Titel: de Prony, über das Parallelogramm am Wagebalken der Dampfmaschine.
Autor: Prony, Riche
Fundstelle: 1831, Band 39, Nr. XXIX. (S. 82–88)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj039/ar039029

XXIX. Ueber das Parallelogramm am Wagebalken der Dampfmaschine. Von Hrn. de Prony.

Aus dessen Rapport sur la nouvelle machine du Gros. Caillou. p. 81. im Bulletin d. Scienc. technol. Juillet . 1830. S. 256.

Mit Abbildungen auf Tab. II.42)

Das oberste Ende der Stämpelstange des Cylinders der Dampfmaschine, welches an einem der Winkel des Parallelogrammes des Wagebalkens hängt, beschreibt in seinem Laufe (Fig. 4.) einen Bogen, st, einer eiförmigen krummen Linie, rstuvr (s. Architecture hydraulique. 2. Theil. Paris. 1790. Art. 1483. u. 1492.), und dieser Bogen, auf welchem sich ein Einbiegungspunkt (point d'inflexion) beinahe in der Mitte seiner Länge befindet, weicht, wenn die Verhältnisse des Apparates gehörig beobachtet sind, sehr wenig von der zwischen ihren Endepunkten, s und t, gezogenen geraden Linie ab. Ich will hier die Formeln aufstellen, mittelst deren man die Verhältnisse zwischen den verschiedenen Lagen des obersten Punktes dieser Stämpelstange und den Bewegungen bestimmen kann, welche die übrigen Theile des Systemes einschlagen, wenn der Winkel, welchen die Achse des Wagebalkens mit der Senkrechten oder mit der Horizontalen bildet, verändert wird. Ich werde auch die Verhältnisse zwischen den Größen jener Theile der Maschine betrachten, deren Einrichtung sich gewissen Bedingungen unterziehen läßt.

Diese Formeln, welche in der Anwendung weit bequemer sind, als jene, die ich im J. 1790 in meiner Abhandlung des Machines à feu bekannt machte, werden auch auf die Maschine in dem gegenwärtigen Berichte angewendet werden.

A und K (Taf. II. Fig. 5.) sind die beiden feststehenden Mittelpunkte der Umdrehung des ganzen Systemes. BDHG, BCFE sind das kleine und große Parallelogramm. AD und GK sind die geraden Linien, welche sich jede um ihren feststehenden Punkt A und |83| K als Mittelpunkt in der senkrechten Fläche drehen, welche diese Parallelogramme enthält. H und F sind die Punkte der gegliederten Aufhängungen der Stämpelstangen.

Ich ziehe die Horizontalen CX, BX, AM, mH, VK, und die Senkrechten AV, Cc, Ff, Dd, QH, MK. Diese Entwurfslinien werden die Erweisung der Formeln denjenigen erleichtern, die sich von der Genauigkeit derselben überzeugen wollen.

AB = ς; GK = r; AM = h; AV = k;
BG = a; BD = b; BE = a'; BC = b';
AQ = x; QH = γ; Aq = x; qF = y'.

Winkel DAM = α.

Hiernach berechnen sich die Werthe

(1)

Textabbildung Bd. 39, S. 83

(2)

Textabbildung Bd. 39, S. 83

und man erhält die horizontalen und senkrechten Coordinaten der obersten Punkte H und F der Stämpelstangen des großen und kleinen Cylinders auf ihren feststehenden Ursprung, A, zurükgeführt durch die Formeln

(3) x = a cos. δ + (b + ς) cos. α; y = a sin. δ – (b + ς) sin. α
x' = a' cos. δ + (b' + ς) cos. α; y' = a' sin. δ – (b + ς) sin. α.

