Titel: Schlagintweit über Meßinstrumente mit constanten Winkeln.
Autor: Schlagintweit, Hermann Alfred Rudolph
Fundstelle: 1849, Band 112, Nr. LXXIV. (S. 334–356)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj112/ar112074

LXXIV. Ueber Meßinstrumente mit constanten Winkeln (Linsen- und Prismenporrhometer). Von Dr. Hermann Schlagintweit aus München.

Mit Abbildungen auf Tab. VI.

Einleitung.

Das Bedürfniß nach einem genauen aber möglichst compendiösen Meßinstrumente bei den Gletscherstudien, welche ich mit meinem Bruder (Adolph) unternahm, leitete mich auf den Versuch, in die Construction der Meßinstrumente ein neues Princip einzuführen, nämlich statt der veränderlichen Winkel einige wenige aber constante einzuführen.

Bei jenen Messungen nämlich, mit dem Theodoliten, dem Astrolabium, Spiegel- und Prismenkreisen etc. und den übrigen Instrumenten, denen getheilte Horizontal- und Verticalkreise zu Grunde liegen, werden die gesuchten Dreiecke dadurch bestimmt, daß man von einer gegebenen bekannten Standlinie ausgehend, die Winkel mißt und dann mit Hülfe der trigonometrischen Tabellen die übrigen Stücke des Dreieckes berechnet. Bei jenen beiden Instrumenten jedoch, deren Beschreibung den Gegenstand dieser Abhandlung bildet, ist die Methode der Bestimmung eine etwas verschiedene. Wir haben zwar in dem einen dieser Instrumente, nämlich im Prismenporrhometer, einen getheilten Kreisbogen, der auf 4' ablesbar ist; er ist für manche Nebenarbeiten sehr bequem, im Ganzen aber für den Gebrauch des Instrumentes unwesentlich61) und das Linsenporrhometer hat selbst diesen nicht. Beim Gebrauch beider Instrumente bleibt uns die Wahl zwischen 5 bis 9 Winkeln, deren Größe wir mit möglichster Schärfe kennen. Wir nehmen von diesen in einem gegebenen Fall jenen, der uns als der passendste erscheint, und suchen nun unsere Entfernung vom Gegenstand so groß zu machen, daß derselbe unserem Auge genau unter dem ausgewählten Winkel erscheint. Ist in dem Dreiecke, welches auf diese Weise entsteht, der 2te Winkel ein rechter62), so ist dieses Dreieck trigonometrisch in all seinen Theilen bestimmt. Geben wir ferner jenen Winkeln, welche wir in unseren Instrumenten |335| als die constanten herzustellen suchten, eine Größe welche ein sehr einfaches Verhältniß der Katheten eines rechtwinkeligen Dreieckes bedingt, so wird der Gebrauch des Instrumentes sehr bequem.

Fig. 1, Bd. 112, S. 335

Dieses ist, in Kürze angegeben, die Methode, welche wir beim Gebrauch unserer Instrumente befolgt wissen möchten. Das Princip, welches beiden Instrumenten zu Grunde liegt, ist ganz dasselbe, so verschieden auch ihre äußeren Formen sind.

Wir haben diese Instrumente Porrhometer64) (ποῤῥώμετρον) d.h. Entfernungsmesser genannt; man könnte das erste als Linsen-, das zweite als Prismenporrhometer bezeichnen.

Ehe wir im einzelnen auf Construction und Anwendung eingehen, wollen wir sehen, wie sich bei der Vergleichung unserer Instrumente mit den gewöhnlichen Meßinstrumenten Vortheile und Nachtheile gegenüber stehen.

Der erste und wesentliche Vortheil für uns ist die bequeme einfache Form der Porrhometer. Das Linsenporrhometer ist ein Cylinder von 3 P. Zoll Durchmesser und 2,9 P. Zoll Höhe; das Prismenporrhometer hat kaum 2,5'' im Durchmesser und eine Höhe von 1,4'' (Gewicht 10 Loth!).

Ungeachtet dieser außerordentlich kleinen Dimensionen hat jedes unserer Instrumente eine Genauigkeit bis 1'. Die Fehlergränzen unserer Instrumente sind demnach:

|336|

da tg. 1' = 0,00029089

für eine Entfernung des Gegenstandes

von 10 Fuß = 0,0029089 Fuß,

von 50 Fuß = 0,0145445 Fuß,

von 100 Fuß = 0,0290890 Fuß,

von 500 Fuß = 0,1454450 Fuß,

von 1000 Fuß = 0,2908900 Fuß.

Da Entfernungen von 1000 Fuß für terrestrische Gegenstände und für Meßinstrumente ohne Fernröhren schon eine bedeutende ist, so können wir die Genauigkeit von einer Minute wohl als hinreichend ansehen.

Beim Gebrauche der Porrhometer haben wir ferner nur eine einzige Linie zu messen; die übrigen Linien lassen sich leicht durch kleine arithmetische Functionen finden; trigonometrische Tafeln und die damit verbundenen Berechnungen sind dabei überflüssig. Nur in ganz speciellen Fällen können wir uns auch für diese Instrumente der Tafeln bedienen. Dahin rechne ich zum Beispiel die Aufgabe, Winkel aus ihren gefundenen Functionen, z.B. den Fall einer schiefen Ebene zu bestimmen. In den meisten dieser Fälle genügt es, diese Functionen selbst anzuführen; wir sagen demnach mit gleicher Verständlichkeit, eine Ebene hat 1' Fall auf 10' Länge, als sie hat 5° 40' Neigung.

Mit dem Prismenporrhometer können wir ohnehin Winkel indirect bis zu einer Genauigkeit von 4' bestimmen.

