Titel: Fickler, über die Kraft des unbegränzten Wassers.
Autor: Fickler, Wilhelm
Fundstelle: 1835, Band 55, Nr. XXXIII. (S. 180–212)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj055/ar055033

XXXIII. Ueber die Kraft des unbegränzten Wassers. Von Wilhelm Fickler, königlich preußischer Baumeister in Uerdingen.

Mit Abbildungen auf Tab. III.

Vorwort.

Die Kraft sich bewegender flüssiger Massen, namentlich des Wassers und des Windes, gewährt so beträchtlichen Nuzen, daß die Erforschung der Größe dieser Kräfte und die Vervollkommnung derjenigen Maschinen, wozu diese Kräfte benuzt werden, von vielen um Künste und Wissenschaften verdienten Männern versucht wurde.

Insbesondere wurden mancherlei Versuche und Beobachtungen über die vortheilhafteste Benuzung des Wassers auf Räder angestellt, deren Resultate aber auf die befremdendste Weise von einander abweichen. Namentlich zog schon der französische Gelehrte de Parcieux in der Mitte des vorigen Jahrhunderts aus seinen Versuchen den Schluß, daß das Wasser durch den Druk wirkend einen größeren Effect auf Räder leiste, als durch den Stoß, und die Versuche Banks schienen ebenfalls zu ergeben, daß die Kropfräder und oberschlächtigen Räder einen größeren Effect leisten als Räder im geraden Gerinne. Dahingegen will der neuere Gelehrte Poncelet das ganze Gefälle als Wasserstand benuzt haben, und das Wasser an die tiefsten Schaufeln leiten, also nach den bisherigen Ansichten der Gelehrten nur allein durch den Stoß wirken lassen.

So entgegengesezte Resultate müssen um so mehr befremden, als dieselben aus Erfahrungen und von Männern hergeleitet wurden, denen man hinlängliche Umsicht zu dergleichen Beobachtungen zuzutrauen berechtigt ist; es müssen dieselben daher zu der Vermuthung Veranlassung geben, daß beide Resultate richtig seyn können, und ich habe es in meiner Theorie der Kraft sich bewegender flüssiger Massen |181| versucht zu zeigen, aus welchen Gründen diese Erfahrungen so sehr von einander abweichen, und wie man die Anordnung treffen müsse, um bei gleichen zur Wirkung kommenden Wassermengen gleiche, so wie die größten Effecte zu erzielen.

Obgleich indeß diese Theorie der Kraft sich bewegender flüssiger Massen bereits seit ein und einem halben Jahre die Presse verlassen hat, ist mir doch noch keine öffentliche Beurtheilung derselben zu Händen gekommen, noch habe ich erfahren, daß man irgendwo Versuche zur Prüfung und Berichtigung derselben angestellt hat, und dieß in einer Zeit, wo so bedeutende Summen für Kunst und Wissenschaft verschwendet werden. Daß dieß in einer völligen Nichtbeachtung jener Theorie seinen Grund haben sollte, läßt sich nicht wohl erwarten, denn die darin enthaltenen Wahrheiten müssen sich jedem denkenden Geiste zu sehr aufdringen, wenn diese Theorie auch in vielen Theilen noch nicht vollendet ist, ich auch nicht erwartete, bei dem Mangel an Muße und Gelegenheit zu eigenen Beobachtungen, diese Theorie, woran die Bemühungen so vieler Gelehrten bisher scheiterten, so bald zur Vollendung zu bringen und einstweilen das mittheilte, was meiner Ueberzeugung nach für die Industrie von großem Nuzen seyn konnte.

Sogleich nach dem Erscheinen dieser Theorie führte mich indeß die umfassendere Untersuchung über die Anwendung derselben auf expansible flüssige Massen, auf einen darin für die Berechnung der Kraft des unbegränzten Wassers enthaltenen Rechenfehler, indem bei Berechnung dieser Kraft nach den Versuchen Bossuts für die hydrostatische Kraft das ganze Wasserprofil vor der Ebene irrthümlich in Rechnung gebracht war, anstatt nur das Geringe des Aufstaues in Rechnung zu bringen; so kann es nun geschienen haben, als ob diese Theorie, da die hydraulische Kraft bei großer Belastung und geringer Geschwindigkeit des Rades nur sehr gering wird, doch bei Rädern im unbegränzten Wasser nicht richtig, also nicht allgemein anwendbar sey. Ich wähle daher diesen Weg, diese Lüke durch nachfolgende Paar Bogen einstweilen auszufüllen, bis es die Umstände erlauben und wünschenswerth machen sollten, dieß ausführlicher in einer Anwendung dieser Theorie auf expansible Flüssigkeiten nachzuholen.

Die indeß Statt gehabte Umänderung der in der gedachten Theorie näher beschriebenen Mühle auf der ehemaligen Karthause bei Jülich, hat aber ebensowohl von der Richtigkeit des von mir von dieser Mühle Gesagten, als davon einen Beweis geliefert, wie wenig eine allgemeine Anwendung jener Theorie noch zu erwarten ist. Es war nämlich im April vorigen Jahres diese Mühle zugleich für eine Knochenstampfmühle eingerichtet, worin 15 Stampfen von einer |182| zweihubigen Daumenwelle in Bewegung gesezt wurden. Leztere wurde mittelst einer Kette ohne Ende getrieben, welche über ein Rad auf der Daumenwelle der Oehlmühle von 3 1/2 Fuß Durchmesser und über ein anderes auf der Daumenwelle der Knochenstampfmühle von 2 1/2 F. Durchmesser geleitet war. Dem Wasserrade hatte man anstatt sonst einen Fuß, nunmehr einen und einen halben Fuß Ringtiefe und dabei noch wieder einen Boden gegeben – wahrscheinlich doch wohl um zu sehen, ob bei dieser Ringtiefe sämmtliche 15 Stampfen in Betrieb gesezt werden könnten. Es zeigte sich indeß bald, daß hier, wo die Massen immer wieder von Neuem in Bewegung gesezt werden müssen, und die Maschine also nicht, wie wenn die Oehlmühle im Betriebe ist, einen stetigen Schnekengang annehmen kann, diese Belastung zu groß war und nicht mehr als die Hälfte der Stampfen angehängt werden durfte.

Der zweihubigen Welle dieser Knochenstampfmühle hatte man die mangelhafte Einrichtung, die Daumen nach der Schneke zu sezen, gegeben, was hier doppelt nachtheilig war, da nur die Hälfte der Stampfen, also ein Mal die vorderen sieben, und dann, wenn das Knochenmehl in diesem Theile des Troges fein genug war, die anderen 8 in Bewegung gesezt werden konnten, so daß immer fast gleichzeitig 4 oder 3 Stampfen von der halben Schneke gehoben wurden und fast gleichzeitig niederfielen, wodurch ein sehr ungleichförmiger Beharrungsstand Statt fand. Jede Stampfe wurde 16 bis 17 Zoll hoch gehoben und war von Eichenholz 4 1/2 Zoll im Quadrat stark, 11 Fuß lang und mit 30 bis 32 Fuß schweren eisernen Schuhen versehen, so daß jede circa 120 Pfund wog.

Das Wasserrad bewegte sich in einer Minute sieben Mal um seine Achse, während sich die Daumenwelle funfzehn Mal um ihre Achse bewegte, also jede Stampfe 30 Mal in einer Minute gehoben wurde.

Der Effect war daher nach einem einfachen Ueberschlage, wenn man annimmt, daß durchschnittlich immer eine Stampfe ganz auf den Daumen wirkt und jede Stampfe von 120 Pfd. schwer 1 1/3 F. hoch gehoben wird.

120 . 30 . 1 1/3 = 4800 Pfd.

excl. der Reibung der Maschine und ohne Berüksichtigung des Umstandes, daß die Daumen so vertheilt sind, daß immer etwas mehr wie eine Stampfe normal auf den Daumen wirkt. In der mehrgedachten Theorie ist aber der hydraulische Druk unter obigen Umständen zu 5536 Pfd. berechnet worden.

Die Schaufeln des Wasserrades wurden nur zur Hälfte mit Wasser gefüllt, und also war der Boden des Rades ganz unnüz, |183| auch klagte man am 14. Mai 1833 bei etwas trokener Witterung schon sehr über Wassermangel.

Sonach hat sich bereits der größte und wesentlichste Theil dessen, was ich über die Anordnung und Umänderung dieser Mühle gesagt habe, praktisch bewährt und manche andere Mühle jener industriereichen Gegend könnte mit Sicherheit zu einem höheren Grade der Vollkommenheit gebracht werden.

Hat aber jene Theorie noch wenig Beachtung gefunden, so muß man auf der anderen Seite um so mehr erstaunen, wie, obgleich man von der Mangelhaftigkeit der früheren Theorien überzeugt war, man dennoch annahm, die Kraft, welche man als an dem Umfange des Wasserrades wirkend berechnete, sey richtig erforscht, dagegen pflanze das Rad nur gewisse Procente dieser Kraft fort, und es bleibt immer bemerkenswerth, wie ganze Commissionen dergleichen Unterstellungen mit dem größten Ernst machen konnten, anstatt an der Richtigkeit der Berechnung der Kraft zu zweifeln. Wahrlich, wenn Kästner es schon eine Spielerei nennt, daß Physiker den Versuch, daß eine Feder im luftleeren Raume eben so schnell als andere Körper fällt, ihren Schülern vormachen, was würde er erst zu einer solchen Unterstellung sagen, die noch den Nachtheil hatte, daß man nicht fortfuhr mehrere Versuche zu machen, um die Kraft richtig zu erforschen, und so Räder nach Mustern baute, von deren Vorzug man sich die Gründe gar nicht anzugeben wußte; zu wie großen Nachtheilen ein solches Verfahren aber Veranlassung geben kann, ist mir nirgends so auffallend vorgekommen, als in einer Tuchfabrik bei Düren. –

Ich schließe daher dieses Vorwort mit dem aufrichtigen Wunsche, daß man bald der Theorie der Kraft sich bewegender flüssiger Massen in meinem Vaterlande Aufmerksamkeit schenken und die Resultate derselben zum Vortheile der Industrie benuzen möge.

