ kann an dieser Stelle nicht die Rede seyn, indem es sich nur um die Richtigkeit der Antwort handelt, zu der sie den fraglichen Fall bezeichnen), merkliche Fehler begangen wären (was ihrer Natur nach, außer allenfalls bei γ, nicht denkbar ist), so kann dieses auf das Verhältniß L : l dennoch nur sehr geringen Einfluß haben; indem sie sämmtlich in Zähler und Nenner gleichmäßig vorkommen, und folglich beide in gleichem Sinne ändern. Es kommt daher nur noch auf das richtige Verhältniß von M zu m an; ihre Bestimmung geschah völlig von einander unabhängig, und schon deßwegen hat die Richtigkeit ihres Verhältnisses etwas Unsicheres. Aber auch angenommen, ein Pferd könnte, der Erörterung von §.(35,1.) zuwider, schon bei der herkömmlichen Lage der Zugstränge, die ganze, von den Hinterhufen nach der Brust zu Gebothe stehende, Kraft in Thätigkeit sezen (m = M), so ergibt die vorige Gleichung sogar noch bei diesem alleräußersten Minimum

L : l = 2,533 : 1,662 = 1,524,

d.h. auch unter dieser Bedingung ziehen 2 Pferde bei der projektirten Anspannung noch mehr als 3 bei der gewöhnlichen.

|219|

§. 38. Aus der §. 36. angewendeten Gleichung findet sich, neben dem gegenseitigen Verhältniß der Mäßigen Befrachtung, bei der einen und anderen Anspannungsweise zugleich die eigene Größe von jeder, was zwar kein direktes Interesse für die vorliegende Untersuchung gewährt, aber doch, durch Vergleichung mit der Erfahrung, die Richtigkeit der Entwiklungsformeln versichert. In Gemäßheit von §. 27. gibt die Gleichung von §. 36.

L = 2299 Pfund, und l = 1160 Pfund,

wenn aber L, nach Maßgabe der Abnahme von M durch Ermüdung, und ferner e, 1) aus gleicher Ursache vermindert angenommen werden muß, und 2) hauptsächlich deßwegen, weil es (§. 34.) mit Q in gleichem Verhältniße steht, von dem ein Theil seiner Größe zur Bewahrung des sicheren Standes etc. entzogen wird. Schlägt man diese Verminderung für M, und eben so für. m, wie es ohngefähr seyn mag, auf 1/4 an, so findet sich:

L = 1725 Pfund, und l = 870 Pfund

(mit Inbegriff des respective Gewichts vom Wagen und auf einem um 10° steigenden Wege etc. §. 31 und 32.), welcher Werth für l, soweit mit Erfahrung übereinstimmt, als die außerordentliche Verschiedenheit von den, in der Anwendung eintretenden Fällen, einen Mittelwerth dafür anzugeben gestattet. Ein Fuhrmann ladet wohl 60 Ctr. für 4 Pferde (gewöhnlich 40 bis 45 Ctr.), wobei aber gute Wege, ausgesucht starke und schwere Pferde etc. Bedingnisse sind, und ferner an jedem merklichen Bergs Vorspann genommen werden muß. Dagegen rechnet man auf eine sechspfündige Kanone, welche nebst Proze etc. also das Fuhrwerk eingeschlossen, ohngefähr 30 Ctner wiegt, für die zu ihrem Zweke nöthige Beweglichkeit 6, und nur auf den Nothfall 4 Pferde.

§. 39. Das Resultat der bisherigen Untersuchung war nun folgendes:

1) wurde bewiesen, daß die vortheilhafteste Lage der Zugstränge um 44° 32' unter die parallele Richtung mit dem Boden, oder noch um 9° 32' unter die Richtung von der Brust |220| nach den Hinterhufen fallen, (§. 26.) und daß in dieser Angabe, die Steilheit der Stränge vielleicht noch um 6 1/2 Grad verstärkt werden darf, aber im aller äußerst denkbaren Falle (– Q : M = 1 : 7, §. 26.) doch höchstens nur eine Verminderung von 4 1/4 Grad fordert. 2) ergab sich §. 36. daß auf diese Weise ein Pferd 1,98 Mahl (unter Berüksichtigung, daß alle bestimmenden Werthe, z.B. §. 14. – Q/M = 2/7; §. 22. S/w etc. zur Entfernung jeder möglichen Selbsttäuschung durchaus so unter dem wahrscheinlichen Mittel gehalten wurden, daß sie die Größe von L nur zu klein geben konnten, sicher mehr als doppelt) so viel ziehen kann, als auf die gewöhnliche Art; in welcher Bestimmung wenigstens auf keinen Fall bis auf den Werth von 1,524 statt 1,98 (2 Pferde bei der projektirten Lage = mehr als 3 bei der herkömmlichen) gefehlt werden konnte. (§. 37.)