Unvermeidlicher sind die Tabellen, wenn wir die Instrumente zu Triangulations-Operationen gebrauchen, was wir besonders beim Prismenporrhometer unbeschadet der Genauigkeit thun können. Für diesen Zweck vor allem ward eine Tabelle (Tab. IV.) der Sinuse und Tangenten angefügt. Ich habe die Functionen selbst, nicht ihre Logarithmen angegeben, weil für unsere Fälle die Genauigkeit auch nichtlogarithmischer Rechnungen hinreicht.

Ein Einwurf gegen unsere Instrumente könnte ferner darin gesucht werden, daß das Messen einer nicht willkürlich gewählten, sondern durch die Localverhältnisse bedingten Linie nicht selten schwierig auszuführen sey; ich glaube es sind auch von dieser Seite wenige Hindernisse zu erwarten, da eine besondere Einrichtung unseres Instrumentes es möglich macht, von größern Linien nur sehr kleine Theile zu messen. (Besonders günstig ist auch in dieser Beziehung das Prismenporrhometer.)

Zu den Nachtheilen unserer Instrumente gegenüber dem Theodoliten und allen ähnlichen, wenn sie mit Fernröhren versehen sind, gehört die geringere Schärfe im Einstellen. Doch kann mit einiger Uebung |337| die Genauigkeit von 1' sicher erreicht werden; im Auge liegt bei mäßig gutem Gesicht kein Hinderniß, da z.B. nach Huek's Beobachtungen65) ein schwarzer Punkt auf weißem Grunde noch unter einem Winkel von 2,6'' sichtbar war.

An ein Tascheninstrument wie das unserige wird man ohnehin keine Forderungen stellen wie an den Theodoliten, ein Instrument, welches an Masse und Gewicht, an Umständlichkeit der Handhabung und des Transportes, an Kostenaufwand etc. auch ungleich größere Schwierigkeiten dem Beobachter entgegenstellt. Für à-la vue-Aufnahmen, für Gegenstände von mäßiger Entfernung, als ausschließliches Reise- und Tascheninstrument für Naturforscher, besonders Geologen, für Forstleute, Officiere, Techniker etc. wird es, wie ich hoffe, obgleich das compendiöseste seiner Art, doch hinlänglich praktische Geltung erlangen.

A. Das Linsenporrhometer.

I. Construction.

Textabbildung Bd. 112, S. 337

Der kleinere Cylinder von 11''' Länge, 14''' Durchmesser66) trägt am hintern Ende durch ein Gewinde den Oculartheil. Am vordern ist sein Rand etwas nach außen umgebogen, um ein vollständiges Herausziehen aus dem dickeren Cylinder zu verhindern. An seiner äußeren Fläche trägt er fünf kreisrunde Striche, welche mit 0,5, 1 und 2 bezeichnet sind; dieß sind die Einstellungsmarken.

Dieser Cylinder geht in einer Metallplatte (2 c) von 2'' 5,5''' Durchmesser auf und nieder. Um ihm da eine senkrechte Stellung zu sichern, |338| ist die runde Oeffnung dieser Platte mit einem kleinen Cylinderchen (d³) von 2 Linien Länge ausgefuttert; eine größere Länge dieses Cylinders würde nur die Reibung unnöthig vermehren; auch wurde dadurch das möglichst vollständige Ausziehen des Ocularcylinders, oder das tiefe Eindrücken desselben nach dem Gebrauche verhindert; beides würde das Instrument unnöthig vergrößern. Am äußeren Rande muß der kleinere Cylinder in der Platte möglichst eben geschliffen seyn, um die Einstellungslänge mit Genauigkeit anpassen zu können. Der größte Cylinder am ganzen Instrumente ist jener, welcher die Metallplatte mit dem Objectivtheile verbindet. Er hat

1'' 7''' Länge,

2'' 4,9''' Durchmesser,

und trägt an beiden Enden nach innen die verbindenden Schraubengänge. Alle Cylinder sind an der inneren Seite mit einem schwarzen, glanzlosen Kienrußpigmente überzogen, um Lichtreflexe im Innern zu vermeiden.

III. Der Objectivtheil ist jener, welcher die beiden Gläser enthält; ein kleiner, flacher Cylinder (a³); nach hinten ist er gerade, nach vorne ist seine äußere Fläche so weit ausgeschnitten (b³), daß beim Gebrauch des Instrumentes das innere Ende nicht gesehen werden kann. In seiner Mitte befindet sich ein kleiner vorspringender Rand, welcher die Gläser trägt (c³). Diese sind:

1) ein Concavglas (d³)
von 2,7'' Durchmesser,
7,02'' Krümmungsradius (6,62'' Brennweite).

2) Ein Planglas (e³) vor dem Concavglas. Diesem sind auf der vorderen, dem Concavglase nicht zugekehrten Seite folgende Linien eingeritzt:

1.
2.
3.
ein Kreis von 2,27 26''67)
ein Kreis von 1,59 13''
ein Kreis von 0,93 16''

Durchmesser.
(alle drei sind concentrisch);
4. zwei auf einander rechtwinkelige Durchmesser,

welche bis an die Peripherie des größten Kreises ausgezogen sind.

|339|

IV. Der Deckel ist, wie bei den gewöhnlichen Fernröhren, mit elastischen Wänden versehen; bei der großen vorderen Oeffnung und dem geringen Durchmesser des Concavglases in der Nähe des Centrums ist er keineswegs unwesentlich.

Ist das Instrument zusammengesetzt, so werden alle Schrauben fest eingerieben, um zufällige Verschiebungen möglichst zu verhüten; dann führt man über die Vereinigungslinie von je zwei Schrauben einen kleinen senkrechten Schnitt. Bei dem Auseinanderlegen und Wiederzusammensetzen des Instrumentes müssen die beiden Theile dieser Einschnitte wieder genau in einer Linie liegen als Kriterium für den normalen Stand der Schrauben; wären die Schrauben zu wenig, oder zu gewaltsam eingerieben, so würde dieß immer eine Aenderung im senkrechten Abstande des Ocularausschnittes von den Gläsern des Objectives zur Folge haben, was eine nicht unbedeutende Fehlerquelle werden könnte.

