Titel: Savart, über die Gegenwirkung der Drehung steifer Platten und Stangen.
Autor: Savart, Felix
Fundstelle: 1830, Band 38, Nr. LXXI. (S. 262–279)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj038/ar038071

LXXI. Ueber die Gegenwirkung der Drehung (Réaction de torsion) steifer Platten und Stangen. Von Hrn. Felix Savart. Vorgelesen an der Pariser Académie des Sciences, den 3. August 1829.

Aus den Annales de Chimie et de Physique. 41. Bd. S. 373.104)

Die Geseze der Stärke der Drehung (torsion)105) der Faden, die von Gewichten gespannt werden, wurden von Coulomb mit großer Genauigkeit bestimmt, und die Drehungswage (balance de torsion), die dieser geschikte Beobachter erfand, ist eines derjenigen Instrumente geworden, deren sich die Physiker heute zu Tage am häufigsten bei ihren genaueren Untersuchungen bedienen. Es war sehr natürlich zu vermuthen, daß diese Geseze sich auch auf steife cylindrische Stangen erstreken könnten, wenn man annimmt, daß Steifheit in den Stangen dieselbe Wirkung hervorbringt, welche ein spannendes Gewicht an biegsamen Faden erzeugt. Wirklich hat Hr. Poisson in seiner Abhandlung über das Gleichgewicht und die Bewegung elastischer Körper (Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques) gefunden, daß die Geseze der Drehung cylindrischer Stangen dieselben sind, die Coulomb für gedrehte Faden angegeben hat, und Hr. Cauchy kam gleichfalls auf dasselbe Resultat der Analyse zurük, als er den allgemeinsten Fall der Drehung der Stangen mit rechtwinkeligen Durchschnitten in Rechnung zog, an welchen die Seiten in beliebigem Verhältnisse gegen einander stehen. Es war also unumgänglich nothwendig, die Versuchsuntersuchungen Coulomb's neuerdings |263| vorzunehmen, und dieselben auf cylindrische Stangen oder auf prismatische Stangen mit rechtwinkeligen oder selbst dreiekigen Durchschnitten auszudehnen, um zu sehen, bis auf welchen Punkt Analyse und Beobachtung mit einander übereinstimmen. Dieß ist der Zwek, den ich mir bei dieser Arbeit vorgenommen habe.106)

§. 1. Darstellung der bei diesen Untersuchungen angewendeten Mittel zur Anstellung der Versuche.

Es bieten sich zwei sehr verschiedene Weisen dar, um eine cylindrische oder prismatische Stange um einen bestimmten Bogen zu drehen. Die eine besteht darin, daß man sie senkrecht stellt, das obere Ende derselben in einem Schraubstoke befestigt, und auf das untere Ende mittelst eines zweiarmigen Hebels wirkt, dessen beide Arme horizontal und gleich sind, und von Leinen, die über Rollen laufen und an welchen Gewichte angebracht sind, in entgegengesezter Richtung gezogen werden. Die andere wäre folgende. Man legt die Stange horizontal, befestigt das eine Ende derselben in einem Schraubstoke, und stüzt das andere gegen eine kegelförmige Spize, deren Scheitel mit dem Mittelpunkte der Figur, welche die kleine Fläche darstellt, die das Ende der Stange bildet, correspondirt, oder, man bringt zu diesem Ende eine kleine Höhlung zur Aufnahme des Scheitels des Kessels an: in dieser Lage könnte die Stange mittelst eines einfachen Hebelarmes, der auf der Länge der Stange senkrecht steht, und ganz nahe an dem beweglichen Ende derselben befestigt ist, gedreht werden. Es ist begreiflich, daß die erstere dieser Verfahrungsweisen mehr Fehlern ausgesezt ist, als die zweite, wegen der, bedeutenden Reibung, die auf den Achsen der Rollen, selbst bei aller erdenklichen Vorsicht, sie so leicht beweglich zu machen als möglich. Statt haben würde; überdieß würde die Nothwendigkeit, in welcher man sich befände, gleiche Gewichte am Ende eines jeden Hebelarmes aufzuhängen, dieses Verfahren bei den Beobachtungen sehr unbequem machen. Die Reibung an der Spize ist, bei der |264| zweiten Vorrichtung, allerdings auch eine Quelle des Irrthums; indessen nimmt man sie bei der Beobachtung nur wenig wahr, weil, wenn sie in Gewichttheilen ausgedrükt würde, sie niemals mehr als einen äußerst kleinen Bruch des Gewichtes betragen würde, dessen man zur Drehung der Stangen bedarf. Diese Betrachtungen bestimmten mich, mich vielmehr der zweiten Verfahrungsweise, als der ersteren zu bedienen.