3) endlich bestimmte sich noch beiläufig das Maximum der Belastung (incl. des resp. Gewichts vom Fuhrwerke) für ein mittleres Pferd, und an einem Chaussee-Abhange von 10° Steilheit, wo die ganze Last noch gegen 1 1/2 Zoll hohe Unebenheit (Steine etc.) stoßen kann, für die projektirte Lage der Stränge auf 1725 Pfund bis 2299 Pfund, für die herkömmliche Lage derselben auf 870 Pfund bis 1160 Pfund.

––––––––––

§. 40. Bei der Ableitung der im vorigen §. aufgestellten Geseze, wurde ein fester Boden als Weg vorausgesezt, und folglich sind sie bis jezt auch nur für diese Annahme bewiesen; aber sie behalten auch für lokeren Boden, im Ganzen genommen, ihre Richtigkeit. Es treten hier 2 Hauptrüksichten ein:

1stens, Beförderung der Bewegung des Fuhrwerks.

2tens, möglichste Erleichterung in dem Fortkommen des Pferdes selbst.

Was den ersten dieser beiden Punkte betrifft, so läßt sich schließen: die Sohle der Räder geht hier, wie bei festem Boden, auf einer Grundlage fort – dafür sind also die früheren |221| Regeln bewiesen. Ueberdem drükt aber noch eine nachgiebige Masse gegen die Vorderfläche der Räder – hiefür muß es vortheilhaft seyn, die Zugstränge möglichst steil zu legen; denn auf diese Weise wird die drükende Last erleichtert, und folglich das Einsinken vermindert.

In Betreff des zweiten Punktes ist es klar, daß die Belastung der Hinterbeine, das auf ihnen ruhende Körpertheil ungerechnet, lediglich von dem Maaße der Kraft, M, abhängt, daß ferner die Neigung der Zugstränge, überhaupt nur auf die Vorderbeine einen herabdrükenden Einfluß besizen kann, und diesen ausübt, wenn sie sich unter die Richtung von der Brust nach den Hinterhufen senkt, so wie sie im entgegengesezten Falle (wenn sie, wie z. E. bei der gewöhnlichen Lage über die Hinterhufe weggeht) erleichternd auf das Vordertheil wirkt. Wenn nun ferner, wie die Schlußgleichung von §. 8. zeigt, M, für eine gleiche Last, L, um so kleiner seyn darf, je steiler die Richtung der Stränge herabgeht (je größer Cot'g ψ ist) so folgt daraus, daß bei der vorgeschlagenen Lage der Zugstränge, die Hinterbeine des Pferdes weniger, die Vorderbeine aber mehr belastet sind, als gewöhnlich. Diese Belastung des Vordertheils, steigt aber nur bis zu dem Maaße, mit welchem auch die Hinterhufe nieder gedrükt werden (§. 14.). Sollte nun auch das Vordertheil der Erleichterung noch so sehr bedürfen (NB. auf Unkosten des Hintertheils) so kann dieses doch nicht über den Indifferenzpunkt steigen, in welchem es das, ihm natürlich angehörige Theil des Körpergewichts tragt, d.h. über den Punkt, wo die Zugstränge von der Brust gegen die Hinterhufe gerichtet sind.

§. 41. Aus den so eben aufgestellten Entwiklungen folgt, daß das projektirte Neigen der Zugstränge auch auf lokerem Boden, unbedingt bis zu der Richtung von der Brust nach den Hinterhufen vortheilhaft ist, bei größerer Steilheit aber einen Druk auf die Vorderbeine äußert.

Da dieser indeß bei ψ = 35° 28' (§. 26.) erst 2/7 M, d.h. kaum den gegen die Belastung des Hintertheiles proportionsmäßigen Druk beträgt (§. 14.), so darf man annehmen |222| daß die vortheilhafteste Richtung der Zugstränge für lokeren Boden dieselbe ist, wie bei festen, nämlich 44° 32' Neigung unter die parallele Lage mit dem Boden.