Zur Construction des Instrumentes gehört noch die Bestimmung der Einstellungslinien am kleinen Cylinder. Um den normalen senkrechten Abstand des Ocularausschnittes von dem Objectivtheil zu finden, wird ein Theodolit benutzt. Man wählt am besten einen solchen, dessen Horizontalkreis noch auf

10'' ablesbar ist.

Man sucht nun mit dem beweglichen Fernrohr zwei Gegenstände in mäßiger Entfernung, etwa 300–400', welche deutliche Bestimmungspunkte bieten, und vom Standpunkte des Beobachters gesehen, um einen Winkel von

63° 26' 6''

auseinander liegen.

Dann wird der kleine Cylinder des Instrumentes so weit ausgezogen, bis die gewählten Punkte an den beiden Gegenständen genau mit den Enden des größten Durchmessers zusammenfallen, wenn man das Porrhometer über den Theodoliten hält; um diesen Stand des kleinen Cylinders später wieder herstellen zu können, macht man rings um denselben hart an der Kante des kleinen Reifes, von dem er umgeben und gehalten wird, eine kreisförmige Marke und bezeichnet sie mit

„2“.

Auf dieselbe Weise wird mit dem Theodoliten ein Winkel von 45° gesucht; der kleinere Cylinder in den größern eingeschoben, bis die Enden als Durchmesser im mittleren Kreise mit den Gränzen dieses Winkels zusammenfallen. Auch hier macht man eine Marke und bezeichnet sie mit

„1“.

|340|

Der dritte Winkel von

26° 33' 54''

muß auf dieselbe Weise mit dem Durchmesser des dritten Kreises coincidiren; jener Einstellungsstrich, der ihm entspricht, wird mit

„0,5“

bezeichnet.

Wir stellten dann auf ähnliche Weise einen Winkel her, den wir mit „0,5“, einen anderen den wir mit „2,5“ bezeichneten; von diesem im Capitel über die Anwendung.

Bei der Aufstellung und Benutzung des Theodoliten darf das Versicherungsfernrohr als Bürge für den unveränderten Stand während des ganzen Versuches nicht vergessen werden. Mit genauem Nivelliren des Horizontalkreises braucht man sich nicht lange aufzuhalten, da es für unsern Zweck gleichgültig ist, ob die betreffenden Winkel in einer senkrechten oder in einer etwas geneigten Ebene liegen. Der Theodolit, welchen ich benutzte (von Fraunhofer, Uzschneider und Liebherr), war mit seinem Nonius von 10 zu 11 Secunden ablesbar. Ich wählte daher statt

63° 26' 6''

63° 26' 11''

und statt

26° 33' 54''

26° 33' 50''

eine Differenz, welche zu klein ist, um praktische Berücksichtigung zu verdienen.

Mein Linsenporrhometer wurde im optischen Institut von Merz und Söhne in München mit der anerkannten Sorgfalt und Genauigkeit dieser Anstalt verfertigt.

Bei vielen einleitenden Versuchen und manchen provisorischen Apparaten, sowie bei der Verfertigung und der Controle beider Instrumente unterstützte mich Hr. Dr. Ludwig Merz auf das zuvorkommenste, wofür ich ihm ungemein verbunden bin.

II. Anwendung.

Beim Gebrauch dieses Porrhometers müssen die Durchmesser als einzelne Linien und jene Dreiecke betrachtet werden, deren Spitze in unserem Auge liegt, deren Basis die Durchmesser des größeren, mittleren und kleineren Kreises bilden.

|341|

Die geraden Linien als solche leisten bei der Verlängerung von Geraden gute Dienste und sind als Hülfslinien bei der Construction der Perpendikel zu gebrauchen.

Auch die gleichschenkligen Dreiecke, welche ich oben angeführt, stehen, wenn man sie als gleichschenklige benutzt, noch nicht in unmittelbarer Beziehung zu den Hauptaufgaben dieses Instrumentes; sie erleichtern vorzüglich die Construction der Perpendikel und unterstützen die Lösung einiger anderer constructiver Fragen, meist von untergeordnetem Werthe.

Dieselbe wollen wir erst weiter unten, bei der Behandlung specieller Fälle betrachten, um Wiederholungen zu vermeiden.

Bei weitem das wichtigste, die Basis fast aller Operationen mit dem Porrhometer, sind die Winkel, welche an der Spitze dieser Dreiecke liegen. Stellt man nämlich das Instrument auf die Marke „2“ ein und sucht jenen Winkel, dessen Schenkel durch die Endpunkte des einen Durchmessers im größten Kreise gehen und im Auge des Beobachters sich schneiden, so ist der so gebildete Winkel

= 63° 26' 6'',

wie aus dem Mechanismus der Construction schon aposteriorisch hervorgeht.

Eben so ist, wenn der kleine Cylinder des Instrumentes am Einstellungsstrich „1“ steht, der Winkel der durch den Durchmesser des mittleren Kreises bestimmt ist,

= 45°

und jener der dem Durchmesser des kleinsten Kreises gegenüber liegt

= 26° 33' 54''.

Jeder dieser drei Winkel, wenn er in einem rechtwinkligen Dreiecke vorkömmt, bedingt ein sehr günstiges, einfaches Verhältniß der Katheten zu einander.

Ist nämlich in einem rechtwinkligen Dreieck ein Winkel

= 63° 26' 6'',

so verhält sich die gegenüberliegende Kathete zur anliegenden

= 2 : 1.

In einem rechtwinkligen Dreiecke, wo beide Winkel

= 45°

sind, verhalten sich die beiden Katheten

= 1 : 1.

