Titel: Tredgold's, Untersuchungen über die Theorie der Hydro-Dynamik.
Autor: Tredgold, Thomas
Fundstelle: 1826, Band 22, Nr. LXXVIII. (S. 369–373)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj022/ar022078

LXXVIII. Untersuchungen über die Theorie der Hydro-Dynamik. Von Thom. Tredgold, Esqu.

Aus dem Philosophical Magazine. N. 340. S. 112.

(Mit Figur auf Taf. II. N. 20. d. polytechn. Journales. Bd. XXII.)

Zweite Mittheilung.

1) Saz. Der Widerstand gegen die Bewegung eines Körpers in einer Flüßigkeit ist gleich des Quantität der Bewegung, welche er der Flüßigkeit mittheilt.

Denn, wenn die Quantität der Bewegung größer, als der Widerstand wäre, so wäre die Wirkung größer, als die Ursache, die sie erzeugt; und wenn die Quantität der Bewegung kleiner wäre, so wäre der Widerstand größer, als die Kraft, die ihn leistet.

2) Saz. Die Quantität der Bewegung, welche einer Flüßigkeit durch einen in derselben sich bewegenden Körper mitgetheilt wird, muß allzeit nach einer auf die Fläche, gegen welche der Widerstand geleistet wird, senkrechten Richtung berechnet werden, die Richtung der Bewegung des Körpers selbst mag wohin immer laufen.

Der Widerstand gegen eine Fläche besteht aus der Kraft, welche die Flüßigkeit in der Richtung ihrer Bewegung bewegt, und aus dem Widerstände des Zurükprallens: die aus diesen Kräften hervorgehende Resultante ist senkrecht auf die Fläche; da nun die ganze Kraft zur Verdrängung einer Flüßigkeit durch die Resultante gemessen wird, so muß die Geschwindigkeit der Verdrängung in derselben Richtung genommen werden; folglich ist die Quantität der Bewegung, da sie sich in der Richtung der Resultante befindet, senkrecht auf die Fläche.

3) Saz. Die unmittelbare Geschwindigkeit eines Körpers verhält sich zur Geschwindigkeit irgend eines Theiles dieses Körpers in senkrechter Richtung auf dessen Oberfläche, wie der |370| Halbmesser zum Sinus des Neigungs-Winkels der Fläche gegen die Richtung ihrer Bewegung.

Es sey, Ab (polyt. Journ. Bd. XXII. Tab. II. Fig. 20.) die Richtung und die Geschwindigkeit der Fläche, und man ziehe, Ae, senkrecht auf dieselbe, und, be, parallel mit derselben; so wird, Ae, die Geschwindigkeit in einer auf die Fläche senkrechten Richtung. – Ab verhält sich aber zu Ae, wie der Halbmesser zu dem Sinus BAC.

4) Saz. Wenn eine flache Fläche sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit in einer Flüßigkeit bewegt, so ist die Höhe einer Säule dieser Flüßigkeit, die die Geschwindigkeit der Fläche erzeugen würde, in senkrechter Richtung auf ihre Oberfläche die halbe Höhe einer Säule, die dem Druke auf diese Fläche gleich ist.

Denn, da die Geschwindigkeiten der Kräfte des. Einfalles und Zurükprallens ungeändert bleiben, so muß der Druk in der Richtung der Resultante doppelt seyn, um dieselbe Quantität der Bewegung zu erzeugen.

5) Saz. Die Höhe einer Säule einer Flüßigkeit, die dem unmittelbaren Widerstande einer flachen Fläche, die sich in derselben bewegt, äquivalent ist, wechselt im geraden Verhältnisse, wie das Quadrat der Geschwindigkeit und der Kubus des Sinus der Neigung der Fläche gegen die Richtung der Bewegung; oder wie (v²Sina)/32r³

Es sey, v, die Geschwindigkeit der Fläche, a der Winkel, den sie mit der Richtung der Bewegung bildet, und h, die Höhe der Säule, welche dem senkrechten Druke auf die Fläche äquivalent ist. So wird, aus Saz 3, r : Sin.a : : v : (v Sin.a)/r = der Geschwindigkeit in senkrechter Richtung auf die Oberfläche; und da, nach Saz 4, (v Sin.a)/r = √(64h/a); so wird (v² Sina)/32r² = h.

Nun ist aber der Widerstand in senkrechter Richtung auf die Oberfläche zu dem Widerstände in der Richtung der Bewegung, wie der Halbmesser zu Sinus a. (Polytechn. Journal Bd. XXII. S. 2.) Folglich r : Sin.a : : (v² Sina)/32r² : (v² Sina)/32r² = der Höhe einer Säule der Flüßigkeit, die dem Widerstande äquivalent ist.

|371|

Corollar. Das Gewicht dieser Säule wird (cwv² Sina)/32r³, wenn c, die Fläche der Basis, und, w, das Gewicht eines Kubikfußes dieser Flüßigkeit ist.

6) Saz. Der unmittelbare Widerstand eines festen Körpers mit kreisförmiger Basis ist

Textabbildung Bd. 22, S. 371

Es sey p = 3,1416, und y der wandelbare Halbmesser der Basis; so ist c = 2 pyy; folglich

Textabbildung Bd. 22, S. 371
dem Integral des Widerstandes.

1. Wenn der feste Körper ein Cylinder ist, und die flache Fläche des Endes desselben senkrecht auf die Richtung der Bewegung ist, so ist der Widerstand = pwv²r²/32.