Um nicht einen ganz eigenen Apparat für diese Versuche zu bauen, bediente ich mich eines gewöhnlichen Schraubstokes von ungefähr 25 Kilogramm, der auf einer gewöhnlichen Hobelbank befestigt war, und ein Ende der Stange fassen sollte, während das andere Ende gegen den Scheitel eines kleinen Kegels gestüzt war, den man an dem Ende eines stählernen Cylinders angebracht hatte, welcher mittelst Zäumen und Schrauben an einem unbeweglichen Körper befestigt war. Eine starke eiserne oder kupferne Stange, die in der Mitte ihrer Länge ein rechtwinkeliges oder vierekiges Loch führt, nach dem verschiedenen Umfange des Durchschnittes der zu drehenden Stange, umfaßte das Ende dieser lezteren auf eine unerschütterliche Weise, und diente zur Drehung derselben mittelst eines Gewichtes, das an einem sehr feinen Stahldrathe hing, dessen oberes Ende, in einen Ring geschlungen, auf einem sehr kleinen Messer ruhte, welches in die Stange eingelassen war. Bei dieser Vorrichtung war die Länge des Hebelarmes immer dieselbe (0,111 Meter), und das eigene Gewicht desselben wirkte nicht bei der Drehung der Stange mit, so daß man nur auf die Gewichte Rüksicht nehmen durfte, die an dem Stahldrathe aufgehängt waren. Was die Messungsmittel betraf, so bestanden sie aus einem Kreisbogen, der in Decimaleintheilung graduirt war, und dessen Halbmesser ungefähr 25 Centimeter betrug. Er war in seinem Mittelpunkte mit einem Loche versehen, durch welches der cylindrische Theil der Spize lief, um welche er sich in harter Reibung drehte, so daß man ihn mittelst einer Zange in jeder beliebigen Höhe befestigen konnte, was durchaus nothwendig war, um jede Linie der Eintheilung mit einer ähnlichen Linie am Ende einer langen Nadel zusammentreffen zu lassen, die am Hebelarme angebracht ist. Dieses Zusammentreffen der beiden Striche wurde mit einem starken Vergrößerungsglase am Ende einer ungefähr 2 Decimeter langen Röhre von kleinem Durchmesser beobachtet, damit das Auge bald höher, bald niedriger gestellt werden konnte. Dieses Vergrößerungsglas war überdieß auf einem beweglichen Fußgestelle aufgezogen, so daß man es nach Belieben höher oder tiefer stellen konnte.

Man wird einsehen, daß es bei dieser Vorrichtung sich ereignen könnte, daß wenn man die Stange um einen gewissen Bogen gedreht hat, die Kraft aufhört senkrecht auf das Ende des Hebels zu wirken. Um diesem Nachtheile abzuhelfen, hat man an dem freien Ende des Hebels |265| ein gehöriges Gegengewicht angebracht, und dieses immer auf den Horizont gestellt, wenn die beiden Gewichte am Drache aufgehängt waren. Wenn endlich bedeutend schwere Gewichte gebraucht wurden, so hatte man noch die Vorsicht eine Wasserwage auf den unteren Baken des Schraubstokes zu stellen, um sich zu überzeugen, daß an diesem Theile nichts in Unordnung gerathen ist, und um dem Uebel abzuhelfen, wenn es eingetreten wäre.

§. 2. Verhältniß der Drehungsbogen zu den Kräften, welche sie erzeugen, wenn die Länge beständig ist.

Da bei biegsamen und durch Gewichte gespannten Faden, wenn die Länge dieselbe bleibt, die Drehungsbogen (Arcs de torsion) beständig im Verhältnisse zum Momente der Kraft stehen; so war es wohl höchst wahrscheinlich, daß bei cylindrischen Stangen derselbe Fall Statt hat; es war aber nicht so leicht vorauszusehen, was geschehen würde, wenn die Stangen Parallelopipede sind, oder wenn sie gar in mehr oder minder breite und dünne Platten oder Blätter übergehen. Indessen zeigt die Erfahrung, daß das Gesez, welches auf Faden paßt, die durch Gewichte gespannt sind, auch noch auf Stangen und Blätter anwendbar ist, deren Querdurchschnitt was immer für einen Umriß bilden mag.

Messingcylinder auf dem Drathzuge gezogen:

Durchmesser 0,00672 Meter;
Länge 0,649 –
Drehungsbogen. Beobachtetes Gewicht. Berechnetes Gewicht.
1°. 160 Gramm. 160 Gramm.
2 320 – 320 –
3 480 – 480 –
4 640 – 640 –
5 798 – 800 –
6 957 – 960 –
7 1115 – 1120 –
8 1275 – 1280 –
9 1434 – 1440 –
10 1590 – 1600 –

Wenn man das Gewicht von 160 Gramm, welches in diesem Versuche mit einem Bogen von 1° correspondirt, als genau betrachtet wird, so werden die nach dem Geseze der Proportionalität der Kraft zum Drehungsbogen berechneten Gewichte sich, bis auf einen Bogen von 10°, so verhalten, wie die dritte Columne in obiger Tabelle sie zeigt. Erst wenn der Bogen größer, als 4° wird, fängt ein Unterschied zwischen dem Versuche und der Rechnung an. Dieser Unterschied beträgt 10 Gramm für einen Bogen von 10°, über welchen hinaus der Versuch |266| nicht fortgesezt werden konnte, indem das Metall sich dann auf eine bleibende Weise anfing zu verziehen. Die folgenden Versuche werden zeigen, daß dieser Unterschied, obschon er übrigens gering ist, dem Umstande zugeschrieben werden muß, daß es beinahe unmöglich ist einen Cylinder zwischen den Baken eines Schraubstokes festzuhalten, ohne daß er sich darin um irgend eine Kleinigkeit bewegen kann, sobald eine etwas bedeutende äußere Kraft anfängt denselben zu drehen. Man könnte einwenden, daß, wenn man ihn sehr stark im Schraubstoke preßt, man das Drehen desselben verhindern könnte; allein dann würde man ihn bedeutend platter machen, und er befände sich nicht mehr unter jenen Umständen, unter welchen er der Annahme zu Folge seyn muß.

Prismatisch vierekige kupferne Stange aus dem Drathzuge.

