Titel: Smith's, neue Methode zur Beschreibung der Ellipsen.
Autor: Smith, M.
Fundstelle: 1826, Band 20, Nr. XXXVIII. (S. 148–151)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj020/ar020038

XXXVIII. Neue Methode zur Beschreibung der Ellipsen. Von Hrn. M. Smith.

Aus dem Mechanics' Magazine. N. 128. 4. Februar. 1826. S. 249.

Mit Abbildungen auf Tab. IV. Fig. 17.

Man braucht nach dieser Methode zur Beschreibung einer Ellipse nichts weiter, als ein Lineal und einen gewöhnlichen Zirkel; es ist kein Ellipsen-Zirkel hierzu nöthig. Diese Methode ist zwar nicht streng geometrisch, kommt aber der Wahrheit so nahe, daß sie, in praktischer Hinsicht, genauere Ellipsen liefert, als die Ellipsen-Zirkel, wenigstens in allen Fällen, wo die kürzere Achse nicht weniger als drei Viertel der längeren beträgt: eine Excentricität, die für die meisten praktischen Fälle hinreicht. Ein Vortheil mehr bei dieser Methode ist dieser, daß man bei derselben keiner falschen oder Hülfs-Linien bedarf. Die allgemeine Aufgabe zerfällt in zwei Fälle: I., wo die längere oder Quer-Achse gegeben, und die kleinere oder Conjugaten-Achse beliebig ist; II., wo beide Achsen gegeben sind.

I. Fall. Eine Ellipse beschreiben, deren längere Achse gegeben, und deren kürzere beliebig ist.

Auflösung. Man ziehe die Quer- oder längere Achse, AB; bestimme den Mittelpunct derselben, C, und führe durch denselben unter rechten Winkeln, die unbestimmte Gerade, DE. Man nehme irgend eine Entfernung, Cf, von ungefähr einem Drittel der halben Quer-Achse, AC, und trage sie auf beiden Seiten von, C, auf lezterer und auf der kürzeren Achse auf: man erhält hierdurch vier Puncte, f, g, h, i, aus welchen man, als Mittelpuncten, die Krumme auf folgende Weise beschreibt.

Man seze den einen Schenkel des Zirkels in, f, den anderen in, A, und beschreibe damit, als Halbmesser, den Viertel-Kreis, mn, so genau, als dem Auge nach möglich. Ebenso |149| beschreibe man aus, g, mit, gB, den anderen Viertelkreis, pq. Hierauf seze man einen Schenkel des Zirkels in, i, den anderen in, m, den entferntesten Punct des Viertelkreises, mn, (der in die verlängerte Gerade, if, fallen muß), und beschreibe mit, im, als Halbmesser, aus, i, den Viertelkreis, mp. Eben so aus, h, mit, hn, den Viertelkreis, nq; und die Ellipse ist beschrieben.

Anmerkung.

Sollte die Ellipse auf diese Weise zu excentrisch werden, so darf man nur, Cf- ein Viertel, statt ein Drittel, AB, nehmen.

II. Fall. Eine Ellipse beschreiben, deren beide Achsen gegeben sind.

Auflösung. Man ziehe beide Achsen so, daß sie sich in ihrem gemeinschaftlichen Mittelpuncte unter rechten Winkeln durchschneiden, und multiplicire die halbe kürzere (Conjugaten) Achse mit 100, und theile das Product durch die halbe längere (Quer-) Achse; man suche den Quotienten in der ersten Columne der unten stehenden Tabelle, nehme die demselben gegenüber stehende Zahl in der zweiten Columne, multiplicire sie mit der halben Längen-Achse, und theile sie mit 100. Auf diese Weise erhält man, Cf, welches von, C, aus in, f, g, h, i, abgesezt werden muß. Man seze nun einen Schenkel des Zirkels in, f, den anderen auf, A, und beschreibe mit, fA, als Halbmesser aus, f, als Mittelpunct, den Viertelkreis, mn; eben so aus, g, als Mittelpunct, den Viertelkreis, pq. Dann seze man einen Schenkel des Zirkels in, i, und beschreibe mit, iD, als Halbmesser, aus, i, als Mittelpunct, den Viertelkreis, mp, (der mit den beiden bereits gezeichneten Viertelkreisen zusammenstoßen wird), und wiederhole dieß auf dem anderen Ende der kürzeren Achse, und die Ellipse ist beschrieben.

Anmerkung.