Wenn der eine Winkel

= 26° 33' 54'',

so ist ihr Verhältniß

= 1 : 2.

|342|

Tragen wir diese Gesetze, deren Begründung ich mir für die mathematischen Entwickelungen des nächsten Abschnittes versparen will, auf einen praktischen Fall über, so mögen sie sich ungefähr wie folgt anwenden lassen. Wählen wir den einfachsten Fall, nämlich eine senkrechte Linie zu messen. Wir stellen das Instrument so, daß der untere Schenkel des Visionswinkels möglichst horizontal liege, um dadurch die Eigenhöhe des Beobachters, oder besser seines Instrumentes, nicht in Rechnung bringen zu müssen.

Textabbildung Bd. 112, S. 342

Dann nähert man sich dem Gegenstande so lange, bis bei eingestellter betreffender Marke die Linie AB' , Fig. 3, mit dem Durchmesser eines Kreises zusammenfällt, oder, was dasselbe ist, bis wir den Gegenstand unter einem Winkel von

63° 26' 6''
oder 45°
oder 26° 33' 54''

sehen; es verhält sich dann

AB' : AP

die Höhe des Gegenstandes zu unserer Entfernung

= 2 : 1

= 1 : 1

= 1 : 2

d.h. der gemessene Gegenstand ist im ersten Falle zweimal so groß als unsere Entfernung; im zweiten Falle eben so groß und im dritten Falle 1/2mal so groß.

Ist die Entfernung als die zugängliche Linie direct gemessen, so kann man mit der einfachsten Multiplication die Höhe von AB ' finden:

B ' P = BF
folglich AB = A B' + B B'
= P F + B F

= der Summe aus unserer Entfernung vom Gegenstand und der Höhe des Porrhometers, wobei B ' P als horizontal angenommen wurde.68)

Neben den Linien, welche in verticalen Ebenen vorkommen, sind es jene der Horizontalebenen, welche am häufigsten vorkommen. Auch von diesen wollen wir hier einen ganz allgemeinen Fall provisorisch erklären.

|343|
Textabbildung Bd. 112, S. 343

Es sey (Fig. 4) in der Ebene ss die Linie AB zu messen. Der Beobachter nähert sich auch dießmal der Linie so lange, bis sie mit einem Durchmesser zusammenfällt, wobei das Einstellen des Instrumentes auf jene Marke, welche dem betreffenden Durchmesser entspricht, nicht vergessen werden darf. Hat man diesen Standpunkt in F gefunden, und denselben zugleich so gewählt, daß PA , die Linie vom Auge des Beobachters zur Linie AB , senkrecht auf AB stehe, so wird der Winkel amb dem benützten Winkel des Instrumentes genau entsprechen; das Verhältniß von AP zu AB ist somit gefunden.

AP kann zwar nicht direct gemessen, aber sehr leicht durch Rechnung gefunden werden,

AP² = PF² + AF²,

weil AP die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreieckes

APF ist,
AP = √(FP² + AF²,)

wobei AF die Entfernung des Standpunktes des Beobachters von dem Punkte A, OF die Höhe des Instrumentes bedeutet.

Will man an den Endpunkten der Linie verticale Stangen aufstellen lassen, welche mit uns von einer Höhe sind, und auf diese visiren, so kann man sich auch diese Wurzelausziehung ersparen.69)

Textabbildung Bd. 112, S. 343

Es wird nämlich (Fig. 5):

a'b' = ab

a'P = aF,

folglich verhält sich

a'P : a'b'

= a'P : ab

= aF : ab.

|344|

III. Mathematische Begründungen.

Unsere Aufgabe bei der Berechnung dieses Instrumentes war, Winkel herzustellen, welche in einem rechtwinkeligen Dreiecke vorkommend, die einfachsten Tangenten bedingten. Wir wählten als solche die Verhältnisse der Katheten gleich

1 : 2

1 : 1

2 : 1.

Die entsprechenden Winkel sind dann:

26° 33' 54''

45°

63° 26' 6''.70)

Denn sind die Tangenten eines rechtwinkligen Dreieckes = 1, so ist der jeder Kathete gegenüberliegende Winkel = 45°.

Verhalten sich die beiden Katheten = 1 : 2, so ist für den der größeren Kathete gegenüberliegenden Winkel (Fig. 6.)

Textabbildung, Bd. 112, S. 344

A B/B C = 2 = tg n

log. 2 = log. tg n

0,301 0300 = log. tg n
300 9994 n = 63° 26' 6''
0306
–––––
52,67 = 6.

Für jenen Winkel, welcher der kleineren Seite gegenüber liegt

ist n = 26° 33' 54''.

Um diese Winkel bei unsern Messungen benützen zu können, mußten sie dargestellt werden als Theile von Dreiecken, welche wir in jedem Augenblick wiederherstellen konnten.

Ein Dreieck wird bestimmt durch drei Punkte, oder was dasselbe, durch die beiden Endpunkte einer Linie und einen Punkt außerhalb derselben. Für unser Instrument ist dieser dritte Punkt die Stelle, an welcher das Auge des Beobachters steht; genauer ausgedrückt, die Kreuzungsstelle der Gesichtslinien im Auge nach Listing und Volkmann.71)

|345|

Die Linie mußte von diesem Punkte nahe an 3,5 Par. Zoll abstehen, weil diese Entfernung der Gränze der deutlichen Sehweite schon sich nähert.

Sie konnte gegen den Standpunkt unseres Auges eine solche Stellung einnehmen, daß ihr Endpunkt mit dem letztern Punkt durch gerade Linien verbunden, entweder ein rechtwinkliges oder ein gleichschenkliges Dreieck bildet. Die erstere Form setzte zwar dem Gebrauch des Instrumentes durchaus keine Hindernisse entgegen, aber die äußere Gestalt eines Instrumentes, dessen verticaler Durchschnitt ein rechtwinkliges Dreieck ist, bleibt immer unbequem und unschön. Wir wählten daher die Stellung der Linie so, daß ihre Endpunkte mit dem Augenpunkte verbunden, ein gleichschenkliges Dreieck bildeten, und der geforderte Winkel der Winkel an der Spitze dieses Dreieckes war.