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§. 1. Wenn sich eine flüssige Masse, sey sie expansibel oder nichtexpansibel, frei im Raume oder in Gerinnen und Flußbetten bewegt, so muß eine Ebene, welche sich mit derselben mit gleicher Geschwindigkeit bewegt, ohne Zweifel die bewegende Kraft dieser flüssigen Masse annehmen, und die Größe dieser Kraft muß bei gleichartigen Massen offenbar von dem Querschnitte dieser darauf wirkenden flüssigen Masse, oder von der Größe der Ebene und ihrer Geschwindigkeit abhängen.

Ist die Richtung der Bewegung der flüssigen Masse normal auf die Ebene, so wird von ihrer Größe selbst die Größe der flüssigen Masse und die Größe der Kraft derselben, welche darauf wirkt, |184| abhängen, sonst aber von der Projection der Ebene auf den auf die Richtung der Bewegung der flüssigen Masse gedachten normalen Querschnitt derselben, indem sich die Größen der Bewegung wie die Massen multiplicirt mit ihren Geschwindigkeiten verhalten.

§. 2. Bewegen sich nicht alle Theile der flüssigen Masse mit gleicher Geschwindigkeit, wie z.B. das in Gerinnen sich bewegende Wasser, so muß doch ohne Zweifel die Größe der in dem Wasser vorhandenen bewegenden Kraft von der mittleren Geschwindigkeit und der Größe des Querschnittes abhängen.

Bewegt sich ein Wasserstrahl aus der vertikalen Oeffnung eines Gefäßes, wo offenbar die unteren Wasserfäden, welche in der Oeffnung einen größeren Druk erleiden, eine größere Geschwindigkeit haben, und die mittlere Geschwindigkeit des Strahles ist der mittleren Geschwindigkeit des in einem Gerinne sich bewegenden Strahles von gleichem Querschnitte gleich, wo die unteren Wasserfäden eine geringere Geschwindigkeit haben, so wird doch unfehlbar die bewegende Kraft beider Wasserstrahlen von gleicher mittlerer Geschwindigkeit einander gleich seyn, indem wir die Kräfte nur aus ihren Wirkungen kennen, hier aber die in gleichen Zeiten durchlaufenen Räume die Wirkung ist, wonach wir die Größe der Bewegung der Massen also auch der bewegenden Kraft beurtheilen.

Bewegt sich eine Ebene, welche normal auf die Richtungslinie der Bewegung der flüssigen Masse steht, mit lezterer mit gleicher Geschwindigkeit fort, so hängt die Größe der Bewegung oder der bewegenden Kraft von der Größe der Ebene, von der Geschwindigkeit derselben und der Art der bewegten flüssigen Masse ab: diese Kraft wollen wir die hydraulische Kraft der flüssigen Masse nennen.

§. 3. Denkt man sich, daß in einem Gerinne Wasser gegen eine vertikale Ebene geleitet wird, welche das Gerinne gleichsam abschließt, indem sie dem Querschnitte des Gerinnes gleich, jedoch ohne Reibung an den Wänden des Gerinnes gedacht werden mag, so wird wenn eine Kraft auf die Ebene der Richtung des Wassers entgegenwirkt, diese Ebene dem andringenden Wasser nicht eher ausweichen, als bis der hydrostatische Druk des Wassers vor der Ebene jene Kraft überwindet; alsdann aber wird die Bewegung der Ebene so lange beschleunigt seyn, bis der Beharrungszustand eingetreten, das ist, wenn der Abfluß des Wassers mit der Ebene dem Zuflusse gleich geworden ist, sey es, daß der Wasserzufluß von einem nahen oder entfernten Behälter und dem Abhange des Gerinnes oder Flußbettes oder von dem Abhange des Wasserspiegels herrührt. Denn so lange der Abfluß des Wassers vor der Ebene dem Zuflusse noch nicht gleich geworden ist, muß sich das Wasser vor der Ebene noch zu erheben |185| trachten, und wieder eine noch schnellere Bewegung der Ebene erfolgen.

Indem aber das Wasser vor der Ebene und mit ihm der hydrostatische Druk zuerst so lange anwächst, bis die entgegenwirkende Kraft überwunden wird, würde, wenn das Wasser eben so hoch vor der Ebene bliebe, und sich dasselbe unmittelbar vor der Ebene mit ihr mir gleicher Geschwindigkeit bewegte, das mechanische Moment der auf die Ebene wirkenden Kraft dem mechanischen Momente des jener Kraft gleichen hydrostatischen Drukes gleich seyn. Da aber, sobald Bewegung in der Richtung des Wasserzuflusses erfolgt, auch noch die hydraulische Kraft hinzukömmt, und beider mechanisches Moment dem mechanischen Momente der entgegenwirkenden Kraft gleich seyn muß, sobald ein Gleichgewicht während der Bewegung eintritt, so muß der hydrostatische Druk in eben dem Maße abnehmen als die hydraulische Kraft zunimmt, also auch das Wasser wieder so lange vor der Ebene sinken, oder das Wasserprofil wieder so lange kleiner werden, bis Abfluß mit der Ebene dem Zuflusse gleich, aber auch zugleich das mechanische Moment der entgegenwirkenden Kraft dem mechanischen Momente der beiden so eben erwähnten Kräfte gleich geworden ist. Der dann noch bleibende hydrostatische Druk des Wasserprofils während der Bewegung soll die hydrostatische Kraft heißen, weil sie durch den hydrostatischen Druk des Wasserprofils während der Bewegung gebildet oder veranlaßt wird; die bewegende Kraft, welche aber nach Verhältniß der Geschwindigkeit dieses Wasserprofils in derselben vorhanden ist und welche sich der Ebene mittheilt, ist die hydraulische Kraft. Beide Kräfte zusammen bilden in diesem Falle den hydraulischen Druk, die Gesammtwirkung des Wassers, welche der entgegenwirkenden Kraft gleich, indem auch während der Bewegung Wirkung der Gegenwirkung stets gleich, ein Gleichgewicht während der Bewegung vorhanden seyn muß.

Bewegt sich die Ebene im unbegränzten Wasser, d.h. ist der Querschnitt des Wassers gegen die Ebene als sehr groß zu betrachten, so wird sich die Ebene ebenfalls um so langsamer bewegen, je größer die auf die Ebene wirkende Kraft ist, wie die Versuche Bossut's mit Rädern im unbegränzten Wasser beweisen, mithin kann nicht so viel Wasser mit der Ebene abfließen, als wenn keine Kraft auf die Ebene wirkt und sie sich mit dem Wasser mit gleicher Geschwindigkeit bewegt. Es muß sich daher das Wasser vor der belasteten Ebene anstauen, dadurch eine größere Geschwindigkeit des Wassers neben der Ebene entstehen, daher sich die Wasserfäden vor der Ebene zum Theil von ihrer geraden Richtung ablenken müssen.

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Wie sehr das Wasserprofil zunimmt, wenn eine Ebene der Bewegung entgegentritt, läßt sich aus den von Woltmann in seiner Theorie des hydrometrischen Flügels §. 46. mitgetheilten Beobachtungen schließen, wo das Wasserprofil eines Gerinnes von 564 Quadratzoll, dessen Geschwindigkeit 9,66 Fuß, wenn die Stoßfläche von 112 Quadratzoll senkrecht darin stand, zu 680 Quadratzoll anwuchs.

§. 4. Wirkt nun auf eine solche sich mit der unbegränzten flüssigen Masse bewegenden Ebene eine Kraft der Richtung der bewegten flüssigen Masse entgegen, so muß sich der davon herrührende Druk nach allen Seiten hin der bewegten flüssigen Masse mittheilen und nach allen Seiten hin selbst nach Oben, wo die nicht expansible flüssige Masse von einer expansiblen, der Luft, begränzt wird, wirken, und überall Wirkung der Gegenwirkung gleich seyn, da die Theile einer flüssigen Masse in einem ununterbrochenen Zusammenhange stehen.

Es ist hier nicht meine Absicht, eine Theorie aufzustellen, wie die Wassertheilchen einander den Druk mittheilen und ein Gleichgewicht unter einander wieder herzustellen suchen müssen, und wie die Luft mit darauf einwirkt, sondern nur zu versuchen die durch genaue Versuche und Beobachtungen bekannten verbürgten Resultate zusammenzustellen, um daraus für die Anwendung diejenigen Schlüsse zu ziehen, die den allgemeinen Naturgesezen, vorzüglich dem, daß bei jeder Mittheilung der Bewegung Wirkung und Gegenwirkung gleich seyn müsse, gemäß, allgemeine Gültigkeit haben müssen. Es wird insbesondere hiebei einstweilen hinlänglich seyn zu erörtern, auf welche Weise die Ebene den Druk überhaupt empfängt.