Länge 0,6567 Meter.
Seite des Vierekes 0,00566 –
Drehungsbogen. Beobachtetes Gewicht. Berechnetes Gewicht.
1°. 126 Gramm. 126 Gramm.
2 252 – 252 –
3 378 – 378 –
4 505 – 504 –
5 630 – 630 –
6 757 – 756 –
7 880 – 882 –
8 1008 – 1008 –
9 1135 – 1134 –
10 1258 – 1260 –
11 1388 – 1386 –
12 1515 – 1512 –

Bei diesem Versuche stehen die Gewichte genau mit den Bogen in Verhältniß, bis auf den Bogen von 5 Graden. Wenn man die übrigen nach diesen berechnet, so sieht man, daß die zweite und dritte Columne beinahe vollkommen mit einander stimmen; denn ein Unterschied von einigen Grammen kann = 0 gesezt werden, wo es sich immer um etwas bedeutende Gewichte handelt.

Stange mit rechtwinkeligem Durchschnitte.

Dieselbe Präcision, die wir an den prismatisch vierekigen Stangen so eben wahrgenommen haben, findet sich auch an denjenigen Stangen, deren Durchschnitt ein Rechtet ist, dessen Seiten wenig von einander verschieden sind, wie man aus folgender Tabelle sieht.

Stange aus Messing auf dem Drathzuge gezogen.

Länge 0,997 Meter.
Dike 0,00356 –
Breite 0,0092 –
|267|
Drehungsbogen. Beobachtetes Gewicht. Berechnetes Gewicht.
1°. 55 Gr., 5 55 Gr., 739
2 111 – 111 –, 478
3 167 – 167 –, 217
4 223 –, 5 222 –, 956
5 279 – 278 –, 695
6 334 – 334 –, 434
7 390 – 390 –, 173
8 447 – 445 –, 912
9 501 – 501 –, 651
10 557 – 557 –, 390
11 612 –, 7 613 –, 129
12 670 – 668 –, 868

Da in diesem Beispiele die Gewichte, welche mit den Bogen von 1, 2, 3, 4 Graden correspondiren, nicht vollkommen genau correspondirten, so addirte ich alle aus den Versuchen erhaltenen Zahlen, und theilte sie durch die Summe aller Bogen, um einen mittleren Grad zu erlangen: mit Beihülfe des auf diese Weise erhaltenen Grades ist die dritte Columne berechnet.

In dem Maße, als die Platten breiter werden und dünner, d.h., in dem Maße, als man sie besser zwischen den Baken des Schraubstokes und am Hebelarme befestigen kann, wird das Gesez des Verhältnisses der Kraft zum Drehungsbogen immer mehr und mehr genau bestätigt.

Glastafel aus einem Fenster.

Länge 0,63 Meter.
Breite 0,0544 –
Mittlere Dike 0,001516 –
Drehungsbogen Beobachtetes Gewicht.
70 Gramm.
2 140 –
3 210 –
4 281 –
5 350 –
6 420 –

Man muß bemerken daß, da Glas weit mehr gleichartig ist, als Metall, es ohne Zweifel diesem Umstande zuzuschreiben ist, daß das Gesez sich bis auf einen Bogen von 6 Graden in obigem Beispiele bestätigte: eine Gränze, über welche man nicht hinaus durfte, aus Furcht daß die Tafel nicht bricht.

Platte aus gewalztem Gußstahle.

Länge 0,2194 Meter.
Breite 0,05187 –
Dike 0,00117 –
|268|
Drehungsbogen. Beobachtetes Gewicht Berechnetes Gewicht.
1°. 98 Gramm. 98 Gramm
2 196 – 196 –
3 294 – 294 –
4 392 – 392 –
5 491 – 490 –
6 589 – 588 –
7 685 – 686 –
8 784 – 784 –
9 882 – 882 –
10 979 – 980 –

Das Gesez, um welches es sich hier handelt, erstrekt sich nicht bloß auf Platten mit rechtwinkeligem Querdurchschnitte, an welchem die Seiten in irgend einem beliebigen Verhältnisse stehen, sondern auch auf Stangen, deren Durchschnitt ein gleichseitiges Dreiek ist, so daß, nach diesen Versuchen, der Schluß ganz natürlich ist, es werde dasselbe sich auf alle Durchschnitte von Stangen ausdehnen.

Kupferne prismatisch dreiekige Stange aus dem Drathzuge.

Länge 0,6385 Meter.
Seite eines Dreiekes 0,0088 –
Drehungsbogen. Beobachtetes Gewicht. Berechnetes Gewicht.
1°. 141 Gr., 5 141 Gr., 5
2 283 – 283 –
3 426 – 424 –, 5
4 566 – 566 –
5 708 – 707 –, 5
6 850 – 849 –
7 990 – 990 –, 5
8 1130 – 1132 –

§. 3. Gesez der Längen.

Vierekige Stange aus Gußstahl.