––––––––––

§. 42. Nach der nun beendigten Herleitung der Richtung, unter welcher die Zugstränge für den vortheilhaftesten Zug am gebracht seyn müssen, fragt es sich nach der Möglichkeit, dieselbe praktisch erreichen zu können. Ohne an dieser Stelle die Angabe der zwekgemäßesten Mechanismen zu beabsichtigen, verdienen doch folgende, der Gegenstand im Allgemeinen betreffende Verhältnisse der Anführung:

Bei den vorhinnigen Entwiklungen, wurde die ganze Last des Fuhrwerks in einer Horizontal-Linie (Achse) vereinigt gedacht, und von dieser wiederum der Mittelpunkt der Unterstüzung (Fig. 1, c.) zum Gegenstände der Untersuchung gemacht. Dieses würde geradezu angenommen werden können bei den gewöhnlichen.

§. 43. Fuhrwerkskarren. Einige Ueberlegung, wie sich bei ihnen die vorgeschlagene Lage der Zugstränge anbringen läßt, ergibt, daß sie hier dem Erfolge nach, obgleich durch Beweggründe anderer Art veranlaßt, bereits für das Pferd in den Bäumen einigermaaßen besteht. Die Erörterung der dabei Statt habenden Verhältnisse fordert zunächst eine Beurtheilung des Widerstandes, welchen der Karren bei seiner Bewegung auf das Pferd ausübt:

Damit die Ladung, deren Schwerpunkt über der Achse (dem Stüzpunkte) liegt, im Berge anfahren nicht rükwärts überkippt, ist es nöthig ihr ein Uebergewicht nach vorn zu geben:

1) üben daher die Bäume in d. P. A, Fig. 5. einen vertikal abwärts gehenden Druk = + Q (§. 4.) auf das Pferd aus.

2) wird – durch die an den Bäumen hinlaufenden Zugstränge angezeigt – ein Widerstand = H, parallel mit dem Boden, von A nach c, ausgeübt. Eine wirklich statthabende Einwirkung dritter Art, kann schon den Fehler anderer Befestigungshaken |223| wegen, nicht gedacht werden. Die beiden genannten Kräfte, Q und H, lassen sich zu einer Mittelkraft P, vereinigen, welche summarisch den Widerstand des Fuhrwerks ausdrükt. Den Winkel, PAQ, unter welchem sie von der Vertikalrichtung abweicht (§. 27.) = Ψ, und ferner < QAH, wie es die Bedeutung der Linien erheischt, = 90° – β (§. 13.) bezeichnet, ergibt sich die Gleichung Q, Sin. (90° – β) = Sin. (90 – β – Ψ.) oder

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Von Seiten des Pferdes wird dieser Widerstand durch eine Kraft, P, nach entgegengesezter Richtung, aufgewogen, welche §. 7,3 durch die Gleichung

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bestimmt wurde.

§. 44. Es ist daher

Textabbildung Bd. 17, S. 223

und hieraus für die Bestimmung von Ψ

Textabbildung Bd. 17, S. 223

oder wenn β = 10° (§. 13.); α = 35° (§. 12.) und Q, das Maximum des Drukes der Bäume, welchen das Pferd bei A zu tragen vermag, §. 14.) zu M, welches hier ebenfalls im Maximum angenommen werden muß, da vorauszusehen ist, das Ψ die Richtung von P, um mehr als 10° unter der parallelen Richtung, mit dem Boden angeben wird (§. 35,1.) d.i. Q : M = 2 : 7 (§. 14.) gesezt wird.

Ψ = 59° 42'.

Wenn also der, an einer um 10° aufsteigenden Anhöhe gedachte Karren so nach vorn überwiegend befrachtet ist, daß der Druk auf des Pferdes Vorderbeine. (NB. vor dem Beginnen des Zuges) im richtigen Verhältnisse zu der Kraft steht, welche es von den Hinterhufen nach der Brust anwendet (Q : M = 2 : 7.), so entsteht bei gewöhnlicher Anspannungsweise auf Seiten des Pferdes eine gleiche Kraftanwendung, als es sonst eine, um 90° – β – Ψ = 20° 8' unter die parallele Lage, |224| mit dem Boden geneigte Richtung der Stränge, veranlassen würde. Man darf hinzusezen, und auch für den Karren findet auf diese Weise eine gleiche Einwirkung Statt, als ginge der Zug in eben jener Richtung geradezu von der Mitte der Achse (c) aus (§. 42.) denn 1) um genau soviel, als dem Pferde durch den Druk der Bäume zu tragen gegeben wird, erhält der Punkt, c, eine Unterstüzung vertikal nach oben (c. Q) und 2) die, nach der Lage der Zugstränge bewirkte Kraft H kann, einem Axiome der Statik zufolge, ebensowohl in c, als in A, wirksam gedacht werden etc. Es entsteht hier also dieselbe Kraft-Einwirkung auf den Karren, als ruhete die Ladung im Gleichgewichte über c, und die Zugstränge gingen von c aus, unter dem Winkel von 20° 8' gegen den Boden aufsteigend nach dem Anknüpfepunkte A.