Ich bemerke nur, daß wenn man annimmt, der Druk einer flüssigen Masse theile sich derselben bis an ihre Gränzen mit, dieß nur von in feste Gränzen eingeschlossenen flüssigen Massen in aller Strenge gelten kann, nicht aber in Teichen, Flußbetten und Gerinnen, wo das Wasser an der Oberfläche von einer elastischen Flüssigkeit begränzt wird, welche dem Druke nachgibt, und so dem Druke auf die Wassertheilchen hier theilweise einen Ausweg verstattet, so daß die Wirkung gegen die entfernteren Wassertheilchen immer mehr und mehr abnimmt, wie die Wellenkreise einer an einem Punkte in Bewegung gesezten Wassermasse, je entfernter von dem Mittelpunkte immer schwacher werden; dieß Phänomen läßt sich vielleicht dadurch erklären, daß der nach allen Seiten, also auch nach der Oberfläche hin wirkende Druk nur so weil die Oberfläche erhebt, als derselbe den Druk der Luft auf die Oberfläche überwindet, und endlich ins Gleichgewicht kommt, dann fällt das erhobene Wasser wieder und so entsteht, indem sich der Druk weiter fortpflanzt, eine entferntere |187| aber schwächere Wirkung in einem größeren Kreise. Wenigstens scheinen die Wellenkreise eine Erhebung an ihren Gränzen zu zeigen. Hiedurch erklärt sich auch, warum der Druk auf eine Ebene, welche das Gerinne gleichsam abschließt, sich nur so weit erstrekt, als von demselben eine geringere Geschwindigkeit, bei einem größeren Querschnitte als die ursprüngliche des Wassers im Gerinne bewirkt wird.

Nicht minder erklärt sich hiedurch., warum Fahrzeuge in Gerinnen und engen Canälen einen größeren Widerstand von Wasser erleiden als im unbegränzten Wasser, indem die Seitenwände des Gerinnes jene Wellenkreise, die, in so fern sich der Druk nach allen Seiten hin ausbreiten will, Druksphären bilden, unterbrechen und Segmente abschneiden, welche von festen Ebenen begränzt werden und wohin der Druk sich nicht weiter verbreiten kann.

§. 5. Ist die bewegte flüssige Masse nicht expansibel, so bedingt die Größe der Ebene in Vergleich mit dem Querschnitte der flüssigen Masse die Wirkung der Kraft auf die Ebene, so wie die Aenderung der Bewegung der flüssigen Masse.

Ist nämlich die Ebene dem Querschnitte der flüssigen Masse gleich, und schließt dieselbe also des Gerinne gleichsam ab, so wird, wie bereits gedacht, die nichtexpansible flüssige Masse, wie das Wasser, den ihm entgegenstehenden Widerstand durch Anwachsen zu einem größeren Querschnitte zu überwinden trachten, bis der größere hydrostatische Druk des Wassers auf die Ebene die demselben entgegenwirkende Kraft überwindet und sich die Ebene mit dem Wasser wieder fortbewegt, wobei aber dasselbe dem größeren Querschnitte gemäß vor der Ebene auf eine gewisse Entfernung, und zwar so weit der Aufstau reicht, eine geringere Geschwindigkeit angenommen hat, mithin wird nun die bewegende Kraft des Wassers auf die Ebene unmittelbar von diesem größeren Querschnitte und der geringeren Geschwindigkeit der flüssigen Masse abhängen.

Ist die Ebene dem Querschnitte des Wassers nicht gleich, und zwar lezterer größer, und wie man sich auszudrüken pflegt, unbegränzt, so kann zunächst wieder die Ebene, wenn keine Kraft auf dieselbe der Richtung des Wassers entgegen wirkt, sich mit demselben mit gleicher Geschwindigkeit fortbewegen, und es wird die Ebene mit der hydraulischen Kraft des Wassers fortgeführt, welche von der Größe der Ebene, ihrer Geschwindigkeit und der Art der flüssigen Masse abhängt.

Wirkt aber auf die Ebene eine Kraft der flüssigen Masse entgegen, so kann diese Kraft zunächst so groß seyn, daß die Ebene gegen den Andrang der flüssigen Masse in Ruhe bleibt. In diesem Falle müssen sich die Wasserfäden vor der Ebene ablenken und so |188| mittelbar durch das vor der Ebene befindliche ruhende Wasser einen Druk auf die Ebene ausüben; auch hat Daniel Bernoulli den Normaldruk der in krummen Linien vor der Ebene abgleitenden Wasserfäden zu bestimmen gelehrt. So genau indeß das Resultat der Theorie Bernoulli's mit der Erfahrung, so wie mit dem Resultate der allgemeinen Theorie der Kraft bewegter Massen, wie sie Eytelwein vorträgt, hinsichtlich der Wirkung isolirter Strahlen auf hinlänglich große Ebenen übereinstimmt, eben weil bei hinlänglich großen Ebenen die Bedingungen der Theorie Bernoulli's hinsichtlich des Abgleitens der Wasserstrahlen erfüllt werden (obwohl die Erfahrung lehrt, daß die Ebene wenigstens vier Mal so groß seyn muß als der Querschnitt des Strahles, und Eytelwein von einem ganz anderen Gesichtspunkte ausgeht, und die Wirkung des Strahles als einen Stoß betrachtet, oder doch wenigstens annimmt, daß alle Theile zum Stoße gelangen, was streng genommen nicht richtig seyn kann, im dem die bereits angestoßenen Wassertheilchen nicht plözlich verschwinden und den übrigen zum Stoße Plaz machen können), so tritt doch bei dem Abgleiten der Strahlen des unbegränzten Wassers vor einer Ebene ein ganz anderes Verhältniß ein, da diese Strahlen, indem sie sich vor der Ebene ablenken, zugleich auf die übrigen neben der Ebene vorbeifließenden wirken müssen, mithin die Bedingungen der Theorie Bernoulli's nicht mehr Statt finden.

Aus der Uebereinstimmung der Resultate der beiden gedachten Theorien mit der Erfahrung, wonach diese Wirkung eines isolirten Strahles auf eine hinlänglich große Ebene dem Druke einer Wassersäule gleich ist, welche doppelt so hoch als die der Geschwindigkeit zugehörige Höhe ist, geht natürlich auch der Saz hervor, daß die Wirkung des Stoßes des Strahles dennoch vollständig bewirkt wird, obwohl die Wassertheilchen nicht alle unmittelbar auf die Ebene ihren Stoß ausüben können, und theilweise nur mittelbar auf dieselbe wirken.

Wenn man eine Ebene im unbegränzten Wasser dem Strome entgegenführt, so folgt das Wasser der Hinteren Ebene, und muß also auch mit einer hydraulischen Kraft auf die Hintere Fläche der Ebene wirken. Bei einer dem Strome entgegenstehenden ruhenden Ebene kann eine solche Wirkung des Wassers auf die Hintere Fläche der Ebene nicht Statt finden, und es kann dasselbe durch seine Bewegung nur einen Druk auf die vordere Fläche ausüben, obwohl der hydrostatische Druk auf die Hintere Fläche der Ebene dadurch geringer werden kann, daß das Wasser hinter der Ebene dem übrigen folgen will, und daselbst nur durch Widerströme ersezt wird.

Mit der eben gedachten Normalkraft der sich vor der Ebene |189| ablenkenden Wassertheilchen, welche eine sich bewegende flüssige Masse auf eine ruhende, ihr entgegenstehende Ebene ausübt, wird man die Kraft wohl vergleichen, und man sollte im ersten Augenblike glauben, ihr ganz gleichstellen können, wenn man eine Ebene im ruhenden unbegränzten Wasser mit eben der Geschwindigkeit fortbewegt, als womit das Wasser sich gegen die ruhende Ebene bewegte, wie z.B. Bossut Beobachtungen mit Ebenen oder vielmehr mit Fahrzeugen anstellte, welche sich im ruhenden unbegränzten Wasser bewegten, indem in diesem Falle offenbar die Wassertheilchen in ähnlicher Art aus ihrer Lage gedrängt werden, und sich vor der Ebene ablenken müssen, wie sich dieselben vor der ruhenden Ebene im bewegten Wasser ablenken, nur läßt es sich erwarten, daß da in dem fließenden Wasser die Wassertheile hinter der Ebene ein Bestreben haben, sich von der Ebene zu entfernen, der Druk auf die Hintere Fläche der Ebene nicht ganz so groß seyn kann, als auf die Hintere Fläche einer Ebene, die sich im ruhenden Wasser bewegt; mindestens ergeben die Beobachtungen Woltmann's den Druk des sich bewegenden Wassers gegen eine ruhende Ebene ungefähr zu 5/4 des Drukes, welchen nach Bossut's Versuchen die bewegte Ebene in einer ruhigen flüssigen Masse erleidet, wenn man bei lezterem die vom Aufstau herrührende hydrostatische Kraft abzieht. Es kann indeß seyn, daß Woltmann seine Beobachtungen ebenfalls mit Ebenen anstellte, welche theilweise aus dem bewegten Wasser hervorstanden, in welchem Falle dann von dem beobachteten Druk = 5/4 des der Geschwindigkeitshöhe angemessenen noch die hydrostatische Kraft abzuziehen, und der Unterschied beider Wirkungen sehr unbedeutend seyn würde.

Man kann ferner diesen Druk, den eine ruhende Ebene in einer bewegten flüssigen Masse, so wie den, welchen eine bewegte Ebene im ruhenden Wasser erleidet, auch wohl mit dem Druke und dem Bestreben vergleichen, welchen ein jener Ebene gleicher Theil der horizontalen Seitenfläche eines Gefäßes von der über ihr stehenden flüssigen Masse erleidet. Hier ist Bestreben nach Bewegung durch Druk einer vom Wasser umgebenen Wassersäule; dort geht aus der Bewegung einer von Wasser umgebenen Wassermasse, welche der Höhe einer gleichen Säule gemäß ist, Druk hervor, und so läßt sich wohl der aus dem reinen Verstandesbegriffe gezogene Grundsaz, daß bei jeder Mittheilung von Bewegung und bewegender Kraft Wirkung der Gegenwirkung gleich seyn muß, mittelbar hier anwenden, denn diese von der Bewegung herrührende Wirkung eines Wasserstrahles muß gewiß der ursprünglichem Kraft gleich seyn, welche eben diese Geschwindigkeit hervorbringen würde.

Aus diesen Gründen will ich diese Kraft, welche eine ruhende |190| Ebene im fließenden Wasser, oder eine bewegte Ebene im ruhenden Wasser ihrer Geschwindigkeit gemäß erleidet, die ursprüngliche Kraft (l'impulsion initiale) nennen, und es geben obige Betrachtungen zugleich ein leichtes Mittel an die Hand, die Größe derselben zu bestimmen.