Wenn die halbe Längenachse = 100, so drüken die Zahlen in der ersten Columne der Tabelle die Längen der halben kürzeren Achse aus, und die in der zweiten die Entfernung der vier Central-Puncte von dem Mittelpuncte der Ellipse. Wenn aber die halbe längere Achse = 1, so werden alle Zahlen in der Tabelle Decimalbrüche. Die Ursache, warum die Zahlen in der ersten Columne mit 75 anfangen, ist diese, weil die Auflösung nur eine Annäherung gibt, die nicht mehr genau ist, wenn die kürzere Achse weniger, als drei Viertel der längeren beträgt.

|150|

Wenn die beiden Achsen geometrisch, statt numerisch, gegeben sind, kann obige Zeichnung weit leichter verfertigt werden, und ohne Rechnung, indem man die halbe Längenachse zum parallelen Abstande von 10 zu 10 auf der gleichtheiligen Linie am Sector macht, dann die halbe kürzere Achse auf demselben Abstande anbringt, wo man dann die Länge erhält, welche, wenn man sie in der Tabelle sucht, die correspondirende Entfernung, Cf, gibt, die man auf demselben Maßstabe zu nehmen hat.

Tabelle zur Beschreibung von Ellipsen.

Halbe
kürzere
Achse.
Entfernung
des
Mittelpunktes.
Halbe
kürzere
Achse.
Entfernung
des
Mittelpunktes.
75 42 88 20
76 40 89 19
77 39 90 17
78 37 91 15
79 35 92 14
80 34 93 12
81 32 94 10
82 30 95 9
83 29 96 7
84 27 97 5
85 25 98 4
86 24 99 2
87 22 100 0

Zusaz zu der neuen Methode Ellipsen zu beschreiben.
Mechanics' Magazine. N. 130. 18. Februar 1826. S. 280.
Mit Abbildungen auf Tab. IV. Fig. 17.

Hr. Smith fand, seit seiner lezten Mittheilung im Mechanics' Magazine. S. 249, eine Verbesserung in der Lösung der zweiten Aufgabe, nämlich:

|151|

Eine Ellipse zu beschreiben, deren Conjugaten- und Quer-Achse gegeben ist.

Man zeichne die beiden Achsen unter rechten Winkeln auf einander, so, daß sie sich in ihrem Mittelpuncte durchschneiden, und multiplicire den Unterschied zwischen den beiden halben Achsen mit 1,707, so erhält man die Entfernung, Cf, welche aus, C, auf, f, g, h, i, aufgetragen werden muß. Man seze nun einen Schenkel des Zirkels, in f, in der Quer-Achse, und den anderen in, A, das nächste Ende derselben Quer-Achse, und beschreibe damit den Viertelkreis, mn; eben so aus, g, den Viertelkreis, pq. Dann seze man einen Schenkel des Zirkels in, i, der Conjugaten-Achse, und der anderen in, D, das entfernteste Ende dieser Achse, und beschreibe mit, iD, als Halbmesser, den Viertelkreis, mp, welcher mit den bereits gezeichneten Viertelkreisen, mn, pq, zusammenstoßen muß. Man wiederhole dieselbe Operation an dem anderen Ende der Conjugate, und die Ellipse ist fertig.

Durch diese Verbesserung wird die oben gegebene Tabelle gänzlich überflüßig. Der Multiplicator 1,707 drükt die Seite eines Vierekes + der halben Diagonale desselben aus; oder ist 1 + 1/2√2.

Wenn die beiden Achsen der Ellipse geometrisch, statt arithmetisch, gegeben sind, kann man, Cf, auf folgende Weise finden. Man nehme mit dem Zirkel den Unterschied zwischen den beiden halben Achsen, AC, CD, und trage sie aus, C, gegen, f, und h, auf, wodurch man die beiden Puncte, x, und y, erhält, welche in der Figur nicht gezeichnet sind. Man seze zu, Cx, die halbe Diagonale, xy, und man wird an, Cy, die Entfernung, Cf, haben.

Auch diese Methode ist nur dort anwendbar, wo die Conjugate nicht weniger, als drei Viertel der Querachse beträgt: bei größerer Excentricität taugt sie nicht. Die gefälligste Form liegt indessen innerhalb jener Gränze, und ist wahrscheinlich dann gegeben, wenn die Achsen sich wie 5:4 verhalten, wo dann, Cf, ungefähr Ein Drittel der Längen- oder Quer-Achse, AB, ist.

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