§. 45. Es muß aus dieser aufsteigenden Richtung des Zuges, gegen jene Einrichtung verglichen, wo der Zug mit dem Boden # läuft – wie es der Fall seyn würde, wenn die Bäume nicht auf das Pferd drükten – den früheren Entwiklungen zufolge, ein Vortheil für die Größe der annehmbaren Belastung entstehen. Er findet sich, wenn man dem Verfahren in §. 36. analog, in die, §. 8 und 27. für L, gegebene Gleichung die Zahlwerthe von a = 35° §. 12.), β = 10° (§. 13.), γ = 24° 21 + (§. 32.) f = 1/8 (§. 29.) – r/R = 1/20 §. 30 was freilich für Karren nur sehr beiläufig, aber doch für jezt hinreichend genau paßt), M = 908 Pfund (§. 25, welcher Werth und nicht jener von m = 698 Pfund §. 34. hier gilt, da die Steilheit des Zuges mehr als 10° beträgt, vergl. §. 35.) und Ψ = 59° 52' (§. 44.) sezt, nämlich

L = 1,9473 M = 1768 Pfund,

oder, wenn man auch hier nach §. 38. 1/4 wegen Ermüdung abrechnet,

L = 1326 Pfund.

Mit Zuziehung von §. 38. ergibt sich also, daß die unter den vortheilhaftesten Umständen annehmbare größte Belastbarkeit eines Pferdes, ferner die für ein Pferd im Karren, und endlich |225| die für ein nach gewöhnlicher Art vor den Wagen gespanntes Pferd, sich gegenseitig verhalten wie

2299 : 1768 : 1160

und ferner die mittleren Ladungen (nach Abzug eines Viertheils wegen Ermüdung des Pferdes) wie

1725 : 1326 : 870,

oder in beiden Fällen ohngefähr wie 4 : 3 : 2, welches leztere Verhältniß (3 : 2) die allgemeine Erfahrung wenigstens als nicht zu groß angibt.

§. 46. Man sieht daraus, daß der Karren nach gewöhnlicher Einrichtung das Mittel zwischen der vortheilhaftesten und gewöhnlichen Lage der Zugstränge hält. Das gefundene Resultat seines Vortheils gegen die gewöhnliche Anspannungsweise eines Wagens läßt sich auf einfache Art, auch so aus der bezeichnenden Eigenschaft des Drukes der Bäume nachweisen.

1) wird es dem Pferde möglich gemacht, die ganze, ihm von den Hinterhufen nach der Brust zu Gebothe stehende Kraft, M, in Thätigkeit zu sezen (§. 44.). Dieses bildet den Hauptvortheil für die zuläßige Vermehrung der fahrbaren Last. Der §. 36. für l = 1,6623 m, gegebene Werth ändert sich dadurch in = 1,6623 M, d.h. um + 16623 (M – m) = 349 Pfund.

2) Wird der, dem Pferde als Druk der Bäume zugewogene, Theil der Last beiläufig auch noch mit fortgeschafft; es beträgt = 2/7 M, (§. 44.) = 2/7 . 908 = 259 Pfund.

Diese beiden Vermehrungen zusammen = 349 Pfund + 259 Pfund = 608 Pfund gaben die Verschiedenheit der, durch den Karren fortschaffbaren Last = 1768 Pfund (§. 45.) gegen jene, welche, bei gewöhnlicher Anspannungsweise eines Wagens, auf ein Pferd zu rechnen ist = 1160 Pfund (§. 36.)