Drehung von 1°.
Seite des Vierekes 0,00572 Meter.
Länge in Decimetern. Beobachtetes Gewicht. Berechnetes Gewicht.
12 132 Gr. 132 Gr.,
11 145 – 144 –
10 159 – 158 –, 4
9 175 – 176 –
8 198 – 198 –
|269|
Länge in Decimetern. Beobachtetes Gewicht. Berechnetes Gewicht.
7 226 Gr. 226 Gr., 3
6 263 – 264 –
5 317 – 316 –, 8
4 395 – 396 –
3 525 – 528 –
2 787 – 792 –
1 1575 – 1584 –

Aus Vergleichung der in der zweiten Columne enthaltenen Zahlen mit den in der ersten Columne in Decimetern ausgedrükten Längen erhellt, daß, wenn der Querdurchschnitt immer derselbe bleibt, der Drehungsbogen ferner gleichfalls immer derselbe bleibt, die Gewichte sich umgekehrt wie die Längen verhalten, und daß folglich, wenn die beiden Querdurchschnitte und die Gewichte dieselben bleiben, die Drehungsbogen sich gerade wie die Längen verhalten. Denn, wenn man dieses Gesez als genau gelten läßt, und darnach rechnet, und von dem Gewichte ausgeht, welches mit der größten Länge correspondirt, so bekommt man die in der dritten Columne erhaltenen Zahlen: Zahlen, die von den mit denselben correspondirenden Zahlen in der zweiten Columne wenig abweichen. Man bemerkt nur, daß, für Längen von 4, 3, 2, 1 Decimeter, die durch die Versuche gegebenen Gewichte etwas zu schwach werden, und zwar desto mehr, je weniger groß die Länge ist; was offenbar davon herkommt, daß die Stange dann eine in Verhältniß zu ihrer Länge bedeutende Dike erhält, und sich dann wirklich auf eine bleibende Weise in einem kleinen Bogen dreht. Dessen ungeachtet reicht dieß aber hin, um die Beobachtung unzuverlässig zu machen, und zwar in einem solchen Grade, daß es beinahe unmöglich ward das Gewicht mit Genauigkeit, selbst auf 10 bis 20 Gramm; zu bestimmen.

Dieses Gesez beschränkt sich nicht bloß auf die vierekige Stange; es paßt auch auf die cylindrischen und auf diejenigen, deren Durchschnitt ein gleichseitiges Dreiek ist, und erstrekt sich selbst auf dünne und breite Platten.

Glastafel.

Breite 0,0544 Meter.
Dike 0,001516 –
Drehung
Längen. Gewichte.
0,63 Meter 70 Gramm.
0,315 – 140 –
|270|

Brett aus Eichenholz.

Breite 0,096 Meter.
Dike 0,0017 –
Drehung
Längen. Gewichte.
0,5764 Meter. 3,93 Gramm.
0,2882 – 7,87 –

Dreiekig prismatische kupferne Stange.

Seite des Dreiekes 0,0088 Meter.
Drehung 1°.
Längen. Beobachtetes Gewicht Berechnetes Gewicht.
0,637 Meter. 141 Gr., 5 141 Gr., 5
0,492 – 183 –, 5 183 –, 2
0,360 – 249 –, 5 250 –, 37
0,2415 – 372 –, 5 373 –, 23
0,154 – 580 – 585 –, 29

§. 4. Gesez bei ähnlichen Querdurchschnitten.

1°. Cylindrische Stangen.

Kupferne cylindrische Stangen aus dem Drathzuge.

Gemeinschaftliche Länge 0,649 Meter.

Textabbildung Bd. 38, S. 270

Wenn man die Durchmesser dieser vier Cylinder auf die vierte Potenz erhebt, so hat man folgende Zahlen: 33,1776; 440,00935696; 2279,88105361; 6678,41990656; die sich unter einander verhalten, wie die Zahlen 1; 13,262; 68,717; 201,293. Da nun auf der anderen |271| Seite die Gewichte sich unter einander verhalten wie die Zahlen 1; 13,862; 69,697; 195,286; so kann man aus diesem Versuche schließen, daß, wenn Länge und Drehungsbogen dieselben bleiben, die Gewichte sich gerade wie die vierten Potenzen der Durchmesser verhalten; folglich, daß, wenn Längen und Gewichte dieselben bleiben, die Bogen sich umgekehrt wie die vierten Potenzen der Durchmesser oder der Quadrate der Flächeninhalte der Querdurchschnitte verhalten. Man könnte indessen einwenden, daß die Zahlen, 201,293 und 195,286 um eine ziemlich merkliche Größe von einander abweichen; man muß aber bemerken, daß, da der Cylinder N. 4. einen Durchmesser von beinahe 1 Centimeter hat, dieser nur von bedeutenden Gewichten gedreht werden konnte, und daß, wenn er sich selbst überlassen blieb, er nicht mehr von sich selbst in seine vorige Lage vollkommen zurükkehrte. Dadurch wurde die Beobachtung der Bogen sehr lang und sehr schwierig. Da ferner die angewendeten kupfernen Stangen im Drathzuge gezogen waren, so waren sie nicht genau cylindrisch, so daß die in der Tabelle angegebenen Durchmesser eigentlich nur das Mittel einer großen Zahl von Messungen an verschiedenen Stellen der Stange waren. Es würde auch noch, wenn der Durchmesser von N. 4. ungefähr um 7/100 eines Millimeters vermindert würde, der Unterschied beinahe O werden. Man kann sich also wundern, daß, unter diesen Verhältnissen, Versuch und Rechnung so gut mit einander stimmen.

2. Vierekige Stangen.

Prismatisch vierekige kupferne Stangen aus dem Drathzuge.

Gemeinschaftliche Länge: 0,649 Meter.