Es kommt überhaupt bei obigen Erörterungen darauf an, die Wirkung einer mit irgend einer Geschwindigkeit gegen die ruhende Ebene fließenden Wassermenge oder den Widerstand, welchen eine sich bewegende Ebene im ruhenden Wasser erleidet, zu bestimmen, und obgleich in der Wirklichkeit diese Kraftäußerung nur mittelbar durch das Ablenken der Wassertheile vor der Ebene geschehen kann, und es daher natürlich war, daß Daniel Bernoulli die Wirkung dieses sichtbaren Phänomens zu bestimmen suchte, so läßt sich doch schon aus reinen Verstandesconsequenzen schließen, daß von jener Wirkung des betreffenden Wasserstrahles, seiner Geschwindigkeit gemäß, nichts verloren gehe und man daher die Kraft, welche in den Wasserstrahl wirkt, nach Eytelwein aus den allgemeinen Gesezen der bewegenden Kräfte berechnen könne, dagegen muß man bei der Theorie Bernoulli's bedenken daß, vor einer vom Wasser im unbegränzten Wasser umgebenen Ebene, das Ablenken der Wassertheilchen nicht anders geschehen kann, als daß dieselben auch auf die umgebenden Wassermassen nach allen Seiten hin wirken, und dadurch auf die Ebene selbst zurükwirken.

Obgleich daher die ganze Wassermasse nicht nach und nach auf die Ebene unmittelbar wirkt, so ist dieß doch mittelbar der Fall, so daß man den aus dieser Geschwindigkeit entstehenden Druk dem gleichsezen kann, welchen eben diese Geschwindigkeit in eben diese Wassermasse hervorbringen würde, und die Erfahrung gibt für die Richtigkeit dieser Schlüsse in der Anwendung der reinen Verstandesprincipien ein sicheres Criterium, indem sie lehrt, daß beide Wirkungen gleich sind.

So glaube ich, läßt sich die Art der Wirkung des unbegränzten Wassers auf Ebenen, die sich seiner Bewegung entgegenstellen, oder welche sich in dem ruhenden Wasser bewegen wollen, vollkommen begreifen, wenn wir auch dadurch die Wechselwirkung aller einzelnen Wassertheilchen vor und hinter der Ebene nicht genau ermessen, und nur aus der Erfahrung die Größe dieser Wirkung bestimmen können.

Anmerkung. Wie und warum die Gestalt der Oeffnung eines Gefäßes eine andere Geschwindigkeit des Strahles als die hypothetische bedingen kann, seze ich hier als bekannt voraus, und verweise übrigens in dieser Hinsicht auf den §. 8 meiner mehrgedachten Theorie.

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Es möchte indeß noch eines Beweises bedürfen, daß die der Geschwindigkeit zugehörige Höhe mit der Höhe einer drükenden Wassersäule in der oben angenommenen Beziehung stehe. Denn daß das Product 2 hfγ (nach der unten folgenden Bedeutung der Buchstaben) dem Ausdruke für die Kraft eines Wasserstrahles d.h. dem für die Größe der Quantität der Bewegung desselben = c/2g Mγ in arithmetischer Beziehung gleich ist, gibt wohl noch keinen apodiktischen Beweis, der das Bewußtseyn der Nothwendigkeit bei sich fuhrt, für die Gleichheit beider, in allen Fällen, den einen für den anderen substituiren zu können, so wie, um nur einen Fall zu erwähnen, in der Mechanik immer erst zu untersuchen ist, ob mit entgegengesezten Zeichen vorkommende Größen wirklich entgegengesezte Größen sind.

Es ist nämlich nach Eytelwein's Handbuch der Mechanik und Hydraulik, wenn die bewegende Kraft P der Masse Q in der Zeit t die Geschwindigkeit c mittheilt, diese Kraft

P = c/2gt Q,

wo g = 15 5/8 Fuß die Fallhöhe eines Körpers in der ersten Secunde bedeutet.

Sezt man hierin = Q, wenn nämlich M die in jeder Secunde gegen die Ebene strömende Wassermenge und γ das Gewicht einer kubischen Einheit des Wassers bedeutet, also in der Zeit t das Gewicht der Wassermenge = tMγ gegen die Ebene strömt und darauf wirkt, so wird

P = c/2gt Q = c/2gt tMγ = c/2g Mγ,

welcher leztere Ausdruk bekanntlich

= c²/2g fγ = 2 hfγ

ist, wenn f die Größe der Ebene also cf = M die Wassermenge, und h die zu der Geschwindigkeit c gehörige Höhe bedeuten, und also

P = c/2g Mγ = c²/2g fγ = 2 hfγ,

und das Moment dieser Kraft

Pc = c²/2g Mγ = 2 hMγ

die Quantität der Bewegung des Wasserstrahls.

Diese Quantität der Bewegung theilt sich der Ebene offenbar mit, wenn sich die Ebene mit dem Wasserstrahle mit gleicher Geschwindigkeit bewegt.

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Wenn aber auf die Ebene eine Kraft der Wirkung des Wasserstrahls entgegen wirkt, also ein Theil dieser Quantität der Bewegung durch jene Kraft aufgehoben wird, und also die Ebene sich mit dem Wasserstrahl nicht mehr mit gleicher Geschwindigkeit fortbewegen kann, so kann diese Quantität der Bewegung, da die Wassertheilchen nicht alle nach einander zur unmittelbaren Wirkung auf die Ebene gelangen können, nicht anders als mittelbar auf die Ebene zur Wirkung kommen, indem die Wassertheilchen sich vor der Ebene ablenken. Wenn, um zuerst den einfachsten Fall zu sezen, die Ebene gegen den Andrang des Wassers in Ruhe bleibt, die auf die Ebene wirkende Kraft also so groß ist, daß die Quantität der Bewegung des Wasserstrahls sie nicht zu überwinden vermag, so müssen die sich vor der Ebene ablenkenden Wassertheilchen zugleich auf die übrigen neben der Ebene vorbeifließenden eine Wirkung äußern, welche durch den vor der Ebene erfolgenden Aufstand noch vergrößert werden, und wodurch die Bewegung der neben der Ebene vorbeifließenden Wassertheilchen beschleunigt werden muß. Da nun bei jeder Mittheilung von Bewegung Wirkung der Gegenwirkung gleich ist, so muß dadurch auch eine Rükwirkung auf die Hintere Fläche der Ebene entstehen, welche indeß vielleicht nur durch die Erfahrung genau ermittelt werden kann.

Die Beobachtungen Woltmann's geben die Kraft des unbegränzten Wasserstrahls auf eine ruhende Ebene im unbegränzten Wasser, womit die Ebene f gehalten werden muß, um der Wirkung des Wassers das Gleichgewicht zu halten, also in Ruhe zu bleiben = 5/4 hMγ ; da nun die Quantität der Bewegung des Wasserstrahls = c²/2g Mγ = 2 hMγ ist, so ist die Wirkung auf die Hintere Fläche der Ebene = 2 hMγ – 5/4 hMγ = 3/4 hMγ = 3/4 c²/4g Mγ .

Bewegt sich eine Ebene im ruhenden Wasser mit einer Geschwindigkeit c, so müssen sich die Wassertheilchen eben so vor der Ebene ablenken, wie sich das mit eben der Geschwindigkeit bewegende Wasser vor der ruhenden Ebene ablenkt, und es ist wohl kein Grund vorhanden, die Wirkung ein und desselben Phänomens nicht gleich zu sezen, so daß also die Wirkung der sich vor der bewegten Ebene im ruhenden Wasser ablenkenden Wassertheilchen, der Quantität der Bewegung des sich mit eben der Geschwindigkeit bewegenden Wassers gleich seyn muß, also

= c²/2g cfγ = c²/2g Mγ = 2 hMγ,

welche Kraft hier den Widerstand des ruhenden Wassers bildet.

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Indem sich aber die Ebene bewegt, muß das Wasser der Hinteren Fläche der Ebene folgen, und also auf dieselbe mit einer hydraulischen Kraft hfγ = c²/4g fγ wirken, deren Moment hcfγ = hMγ ist, welche also von obigem Widerstande abzuziehen ist. Es bleibt also dieser Widerstand noch 2 hMγhMγ = hMγ, wozu noch die vom Aufstau des Wassers vor der Ebene herrührende hydrostatische Kraft kommt, wie dieß die Beobachtungen Bossut's mit Fahrzeugen im ruhenden unbegränzten Wasser bestätigen.

Nimmt man an, daß die Bewegung der Ebene unendlich klein wird, d.h. daß sie in Ruhe bleibt, sich dagegen das Wasser bewegt, so scheint es, kann man der Analogie nach schließen, daß hier in eben der Art eine Wirkung auf die Hintere Fläche der Ebene Statt finden müsse, welche der Geschwindigkeit des Wassers eben so gemäß ist, wie vorher der Geschwindigkeit der Ebene, was dann zu eben dem Resultat führte, wie die obigen Betrachtungen.

In beiden Fällen läßt es sich aber erwarten, daß da das fließende Wasser schon eine Tendenz hat, sich in der der Richtung der Ebene entgegengesezten Richtung zu bewegen, die Rükwirkung auf die Hintere Fläche der Ebene nicht wohl eben so groß seyn kann, als im ruhenden Wasser; ob aber gerade, wie die Woltmann'schen Versuche ergeben haben sollen, die auf die Ebene als Wirkung verbleibende Kraft in allen Fällen = 5/4 hMγ ist, kann nur dann mit Gewißheit übersehen werden, wenn diese Versuche vollständig mitgetheilt werden, indem schon, wenn dieselben mit Ebenen angestellt wurden, welche theilweise aus dem Wasser hervorstanden, von jener Kraft die vom Aufstau herrührende hydrostatische Kraft abzuziehen seyn würde.

