Titel: Ueber Eigenschaften der Zahlen.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1829, Band 32, Nr. CIII./Miszelle 20 (S. 453–455)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj032/mi032103_20

Ueber Eigenschaften der Zahlen.

Wir erhielten folgenden Artikel ohne Unterschrift des Einsenders und ohne Datum mit dem Postzeichen „Stuttgart 27. Mai.“

„Die in dem Polytechn. Journal Bd. XXXI. Heft 3. S. 238, als eine neue |454| Entdekung angezeigte sonderbare Eigenschaft an Zahlenreihen wird Niemand sonderbar finden, dem die sogenannte Neuner-Probe, welche man in den meisten alten Rechenbüchern antrifft, bekannt ist.“

„Diese Probe gründet sich bekanntlich auf das dekadische Zahlensystem186), nach welchem, wenn 1, oder 10, oder 100, oder 1000 etc. von 10, oder 100, oder 1000 etc., folglich auch, wenn 1 a, oder 10 a, oder 100 a, oder 1000 a etc. von 10 a, oder 100 a, oder 1000 a etc. abgezogen wird, der Rest (wenn er nicht, wie bei 10 von 10, 100 von 100 etc. = o ist) immer mit 9 aufgeht.

z.B. 1 von 10 = 9, 4 von 40 = 36, 10 von 1000 = 990, 700 von 70000 = 69300 etc. „Daher geht auch die Differenz zweier Zahlen mit 9 auf, wenn von beiden Zahlen bei der Division mit 9 einerlei Rest bleibt.“

z.B. 6497 : 9 Rest = 8 6497 : 9 Rest = 8 573481 : 9 Rest = 1
3248 : 9 Rest = 8 8 6472 : 9 Rest = 1
––––––– ––––––– –––––––
3249 : 9 Rest = 0 6489 : 9 Rest = 0 567009 : 9 Rest = 0

und es ist nicht gerade nöthig, die zu subtrahirende Zahl in umgekehrter Ordnung unter die andere zu sezen, denn Statt jener kann jede andere, wenn sie nur einen gleichen Rest gibt, gesezt werden.

z.B. 7536 : 9 Rest = 3 7536 : 9 Rest = 3 7536 : 9 Rest = 3
Statt 6357 : 9 Rest = 3 seze man 84 : 9 Rest = 3 1110 : 9 Rest = 3
––––––– ––––––– –––––––
1179 : 9 Rest = 0 7452 : 9 Rest = 0 6426 : 9 Rest = 0

u.s.f.

„Ob wohl der Entdeker Hall und sein Uebersezer es ebenfalls sonderbar und unerklärlich finden, daß die Zahlenreihe: 1 2 3 4 5 6 7 9, wenn man sie mit 9, oder mit zwei Zahlen, welche zusammen 9 ausmachen, multiplicirt, stets ein Produkt bildet, das aus lauter gleichen Zahlzeichen besteht?“

An demselben Tage, an welchem wir den hier angeführten Artikel erhielten, kam uns auch das Mechan. Mag. N. 301. aus London vom 16. Mai mit folgendem Artikel auf S. 220.

„Noch einige Eigenschaften der Zahlen.“

„Ich stimme ganz mit Ihrem Correspondenten, Hrn. Russell, (Polyt. Journ Bd. XXXI. S. 470.) daß Hrn. Hall's sonderbare Eigenschaft an Zahlen schon früher mehreren Leuten bekannt war; indessen verdient er doch ehe Beifall als Tadel, daß er das Resultat, auf das er gekommen ist, bekannt machte, und ich wage es zu behaupten, daß, wenn jedes einzelne Individuum bei feinen intellektuellen oder praktischen Arbeiten über irgend einen Gegenstand, der mit Künsten oder Wissenschaften in irgend einer Beziehung steht, auf dieselbe Weise sein Scherfchen beitrüge, mancher große Gewinn daraus hervorgehen würde: man würde dadurch zu mancher Untersuchung angespornt und mancher Irrthum würde entdekt werden.“

„Ich will hier einen Beitrag über denselben Gegenstand liefern, und wenn auch wahrscheinlich einigen wenigen die Resultate schon bekannt sind, auf welche ich gekommen bin, so wissen sie doch nicht alle, und sie können manchem, der diese Blätter liest, von irgend einem Nuzen seyn.“

I.