§. 47. Aus dieser Nachweisung ergibt sich noch für die Bestimmung des Drukes der Bäume, daß es vor allem nöthig ist, jenen Druk bis zu der Große zu bringen, daß die ganze Kraft, M, in Anwendung kommen kann, oder was nach §. 35. dasselbe sagt, daß die Richtung des Zuges, wenigstens |226| um 10° unter jene, # mit dem Boden fällt, oder Ψ = 90 – (β + 10°) = 70° wird. Die erforderliche Größe dieses Drukes ergibt sich aus der Gleichung §. 44.

Textabbildung Bd. 17, S. 226

M = 908 Pfund (§. 25.), a = 35° (§. 12.) β = 10° (§. 13.) um Ψ, wie oben gesagt = 70° gesezt, gibt

Q = M Tangt 10° Cos. 45°/Sin.70 = 0,13268 Pf. = 5/37 M = 120 Pf.

Bei diesem Minimum des zuläßigen Drukes von 120 Pf. beträgt die Größe der Last = 1160 Pfund (§. 36.) + 349 Pf. (§. 46,1) + 120 Pfund = 1629 Pfund (durch Berechnung, wie im §. 36., findet sich dasselbe) und eine Vermehrung desselben, vergrößert das Quantum der annehmbaren Last, nur um so viel, als diese Vermehrung selbst besagt.

§. 48. Die ganze Ladung, welche bei der §. 26. genannten vortheilhaftesten Lage der Zugstränge auf ein Pferd gerechnet werden darf (2299 Pfund, §. 38.), ist daher auf die in Untersuchung gestellte Weise durch einen Karren, nicht zu erreichen; denn für diesen Fall müßte der Druk der Bäume noch um 2299 Pfund weniger, 1768 Pfund (§. 38 und 45.) = 531 Pfund über die Tragkraft d. Vorderb. hinaus, vermehrt, d.h. auf 531 Pfund + 259 Pfund (§. 46,2.) = 790 Pfund gebracht werden können; dem freilich während die Kraft M in voller Thätigkeit ist, nichts entgegen steht, indem dieselbe (N) vermöge ihrer schräg aufsteigenden Richtung zugleich eine, dem vertikalen Druke der Bäume (Q. Fig.) entgegen wirkende, Kraft ausübt von = M Sin.α/Cos. β = 908 Sin. 35°/Cos. 10° Pfund = 530 Pfund, was die in Rede gestellte Vermehrung des Drukes der Bäume, (den fehlerhaften Einfluß unbeachteter dreimahlen abgerechnet), genau kompensirt; sobald aber das in Thätigkeit gesezte Theil von M (durch günstigeren Weg oder durch Stillstehen etc.) sich unter seinem annehmbaren Maximum (908 Pfund) befindet, würde das Vordertheil |227| des Pferdes durch den nun über 2/7 M hinaus gehenden Druk überladen, und wenigstens bei gänzlicher Unthätigkeit von M, der sodann eintretenden Last von 790 Pfund zu widerstehen unvermögend seyn. Legte man ohne das Uebergewicht der Ladung (den anfänglichen Druk der Bäume) zu ändern, die Zugstränge rükwärts niedriger, als vorn und ließe sie etwa von dem Punkte B Fig. 5. ausgehen, so würde dieses keine Unterstüzung gewähren, denn die Richtung des Zuges wird dadurch nicht steiler, indem genau soviel, als durch die Lage der Stränge unmittelbar gewonnen wird, dadurch indirekt wieder verloren geht, daß nun während des Zuges die Bäume um so weniger drüken. Wäre dabei der Punkt B so niedrig gelegt, daß der Winkel BAQ (Fig. 5.) kleiner als Ψ (eine Funktion des Übergewichtes der Ladung – §. 43 und 44.) wird, so vermag das Pferd denselben eine solche Spannung zu geben, daß die Bäume, der Richtung der Schwere entgegengesezt, nach oben wiegen.