Auch ist es nicht unmöglich, daß die Wassertheilchen, welche nicht auf die Ebene wirken, sondern neben der Ebene ohne Wirkung auf dieselbe vorbeifließen würden, durch ihren Zusammenhang mit denen, welche nothwendig auf die Ebene wirken müssen, ebenfalls auf die Ebene wirken, wodurch wohl die Wirkung des sich bewegenden Wassers auf die vordere Fläche der Ebene ebenfalls größer würde, als auf die Hintere, welcher Fall bei dem Widerstande des ruhenden Wassers nicht eben so vorhanden ist, und wovon also die von Woltmann beobachtete größere Wirkung bis 5/4 hMγ theilweise mit herrühren kann.

Bewegt sich die Ebene zwar noch mit dem Wasser, aber mit geringerer Geschwindigkeit als die ursprüngliche des Wassers, so müssen sich die Wassertheilchen in eben der Art, aber nach Maßgabe der relativen Geschwindigkeit beider, vor der Ebene ablenken, dadurch |194| also auch eine der relativen Geschwindigkeit angemessene ursprüngliche Kraft auf die Ebene bewirkt werden, welche also

= 5/4 (cv)²/4g fγ = 5/4 h'fγ,

und das Moment derselben

= 5/4 h'f (cv) γ = 5/4 h'Mγ,

wenn h' die zu (cv) gehörige Höhe bedeutet, wozu dann aber noch die hydraulische Kraft nach Maßgabe der Geschwindigkeit v und eine hydrostatische Kraft nach Maßgabe des Aufstaues des Wassers vor der Ebene hinzukommt.

Bewegt sich die Ebene dem Strome entgegen, so wird natürlich eine ursprüngliche Kraft nach Maßgabe der Summe beider Geschwindigkeiten des Wassers und der Ebene, und eine hydrostatische Kraft nach Maßgabe des Aufstaues Statt finden, in welchem Falle also die ursprüngliche Kraft

5/4 (c + v)²/4g fγ,

und das Moment derselben

5/4 (c² + v)²/4g (c + v) = 5/4 (c + v)²/4g .

Denn ob das Wasser sich mit der Geschwindigkeit c + v, oder sich das Wasser nur mit der Geschwindigkeit c, die Ebene aber noch mit der Geschwindigkeit v dem Wasser entgegenbewegt, muß für die ursprüngliche Kraft gewiß ganz gleichgültig, so wie die auf die Ebene in beiden Fällen zur Wirkung kommende Wassermenge (c + v) f = M seyn.

Es ist zu wünschen, daß hierüber noch Versuche angestellt werden möchten, um diesen wichtigen Gegenstand der Wahrheit naher zu führen.

§. 6. Ist die auf die Ebene der Richtung der flüssigen Masse entgegen wirkende Kraft nicht so groß, daß die Ebene gegen den Andrang derselben in Ruhe bleibt, sondern bewegt sie sich mit der flüssigen Masse mit irgend einer geringeren Geschwindigkeit als die ursprüngliche Geschwindigkeit der flüssigen Masse mit fort, so muß dann nach eben dem Geseze, daß Wirkung der Gegenwirkung gleich seyn muß, das mechanische Moment der entgegen wirkenden Kraft dem der Kraft der flüssigen Masse gleich seyn.

Die bewegende Kraft der flüssigen Masse besteht aber in diesem Falle: 1) Aus der im vorigen Paragraph entwikelten ursprünglichen Kraft nach Verhältniß ihrer relativen Geschwindigkeit.

Denn so wie bei der ganz ruhenden Ebene müssen sich auch bei der, jedoch mit einer geringeren Geschwindigkeit als die der flüssigen |195| Masse sich bewegenden Ebene die Wassertheilchen vor der Ebene ablenken, welche nicht mit der Ebene abfließen können, mithin hieraus eine der relativen Geschwindigkeit der Ebene und der flüssigen Masse gemäße ursprüngliche Kraft auf die Ebene entstehen, so wie, wie wir später sehen werden, die expansiblen flüssigen Massen vor Ebenen, die sich mit einer geringeren Geschwindigkeit bewegen, als die expansible flüssige Masse selbst, eine der relativen Geschwindigkeit angemessene Elasticität vor der Ebene annehmen.

2) Aus der hydraulischen Kraft der flüssigen Masse, welche von der Größe der Ebene, ihrer Geschwindigkeit, welche der Geschwindigkeit der flüssigen Masse unmittelbar vor der Ebene gleich, und der Art, respective dem specifischen Gewichte der flüssigen Masse unmittelbar vor der Ebene abhängt.

Endlich 3) wenn die Ebene zum Theil aus der nicht expansiblen flüssigen Masse hervorsteht, so wird, wenn eine Kraft auf die Ebene der Richtung der flüssigen Masse entgegen wirkt, ein Aufstau vor der Ebene entstehen, der einen hydrostatischen Druk auf die Ebene hervorbringt, dessen mechanisches Moment den beiden zuerst genannten Kräften hinzuzurechnen ist. Diesen hydrostatischen Druk wollen wir, in so fern derselbe während der Bewegung besteht, die hydrostatische Kraft nennen.

Diese drei vorgedachten Kräfte bilden in diesem Falle also die Gesammtwirkung der unbegränzten flüssigen nicht expansiblen Masse, welche wir, wie überhaupt die jedesmalige Gesammtwirkung einer nicht expansiblen flüssigen Masse den hydraulischen Druk nennen wollen.

§. 7. Expansible flüssige Massen, welche sich bewegen, können für die Praxis als in allen Theilen ihres Querschnittes von gleicher Geschwindigkeit und gleicher Dichtigkeit angesehen werden, wirken daher auf alle Theile einer ihnen entgegenstehenden geraden Ebene mit gleicher Kraft.

Bleibt die Ebene in Ruhe, d.h. ist die auf die Ebene wirkende Kraft so groß, daß sie von der Kraft der darauf wirkenden flüssigen Masse nicht überwunden wird, so muß dieselbe vor der Ebene nach dem Geseze, daß Wirkung und Gegenwirkung einander gleich seyn müssen, eine Elasticität annehmen, eben so groß, als die in einem Gefäße eingeschlossene expansible Flüssigkeit, oder wie die Kraft, womit sie auf die Ebene drüken würde, wenn sie aus diesem Gefäße durch eine kleine Oeffnung mit eben der Geschwindigkeit dringen würde, als womit sich diese flüssige Masse gegen die Ebene bewegt.

|196|

Ich will daher auch diese Kraft die ursprüngliche pneumatische Kraft nennen.

Ist diese ganze der Geschwindigkeit gemäße Elasticität der flüssigen Masse nicht erforderlich, die auf die Ebene wirkende Kraft zu überwinden, sondern tritt schon bei einer geringeren Elasticität derselben, Bewegung der Ebene ein, so wird diele Elasticität der relativen Geschwindigkeit beider der Ebene und der luftförmigen Masse gemäß seyn; die Gesammtwirkung der expansiblen flüssigen Masse auf die sich bewegende Ebene besteht dann also:

1) aus der gedachten ursprünglichen Kraft, welche von der relativen Geschwindigkeit der Ebene und der Luft abhängt;

2) aus der hydraulischen Kraft, welche von der Geschwindigkeit der Ebene, die der Geschwindigkeit der flüssigen Masse unmittelbar vor der Ebene gleich seyn muß, und der Art oder respectiven Dichtigkeit der flüssigen Masse unmittelbar vor der Ebene abhängt.

Beide Kräfte zusammen bilden die Gesammtwirkung der expansiblen flüssigen Masse, welche der pneumatische Druk heißen mag.

Eine hydrostatische Kraft wie bei nicht expansiblen flüssigen Massen kann hier nicht Statt finden.

Anmerkung. Wendet man diese Grundsäze richtig an, so erhält man das mechanische Moment des pneumatischen lateralen oder Seitendrukes, wenn man die in meiner Theorie der Kraft sich bewegender flüssiger Massen angenommene Beziehung beibehält, wo β der Winkel ist, welchen die schiefe Ebene mit der Normalebene auf die Richtung der Bewegung der flüssigen Masse bildet.

Pv = 1/4 g (4/3 c² + v² sin. β ) sin. β cos. β cfγ'
= 1/8 g (4/3 c² + v² sin. β ) sin. 2 β cfγ'
= 1/4 g (4/3 c² + v² sin. β ) sin. β Mγ,

wonach der in der eben gedachten Theorie gegebene Ausdruk für die Kraft des Windes auf Windmühlenflügel zu berichtigen ist.

§. 8. Aus den hier vorgetragenen Entwikelungen gehen nun nachfolgende Ausbrüte für die Berechnung des hydraulischen Drukes nicht expansibler flüssiger Massen, welche unter dem Namen Wasser verstanden werden mögen, hervor, deren Resultate genau mit den Beobachtungen Woltmann's und Bossut's übereinstimmen, und wonach die in meiner Theorie der Größe der Kraft sich bewegender flüssiger Massen für diesen Fall, nämlich für die bewegende Kraft des unbegränzten Wassers, zu berichtigen sind, nur die Ausbrüte für die Berechnung des hydraulischen Drukes des Wassers in geraden und Kropfgerinnen bleiben ungeändert, jedoch ist der von dem wasserhaltenden Bogen herrührende Druk, welcher der ganzen Höhe dieses Bogens proportional ist, analog mit dem Druke des Wassers |197| in einer Röhre von gleicher Höhe, mit dem Namen der ursprünglichen Kraft zu benennen; die hydrostatische Kraft ist immer nur der halben Höhe des Aufstaues vor der Ebene gemäß.