2. Wenn der feste Körper sich in einen Kegel endet, dessen schiefe Seite r ist, und wenn Sin.a = y, so wird (pwv² y⁵) /32r² = dem Widerstande. Wenn r² = 2y²; so wird (pwv²y²)/(1.68 × 32) dem Widerstande; daher ist der unmittelbare Widerstand eines Cylinders zu einem solchen Kegel, wie 168 : 100.

3. Wenn der feste Körper sich in eine Halbkugel endet, so ist

Textabbildung Bd. 22, S. 371
und
Textabbildung Bd. 22, S. 371
folglich

Textabbildung Bd. 22, S. 371

dem Widerstande. Folglich ist der Widerstand einer Halbkugel zu jenem eines Cylinders, wie 2 : 5, oder wie 10 : 25.

Wir wollen nun zu der Wirkung des Schließens der Flüßigkeit hinter dem Körper zurük.

Die Geschwindigkeit, mit welcher die Flüßigkeit an den Körper schließt, muß offenbar nach einer senkrechten Richtung auf die Flächen desselben bemessen werden, und, wenn man derselben Schluß-Folge, wie oben sich bedient, wird man keine Schwierigkeit in Bestimmung derselben finden.

7) Saz. Der Druk einer Flüßigkeit in senkrechter Richtung auf die Fläche, welcher sie folgt, verhält sich, wie die Differenz zwischen der Höhe einer Säule, die dem Druke der Flüßigkeit gleich ist, und der Höhe einer Säule der Flüßigkeit, |372| welche die Geschwindigkeit der Fläche zu erzeugen im Stande ist.

Es sey m die Höhe einer Säule, die dem Druke der Flüssigkeit auf eine ruhende Oberfläche gleich ist, und h die Höhe der Säule, die im Stande ist, die Geschwindigkeit zu erzeugen, so ist m – h = der Höhe der Säule, die die wirkliche Bewegung erzeugt: denn aller Druk, der durch die Bewegung der Oberfläche verloren geht, muß abgezogen werden.

8) Saz. Die vorwärts treibende Kraft der Flüßigkeit, welche einem in Bewegung befindlichen Körper folgt, ist gleich einer Wassersäule, deren Höhe (64mr² Sin.a – v² Sina)/64r³ ist.

Es sey v die Geschwindigkeit des Körpers; so ist die Geschwindigkeit, mit welcher die Flüßigkeit in einer senkrechten Richtung auf die Oberfläche fließt, (v Sin.a)/r, nach Saz 3., und die dieser Geschwindigkeit äquivalente Höhe, h, ist (v² Sina)/64r²; folglich, nach Saz 7, m – h = m – (v² Sina)/64r² = (64mr²– v² Sina)/64r²; und, dieser Druk, reducirt auf die Richtung der Bewegung, ist (64mr² Sin.a – v² Sina)/64r³ = der Wirkung der Flüßigkeit, welche dem Körper folgt.

Coroll. Die vordere und Hintere Form des Körpers darf daher nicht von gleicher Figur seyn, wenn derselbe sich mit dem mindesten Widerstande bewegen soll.

9) Saz. Der ganze Widerstand einer Flüßigkeit gegen einen in derselben sich bewegenden Körper ist gleich dem Druke einer Säule der Flüßigkeit, deren Höhe (3v² Sina – 64mr² Sin.a)/64r³, ist, wenn die Enden dieselbe Figur haben.

Man hat als unmittelbaren Widerstand (v² Sina)/32r³ = (2 v² Sina)/64r³ gefunden. Wenn man davon die Wirkung der Flüßigkeit, welche dem Körper folgt, abzieht, so erhält man (2 v² Sina – 64mr² Sin.a + v² Sina)/64r³. Da nun Sin.a in |373| beiden Gliedern, wegen der Gleichheit der Figur der Formen der Ende gleich ist, so wird (3 v² Sina – 64mr²Sin.a)/64r², herauskommen, als Werth der für die ganze Wirkung äquivalenten Säule.

Hieraus ersieht man, daß der Widerstand sich nicht wie das Quadrat der Geschwindigkeit verhält. Ueberdieß zeigt diese Gleichung den wichtigen Umstand, daß, wenn die Geschwindigkeit diejenige Geschwindigkeit übersteigt, welche das Mittel fortzupflanzen im Stande ist, die Flüßigkeit sich vor dem Körper anhäufen muß, bis die Dichtigkeit, oder der Modulus der Elasticität derselben hinreichend stark wird, um Bewegung den entfernteren Theilen der Flüßigkeit in der Richtung der Bewegung des Körpers mitzutheilen. Daß eine solche Zunahme des Widerstandes, wie diese Formel sie anzeigt, bei großen Geschwindigkeiten wirklich Statt hat, wurde durch Versuche über die Bewegung der Kanonen-Kugeln erwiesen.

Ich hoffe, daß dieser Aufsaz für diejenigen, die mit diesem Gegenstande sowohl theoretisch als praktisch vertraut sind, die Richtigkeit meiner Ansichten hinlänglich erweisen wird. Wenn ich irgendwo in die Fußstapfen anderer getreten bin, so geschah es nicht wissentlich, und es ist höchst wahrscheinlich, daß ich dieses nicht gethan habe, indem ich mich nicht im Mindesten erinnere, daß irgend eine Theorie auf diese Grundsäze gebaut wurde.

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