Soll derselbe in einem gleichschenkligen Dreieck

63° 26' 6''

betragen, so verfährt man, um die Größe von BC für die senkrechte Entfernung A D = 4 Par. Zoll zu finden, auf folgende Weise:

Fällt man von A ein Perpendikel AD auf die Grundlinie, so ist der Winkel

BAC

halbirt, mithin

BAD = CAD = 31° 43' 3''.

Auch BC ist halbirt; folglich

BD = CD = BC/2

BD/AD = BD/4 = tg 31° 43' 3''

log. BD log. 4 = log. tg 31° 43' 3''

log. BD = 9,7909987
141 = 3.47,08
0,6020600
–––––––––
0,3930728
0660
–––––––––
68
BD = 2,47213
2 BD = BC = 4,94426 Par. Zoll.

Will man ein gleichschenkliges Dreieck berechnen, dessen Winkel an der Spitze 45° beträgt, so kann man entweder die soeben gefundene Grundlinie unverändert beibehalten, und die Entfernung derselben vom |346| Auge trigonometrisch bestimmen, oder man kann die letztere Linie als constant annehmen, und auf der eben gefundenen ein Stück so abgränzen, daß es die Basis eines gleichschenkligen Dreieckes wird, dessen Höhe 4 Par. Zoll, dessen Winkel an der Spitze

45° beträgt.

Die zweite Construction verdient den Vorzug, weil durch das Vergrößern der Entfernung vom Auge das Instrument ohne Nutzen bedeutend an Umfang zunehmen müßte.72)

Textabbildung Bd. 112, S. 346

Da das bereits gefundene Dreieck, ebenso die folgenden gleichschenklig sind und ihre Spitzen (Fig. 7) im Auge des Beobachters zusammenfallen, so müssen auch die Halbirungspunkte der größeren und der kleineren basischen Linien zusammenfallen.

Halbiren wir nun auch im zweiten Dreieck EAF den Winkel bei A, so erhalten wir

EAD = FAD = 22° 30'

ED ist dann = 1,65685

2 ED = EF = 3,31370.

Im dritten Dreieck AGH ist der halbirte Winkel

= 13° 16' 57'', also

DG = 0,94427

2 GD = GH = 1,88854.

Um diese Linien von einander abzugränzen, sollten sie als Durchmesser von drei concentrischen Kreisen auftreten, allein wegen ihrer großen Dimensionen (die größte beträgt nahe an 5 Par. Zoll) wären sie nur sehr schwer auszuführen gewesen.

Ueberdieß wäre das Porrhometer mit einer basischen Linie von 4,9 Par. Zoll sehr groß geworden. – Setzte ich aber vor das Mikrometer |347| ein Concavglas, dessen negative Vergrößerung beispielsweise = 2 seyn soll, so werden dadurch die Winkel, unter welchen uns die Gegenstände erscheinen, auf die Hälfte reduciren; die basischen Linien brauchen demnach nur den Hälften der früher angegebenen zu entsprechen.

Betrachten wir den schematischen Durchschnitt unseres Instrumentes jetzt, so ist der Winkel (Fig. 7)

BAC = 63 26' 6''/2 = 31° 43' 3''

EAF = 45/2 = 22° 30'

GAH = 26° 33' 54''/2 = 13° 16' 57''

Fällen wir nun das gemeinschaftliche Perpendikel AD und berechnen BC EF GH für die neu erhaltenen Winkel auf ähnliche Weise wie vorher, so haben wir im Dreiecke

ABC : BD = 1,13630

2 BD = BC = 2,27263; im Dreiecke

EAF : DE = 0,79565

2 DE = EF = 1,59130; im Dreiecke

GAH : DG = 0,465788

2 DG = GH = 0,931576.

Außer den eben gefundenen Durchmessern kann man die Radien zu Messungen benützen. Ihnen entsprechen nämlich, wie aus den vorausgegangenen Erläuterungen von selbst klar ist, gerade die Hälften jener Winkel, welche den Durchmessern gegenüber liegen, wenn auch der betreffende Radius von demselben Einstellungsstriche aus betrachtet wird, der dem Durchmesser gegolten.

Wollen wir jetzt die Eigenschaften der Radien etwas näher durchgehen.

Die Linien BD ED GD sind die Katheten in den rechtwinkligen Dreiecken, welche die Hälften der oben betrachteten gleichschenkligen Dreiecke; die gemeinschaftliche zweite Kathete ist AD.

Setzen wir diese gleich 1, und betrachten wir das Dreieck BAD, dessen Winkel bei A

= 31° 43' 3''

= 63° 26' 6''/2

ist, so finden wir

BD/1 = tg 31° 43' 3''

|348|
log. BD = log. tg 31° 43' 3''
log. BD = 9,790 9987
BD = 0,6181

also

BD : AD = 0,6181 : 1
AD : BD = 1,62 : 1.

Man sieht, daß es nicht unmöglich wäre, durch Verkürzung der Linie AD, oder was dasselbe ist, durch Annäherung des Ocularausschnittes an das Objectivglas mittelst Eindrücken des kleinen Cylinders, dieses Verhältnis in

1,5 : 1

umzuwandeln; eine Form, welche in der Folge, wie schon jetzt leicht einzusehen, nicht ganz unbrauchbar seyn wird. Diese Umänderung wird leicht herbeigeführt, wenn wir jenen Winkel suchen, der dem Verhältnisse der Katheten 1/1,5 oder 2/3 entspricht.