Drehungsbogen. N. 1.
Seite des
Vierekes:
0,00468 Meter.
N. 2.
Seite des
Vierekes:
0,00566 Meter.
N. 3.
Seite des
Vierekes:
0,00918 Meter.
Gewicht. Gewicht. Gewicht.
59 Gr., 5 127 Gr., 5 880 Gr.,
2 119 – 255 – 1760 –
3 178 – 5 382 – 5 2640 –
4 238 – 509 – 3520 –
5 297 – 5
6 357 –

Wenn man die Seiten der Querdurchschnitte einer jeden dieser Stangen zur vierten Potenz erhebt, so erhält man folgende Zahlen: 479,71512576; 1026,27966736; 7101,83740176; und diese verhalten sich unter einander wie die Zahlen 1; 2,1393; 14,8043: während die corrspondirenden Gewichte sich verhalten, wie die Zahlen 1; 2,1429; |272| 14,7899; woraus man folgern muß, daß, wenn die Länge der Stange und der Drehungsbogen beständig dieselben bleiben, die Gewichte sich gerade wie die vierten Potenzen der Seiten des Vierekes verhalten; folglich werden, wenn die Längen und die Gewichte dieselben bleiben, die Bogen sich umgekehrt wie die vierten Potenzen der Seiten des Vierekes oder des Quadrates der Grundfläche des Querdurchschnittes verhalten.

An den drei Stangen dieses Versuches waren die Gewichte so ziemlich in Verhältnis mit den Bogen, was man dem Umstande zuzuschreiben hat, daß sie, ihrer Form wegen, leichter im Schraubenstoke zu befestigen waren. Das Gesez des Verhältnisses der Gewichte wie die vierten Potenzen der Seiten der Viereke, bestätigt sich hier gleichfalls auf eine Weise, die man in aller Strenge kann gelten lassen.

3. Stangen mit ähnlichen rechtwinkeligen Durchschnitten.

Da es äußerst schwer ist auf dem Drathzuge Metallstangen zu erhalten, deren rechtwinkelige Durchschnitte einander vollkommen ähnlich sind, so entschloß ich mich diesen Versuch an Holz anzustellen. Hier hatte man aber mit einer anderen Schwierigkeit zu kämpfen. Die Elasticität des Holzes war nämlich nicht nach allen Richtungen dieselbe, und es war daher nothwendig, daß die Flächen der Stangen genau dieselben Lagenverhältnisse gegen die Achsen der Elasticität behielten, denn sonst würden die Resultate sich nicht haben vergleichen lassen. So wird z.B., wenn man aus demselben Stüke Buchenholz zwei kleine Stangen schneidet, deren Durchschnitte etwas längliche Viereke sind, und deren Kanten parallel mit der Richtung der Fasern des Holzes laufen, die Gegenwirkung der Drehung in beiden sehr verschieden seyn, wenn an einer derselben die beiden größeren Flächen parallel mit der Achse der dazwischen liegenden Elasticität laufen, d.h., parallel mit dem Halbmesser des Baumes, und wenn sie an der anderen parallel mit der Richtung der geringeren Elasticität sind, d.h., mit den Holzlagen. Dieß beweiset folgender Versuch, der an zwei Stangen aus Buchenholz angestellt wurde, welche aus demselben Stüke neben einander herausgeschnitten worden waren. Sie hielten in der

Länge 0,198 Meter;

Breite 0,015333;

Dike 0,00404.

Ein Gewicht von 19 Gr., 25 reichte hin, um diejenige dieser beiden Stangen um Einen ganzen Grad zu drehen, deren größere Flächen parallel mit der Richtung der geringeren Elasticität liefen; während man 24 Gr., 8 brauchte, um die andere Stange um Einen Grad zu drehen, deren große Flächen parallel mit der Achse der mittleren Elasticität waren. Dieses Resultat zeigt also, daß, wenn man das |273| Gesez für hölzerne Stangen von ähnlichen Durchschnitten aufsucht, man immer dieselbe Stange anwenden, und sie dann auf ihren Flächen nach und nach parallel verdünnen lassen muß, damit die Richtungen der Elasticitäten in Hinsicht auf die Flächen nicht verändert werden.

Stangen von Eichenholz.

Beständige Länge. 0,5235 Meter.


Drehungsbogen.
N. 1.
Breite: 0,046634 Meter.
Dike: 0,01059
N. 2.
Breite: 0,023317 Meter.
Dike: 0,005295.
Gewicht. Gewicht.
355 22
2 710 44
3 1066 66
4 1422 89

An diesen beiden Stangen verhalten sich die Quadrate der Flächen der Querdurchschnitte gegen einander wie 1 : 16, indem die Dimensionen der größeren doppelt so groß sind, als die der kleineren. Die Gewichte verhalten sich wie 1 : 16,1364. Es sind also auch bei Stangen mit ähnlichen rechtwinkeligen Durchschnitten die Gewichte noch immer in geradem Verhältnisse wie die Quadrate der Grundfläche der Querdurchschnitte, wie wir dieß gleichfalls bei cylindrischen und prismatisch vierekigen Stangen gefunden haben, und wie wir sogleich sehen werden, daß es auch bei prismatisch dreiekigen Stangen Statt hat.

4. Dreiekige Stangen.

Prismatisch dreiekige gleichseitige kupferne Stangen aus dem Drathzuge.

Gemeinschaftliche Länge 0,6383 Meter.