„Wenn wir mit den Zahlenpaaren 11, 22, 33 etc. anfangen, und die folgenden Zahlen successive umkehren, so bilden die Differenzen eine arithmetische Progression, deren Verhältniß 9 ist; und wenn man irgend eine Zahl unter 100 von der Doppelziffer ihrer Reihe abzieht, oder umgekehrt, und mit 9 multiplicirt) so ist das Produkt der Unterschied zwischen der gegebenen Zahl und ihrer umgekehrten.“

|455|

Beispiel.

„Es sey 84 die gegebene Zahl. So ist 88 (die Doppelziffer der respectiven Reihe) – 84 = 4 × 9 = 36, der Differenz zwischen 84 und der umgekehrten 48; und 39–33 (die Doppelziffer der respectiven Reihe) = 6 × 9 = 54, der Differenz zwischen 39 und ihrer umgekehrten 93.“

„Ueber 100 ist das Verhältniß 99, und wenn wir dieses Verhältniß mit der Differenz der Einheiten (oder vielmehr mit der Differenz zwischen der ersten Ziffer und der dritten, als Einheiten genommen) multipliciren, so wird das Produkt die Differenz zwischen jeder Zahl über 100 oder unter 1000 und ihrer umgekehrten.“

Beispiel.

„Es sey 521 die gegebene Zahl. So wird 5–1 (die erste Zahl und die dritte) = 4, und 4 × 99 = 396 der Differenz zwischen 521 und 125, der umgekehrten von 521.“

„Ueber 1000 ist das Verhältniß 999; über 10,000, 9999 u.s.f.“

II.

„Wenn die Summe der Ziffern zweier Zahlen, horizontal zusammen addirt, gleich ist, so ist die Differenz zwischen diesen zwei Zahlen durch 9 ohne Rest theilbar.“

Beispiel.

„Von74563ist die Summe der Ziffern, horizontal zusammenaddirt,25.
Von48922auch25.
–––––
Differenz25641,theilbar durch 9 ohne Rest.“
„Oder, wenn man von derselben Zahl74563die Summe der horizontal addirten
25
–––––
Ziffer abzieht, 25, so ist die Differenz74538immer noch durch 9 ohne Rest theilbar.“

„Oder wenn irgend eine andere beliebige Zahl, deren einzelne Ziffern dieser Summe, horizontal zusammen addirt, gleich sind, davon abgezogen wird, z.B. 889,6793,997, so ist die Differenz immer wieder durch 9 theilbar ohne Rest.“

„Dieß scheint mir eine der sonderbarsten Eigenschaften der Zahl 9, und ich würde sehr dankbar seyn, wenn irgend einer ihrer mathematischen Correspondenten, wie Hr. Bevan, eine mathematische Demonstration, warum dieß so seyn muß, mittheilte.“

III.

„Wenn die neun Zahlen mit 9 multiplicirt werden, und der Multiplicate + 1 zu dem Produkte der ersten Ziffer zugezahlt wird, so ist das Produkt lauter Einser:

123456789 × 9 + 10 = 1111111111187);

und, wenn mit 8 multiplicirt wird, und der Multiplicator + 1, wie vorher, dazu addirt wird, so folgen alle Ziffern in umgekehrter Ordnung.

123456789 × 8 + 9 = 987654321.“

So eben erhalten wir auch noch N. 302. des Mechan Magaz. vom 25. Mai. In diesem N. bemerkt Hr. Russel, S. 236, daß Hrn. Hall's Bemerkung über die Eigenschaft der Zahlen sich in der V. Auflage von Dalby's Course of Mathematics, London 1825. S. 116. befindet.

|454|

Der unbekannte Hr. Einsender wird uns die Bemerkung nicht verargen, daß unsere ganze heutige arabische Arithmetik sich auf das dekadische Zahlen-System gründet, und nicht die sogenannte Neuner-Probe allein: es ist also hier ein Circulus vitiosus in seinem Schlusse. Allgemein gültig ist die fragliche Eigenschaft im Polytechn. Journ. Bd. XXXI. Heft 6. S. 470. durch Hrn. Prof. Nennhuber, und gleichzeitig auch im Mech. Mag. N. 287. S. 446, ganz einstimmig mit demselben, erwiesen, und zugleich auch gezeigt, daß dieselbe Eigenschaft bereits in früheren mathematischen Werken, die daselbst namentlich angeführt sind, bemerkt wurde. A. d. R.

|455|

Wenn die Zahl 8 aus der Reihe wegbleibt, kommen auch lauter Einser.

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