Die logarithmischen Tabellen nennen uns den Winkel

23° 41' 24'',

der mit dem Theodoliten eingestellt, und dann am Instrumente mit der Marke „1,5“ bezeichnet wurde..73)

Betrachten wir auf ähnliche Weise den Winkel, welcher von dem Einstellungsstriche „1“ aus dem Radius des mittleren Kreises gegenüber liegt. Wir wissen er beträgt

22° 30'.

Setzen wir wieder AD = 1, so ist

ED/1 = tg 22° 30'

ED = 0,41421

ED : AD = 0,41421 : 1

AD : ED – 2,49... : 1.

Auch dieses Verhältniß ist leicht in ein rationales, nämlich in das von 2,5 : 1 umgewandelt worden.

Auch dießmal kann das Instrument nicht auf der Marke „1“ stehen bleiben, sondern muß bis auf „2,5“ ausgezogen werden.

Der Tangente 2 1/2 entspricht ein Winkel von

21° 48' 5''

|349|

welcher mittelst des Theodoliten der Bestimmung dieser Marke zu Grunde gelegt wurde.

Wichtiger noch als diese beiden Radien wird uns der Radius des kleinsten Kreises erscheinen. Hier fanden wir

GD/1 = tg 13° 16' 57''

GD = 0,23606

GD : AD = 0,23606 : 1

AD : GD = 4,2 ... : 1.

Eine kleine Verschiebung macht es hier möglich, das Verhältniß zwischen Entfernung vom Gegenstand und seiner Größe = 4 : 1 ... herzustellen.

Wegen einiger Eigenschaften des Concavglases ist es bei näher gelegenen Gegenständen ungemein wünschenswerth, dem Objecte der Messung nicht zu nahe zu kommen. Die Röhren werden dießmal in einander geschoben, da die Achse um 2/10 des Radius des kleinsten Kreises, also etwa um

(0,466 . 2)/10 = 0,0932 Par. Zoll

verkleinert werden muß.

Der Winkel, welcher einer Tangente gleich 1/4 entspricht, ist

14° 4' 4''.

Ehe ich diese constructiven Rechnungen schließe, will ich noch darzustellen versuchen, wie die Dimensionen der einzelnen Theile unseres Instrumentes gewählt werden mußten, um ihm die möglichst compendiöse Form zu geben.

Als leitende Anhaltspunkte dienten uns das Maximum und Minimum der Höhe, auf welche das Instrument eingestellt werden mußte. Wollten wir sie dadurch bestimmen, daß wir sie jetzt am fertigen Instrumente durch directes Messen finden, so wird dieß ein Cirkelschluß; seine Unrichtigkeit sieht man am besten daraus, daß bei der ursprünglichen Anlage des Instrumentes, von dieser Art zu schließen natürlich nicht die Rede seyn konnte.74) Wir fanden dort die Höhe wie folgt:

Setzen wir die Verkleinerung des Concavglases für Gegenstände |350| in nicht zu großer Nähe = 1,8 und gelte uns (Fig. 8) im Dreieck BAC der Winkel bei A als der größte Visionswinkel unseres Instrumentes, der dem Winkel βα γ = 63° 26' 6'' entspricht, jetzt aber wegen 1,8maliger Verkleinerung nur mehr 35° 14' 30'' beträgt.

Textabbildung Bd. 112, S. 350

Da die Verkleinerung etwas größer als 1,8 ist, so ist die gefundene Zahl noch etwas mehr als das Maximum, und kann daher allen Folgerungen über die Dimensionen des Instrumentes zu Grunde gelegt werden. – Die Höhe von 3,6 Par. Zoll wurde dadurch bequemer gemacht, daß wir zwei Cylinder wählten, welche in einander verschiebbar waren. Die Dimensionen dieser sowie aller anderen Theile des Instrumentes wurden der sorgfältigsten Berechnung unterworfen, um die möglichst compendiösen zu seyn. Doch es würde ermüden, wenn ich die ganze Specialität der Rechnung hier wiedergeben wollte. Die Dimensionen selbst, welche als Resultate schon im Capitel über die Construction angegeben wurden, mögen genügen.

IV. Die Eigenschaften des Concavglases.

Textabbildung Bd. 112, S. 350 |351| Textabbildung Bd. 112, S. 351

Man sieht leicht ein, daß für gegebene Verhältnisse des Cylinders das Concavglas so gewählt werden kann, daß der Winkel, unter dem wir noch einen Gegenstand sehen können, merklich vergrößert wird. Für unseren Fall ist, wie oben gezeigt, der Winkel von 46° 30' 8'' auf 63° 26' 6'' abgeändert worden.

Die Construction unseres Instrumentes forderte ein Glas, das etwa zweimal verkleinerte. Wir wählten ein solches von 7,02 Par. Zoll Krümmungsradius für beide Seiten. Das Material aus dem es gefertigt, war Tafelglas von einem Brechungsexponenten von 1,53. Diese Daten konnten uns hinreichen, mittelst einiger optischer Formeln die Eigenschaften unseres Glases zu berechnen.

Suchen wir zuerst die Brennweite p aus dem Brechungsexponenten n und dem Krümmungsradius r, so ist diese nach der Formel

p = r²/2r(n – 1) = 6,62.

Am wichtigsten ist für uns die Verkleinerung; wir erhalten sie nach der Formel

m = α(a + d)/a(dα),

wobei a die vordere, α die hintere Vereinigungsweite und d den Abstand des Glases vom Auge bedeutet. Das α aber und das a sind veränderliche Größen; (p = /(a + α)); mit verschiedener Entfernung des Gegenstandes vom Glase wird also auch seine Verkleinerung eine andere seyn; für uns wird in diesem Falle auch die Größe der Visionsweite geändert werden. Doch ist die Amplitude der Schwankungen verhältnißmäßig sehr gering; die Fehler können bei dem Gebrauche leicht corrigirt werden; die folgende Tabelle zeigt die Verhältnisse, nach welchen sich die Verkleinerung bei der Entfernung und beim Nahen des Gegenstandes ändert.