Textabbildung Bd. 38, S. 273
|274|

Wenn man die Seiten der Dreieke, welche die Querdurchschnitte dieser drei Stangen bilden, zur vierten Potenz erhebt, so erhält man die Zahlen 358,061000625; 3701,5056; 5996,9536, welche sich, die erstere als Einheit angenommen, verhalten wie die Zahlen 1; 10,3376; 16,7484. Die Gewichte sind übrigens wie 1; 10,2748; 16,9068 so daß also dasselbe Gesez des Verhältnisses der Gewichte zum Quadrate der Grundfläche des Querdurchschnittes sich auch hier mit merkwürdiger Genauigkeit bestätigt, und man aus obigen Thatsachen folgendes allgemeine Gesez sich abstrahiren kann: Bei Stangen von ähnlichen Durchschnitten sind, wenn die Länge und der Drehungsbogen dieselben bleiben, die Gewichte in geradem Verhältnisse wie die vierten Potenzen der Linear-Dimensionen des Durchschnittes; und, wenn Länge und Gewicht dieselben bleiben, sind die Bogen in umgekehrtem Verhältnisse der vierten Potenz der Linear-Dimensionen des Durchschnittes.

§. 5. Einfluß der Querdimensionen auf Stangen, deren Durchschnitte rechtwinkelig sind, aber nicht ähnlich.

Nach der Bemerkung, die wir oben bei Gelegenheit des Gesezes der Drehung der Stangen gemacht haben, deren Durchschnitte rechtwinkelig und ähnlich sind, müßte auch hier, aus demselben Grunde, auf den Instand der Elasticität der Masse Rüksicht genommen werden, aus welcher die Stangen verfertigt werden; überdieß wäre es auch nicht möglich, den Versuch mit einer und derselben hölzernen Stange anzustellen, deren Dike man nach und nach verminderte, da die Dimensionen nicht nach irgend einem Verhältnisse vermindert werden dürfen, folglich der Einfluß der Querelasticitäten in den verschiedenen Fällen nicht mehr derselbe wäre. Es schien mir daher besser diesen Versuch mit einer Masse anzustellen, die man so ziemlich als gleichförmig betrachten kann, und ich wählte daher Gyps, der, wie man aus den tönenden Schwingungen erweisen kann, nur sehr geringe Unterschiede in seiner Elasticität darbietet; und, um die Ursache von Fehlern soviel möglich zu vermindern, wirkte ich auf dieselbe Stange, deren Dike und Breite ich nachher verminderte, deren Länge ich aber unverändert ließ.

Unveränderte oder beständige Länge: 0,374333.

N. 1.

Breite 0,0271 Meter
Dike 0,00698 –
Drehungsbogen 1° –
Gewicht 120 Gramm.
|275|

N. 2.

Breite 0,017213 Meter.
Dike 0,005188 –
Drehungsbogen 1° –
Gewicht 30 Gramm, 33.

Wenn man das Product der Würfel der Querdimensionen nimmt, und dasselbe durch die Summe der Quadrate derselben Dimensionen theilt, so erhält man folgende Zahlen: 8642,513319; 2203,406422, welche sich unter sich wie die Zahlen 3922 und 1 verhalten; auf der anderen Seite verhalten sich 120 und 30,33, welche die Zahlen der nothwendigen Gramme darstellen, um jede Stange um 1° zu drehen, wie 3,956 und 1; so daß sich hieraus folgendes Gesez ergibt: an Stangen mit rechtwinkeligen Durchschnitten verhalten sich die Gewichte gerade wie die Producte der Würfel der Querdimensionen getheilt durch die Summe, und folglich die Bogen umgekehrt wie das Product der Würfel dieser Dimensionen getheilt durch die Summe ihrer Quadrate.

Aus diesem Geseze folgt, daß, wenn die Breite der Stangen beständig dieselbe bleibt, und verhältnißmäßig zur Dike derselben sehr groß ist, die Gewichte merklich im Verhältnisse zu den Würfeln der Dike stehen, selbst in dem Falle, wo die Elasticität nicht nach asten Richtungen dieselbe ist. Dieß stimmt wirklich mit der Erfahrung.

Platte aus Eichenholz.

Länge 0,5764 Meter.
Breite 0,096 –
Dike 0,00537 –
Drehungsbogen
Gewicht 105 Gramm.

––––––––––

Dieselbe Platte verdünnt auf die Dike von 0,00254 Meter.
Drehungsbogen
Gewicht 11 Gramm, 4.
Verhältniß der Würfel der Dike 1 : 9,449.
Verhältniß der Gewichte 1 : 9,21.

Aus dem vorhergehenden Geseze folgt auch, daß, bei breiten und dünnen Platten, die Gewichte so ziemlich in einfachem Verhältnisse zur Breite stehen, was gleichfalls mit der Erfahrung übereinstimmt.

Glastafel.

Länge 0,315 Meter.
Breite 0,0544 –
Dike 0,004546 –
|276|
Drehungsbogen

Gewicht 70 Gramm.

––––––––––

Dieselbe Tafel auf eine Breite von 0,02546 Meter zurükgeführt
Drehungsbogen
Gewicht 34 Gramm.
Verhältniß der Breiten 1 : 2,1366.
Verhältniß der Gewichte 1 : 2,0588.

Kurze Wiederholung.

Die verschiedenen Resultate, auf welche wir bei dieser Arbeit geleitet wurden, lassen sich auf folgende Geseze zurükführen:

1) Der Umfang des Querdurchschnittes der Stangen mag was immer für eine Figur darbieten, so verhalten sich die Drehungsbogen gerade wie die Momente der Kraft und die Längen.

2) Wenn die Durchschnitte der Stangen unter sich ähnlich sind, sie mögen übrigens kreisförmig, dreiekig oder vierekig oder sehr verlängerte Rechtete seyn, so verhalten sich die Drehungsbogen umgekehrt wie die vierten Potenzen der Linear-Dimensionen der Durchschnitte.