Es sey nun:

a die Länge der Ebene,

B die Höhe derselben, so weit das Wasser darauf wirkt,

f = aB der Flächeninhalt dieses Theils der Ebene, worunter also der Querschnitt der flüssigen Masse unmittelbar vor der Ebene zu verstehen ist,

b die Erhebung des Wassers oder die Höhe des Aufstaues desselben vor der Ebene,

c die Geschwindigkeit der flüssigen Masse,

v die Geschwindigkeit der Ebene,

h die zu der relativen Geschwindigkeit (c – v) gehörige Höhe,

h' die zu der Geschwindigkeit der Ebene v gehörige Höhe,

p, die ursprüngliche Kraft,

p' die hydraulische Kraft,

p'' die hydrostatische Kraft,

P der hydraulische Druk,

γ das Gewicht einer kubischen Einheit der flüssigen Masse oder des Wassers, so ist

1) die ursprüngliche Kraft, welche von der relativen Geschwindigkeit der Ebene und des Wassers herrührt, nach §. 6.

p = (cv)²/4g aBγ = (cv)²/4g fγ = hfγ,

wenn h die zu der relativen Geschwindigkeit (c – v) gehörige Hohe ist.

Das mechanische Moment dieser ursprünglichen Kraft oder die Gesammtwirkung derselben während einer Zeiteinheit

p (cv) = (cv)²/4g (cv) aBγ = (cv)²/4g (cv) = h (cv) ,

und wenn man die in Bezug auf diese Kraft zur Wirkung kommende Wassermenge M nennt, wo

(cv) f = Mp (cv) = (cv)²/4g Mγ = hMγ.

Für v = o, oder wenn die Ebene gegen den Andrang der flüssigen Rasse in Ruhe bleibt, wird diese ursprüngliche Kraft

pc = c²/4g cfγ = hcfγ = hMγ

wie gehörig (§. 5.). Denn ob eine Ebene den Druk c²/4g fγ erhält, und sich während einer Zeit um c fortbewegt, oder ob die ruhende |198| Ebene durch die Geschwindigkeit eben den Druk empfangt, und dieser Druk nun eine Zeiteinheit hindurch dauert, muß für die Gesammtwirkung in eben dieser Zeit, welche wir das mechanische Moment nennen, offenbar ganz gleich seyn.

2) Die hydraulische Kraft

p' = v²/4g aBγ = v²/4g fγ = h'fγ

und das mechanische Moment dieser Kraft

p' v = v²/4g vaBγ = v²/4g vfγ = h'vfγ,

und wenn man die in Bezug auf diese Kraft zur Wirkung kommende Wassermenge M' = vf nennt,

p' v = v²/4g M'γ = h'M' γ.

Diese Kraft ist nämlich der bewegenden Kraft eines aus der Oeffnung eines Gefäßes strömenden Wasserstrahles von eben dem Querschnitt f und Geschwindigkeit v, oder bei eben der Drukhöhe h' des Wassers über der gedachten Oeffnung gleich, indem das Wasser unmittelbar vor der Ebene keine andere Geschwindigkeit haben kann, als die Ebene selbst, worüber man die Paragraphen 8 und 9 der gedachten Theorie nachlesen wolle.

3) Die hydrostatische Kraft

p'' = 1/2 b²aγ = 1/2 bf 'γ,

wenn f' = ab gleich dem Flächeninhalt der von dem Aufstau bespülten Ebene ist. Daher das mechanische Moment dieser hydrostatischen Kraft

p''v = 1/2 b²avγ = 1/2 bfvγ = 1/2 bM''γ,

wenn M'' = bf' die in Bezug auf diese Kraft während einer Zeiteinheit zur Wirkung kommende Wassermenge ist.

Es ist daher der hydraulische Druk, welcher aus den eben gedachten drei Kräften zusammengesezt ist

P = p + p' + p''
= (cv)²/4g fγ + v²/4g fγ + 1/2 bf'γ
= [(h + h') f + 1/2 bf'] γ,

und das mechanische Moment des hydraulischen Drukes, oder die Gesammtwirkung der während einer Zeiteinheit, theils mittelbar, theils unmittelbar zur Wirkung kommenden Wassermenge

|199|

= p (cv) + p'v + p''v

= [(cv)²/4g cv + v²/4g v] + 1/2 bf'vγ

= [[h (cv) + h'v] f + 1/2 bf'v] γ

= [hM + h'M' + 1/2 bM''] γ

Für v = o, oder wenn die Ebene gegen den Andrang des fließenden Wassers in Ruhe erhalten wird, ist daher der hydraulische Druk des Wassers dessen ursprüngliche Geschwindigkeit c

P = [c²/4g f + 1/2 bf'] γ
= [hf + 1/2 bf'] γ,

und das mechanische Moment oder die Gesammtwirkung desselben

= pc + p'' v

= [c²/4g cf + 1/2 bcf'] γ

= [hM + 1/2 bM''] γ,

indem in diesem Falle die von der Geschwindigkeit v der Ebene und des unmittelbar vor der Ebene sich bewegenden Wassers herrührende hydraulische Kraft verschwindet, die hydrostatische Kraft aber von der Geschwindigkeit c des Wassers abhängt. Denn ob auch hier, wie bei der ursprünglichen Kraft, eine Ebene den hydrostatischen Druk 1/2 bfγ, erhält, und sich die Ebene während einer Zeiteinheit, wo dieser Druk fortdauert, um c fortbewegt, oder ob vor der ruhenden Ebene ein der Geschwindigkeit des Wassers c gemäßer Aufstau entsteht, und den hydrostatischen Druk 1/2 bfγ, hervorbringt, und nun während einer Zeiteinheit fortdauert, oder auf die Ebene wirkt, muß wohl, reinen Verstandesbegriffen gemäß zu schließen, für die Größe des mechanischen Momentes oder der Gesammtwirkung während einer Zeiteinheit, ganz gleich seyn.

Um die Resultate dieser Ausdrüke mit denen der Erfahrung zu vergleichen, will ich nur drei der in der gedachten Theorie der Kraft sich bewegender flüssiger Massen angeführten Beispiele über die Kraft des unbegränzten Wassers hienach berechnen, und zwar da das sechszehnte Beispiel wie dort berechnet bleibt, die Beispiele 17, 20 und 23 nach den Beobachtungen Bossut's, welche derselbe §. 1033 und 1040 seiner Hydrodynamik mittheilt, woraus nachfolgende Tafel ein Auszug ist.

|200|
Textabbildung Bd. 55, S. 200

Der Durchmesser der Welle, worauf sich die Schnur, woran das Gewicht hing, aufwikelte, betrug den zwölften Theil des Durchmessers des Rades, so daß sich also die Kraft zwölf Mal so schnell bewegte, als die Last. Der mittlere Durchmesser des Rades betrug 2 2/3 Fuß. Die Geschwindigkeit des unbegränzten Wassers, worin sich das Rad bewegte, war 5,71 Fuß, die Länge der Schaufeln war = 5 Zoll, und wurde das Rad so gestellt, daß die Schaufeln 4 Zoll tief eintauchten.

Es war daher nach dem ersten Versuch §. 1033. die Geschwindigkeit der Schaufeln

Textabbildung Bd. 55, S. 201

die Geschwindigkeit der Last

1/12 · 3,82' = 0,32',

das beobachtete mechanische Moment der Last

= 0,32 · 24 = 7,68 Pfund,

wozu nach den in meiner Theorie der Kraft sich bewegender flüssiger Massen etc. gegebenen Erörterungen an Nebenhindernissen noch etwa 1 Pfd. für Reibung und Steifigkeit der Seile, so wie 1 bis 2 Pfunde für den Widerstand hinzukommen, welchen bei dieser Geschwindigkeit des Rades die Schaufeln dadurch erleiden, daß sie sich aus dem Unterwasser hervorheben müssen.

Nach den gefundenen Ausbrüten ist nun aber

1) die ursprüngliche Kraft, da cv = 5,71 – 3,82 = 1,89 Fuß und die dazu gehörige Höhe nach der von Bossut mitgetheilten Tabelle h = 0,06', daher das mechanische Moment der ursprünglichen Kraft

|201|
p (cv) = h (cv) f γ
= 0,06 · 1,89 · 5/12 · 70 = 1,102

2) das mechanische Moment der hydraulischen Kraft,

da die zu v = 3,82' gehörige Höhe h = 0,241'
= 0,06 · 1,89 · 5/12 · 4/12 · 3,82 · 70 = 8,954

3) das mechanische Moment des hydraulischen Drukes = 10,056, wozu also nach den in der gedachten Theorie gegebenen Erörterungen nur ein kleiner Zusaz für die hydrostatische Kraft kommen würde, also der Aufstau vor den Schaufeln nur sehr gering seyn und außer Acht gelassen werden kann.

Nach dem dritten Versuche, §. 1040, ist, wenn man bei dieser größeren Belastung des Rades von 40 Pfund den Aufstau vor den Schaufeln, mit Berüksichtigung des niedrigeren Standes des Unterwassers hinter den Schaufeln zu 1 1/2 Zoll sezt, zunächst:

1) die Geschwindigkeit der Schaufeln

Textabbildung Bd. 55, S. 201

3) das beobachtete mechanische Moment der Last, exclusive der Nebenhindernisse = 0,272 · 40 = 10,88 Pfd.,

4) das mechanische Moment des hydraulischen Drukes, und zwar:

a) das der ursprünglichen Kraft, da cv = 5,71 – 3,26 = 2,45,
die dazu gehörige Höhe h = 0,0993
p (cv) = 0,0993 · 5/12 · 11/24 · 2,45 · 70 = 3,233 Pfd.
b) das der hydraulischen Kraft, da v = 3,26 und
die dazu gehörige Höhe h' = 0,176'
p'v = 0,176 : 5/12 · 11/24 · 3,26 · 70 = 7,661 –
c) das der hydrostatischen Kraft
p''v = 1/2 · 3/24 · 3/24 · 5/12 · 3,26 · 70 = 0,742 –
weil der Aufstau = 1 1/2 Zoll = 3/24 Fuß gesezt worden ist,
d) das des hydraulischen Drukes –––––––––
= p (cv) + p'v + p''v = 11,636 Pfd.