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Tabelle Nr. I.

a.
Entfernung
des Gegenstandes.
α.
Hintere
Vereinigungsweite.
m.
Verkleinerung.
5' 7,04'' 1,25
10' 7,00'' 1,28
20' 6,81'' 1,30
40' 6,71'' 1,31
60' 6,69'' 1,31
80' 6,66'' 1,31
100' 6,65'' 1,31
200' 6,64'' 1,32
300' 6,63'' 1,32
400' 6,63'' 1,32
500' 6,62'' 1,32
6,62'' 1,32

Wir sehen aus dieser Tabelle, daß die erste Decimale fast durchgehende 1,3 ist.

Bei der großen Oeffnung der Concavlinse wird auch die sphärische Abweichung von bedeutendem Einfluß seyn; doch ist dieser Umstand bei der Einstellung des Instrumentes schon berücksichtigt worden; wir können uns daher die Rechnung füglich ersparen.75)

V. Aufgaben.

Eine praktische Anleitung zur Handhabung von Instrumenten mit constanten Winkeln will ich erst nach der Beschreibung des Prismenporrhometers anfangen; fast alle dort angeführten Methoden gelten auch für dieses Instrument. – Eigenthümlich blieb aber diesem die Methode bei der Construction senkrechter Linien; wir wollen sie hier etwas näher betrachten.

|353|

Construction der Perpendikel.

Diese Operation zerfällt in zwei Gruppen, je nachdem wir uns auf die Linie, welche einen Schenkel des rechten Winkels bilden soll, stellen können oder nicht.

I. Für den ersten Fall lösen sich die beiden Aufgaben:

a) von einem gegebenen Punkt eine Senkrechte auf die Standlinie zu fällen;

b) in einem Punkt der Standlinie ein Perpendikel zu errichten, auf folgende Weise:

a. Man hält das Instrument so, daß ein Durchmesser desselben, gleichgültig welcher, mit der Linie ab zusammenfalle, und ein zweiter Durchmesser (jener nämlich, der im Instrumente auf dem ersten senkrecht steht) durch den Punkt x gehe. Wo der Durchschnittspunkt der beiden Durchmesser die Linie ab trifft, ist der Fußpunkt des Perpendikels; xy ist aber das verlangte Perpendikel.

b. Soll man in dem Punkte y ein Perpendikel errichten, so stellt man das Instrument so, daß ein Durchmesser auf ab, der Mittelpunkt des Instrumentes d.h. der Durchschnittspunkt der beiden Durchmesser auf y falle. Jene Linie, welche vom zweiten Durchmesser y gedeckt wird, ist die verlangte Senkrechte.

Beweis. Wir benützten bei dieser Operation jene beiden auf einander senkrechten Ebenen, welche durch die beiden Durchmesser und unser Auge gelegt werden können. Die eine dieser Ebenen wird so gestellt, daß zwei ihrer Punkte mit der Standlinie, also auch mit der Ebene, auf welcher wir stehen, zusammenfallen; der dritte fixe Punkt liegt in unserem Auge. Da aber unsere Stellung eine senkrechte auf der als horizontal vorausgesetzten Ebene ist, so wird auch die neue fixirte Visionsebene auf unserer Standebene senkrecht stehen. Wir haben nun zwei miteinander einen rechten Winkel bildende Visionsebenen, welche von einer dritten, der Standebene so geschnitten werden, daß diese auf einer der Visionsebenen senkrecht steht. In diesem Falle müssen auch die Durchschnittslinien senkrecht auf einander stehen. (Fig. 11.)

Textabbildung Bd. 112, S. 353
|354|

Denn: die Ebene BAP und die Standebene ss stehen nach Construction und Daten senkrecht auf der zweiten Visionsebene Pz A. Wenn eine Linie auf einer Ebene senkrecht steht, so ist sie auch ein Perpendikel auf jeder Linie, welche in dieser Ebene durch ihren Fußpunkt gezogen ist; also steht in unserem Falle BA senkrecht auf APz, mithin auch senkrecht auf Az und AP.

II. Wir können oder wollen uns nicht auf die uns gegebene Linie stellen.

Auch hier sind zwei Fälle zu unterscheiden:

a) Auf der Linie in einem bestimmten Punkte ein Perpendikel zu errichten.

b) Auf dieselbe von einem Punkte außer ihr ein Perpendikel zu fällen.

a. In einem Punkte einer Linie wird ein Perpendikel so errichtet, daß wir den Mittelpunkt des Instrumentes auf den verlangten Punkt n richten, dann unsern Standpunkt verändern, bis uns die gegebene Linie mit einem Durchmesser zusammenfällt, und der zweite Durchmesser in die Richtung no falle. Dann ist no das geforderte Perpendikel.

b. Im zweiten Falle dürfen wir natürlich unsern gegebenen Standpunkt nicht verlassen; wir richten unser Instrument ähnlich wie in den schon beschriebenen Fällen; jener Punkt n der Gegebenen Ab, welcher von dem Mittelpunkte unseres Instrumentes bedeckt wird, ist der Fußpunkt unseres Perpendikels.

Beweis wie oben.

Textabbildung Bd. 112, S. 354 |355|

Resultate der Beobachtungen.

Bei allen meinen Beobachtungen mit diesem Instrumente habe ich gefunden, daß es den Anforderungen der Genauigkeit genügend entspricht. Ich habe damit Bestimmungen unter Umständen gemacht, welche mir erlaubten, die Resultate durch directe Messungen einer genauen Prüfung zu unterwerfen, und dabei niemals bedeutende Differenzen gefunden. Allein zwei Schwierigkeiten stellten sich beim Gebrauche desselben mir entgegen, welche nur durch Uebung und jedesmalige Anstrengung des Auges überwunden werden konnten.