3) Wenn die Durchschnitte Rechtete sind, und die Stangen eine gleichförmige Elasticität nach allen Richtungen besizen, so verhalten die Drehungsbogen sich umgekehrt wie das Product der Würfel getheilt durch die Summe der Quadrate; woraus folgt, daß, wenn die Breite im Verhältnisse zur Dike sehr groß ist, die Drehungsbogen sich so ziemlich umgekehrt wie die Breiten und die Würfel der Dike verhalten. Diese Geseze gelten auch dann, wann die Elasticität nicht nach allen Richtungen dieselbe ist.

Diese Geseze sind, für den besonderen Fall cylindrischer Stangen, dieselben, die Hr. Poisson durch die Analyse erhielt; und, für den allgemeineren Fall cylindrischer und rechtwinkeliger Stangen, genau dieselben, die Hr. Cauchy in einer späteren Arbeit nach jener des Hrn. Poisson bekannt gemacht hat: ja man kann selbst beifügen, daß die Rechnung nie besser mit der Erfahrung übereinstimmte, als in diesen Fällen. Man wird demnach in der Zukunft überall dorr, wo es sich um Anwendung auf Bau und auf Künste handelt, von diesen Gesezen Gebrauch machen können, ohne besorgen zu dürfen, daß man dadurch einen Fehler begeht; nur wird man, wo es sich um die Gegenwirkung der Drehung des Stahles und der Legirungen handelt, auf die Umstände Rüksicht nehmen müssen, welche bei dem Abkühlen dieser Massen Statt hatten.

So lang die Metalle rein sind, scheint weder neues Hizen noch Härten derselben den mindesten Einfluß auf den Widerstand der Drehung |277| zu äußern; wenigstens habe ich dieß am Kupfer, an der Platinna und am Eisen wahrgenommen. Dieß ist aber nicht mehr der Fall bei Legirungen, wie beim Messing, bei dem Metalle zu den Tamtams, und auch bei dem Stahle, wie man aus folgender Tabelle ersieht.

Messingdrath aus dem Drathzuge und mit dem Hammer geplättet.

Länge 0,3 Meter.
Drehungsbogen 1°.

Zustand des Körpers.

Gewicht.
Kalt gehämmert 357 Gramm, 5
langsam erkaltet 370 –
schnell 357,5 –
langsam 370 –
schnell 355 –
langsam 367 –
schnell 355 –
langsam 367 –

Mehrere andere Messingstangen gaben genau dasselbe Resultat, so daß dieser Körper durchaus nicht zu Versuchen über die Stärke der Drehungskraft taugt, indem es ziemlich schwer ist eine etwas lange Stange wieder vollkommen gleichförmig zu hizen oder auszuglühen. Es kann also dann der Fall eintreten, daß die Gegenwirkung der Drehung nicht dieselbe in der ganzen Länge der Stange ist, wie aus folgendem Beispiele erhellt.

Prismatisch vierekige Stange aus Messing auf dem Drathzuge.

Länge 1,302 Meter;
Seite des Vierekes 0,00572 –;
Drehungsbogen 1°;
Gewicht für die eine Hälfte 110 Gramm.
– – für die andere Hälfte 92.

Eine Stange mit rechtwinkeligem Durchschnitte aus sogenanntem Tamtams (oder Gong-) Metall.

Länge 0,144 Meter;
Breite 0,01732 –;
Dike 0,00256 –;
Drehungsbogen 1°.
Erkälten Gewicht.
Langsam 380
Schnell 300
Langsam 380
Schnell 300
|278|

Langsames Erkalten bringt also auf diese Composition eine ähnliche Wirkung hervor, wie auf Messing; d.h., eine stärkere Gegenwirkung der Drehung.

Gußstahl. Eine Stange von rechtwinkeligem Durchschnitte.

Länge 0,14 Meter;
Breite 0,0156 –;
Dike 0,0046 –;
Drehungsbogen 1°.
Erkalten. Gewicht.
Schnell 2500 Gramm.
Langsam 2670 –
Schnell 2400 –
Langsam 3000 –
Schnell 2900 –
Schnell 2700 –
Schnell 2900 –
Langsam 2950. –

Wie man aus dieser Tabelle ersieht, so haben die besonderen Umstände bei dem Erkalten hier einen großen Einfluß auf die Gegenwirkung der Drehung: indessen bringt ein langsames Erkalten immer eine stärkere Gegenwirkung der Drehung hervor, als ein schnelles, was sich sehr gut aus dem Umstande erklären läßt, daß die Theilchen der Masse dann mehr Zeit gewinnen sich regelmäßig an einander zu reihen. Der Unterschied zwischen der Härtung des Stahles und der Tamtams verschwindet demnach unter diesem Umstande; es ist jedoch nicht minder merkwürdig, daß der Stahl an Härte zunimmt, wann er schnell erkaltet, während die Härte des Tamtam-Metalles abnimmt.