§. 49. Bei den aufgestellten Betrachtungen über die Kraft- und Lastverhältnisse bei der bekannten Einrichtung des Fuhrwerkkarrens, wurde der Druk der Bäume so vorausgesezt, daß er für den Zustand des Berganfahrens an einem um 10° steigenden Boden = 2/7 M betrage (§. 44.). Da der Schwerpunkt der Ladung höher als die Bäume, etwa in D Fig. 5 liegt, so kann jener Druk bei der vorausgesezten Steilheit des Weges (10°) nicht soviel, als auf horizontalem Boden betragen (da dieses der bloße Anblik lehrt, so würde die weitere analytische Entwiklung überflüßig seyn), folglich muß bei der Befrachtung des Karrens in waagrechten Stande, den Bäumen eine Ueberwugt gegeben werden, welche nach den zu vermuthenden Anhöhen abgemessen in d. P. A mehr als 2/7 M beträgt, d.h. eine solche, welche das §. 44. als annehmbar aufgestellte Verhältniß übersteigt. Indeß war diese Annahme zum Vortheile der Einfachheit 1) zuläßig, da jenes 2/7 M (nach §. 14.) als ein Minimum von dem zu betrachten ist, was man annehmen darf, folglich immerhin noch einige Vermehrung verträgt, und dieses um so höher, da dem vorigen §. gemäß, während |228| des Ziehens, die Kraft M eine bedeutende Unterstüzung gewährt – und 2) war sie nicht zu vermeiden, da das Ganze von der Höhe des Schwerpunktes der Ladung, über den Bäumen abhängt, die sich nach der geladenen Materie (Wolle oder Blei etc.) richtet.

§. 50. An den Gegenstand des vorigen §. knüpft sich die wesentliche Bemerkung, daß es gut ist, den Schwerpunkt der Ladung so tief als möglich zu legen, damit der Druk der Bäume, bei dem Berganfahren, wo es seiner am meisten bedarf, sich so wenig als möglich vermindert. – Ein Pferd wird aus diesem Grunde ein größeres Gewicht Blei, als Wolle fahren können. – Vortheilhaft würde es seyn, den Schwerpunkt der Bäume unter die Ladung zu versezen, was sich vielleicht verhältnißmäßig am besten nach der Fig. 6. gegebenen Idee, erreichen ließe: wo die Bäume nicht wie gewöhnlich auf der Achse AB, sondern auf einem Riegel CD ruhen, der vermittelst zweier Säulen AC und BD au der Achse hängt, wobei die Höhe der Räder noch das sonst gewöhnliche Maaß übersteigen kann.

§. 51. Aber am meisten würde den Bedingungen des vortheilhaftesten Zuges entsprechen, wenn der Druk der Bäume von selbst in eben dem Verhältnisse zu- oder abnähmen, als die stellenweise Beschaffenheit des Weges, ein Verstärken oder Nachlassen der Zielkraft fordert. Es ließe sich dieses nach der Idee von Fig. 7. erreichen, in ihr bedeutet A die Achse, auf welcher wie gewöhnlich die Karrenbäume (AD) ruhen, von denen jeder einen zweibeinigen Schämel oder Bok ABC trägt. Ueber diese beide Böke ist eine zweite Asche (B zeigt den Durchschnitt derselben) gelegt, auf der an jedem Ende vertikal und # mit den Bäumen, der Rahmen EFG H hängt. Diese beiden Rahmen, tragen auf den untern Bäumen EF einen Boden, auf welchem die Ladung ruhet, und besizen etwa bei M einen Haken, von welchem die Zugstränge ausgehen. Das Pferd (vermuthlich läßt sich wohl eine Vorrichtung für 2 neben einander gehende errichten) trägt den Druk der Bäume; zieht aber nicht durch sie, sondern an den |229| Zugsträngen MD. Liegt nun im stillstehenden Zustande der Schwerpunkt der Ladung in P (angenommen so nahe vertikal unter oder über der Achse (A), daß die Bäume, von dieser Seite genommen, keinen Druk ausüben), so wird er durch das Ziehen des Pferdes (vermittelst MD) und zwar nach Maßgabe der darauf verwendeten Kraft in dem Bogen PK (um den Winkel PBK = a) fortgehen und gleichzeitig rutscht das Tragseil des Pferdes, von dem Punkte D der Bäume, nach N fort. Es entsteht daraus eine nach PK, d.h. nach der Stärke des Ziehens abgemessene Vermehrung des Drukes der Bäume; denn, man verstehe unter AP, AK etc. den Horizontalabstand der Punkte PK etc. von A, unter N den Druk der Bäume während dem Ziehen, unter H (wie schon in Fig. 5.) die Stärke des Zuges durch die Stränge MN und unter L. die Schwere der Ladung (in ihrem Schwerpunkte vereinigt), so ist nach Gesezen der Statik

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Da ferner (hinreichend nahe) PK = BK Sin. α und DN = (Vertikalstand) BM Sin. α

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oder auch da BK.L. Sin. α = BM.H, folglich Sin. α = BM.H/BK.L. anzunehmen ist.