Das eine hindernde Moment liegt in jener Einrichtung unseres Auges, welche es unmöglich macht, einen nahen und einen fernen Gegenstand im selben Augenblick gleich scharf zu sehen; nur den einen oder den andern, nicht beide zugleich können wir fixiren. Wir haben aber in unserem Instrumente gerade diese Aufgabe zu lösen, wenn wir das Mikrometer und den Gegenstand hinter demselben fixiren wollen. – Hindernd ist auch die große Nähe des Mikrometers am Auge. Seine Entfernung beträgt nur 3 Par. Zoll, was hinter der deutlichen Sehweite, die für gute Augen zu 8 bis 9 Zoll angenommen wird, weit zurückbleibt.

Ein anderer Fehler des Instrumentes könnte in der Parallaxe desselben gesucht werden, allein er ist nicht bedeutend. Zwar ist das Bild, welches wir durch das Concavglas sehen, von diesem 6 Par. Zoll entfernt (hintere Vereinigungsweite des Glases, siehe oben); das Mikrometer steht aber hart am Concavglase, wir können daher die Entfernung des Bildes auch vom Concavglase gleich 6 Zoll setzen. Daher kommt es nun, daß sich Bild und Mikrometer verschieben, wenn das Auge nicht ganz im Centrum des Ocularausschnittes steht. Allein nur bei absichtlicher Anstrengung des Auges, die Parallaxe so groß als möglich zu erhalten, können wir diese bis auf 10 oder selbst 20' steigern; wenn wir aber das Auge nur einigermaßen richtig stellen, so ist der Unterschied sehr unbedeutend. Als Beweis dafür darf ich wohl anführen, daß Hr. Dr. Merz, der mit mir die Versuche des Einstellens mit dem |356| Theodoliten machte, genau dieselben Gränzen für die Visionswinkel wählte wie ich selbst.

Die früher erwähnten Nachtheile gelten ohnehin vor allem für fernsichtige Augen. Die kurzsichtigen können sich weit leichter dem nahen Mikrometer accomodiren; das Concavglas wird sie ferner bei der Betrachtung des entfernten Gegenstandes gleich einer Brille unterstützen und die Schärfe des Einstellens für sie wesentlich erleichtern.

(Der Beschluß folgt im nächsten Heft.)

|334|

Ich bitte darüber weiter unten nachzusehen.

|334|

In beiden Instrumenten ist dafür gesorgt, die Construction der Perpendikel vollziehen zu können.

|335|

Bei der Bezeichnung der Figuren wurden so viel als möglich die gleichen Buchstaben gewählt, und zwar folgende: AB für die zu messende Linie. P = Standpunkt des Porrhometers. F = Fußpunkt des Beobachters. O = Auge. SSSS = Standebene. – Jene Figuren, welche den Gang der Lichtstrahlen durch Linsen oder Prismen nachzuweisen hatten, wurden mit weißen Linien auf schwarzem Grunde gezeichnet.

|335|

Mit „Distanzmesser“ verbindet man bekanntlich einen andern Begriff, deßhalb vermieden wir diese Bezeichnung.

|337|

Rudolph Wagner's Handwörterbuch der Physiologie, Lief. 14, S. 331.

|337|

Alle Angaben beziehen sich auf das Pariser Duodecimalmaaß.

|338|

Den Durchmessern wurde deßwegen die möglichste Schärfe gegeben, weil ich anfangs glaubte nur eine Einstellungslinie zu bekommen. Da aber eine Linse für jeden neuen Winkel eine neue Einstellungslinie fordert, so können zugleich kleine Ungenauigkeiten in der Länge der Durchmesser empirisch corrigirt werden.

|342|

Ueber das Horizontalstellen dieser Linie siehe unten praktische Fälle.

|343|

Durch eine Tabelle im praktischen Theile können wir obige Wurzelextraction durch eine ganz einfache Substitution ersetzen.

|344|

Diese Entwickelungen gelten auch als Basis für die constanten Winkel des Prismenporrhometers.

|344|

Man vergleiche den oben citirten Aufsatz von Volkmann in Rudolph Wagner's physiol. Handwörterbuch.

|346|

Daß wir demungeachtet anderer Einstellungsstriche, mithin auch andere Entfernung der einzelnen Kreise wählen mußten, wird im Capitel über das Concavglas erläutert werden.

|348|

Das Sternchen bei den Einstellungsnummern bedeutet, daß diese Zahlen sich auf die Benützungen der Radien beziehen.

|349|

Auch die Winkel gelten, wie wir im nächsten Capitel sehen werden, nur für nicht zu kleine Entfernungen.

|352|

Aus der eben angeführten Tabelle geht hervor, daß der Fehler wegen der nicht constanten Verkleinerung allein von der Entfernung vom Gegenstande abhängt; er wird also merklich vermieden werden können, wenn wir die kleineren Kreise bei der Messung von nahen Gegenständen gebrauchen, weil in diesem Falle unter übrigens gleichen Umständen die Entfernungen vom beobachteten Gegenstande bedeutend größer sind.

|354|

Bei dieser Aufgabe und fast bei allen übrigen, welche mit diesem Instrumente ausgeführt werden, ist als constructive Bedingung verlangt, zwei Punkte in |355| die Peripherie eines Kreises zu nehmen. Es ist dabei gemäß den Verhältnissen unseres Instrumentes vorausgesetzt, daß die beiden Punkt sich diametral gegenüber liegen. Dieß können wir nur dann mit Sicherheit erreichen, wenn die beiden Stellen, welche den Gegenstand decken, die Durchschnittspunkte des betreffenden Kreises und eines Durchmessers sind.

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