Nach dem 15ten Versuch, § 1040, ist

1) die Geschwindigkeit der Schaufel

Textabbildung Bd. 55, S. 201

2) die Geschwindigkeit der Last

1/12 · 2,272 = 0,189',

|202|

3) das beobachtete mechanische Moment der Last, exclusive der Nebenhindernisse

= 0,189 · 64 = 12,096 Pfd.

Nimmt man nun an, daß bei dieser großen Belastung des Rades das Wasser sich beinahe bis zur Hohe der Schaufeln aufgestaut hat, und daß das Wasser hinter den Schaufeln tiefer stehen muß, als wenn das Rad nicht belastet ist, so wird man diesen Aufstau wohl zu 2 Zoll rechnen dürfen. Es ist daher

4) das mechanische Moment der ursprünglichen Kraft, da
(cv) = 5,71 – 2,272 = 3,438 und die dazu gehörige Höhe
h = 2,3419'' = 0,195' ist
p (cv) = 0,195 · 5/12 · 6/12· 3,438 · 70 = 9,777 Pfd.
5) das der hydraulischen Kraft
p'v = 0,0854 · 6/12 · 6/12 · 2,272 · 70 = 2,492 –
6) das der hydrostatischen Kraft
p''v = 1/2· 1/6 · 1/6 · 5/12 · 2,272 · 70 = 0,920 –
7) daher das mechanische Moment des hydraulischen –––––––––
Drukes = p (cv) + p'v + p''v = 13,189 Pfd.

Vergleicht man dieses mechanische Moment des hydraulischen Drukes mit dem beobachteten, so sieht man, daß dasselbe nur 1 Pfd. größer ist, welcher Ueberschuß ungefähr für Reibung und Steifigkeit der Seile in Rechnung gebracht werden muß, und daß für den Widerstand, welchen die Schaufeln, indem sie sich aus dem Unterwasser erheben, erleiden, bei dieser geringen Geschwindigkeit derselben wenig zu rechnen ist.

Jedoch hätte der Aufstau für die hydrostatische Kraft oder vielmehr der Unterschied zwischen Ober- und Unterwasser an der tiefsten Schaufel auch wohl noch etwas größer gesezt werden können. Uebrigens gelten die in der gedachten Theorie gemachten Bemerkungen hinsichtlich der Abnahme der hydraulischen Kraft und des Anwachsens der ursprünglichen Kraft bei der größeren Belastung und der geringeren Geschwindigkeit des Rades, so wie die daraus gezogenen Schlüsse nur, wenn die vom Aufstau herrührende hydrostatische Kraft gering ist, und in den meisten Fällen außer Acht gelassen werden kann.

§. 9. Bewegt sich eine Ebene im ruhenden Wasser, wie bei den Versuchen Bossut's mit Fahrzeugen, so fällt, wie bereits bemerkt wurde, die hydraulische Kraft weg, indem dieß diejenige Kraft ist, welche eine sich bewegende flüssige Masse nach Verhältniß ihrer Geschwindigkeit auf die sich mit ihr mit gleicher Geschwindigkeit bewegende Ebene ausübt; die ursprüngliche Kraft aber, welche von der Bewegung der Ebene gegen das ruhende Wasser herrührt, |203| indem sie dasselbe zwingt, nach den Seiten abzugleiten, würde eben so groß seyn, als ob sich das Wasser mit eben der Geschwindigkeit gegen die ruhende Ebene bewegte (indem, wie gedacht, beide Wirkungen sehr wohl mit dem Druke oder dem Bestreben nach Bewegung, welches von einer entsprechenden Wassersäule auf die horizontale Seitenfläche eines Gefäßes ausgeübt wird, verglichen werden können §. 5), wenn nicht, wie erwähnt, durch die Bewegung des fließenden Wassers der Druk auf die Hintere Fläche der Ebene um etwas geringer, also die verbleibende Kraft auf die vordere Fläche um etwas größer wäre, und zwar nach Woltmann's Beobachtungen um ein Viertheil des ganzen Druks, von welchem Ueberschuß man jedoch noch die hydrostatische Kraft abzuziehen hat, wenn die Ebene theilweise aus dem Wasser hervorsteht, und diese Versuche in der Art gemacht seyn sollten.

Diese ursprüngliche Kraft gegen bewegte Ebenen im ruhenden Wasser ist daher, wenn v die Geschwindigkeit der Ebene ist

p = v²/4g aBγ = v²/4g ,

und das mechanische Moment derselben

pv = v²/4g fvγ = hfvγ = hMγ,

wenn M = fv die auf die Ebene (mittelbar) zur Wirkung kommende Wassermenge ist.

Steht die Ebene theilweise aus dem Wasser hervor, so muß sich ein Aufstau des Wassers vor der Ebene erzeugen, welcher einen hydrostatischen Druk = 1/2 b² auf die Ebene hervorbringt, wenn man die §. 8. gewählte Bezeichnung beibehält, und welche wir die hydrostatische Kraft genannt haben, deren mechanisches Moment, welches in beiden Fällen wohl richtiger mit dem allgemeinen Namen einer Gesammtwirkung belegt würde, also von der Geschwindigkeit des Wassers oder im anderen Falle von der der Ebene abhängt.

Diese Gesammtwirkung ist daher, wenn die Ebene sich im ruhenden Wasser bewegt

p''v = 1/2 b² avγ = 1/2 bf'vγ,

wenn die Ebene aber im fließenden Wasser von der Geschwindigkeit v in Ruhe erhalten wird

p''v = 1/2 b² avγ = 1/2 bf'vγ

jener gleich, wenn man die Geschwindigkeit des Wassers mit v bezeichnet.

Endlich ist der hydraulische Druk

P = p + p'',

|204|

und zwar, wenn die Ebene gegen ruhendes Wasser bewegt wird

P = v²/4g aBγ + 1/2 b² aγ = [v²/4g B + 1/2 b²]
= [hB + 1/2 b²] aγ = [hf + 1/2 bf'] γ.

Dagegen wenn die Ebene gegen den Andrang des fließenden Wassers in Ruhe erhalten wird

P = 5/4 c²/4g aBγ

nach den Beobachtungen Woltmann's, und worin wahrscheinlich die hydrostatische Kraft schon mit begriffen ist.

Daher ist das mechanische Moment des hydraulischen Druks oder die Gesammtwirkung desselben während einer Zeiteinheit, und zwar auf eine bewegte Ebene im ruhenden Wasser

Pv = [v²/4g Ba + 1/2 b²a] vγ = [v²/4g f + 1/2 bf']
= [hf + 1/2 bf'] vγ = [hM + 1/2 bM''] γ,

wenn M und M'' die in Bezug auf jede dieser Kräfte zur Wirkung kommenden Wassermengen bedeuten.

Das mechanische Moment des hydraulischen Druks des fließenden Wassers auf eine gegen den Andrang desselben in Ruhe bleibende Ebene ist nach §. 6.

Pc = 5/4 c²/4g fcγ = 5/4 hfcγ = 5/4 hMγ,

wenn h die zu der Geschwindigkeit c gehörige Höhe ist.

Wird in dem Ausdruk für das mechanische Moment des hydraulischen Druks auf Ebenen, die sich im ruhenden Wasser bewegen, bei einer geringen Geschwindigkeit der Ebene der Aufstau, welcher zwar nie ganz verschwinden kann, so klein, daß derselbe außer Acht zu lassen ist, so wird b = o daher das mechanische Moment dieses hydraulischen Druks

Fv = v²/4g fvγ = v²/4g Mγ = hMγ.

Wird ein Fahrzeug dem Strome eines fließenden Wassers entgegengezogen, so fällt natürlich ebenfalls die hydraulische Kraft weg, und es kommt für die ursprüngliche Kraft die Geschwindigkeit des Stromes zu der Geschwindigkeit des Fahrzeuges noch hinzu, daher ist in diesem Falle der Widerstand oder der hydraulische Druk, wenn c die Geschwindigkeit des Stromes

|205|
P = v²/4g fγ + c²/4g fγ + 1/2 bf'γ
= [1/4g (v² + c²) f + 1/2 bf'] γ,

und die Gesammtwirkung während einer Zeiteinheit oder das mechanische Moment dieses hydraulischen Drukes

= [v²/4g vf + c²/4g cf + 1/2 bf'] γ

= [1/4g (v² + c³) f + 1/2 bf'v] γ.

§. 10. Ist die Ebene in den im vorigen Paragraph erörterten Fällen unter irgend einem Winkel α gegen die Richtung der Bewegung des Wassers geneigt, so wird der hydraulische Druk auf diese schiefe Ebene ebenfalls aus den beiden Kräften, der ursprünglichen und der hydrostatischen Kraft bestehen.

Was zuerst die ursprüngliche Kraft nach der Richtung der Bewegung EA in Fig. 9 betrifft, so kann man dieselbe in zwei Kräfte zerlegen, wovon die eine EF mit der Ebene parallel derselben nichts thut, die andere FA normal auf die Ebene wieder in zwei Kräfte zerlegt werden kann, wovon die eine FC normal auf die Richtung der Bewegung durch andere Kräfte aufgehoben werden muß, und die bei Fahrzeugen, wo beide Ebenen unter ein und demselben Winkel gegen einander und gegen die Richtung der Bewegung geneigt sind, sich gegenseitig aufheben; die andere aber CA der Theil der ursprünglichen Kraft oder des Widerstandes ist, welcher nach der Richtung der Bewegung auf die schiefe Ebene bewirkt wird.