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differenzirt man diese Gleichung, so findet sich, daß, wenn BK/BM > AP/AD ist (wie dieses die Natur ihrer Bedeutungen nicht anders erwarten läßt), N mit H zugleich wächst. Die Gleichung zeigt Ferner schon unmittelbar, daß dabei das gegenseitige größere – Verhältniß zwischen N und H durch die Maaße von BK, AD, AP etc. so regulirt werden kann, daß dadurch wenigstens |230| annähernd noch jener, im §. 48. erwähnte weiter nöthige Druk von 531 Pfund herbei geschafft werden kann, um so die zuläßige Belastung des Karrens, mit der für die Kräfte des Pferdes überhaupt möglichen (§. 38 und 39.) gleich zu stellen.

§. 52. Da die gegebene Andeutung der Einrichtung eines Karrens nur dazu dienen sollte, die Möglichkeit zu zeigen, der sonst annehmbaren Belastung noch eine Vergrößerung zu verschaffen, aber keinen eigentlichen Vorschlag bezweket, bei dem vor allem erst noch die nöthige Einfachheit der Einrichtung unter verschiedenen etwaigen Nebenbedingungen erwogen werden müßte z.B. wenn die Achse A nicht von gewöhnlicher Gestalt seyn soll, weil sonst in der Ladung ein verhältnißmäßig beträchtlicher Raum für sie gelassen werden müßte, sondern vielleicht bloß aus zwei unzusammenhängenden Schenkelstüken verlangt wird – so wäre es überflüßig an dieser Stelle auf eine weitere Entwikelung der zwekgemäßen Verhältnisse zwischen AP, BM etc. Fig. 7. einzugeben, oder auch den vortheilhaften Einfluß nachzuweisen, welchen die hiernach mögliche beliebige Vermehrung der Räderhöhe zur Folge hat, die vermuthlich mit überwiegendem Vortheile bis dahin vermehrt werden kann, daß die Haupt-Achse A, zugleich jene von B mit vertritt, und folglich die Ladung nicht wie bisher über derselben ruhet, sondern gänzlich unter ihr hängt.

§. 53. Vierrädige Fuhrwerke betreffend, muß es hauptsächlich aus zwei Ursachen, welche bei zweirädrigen nicht eintreten, schwieriger seyn, die nöthigen Mechanismen zur Abreichung des absolut stärksten Zuges zu treffen, indem bei ihnen noch Rüksicht auf Gelenkigkeit des Wagens und darauf zu nehmen ist, daß wegen Ungleichheit des Bodens, eine Ebene, welche man durch Ruhepunkte der Last, etwa durch eine Achse und den Mittelpunkt der anderen gelegt denkt, sich in stetem Richtungswechsel, gegen die Standhöhe der Pferde befindet; indeß ergibt sich wenigstens das bei Anlegung der Zugstränge überhaupt zu nehmende Ziel, und wenn man das Vordertheil des Wagens als Karren mit einem oder einigen Bäumen construirt |231| denkt, der das eigentliche Fuhrwerk bildet, und dem das Hintertheil desselben nachschleppt, so zeigt sich die Möglichkeit auch hier die Vortheile des stärkeren Zuges zu erreichen, eben nicht fern.

§. 54. Weiteren Erörterungen bleibt es überlassen, den in vorliegendem Aufsaze mathematisch entwikelten Verhältnissen, durch Angabe zwekgemäßer Vorrichtungen, wünschenswerthen Einfluß auf die Praxis der fortschaffenden Mechanik zu geben, was mehr oder weniger überall da möglich seyn wird, wo nicht schnelle Bewegungen, wie vor allen bei der reitenden Artillerie, möglichste Ungebundenheit insbesondere auf Seiten des Vordertheiles vom Pferde fordert, obwohl durchaus die in §. 34,1 aufgestellte Wahrheit festzuhalten bleibt, daß der, nach den entwikelten Grundsäzen bezielte, Ueberschuß an Befrachtbarkeit eines Pferdes sich nicht auf das Gewicht beschränkt, welches demselben zu tragen gegeben wird, diese Annahme hieße das Mittel mit dem Resultate verwechseln, sondern, daß der wesentlichste Vortheil darin besteht, dem Pferde die Möglichkeit zu verschaffen, seine Ziehkräfte völlig in Anwendung bringen zu können.

Cassel im Februar 1815.

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