Diese allgemeinen Werthe sind unabhängig von allen besonderen Verhältnissen zwischen den Längen der Seiten der großen und kleinen Parallelogramme; sie sezen nur die Parallelismen a und a', b und b' voraus. Man kann aber eine höchst vortheilhafte Bedingung für praktische Anwendung anbringen, welche die Berechnung von x' und y' abkürzt. Diese Bedingung besteht darin, daß man die Verhältnisse

a/a', b/b' gleich stellt, wodurch dann immer in allen Lagen der Parallelogramme der feststehende Mittelpunkt A und die beweglichen Aufhängepunkte F und H sich in einer und derselben Geraden befinden werden. Sezt man dann

(ς' + b')/(ς + b) = μ,

so erhält man (4) x' = μx; y' = μy.

|84|

Diese Formeln lassen sich unmittelbar zur Berechnung der Bewegungen der obersten Punkte der Stämpelstangen in einem gegebenen Systeme anwenden; man kann sich derselben aber auch mit Nuzen zur Bestimmung gewisser Verhältnisse bedienen, wenn man eine Maschine bauen will, welche besondere Bedingungen erfüllen soll. Es ist bequem, als gemeinschaftliche Bedingungen bei allen Entwürfen solcher Maschinen zu betrachten: 1) die Horizontalität der Linie, welche durch den feststehenden Mittelpunkt A der Umdrehung, und durch den obersten Punkt H der Stämpelstange in der weitesten Entfernung von A in ihrer oberen anfänglichen Lage läuft. 2) die Gleichheit der Verhältnisse, auf welcher obige Gleichungen (4) beruhen, und aus welchen folgt, daß die Punkte A, F und H, immer in einer und derselben geraden Linie sind. 3) Gleichheit der Winkel, welche von der Horizontalen, AM und von der Achse AD des halben Wagebalkens in den äußersten Lagen desselben, der oberen und der unteren, gebildet werden.

Nach diesen vorläufigen Erörterungen wird man nun das System in drei bestimmten Lagen des Wagebalkens betrachten, d.h., in seinen beiden äußersten Lagen, der oberen und der unteren, und in seiner mittleren Lage, durch welche seine Achse horizontal wird. Wenn man durch 2 A den gesammten Winkel bezeichnet, welchen diese Achse zwischen den äußersten Lagen beschreibt, so liefern die Gleichungen (1) (2) (3) und (4) drei Gruppen, welche mit α = A, α = o, α = – A correspondiren, und geben so Mittel an die Hand, Verhältnisse zwischen den Theilen des Systemes herzustellen, wie die aufgestellten Bedingungen sie fordern. Es wird also die senkrechte Sehne des Winkels 2 A , der von dem Halbmesser AD beschrieben wird, von einer solchen Länge seyn müssen, daß sie dem Laufe des Stämpels gleich ist; es wird vor Allem nothwendig seyn, daß die Werthe von x, die aus den 3 Gruppen erhalten werden, entweder einander wirklich oder beinahe gleich seyen; daß von den correspondirenden Werthen von y der erste = o, und der zweite beinahe die Hälfte des dritten sey, der den ganzen Lauf bemißt. Man wird sehr bald sehen, daß die Maschine Edward's diesen Bedingungen auf eine höchst genügende Weise entspricht.

Ich beschränke mich hier auf diese allgemeinen Angaben, und seze nur den Formeln (1) (2) und (3) die folgenden bei, welche sich vorzüglich auf die anfängliche obere Lage des Wagebalkens anwenden lassen.

Ich seze (Fig. 1.)

den anfänglichen Winkel DAM = A; AD = b + ρ = m; AH = n.

|85|

Die Senkrechte Dd = q; Ad = p; dH = p'.

Hieraus erhält man die Verhältnisse

(5) p = m cos. A: p' = (a² – q²) 1/2 = (a² – m² sin². A) 1/2
q = m sin. A: m² + n² – 2 mn cos. Aa² = o.

Im Falle, wo man A durch m, n und a zu bestimmen hätte, könnte man folgende Formeln anwenden:

(6)

Textabbildung Bd. 39, S. 85

Die Verhältnisse, welche von den Dimensionen und von der anfänglichen Lage des Parallelogrammes BDHG abhängen, müssen sich mit der Länge und anfänglichen Lage des Halbmessers GK = r vertragen, welcher, während er sich um den festen Mittelpunkt K dreht, mit seinem anderen Ende an der Gliederung am Winkel G des Parallelogrammes angebracht ist. Hier die Formeln, welche die von diesem Halbmesser abhängenden Werthe mit den vorigen Werthen verbinden.

Man hat, in Bezug auf die horizontale und senkrechte Coordinate des Punktes G (Fig. 1.), die respectiven Werthe auf den Ursprung K zurükgeführt.

