Titel: Poisson, über die Ausdehnung elastischer Faden und Scheiben.
Autor: Poisson,
Fundstelle: 1828, Band 28, Nr. LI. (S. 194–196)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj028/ar028051

LI. Ueber die Ausdehnung elastischer Faden und Scheiben. Von Hrn. Poisson.

Aus den Annales de Chimie et de Physique. Decbr. 1827. S. 384.

Es sey, a, die Länge eines elastischen überall gleich diken Fadens; b, die Fläche des auf seine Länge normalen Durchschnittes, und folglich, |195| a, b, das Volumen desselben. Man seze nun, daß dieser Faden eine kleine Ausdehnung erhielt, so daß die Länge desselben, a (1 + α) wird, wo α einen sehr kleinen Bruch ausdrükt. Der Faden wird um etwas dünner werden, und wenn wir die veränderte Flache des normalen Durchschnittes, b (1 – β) nennen, wo β wieder einen sehr kleinen Durchschnitt ausdrükt, so wird sein neues Volumen sehr nahe dem Ausdruke, ab (1 + αβ) kommen. Nun muß man aber nach der Theorie der elastischen Körper, die ich nächstens entwikeln werde,

β = 1/2 α

bekommen, woraus erhellt, daß man durch die Ausdehnung α eines elastischen Fadens das Volumen desselben in einem Verhältnisse von 1 + 1/2 α zur Einheit vermehrt, und die Dichtigkeit desselben im umgekehrten Verhältnisse vermindert.

Dieses Resultat stimmt mit einem Versuche des Hrn. Cagniard-Latour überein, welchen derselbe neulich der Akademie mittheilte, und welcher folgender ist.

Hr. Cagniard-Latour nahm einen Messingdraht, den er senkrecht in eine mit Wasser gefüllte Röhre tauchte. Der eingetauchte Theil war 2,03 Meter lang; sein unteres Ende berührte den Boden der Röhre. Er hob diesen Draht, ohne denselben auszudehnen, so daß sein unteres Ende 6 Millimeter über dem Boden war, und bemerkte, daß das Wasser in der Röhre sich um 5 Millimeter senkte. Er befestigte hierauf das Ende des Drahtes am Boden der Röhre, und verlängerte denselben um 6 Millimeter, indem er ihn nach der lange strekte. Die Dike desselben verminderte sich, und das Wasser sank in der Röhre um 2,5 Millimeter, oder um die Hälfte seiner ersten Senkung. Hr. Cagniard-Latour schloß hieraus, daß durch die Verlängerung der Umfang des Drahtes zugenommen hat.

Um zu sehen, um wie viel er zunahm, und diese Zunahme mit jener zu vergleichen, die nach der Theorie Statt haben muß, gehe ich auf die vorigen Annahmen zurük, und nenne, h, die Höhe des Endes des Drahtes über den Boden der Röhre nach dem Heben desselben, und, c, die Menge Wassers, welche unter den ursprünglichen Höhestand desselben sank; diese Menge muß das Volumen, b h, des Drahtes ersezen, welches zwischen dem in die Höhe gehobenen Ende und dem Grunde des Gefäßes enthalten ist. Man erhält folglich:

bh = c.

Wenn die Verlängerung des Drahtes, wie oben, a α ist, und die Vermehrung der Länge gleich ist der Erhöhung desselben, h, so erhält man auch

= h.

|196|

Der Umfang des in das Wasser getauchten Theiles nach dieser Verlängerung wird, ab (1 – β), wo b (1 – β) immer die dadurch entstandene Normal-Durchschnittsfläche auf die Länge ausdrükt, und, in Bezug auf dieselbe, die Differenz in der Höhe des Wasserstandes, 2,5 Millimeter im Verhältnisse gegen 2,03 im Versuche des Hrn. Cagniard vernachläßigt wird. Der Umfang des eingetauchten Theiles, der Anfangs = ab war, wird sich demnach um a β vermindert haben, und da dieser Unterschied des Volumens durch die Menge des nach der Verlängerung gefallenen Wassers ersezt wird, so wird, wenn man diese Menge Wassers c' neunt,

abβ = c'.

Nach Wegschaffung von a und b aus diesen drei lezten Gleichungen, erhält man

β = c'/c α;

und, so wie Hr. Cagniard c' = c/2 fand, wird β = 1/2 α, was genau mit dem Resultate der Theorie übereinkommt.

Es sey, b, die Flache einer Scheibe oder einer Haut von der Dike = α. Man seze, die Oberfläche dieser Scheibe werde, nach allen Richtungen, gleichförmig ausgedehnt, und werde b (1 + β), wo β ein sehr kleiner Bruch ist. Die Dike wird zugleich vermindert werden. Wir wollen dasjenige, was daraus wird, a (1 – α) nennen, wo α gleichfalls ein sehr kleiner Bruch ist, und das Volumen, ehevor ab, wird sehr nahe dem Volumen ab (1 + βα) kommen. Nun hat man aber, nach obiger Theorie,

α = 1/3 β;

folglich vermehrt sich der Umfang im Verhältnisse von 1 + 2/3 β zur Einheit. Dieses Resultat wird sich aber schwerer durch Versuche bestätigen lassen.

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