Es wäre äußerst merkwürdig für jeden Körper den Punkt zu untersuchen, wo er aufhört in seine erste Lage zurükzukehren, nachdem er von einem Gewichte gedreht wurde, welches stärker ist als die Gegenwirkung der Drehung, und zu sehen, welche Rolle die Zeit in der Verschiebung der Theilchen bildet, welche auf diese Weise einer äußeren Kraft ausgesezt sind. Ich habe einige Versuche in dieser Hinsicht gemacht, habe aber noch nicht Zeit genug gefunden, meine Arbeit zu vollenden. Ich kann jedoch schon jezt so viel hier aussprechen, daß, wenn die Kraft, welche die Stange dreht, auch noch so klein ist, diese immer ehe anfängt sich auf eine bleibende Weise zu drehen, ehe sie so zurük wirkt, als ob sie vollkommen elastisch wäre, und daß, wenn man die Kraft verstärkt, sich eine neue bleibende Drehung bildet u.s.f.; daß endlich, wenn man die Kraft durch mehrere Stunden lang fort wirken läßt, der Drehungsbogen zunimmt, jedoch nur um eine Größe, die unmerklich abnimmt. Es wäre sehr gut diese Untersuchungen fortzusezen, |279| indem sie geeignet sind, zu wichtigen Resultaten in Hinsicht auf die Kräfte zu führen, welchen die Theilchen der Körper unterliegen.107)

Wir haben von dieser Abhandlung seiner Zeit Nachricht gegeben. Wir hielten sie etwas zu hoch für die meisten Techniker. Da wir aber jezt sehen, daß das Repertory of Patent-Inventions vier seiner Hefte damit füllte, so wollen wir dieselbe auch unseren lieben Landsleuten nicht vorenthalten, indem wir nicht des Glaubens gewisser vornehmer Herren sind, die, nachdem sie ihrer Seits alles Mögliche thaten, um Unwissenheit zu verbreiten und zu erhalten, jezt in die Welt hineinschreiben: Es mangelt den bayrischen Producenten an Intelligenz und es uns scheint, daß dasjenige, was der englische Techniker brauchen kann, auch dem bayrischen nicht überflüssig ist.

A. d. Ue.

|262|

Es ist sonderbar, daß Torsion kein französisches Wort ist und kein lateinisches. Es kommt nur ein einziges Mal bei Plinius vor, wo es Magenkrampf heißt. In unserem verdrehten Zeitalter hört, und sieht man bissen Bastard der neuesten Sprachverdrehung häufig angewendet, und er gibt, wie alles Verdrehte, keinen klaren Begriff.

A. d. Ue.

|263|

Schon Hr. Duleau, Ingenieur beim Brüken- und Straßenbaue, hat in einer Abhandlung über den Widerstand des geschlagenen Eisens (sur la résistance du fer forgé), welche der (Pariser) Académie des Sciences im Jahre 1819 vorgelegt wurde, durch Analyse und durch Erfahrung die Geseze der Drehung cylindrischer Stangen bestimmt; er hat selbst die Geseze der Drehung der vierekigen Stangen geahndet; allein diese Versuche wurden nur an einem einzigen Körper (Eisen) und bloß in der Absicht angestellt, um den Ingenieuren eine genaue Weisung über den Widerstand des geschlagenen Eisens zu geben. Hrn. Duleau war es nicht daran gelegen seinem Apparate den höchsten Grad von Vollkommenheit zu geben, die er demselben ohne Zweifel ertheilt haben würde, wenn es sich um Präcision gehandelt hätte. Diese Abhandlung des Hrn. Duleau, so schäzbar sie übrigens durch die große Menge von Thatsachen ist, welche sie über den Widerstand des Eisens bei dem Biegen, Drüken etc. enthält, konnte uns nicht von der Nothwendigkeit lossagen, die Frage über die Drehung der Stangen überhaupt, von was immer für einer Form oder Masse, genau an demselben Punkte wieder aufzunehmen, auf welchem Coulomb sie gelassen hat.

A. d. O.

|279|

So wichtig die hier angestellten Versuche über Drehung und die in neueren Zeiten von so vielen, besonders englischen, Physikern wiederholten und erweiterten Versuche über Spannung, Elasticität, Stärke verschiedener Körper für Baukunst in allen ihren Zweigen und für manche andere Zweige der Industrie auch immer sind, so fehlt uns doch noch eine Reihe genauer Versuche über die Wirkungen und Gegenwirkungen des Hauens und Schneidens: einer Operation, die nicht bloß in einer Menge von Künsten und Gewerben, sondern vorzüglich in der großen Kunst des Krieges von sehr hoher Wichtigkeit ist. Es fehlen uns hierüber so zu sagen noch die ersten Rudimente, und außer einer sehr oberflächlichen Säbelprobe haben unsere Techniker und Physiker in dieser Hinsicht noch sehr wenig geliefert. Bekanntlich ist ein einige Zoll breiter Streif Kartenpapier, auf die Kante gestellt, im Stande mehrere Pfunde zu tragen ohne sich zu biegen, während er sich, nach seiner Breite gelegt, unter der Last eines halben Quentchens in einen großen Bogen beugt. Er scheint also, so wie alle Parallelopipede, nach der Kante am stärksten zu seyn. Indessen wird man ihn mit einem mittelmäßigen Messer nach der Kante leicht durchschneiden, mit einem mittelmäßigen Säbel nach der Kante leicht durchhauen können, während man ihn nach der Breite mit dem besten Messer und dem besten Säbel nur langsam durchschneiden und mit Mühe durchhauen wird. Eine mathematische Erklärung dieses Phänomenes ist noch nicht gegeben, und die Theorie des Keiles auf Messer und Säbel, gerade und krumm, senkrecht und unter bestimmten Winkeln, unter verschiedenem Gewichte (Druke, Kraft) und unter verschiedenen Geschwindigkeiten angewendet, ist noch immer ohne die nothwendigen Versuche geblieben.

A. d. Ue.

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