(7) ξ = h – ρ cos. A – (a² – m² sin². A) 1/2
η = kb sin. A,

welche die Elemente der Rechnung

r = (ξ + η²) 1/2

liefern; folgende Formel gibt aber einen Werth von r, der unmittelbar an die anfängliche Lage des Punktes H, und an die festen Lagen M und K gebunden ist. Es seyen


die Winkel
KHM = E
GHK = 180° – (A + E) = λ
KH = S,

so erhält man

(8) Tang. E = k/(hn); S = k/(sin. E) = (hn)/cos. E.
r = (4 bs sin.² (1/2 λ) + (bs)²) 1/2.

Man kann die vorhergehenden Formeln oder einen Theil derselben auf das unter vorigem Verhältnisse beschriebene System anwenden.

Dieses System ist immer nach der Bedingung, a/a' = b/b' eingerichtet, |86| nach welcher man die Gleichungen (4) erhielt. Die obersten Punkte der Stämpelstangen, und der feststehende Mittelpunkt der Umdrehung A befinden sich immer in derselben geraden Linie, welche in ihrer anfänglichen Lage (Fig. 1. Taf. II.) horizontal ist; überdieß ist in dieser anfänglichen Lage der Scheitel D des oberen Winkels des großen Parallelogrammes, und der feststehende Mittelpunkt der Umdrehung k in derselben senkrechten Entfernung von der Horizontalen AM, indem einer oben, der andere unten durch den feststehenden Mittelpunkt der Umdrehung durchgeht, und diese Horizontale AM theilt den gesammten Winkel 2 A , welcher von dem halben Balken AB während eines ganzen Laufes des Stämpels beschrieben wird, in zwei gleiche Theile: alle diese Anordnungen sind sehr gut getroffen.

Wenn man nun als Daten annimmt (Fig. 1. Taf. II.)

AD = m; AC = ρ + b; AB = ρ; DH = a; AH = n,

Längen, deren Zahlenwerthe oben an der Tafel geschrieben stehen;43) so kann man sogleich die Werthe von AF und CF bestätigen, welche die durch die Gleichungen (4) verlangte Bedingung herstellen, und man findet

AF = 1m,7951; CF = 0m,55809.

Wenn man nach denselben Daten den anfänglichen Winkel DAH = A, entweder nach der lezten Gleichung (5), oder nach einer der lezten Gleichungen (6) berechnet, so findet man

A = 17°35'30''; woraus Dd = m sin. A = 0m,76011.

Man hätte den Winkel A viel einfacher erhalten, wenn man als Datum, statt DH = a, die Senkrechte Dd genommen hätte, welche, nach einer der oben ausgesprochenen Bedingungen, gleich seyn muß Mk oder k, d.h. fast dem Werthe des halben Laufes des Stämpels, und die Seite DH würde aus diesem Werthe und aus den übrigen Daten geschlossen worden seyn.

Da die Größe und die Lage des Parallelogrammes BDHG bekannt sind, so wie die Lage der Horizontalen Vk, welche durch die Bedingung Dd = Mk gegeben ist, so läßt sich die Lage des unbeweglichen Mittelpunktes k dadurch bestimmen, daß man entweder den Halbmesser Gk = r, oder den Abstand AM = h als gegeben annimmt, wornach HM = hn.

Nimmt man als gegeben h = 3m,022, so hat man HM = 0m,571, woraus

|87|
Textabbildung Bd. 39, S. 87

und zulezt GK = r = 1m,712.

Ich gehe zu der wichtigen Eigenschaft des Apparates über, nämlich zur beinahe geradlinigen Bewegung des obersten Punktes der Stämpelstange, und ich nehme zuvörderst diesen Punkt in der Mitte seines Laufes an, wann der halbe Wagbalken AD in die horizontale Lage auf die Linie AM (Fig. 2. Taf. II.) kommt. In diesem Falle hat man, Gleichungen (1) (2) (3),

β = 24°, 43', 50''; c = 1m,8166; γ = 69°, 56', 00''
δ = 94°, 39', 50''; x = 2m,453; y = 0m,7595.