Ist nun

EA = p = v²/4g aBγ = v²/4g fγ = hfγ

die ursprüngliche Kraft des Wassers, dem normalen Querschnitt gemäß, sey es auf eine ruhende Ebene von der Größe dieses Querschnittes im fließenden Wasser, oder auf eine solche sich bewegende Ebene im ruhenden Wasser, so ist

FA = p sin. α und
AC = p sin.² α
= v²/4g f sin.² αγ = hf sinαγ,

daher das mechanische Moment dieser ursprünglichen Kraft, da sich jeder Punkt der Ebene nach dieser Richtung CA mit der Geschwindigkeit v bewegt

pv sinα = v²/4g fv sinαγ = hfv sinαγ = hM sin, αγ,

|206|

wenn M = fv sin. α die in einer Zeiteinheit in Bezug auf diese Kraft zur Wirkung kommende Wassermenge, deren Querschnitt f sin. α oder die Projection der schiefen Ebene, auf den auf die Richtung der Bewegung normalen Querschnitt des Wassers ist.

Daß diese Ausdrüke mit Beobachtungen über die Kraft des bewegten Wassers auf ruhende Ebenen übereinstimmen, geht aus den von Woltmann in dem Anhange zu seiner Theorie des hydrometrischen Flügels mitgetheilten Tafeln über den parallelen Druk des Wassers auf ruhende Ebenen hervor, woraus man zugleich sieht, daß auch bei schief dem Strome entgegenstehenden Ebenen aus dem angeführten Grunde, so wie, weil noch eine hydrostatische Kraft hinzukömmt, die Kraft etwas größer ist, als der Ausdruk

v²/4g fv sinαγ = P sinα.

nach Woltmann's Bezeichnungsart ergeben würde.

Kennt man die Projection der schiefen Ebene auf den normalen Querschnitt des Wassers, z.B. den normalen Querschnitt des Fahrzeuges, so ist, wenn dieser Querschnitt durch f'' bezeichnet wird,

f'' = f/sin. α.

Daher die ursprüngliche Kraft

v²/4g f'' v sin. αγ = h f'' v sin. αγ.

Ferner werden wir nun die hydrostatische Kraft für diesen Fall zu bestimmen haben, welche von dem sich vor der Ebene aufstauenden Wasser herrührt, indem dem hydrostatischen Druke des tieferen Theiles des Wassers von dem Wasser hinter der Ebene das Gleichgewicht gehalten wird.

Diese Kraft wirkt ursprünglich normal auf die Ebene, welche daher die Richtungslinie dieser Kraft ist, von der die Gesammtwirkung während einer Zeiteinheit abhängt.

Ist diese hydrostatische Kraft

FA = p'' = 1/2 b² aγ . Fig. 10.

und bewegt sich die Ebene um AE = BC = v in dieser Richtung fort, so ist, wenn man diese Kraft in zwei andere nach FD und DA zerlegt, die Kraft FD normal auf die Richtungslinie der Bewegung diejenige, welche von anderen Kräften aufgehoben werden muß und bei Fahrzeugen mit spizen Vordertheilen sich gegenseitig selbst aufhebt.

Die Kraft DA aber nach der Richtung der Bewegung

DA = p'' sin. α = p''.

Bewegt sich nun die Ebene mit der Geschwindigkeit C'B' = CB = AE fort, so ist AB die Geschwindigkeit dieser Kraft, |207| und es folgt aus dem Parallelogramm der Geschwindigkeiten, daß wenn die Geschwindigkeit der Kraft p'' = AB = 1 ist, die Geschwindigkeit der Kraft DA oder p'' = 1/sin. α ist = AE.

Mithin ist das mechanische Moment dieser Kraft p'':

Textabbildung Bd. 55, S. 207

Ist a die Länge der Projection der schiefen Ebene oder die lange des auf die Richtung der Bewegung normalen Querschnittes des Fahrzeuges, so wird dieses mechanische Moment der hydrostatischen Kraft, da a = a/sin. α

Textabbildung Bd. 55, S. 207

Daher in diesem Falle der hydraulische Druk

Textabbildung Bd. 55, S. 207

und das mechanische Moment desselben

Textabbildung Bd. 55, S. 207

Daß die Resultate dieser Ausdrüke mit den Beobachtungen Woltmann's mit ruhenden Ebenen im bewegten Wasser übereinstimmen, ist bereits erwähnt worden, daß sie aber auch mit denen von Bossut mit bewegten Ebenen im ruhenden Wasser übereinstimmen, davon mögen folgende Beispiele einen hinlänglichen Beweis liefern.

Die Fahrzeuge, womit Bossut seine Beobachtungen anstellte, indem sie im ruhenden unbegränzten Wasser bewegt wurden, hat derselbe mit Nummern bezeichnet, wovon hier nur diejenigen erwähnt werden, welche mit einem geraden Hintertheile versehen waren, indem da, wo auch dieses durch gegen einander geneigte Ebenen gebildet wird, der Widerstand aus den angegebenen Gründen geringer wird.

Diese Fahrzeuge bestanden aus einem Parallelepipedum, dessen Grundfläche ein Rectangel ABCE, dessen Breite AB= 19 Zoll 8 Linien Pariser Maaß, und dessen Länge BC = 6 Fuß 1 Zoll war. Bei Nr. 9 bildete eine rechtekige gerade Fläche AB den Vordertheil. Fig. 11.

Bei Nr. 10 wurde vor dieser rechtekigen Fläche ein Vordertheil ADB angebracht, dessen Grundfläche einen gleichschenklichten Triangel bildete, dessen Höhe DH 9 Zoll 9 1/2 Linie betrug.

|208|

Bei Nr. 11 hatte der eben gedachte Triangel eine Höhe DH von 19 Zoll 8 Linien.

Die Beobachtungen selbst theilt Bossut in den Paragraphen 891 bis 899 mit, wovon nachfolgende hier ihren Plaz finden mögen.

Hinsichtlich der Höhe des Aufstaues ist zu bemerken, daß in den nachfolgenden Tafeln in den Beispielen, wo von Bossut nur der Aufstau an der Spize beobachtet und angegeben ist, derselbe an den Seiten und danach die mittlere Höhe des Aufstaues so groß angenommen wurde, als er bei anderen ähnlichen Beobachtungen Bossut's daselbst gefunden wurde.

Textabbildung Bd. 55, S. 208
|209|

Später stellte Bossut mit einem ähnlichen Prisma noch eine Reihe Versuche in eben der Art über den Widerstand des unbegränzten Wassers an; die Länge des prismatischen Fahrzeuges betrug bei diesen Versuchen 4 Fuß, die Breite 2 Fuß und der Winkel der Spize des Vordertheiles variirte von 12 zu 12 Grad, von 12 bis zu 180 Grad. Die Fahrzeuge wurden so belastet, daß sie 2 Fuß tief eintauchten. Die in folgender Tafel berechneten Resultate mögen auch hier von der vortrefflichen Uebereinstimmung der Theorie mit der Erfahrung sowohl bei den größten als den kleinsten Winkeln einen Beweis liefern.

Berechnung eines der folgenden Beispiele, und zwar Nr. VI, wo α = 84°.

Es ist:

v = 96/77,50 = 1,24' = 14,68'', daher nach der von Bossut mitgetheilten Tabelle

h = 0,297'' = 0,0247';

f'' = aB = 2 · 2 = 4.

Die Länge der schiefen Ebene

α = a,/sin. α = 2/sin. 84° = 2,01'.

Daher der hydraulische Druk

P = [hf'' sin. α + 1/2 b² a,/sin. α] γ.

– [0,0247' · 2 · 2 0,09945 + 1/2 · 1/6 · 1/6 2,01] 70

= 6,88 + 1,95 = 8,83 Pariser Pfund.

|210|
Textabbildung Bd. 55, S. 210

Hienach wird man nun leicht im Stande seyn, die noch stehen gebliebenen Mängel im Vertrage an sich evidenter kehren meiner Theorie der Kraft sich bewegender flüssiger Massen, so wie die daraus entstandenen Rechnungsfehler zu berichtigen.

§. 11. Noch möchte es hier nicht am unrechten Orte seyn, einstweilen schließlich die Hauptformeln für die Berechnung der Kraft expansibler flüssiger Massen mitzutheilen; und es ist, wenn man die mitgetheilten Beobachtungen Woltmann's dabei mit zum Grunde legt, |211| 1) der pneumatische Druk des Windes auf eine dem Luftstrome normal entgegenstehende Ebene, z.B. auf ein Segel, welches sich in der Richtung des Windes bewegt, wenn man die bisherige Bezeichnungsart beibehält, wonach c die Geschwindigkeit des Windes, v die der Ebene, γ' das Gewicht der Luft:

Textabbildung Bd. 55, S. 211

2) Weicht eine schief dem Winde entgegenstehende Ebene nach irgend einer Richtung AB, Fig. 12 aus, welche mit einer Normale AC auf die Richtung des Windes den Winkel δ macht, so ist das Moment des pneumatischen Drukes

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wird v = o, oder fragt man nur nach dem Bestreben nach Bewegung, wie Woltmann seine Versuche anstellte, so ist dieß Moment

Textabbildung Bd. 55, S. 211

3) Hieraus wird der eigentliche sogenannte pneumatische schiefe Druk, wenn nämlich δ = 45° und die Richtung der Bewegung BA normal auf die schiefe Ebene, also δ = α ist

Textabbildung Bd. 55, S. 211

Wird hierin v = o, so wird, wie bei den Versuchen Woltmann's Pc = 4/3 c²/4g · cf cos. βγ,

und die ursprüngliche pneumatische Kraft

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4) Wird δ = 90°, oder frägt man nach dem Momente des Paralleldrukes,

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und wenn v = o, oder wenn, wie bei den Versuchen Woltmann's, die Ebene in Ruhe bleibt,

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5) Wird δ = o, oder frägt man nach dem pneumatischen lateralen oder Seitendruk, wie bei Windmühlen, so wird

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und wenn hierin v = o, oder wenn die Ebene in Ruhe bleibt,

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