Titel: Ueber die von Hrn. Hall bemerkte Eigenschaft der Zahlenreihen,
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1829, Band 31, Nr. CXL./Miszelle 13 (S. 470–472)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj031/mi031140_13

Ueber die von Hrn. Hall bemerkte Eigenschaft der Zahlenreihen,

die wir im Polyt. Journ. B. XXXI. S. 238. aus dem Mech. Mag. anführten, hat Hr. Prof. Rennhuber uns folgende Erklärung mitgetheilt.

„Jede Zahl läßt sich durch a + 10 b + 100 c + 1000 d + 10000 e u.s.w. ausdrüken, wenn a die Zahl der Einheiten, b die Zahl der Zehner, c die Zahl der Hunderte u.s.w. bezeichnet.“

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„Wenn daher eine Zahl aus fünf Zifferstellen besteht, so ist ihr Werth durch

10000 e + 1000 d + 100 c + 10 b + a ausgedrükt. Wenn nun diese Zahl versezt wird, so erhält man

10000 a + 1000 b + 100 c + 10 d + e.

Die Differenz beider, nach dem Abziehen, ist 10000 e – 10000 a + 1000 d – 1000 b + 100 c – 100 c + 10 b – 10 d + a – e = 9999 e – 9999 a + 990 d – 990 b = 9 (1111 e – 1111 a + 110 d – 110 b); ein Werth, der durch 9 theilbar ist, weil 9 als Factor derselben steht200).“

Der Saz, wovon ich hier den Beweis führte, machte mich aufmerksam, ob nicht auch bei den gebrochenen Zahlen, wenn Zähler und Nenner nach bestimmten Gesezen erscheinen, etwas ähnliches Statt finde. Ich untersuchte daher solche Brüche, wovon einer der umgekehrte vom andern ist, oder Brüche mit verkehrtem Zähler und Nenner, und fand dann Folgendes:

1) Ist bei einem Bruche der Unterschied zwischen Zähler und Nenner eine Einheit, und wird dieser Bruch in verkehrter Ordnung angeschrieben, so ist der Rest zwischen beiden Brüchen ebenfalls ein Bruch, dessen Zähler gleich ist der Summe aus Zähler und Nenner, der Nenner aber ein Produkt aus beiden Zahlen des gegebenen Bruches, d.i. 5/4 – 4/5 = 9/20 = (4 + 5)/(4 + 5) oder 20/19 – 19/20 = 39/380 = (19 + 20)/(19 + 20).

Beweis. Jeder Zähler läßt sich durch n und der Nenner eines solchen Bruches durch n ± 1 ausdrüken, folglich die beiden Brüche mit n + 1 /n und n/ n + 1 bezeichnen, der Unterschied zwischen beiden aber ist

Textabbildung Bd. 31, S. 471

2) Ist der Unterschied zwischen Zähler und Nenner 2, dann erscheint bei der Subtraktion zwischen zwei in verkehrter Ordnung angeschriebene Brüche als Rest ein Bruch, dessen Zähler gleich der doppelten Summe aus Zähler und Nenner, der Nenner aber ein Produkt aus den beiden Zahlen, wie vorhin.

Textabbildung Bd. 31, S. 471

Beweis. Solche Brüche lassen sich allgemein durch (n + 2)/nn/(n + 2) darstellen, und es ist der Unterschied

Textabbildung Bd. 31, S. 471

3) So wird ähnlich der Zähler vom Reste zweier solcher Brüche, wenn der Unterschied bei einem der gegebenen zwischen Zähler und Nenner 3, 4, 5 oder überhaupt m ist, gleich der 4, 5 oder mfachen Summe aus Zähler und Nenner, der Nenner aber immer ein Produkt aus den beiden Zahlen.

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Beweis. Die beiden Bruche lassen sich durch n/(n + m) und (n + m)/n aus drüken, und es ist daher ihr Unterschied

Textabbildung Bd. 31, S. 472

Aus diesen Säzen geht aber ein anderer für die Anwendung in der Arithmetik sehr wichtiger Saz hervor, nämlich der, daß der Unterschied der Quadrate zweier ganzer Zahlen, die um m Einheiten von einander verschieden sind, gleich ist der m fachen Summe der Zahlen selbst. Wird nämlich die eine Zahl mit n, und die andere mit n + m bezeichnet, so ist das Quadrat der ersten n², und das der zweiten (n + m)², mithin der Unterschied zwischen beiden Quadraten (n + m)² – n² = n² + 2 nm + m² – n² = 2 mn + m² = m (2 n + m) = m [n + (n + m)].

Sollten diese Säze noch nicht bekannt seyn, (wenigstens ich fand sie noch in keiner Schrift, so haben sie immer für die praktische Rechenkunst einigen Werth.

Landshut im März 1825.

Rennhuber.

Hr. Russel bemerkt, als Gegenstük zu der von Hrn. Hall angeführten Eigenschaft der Zahlen, (Polytechn. Journ. Bd. XXXI. S. 238.), daß jede Zahl, die durch eine gerade Zahl von Ziffern ausgedrükt wird, wenn man diese in verkehrter Ordnung unter erstere schreibt, und beide Zahlen addirt, eine Summe gibt, die durch 11 theilbar ist.

Z.B. 7654
4567
–––––
Summe = 12221, welche durch 11 theilbar ist.

(Mechanics' Magazine. N. 290. S. 43.)

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Als wir diese richtige Erklärung dieser sonderbaren Eigenschaft der Zahlenreihen in die Drukerei senden wollten, brachte das Mechanics' Magazine N. 287. S. 446. ganz und gar dieselbe Erklärung von einem Hrn. O. C. F. Hr. O. C. F. bemerkt aber, daß diese Eigenschaft schon vor Hrn. Hall bekannt war, und in Hutton's Mathematical and Philosophical Dictionary (Ausgabe von 1845) unter dem Artikel „Numbers“ angeführt ist, daß sie schon sogar vor 30 Jahren in einem Werke vorkommt, in welchem man sie kaum suchen würde; im Lady's Diary

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