Die Abweichung in horizontaler Richtung, oder die Entfernung aus der Senkrechten, die durch den Anfangspunkt läuft, ist ungefähr 2 Millimeter, oder 1/360 des halben Laufes, und der Werth von y ist nicht merklich von dem Werthe von k verschieden.

Sezen wir endlich der Stämpel sey am Ende seines Laufes, oder der oberste Punkt der Stange sey auf die Horizontale Vk herabgelangt (Fig. 3., Taf. II.); so hat man, in diesem Falle, nach den oben angezeigten Bedingungen

α = – A = – 17°, 35', 30''; β = 11°, 23', 20'';

c = 1m,7488; γ = 74°, 36', 20''; δ = 85°, 59', 40'':

woraus x = 2m,4508; y = 1m,5202.

Die Abweichung, in Hinsicht auf die Senkrechte, die durch den Anfangspunkt läuft, ist hier auf 1/5 Millimeter reducirt, und der Werth von y ist so ziemlich der ganze beabsichtigte Lauf: dieß ist alle Genauigkeit, die man verlangen kann.

Nach diesen Werthen wird man die Lage des obersten Punktes der Stange des kleinen Parallelogrammes aus den Gleichungen (4) (auf das System angewendet, um welches es sich handelt) sehr leicht berechnen können; und man hat am Ende des Laufes

x' = (ς + b')/(ς + b) x = 1,842/2,515 × 2m,4504 = 1m,7947.

y' = (ς + b')/(ς + b) y = 1,842/2,515 × 1m,52044 = 1m,114.

Die Abweichung von der Senkrechten, die durch den Anfangspunkt läuft, ist für den ganzen Lauf nicht mehr als 3/10 Millimeter. Die Uebereinstimmung der Maße, so wie diese durch Berechnung abgeleitet sind, und wie sie unmittelbar auf der Maschine genommen und in |88| meinem Berichte verzeichnet sind, ist eine sichere Gewähr der Genauigkeit meiner Verfahrungsweise.

Ich habe in dem Vorausgegangenen die Rechnung angewendet, als das einzige Mittel, mittelst dessen man die vollkommenste Genauigkeit erlangen kann, sowohl in Hinsicht auf Prüfung desjenigen, was bereits geschah, als auf den Entwurf desjenigen, was man ausführen will: indessen wird man sich immer der graphischen Methode mit Vortheil bedienen, wenn man sorgfältig entweder in natürlicher Größe oder in sehr großem Maßstabe zeichnet. So wird man, z.B., wenn man das System ABDHG, Fig. 3. hätte, das sich um den festen Punkt A dreht, mit Gliederung in B, D, H und G, und man den Punkt H eine Linie wollte durchlaufen lassen, die wenig von der senkrechten QH abweicht, einen Entwurf in natürlicher Größe (épure) zeichnen, in welchem dieses System drei Lagen hat, in deren zwei der Punkt H an die äußersten Enden, und in deren dritten er in die Mitte seines Laufes kommt, in derselben Senkrechten. Diese drei Lagen des Systemes werden drei correspondirende des Punktes G liefern. Führt man einen Kreis durch diese drei lezten Punkte, so wird man den festen Mittelpunkt k finden, und den Halbmesser kG, indem man die Bedingung erfüllt, die Bewegung des Punktes H so zu reguliren, daß er sich von Q bis H drei Mal in derselben Senkrechten befindet, von welcher er sich in den übrigen Punkten wenig entfernen wird, wenn anders seine Verhältnisse gehörig getroffen sind. Durch Rechnungen gelangt man leicht zu demselben Resultate; ich halte mich aber an diese allgemeinen Anzeigen, und habe Grund zu hoffen, daß das hier eingeschlossene Detail den Mechanikern nüzlich seyn wird, die über ihre Entwürfe nachdenken wollen.

Wir haben im Polyt. Journ. Bd. XXXV. S. 262. u. 332. die Ansichten der englischen Mathematiker über diesen Gegenstand mitgetheilt; es ist der Mühe werth, hier auch die Ansichten eines der ersten Mathematiker Frankreichs, Hrn. de Prony's, vorzulegen. A. d. Ue.

|86|

Dieß ist in unseren Exemplaren nicht der Fall. Es ist nur der Maßstab angegeben.

A. d. Ue.

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