Titel: Decher, über den Reichenbach'schen Distanzmesser.
Autor: Decher, Georg
Fundstelle: 1850, Band 116, Nr. IX. (S. 29–51)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj116/ar116009

IX. Ueber den Reichenbach'schen Distanzmesser; von Professor G. Decher.

Mit Abbildungen auf Tab. I.

Der Bericht über die Meßinstrumente des Hrn. Dr. Romershausen zu Halle (im polytechn. Journal Bd. CXIV S. 34) veranlaßt mich, diesen Instrumenten gegenüber die Ehre des Reichenbach'schen Distanzmessers zu retten, von welchem Hr. Dr. August Wiegand zu Halle in einer Lobrede auf die genannten Instrumente in Grunert's Archiv Bd. XIII Heft 2 meint, er sey praktisch durchaus unbrauchbar.

Der Reichenbach'sche Distanzmesser steht keinem andern ähnlichen Instrumente in der Einfachheit seiner Einrichtung und seiner Behandlung nach, übertrifft aber alle bis jetzt bekannten, namentlich in solcher Weise angewendet, wie ich unten zeigen werde, weit an Genauigkeit der damit erhaltenen Ergebnisse; denn er gibt die Entfernungen einer richtig getheilten Latte von dem Instrumente sehr leicht auf 1/500 derselben durch unmittelbares Ablesen, und zwar bei 25 bis 30maliger Vergrößerung des Fernrohres von 100' und selbst von 50' an bis 1000', eine Genauigkeit, welche mit dem Längenmesser (Diastimeter) von Dr. Romershausen bei weitem nicht erreicht werden kann; denn – zugegeben, daß dieses Instrument, wie behauptet wird, die Parallaxe des anvisirten Objects auf Secunden genau angibt – für ein Object von 15 Fuß und eine Entfernung von 300' muß das Instrument 1',5 lang seyn, wenn die Entfernung der Stahlspitzen 1'' betragen soll; ein Fehler von 1 Secunde entspricht dann einem Fehler von 0'',015 im Einstellen der Stahlspitzen und demnach einem Fehler von 15/1000 oder 1 1/2 Proc. der gemessenen Entfernung; und die Unsicherheit der Messung wäre über 7mal so groß als bei dem Reichenbach'schen Distanzmesser. Dabei gibt letzteres Instrument zugleich die Elevations- und Depressionswinkel für die geneigten Linien, und mittelst einer Reductionstabelle können deren Horizontal-Projectionen ungleich genauer und schneller gefunden werden, als dieß durch das sogenannte Reductionsniveau von Dr. Romershausen möglich ist.

Leider scheint der Reichenbach'sche Distanzmesser, welcher richtig angewendet für die Detailvermessung auf gebirgigem Boden, sowohl |30| bei der Aufnahme mit dem Meßtische, als bei der polygonometrischen Vermessung, eine sehr große Ersparniß an Zeit und Mühe gewährt, den meisten Verfassern von Lehrbüchern der praktischen Geometrie nur dem Namen und dem Principe nach bekannt zu seyn; er findet sich wenigstens meistens nur oberflächlich erwähnt und beschrieben; von einer genaueren Theorie desselben, nach welcher die Theilung der Latte und die Tabelle für die Reduction geneigter Linien auf den Horizont berechnet werden kann, ist nirgends die Rede. Am ausführlichsten scheint derselbe in dem Handbuch der Meßkunde von Dr. Barfuß abgehandelt zu seyn; der Verfasser kennt aber auch nur eine empirische Theilung der Latte, und die Messung schiefer Linien ist bei ihm mit Umständlichkeiten verbunden, wodurch dieselbe viel an Sicherheit verliert. Wahrscheinlich hat auch Hr. Dr. Wiegand sein Urtheil an dieser Quelle geschöpft. Es dürfte deßhalb nicht überflüssig seyn, eine genaue Theorie unseres Distanzmessers, nach welcher ich schon für sechs verschiedene Instrumente die Theilung der Latten sowie die erforderlichen Reductionstabellen ohne einen andern vorausgehenden Versuch, als die Bestimmung der Brennweite des Objectives berechnet habe, nebst einigen zweckmäßigeren Einrichtungen der Latte, als die bisher gebräuchlichen, bekannt zu machen, da ich mich selbst durch mehrfachen Gebrauch jener Instrumente von der Richtigkeit dieser Rechnungen und der Sicherheit der damit vorgenommenen Messungen innerhalb der angegebenen Gränze überzeugt habe.

Der Reichenbach'sche Distanzmesser besteht im Wesentlichen aus einem guten achromatischen Fernrohr, das mittelst eines Stativs fest aufgestellt und um eine horizontal gerichtete Achse gedreht werden kann; zur Bestimmung der Neigung der optischen Achse des Fernrohres gegen den Horizont ist dasselbe mit einem verticalen Gradbogen und zum genauen Einstellen mit einer Mikrometerbewegung versehen. Vor dem Oculare desselben sind zwei horizontale Fäden so angebracht, daß deren gegenseitige Entfernung durch Schrauben, denen eine Feder entgegenwirkt, vergrößert oder verkleinert, und ihnen dabei eine gleiche Entfernung von der optischen Achse des Fernrohres gegeben werden kann. Diese Einrichtung läßt sich demnach mit jedem Meßinstrument, mit der Kippregel wie mit dem Theodolit und dem Nivellirinstrument einfach dadurch verbinden, daß man dem gewöhnlichen Fadenkreuze vor dem Ocular des Fernrohrs dieser Instrumente noch die beiden horizontalen Fäden beifügt. In Fig. 9 und 10 ist ein solcher Ocularkopf für einen kleinen Theodoliten von vorn nach Wegnahme der Ocularlinse und im Durchschnitt dargestellt; a, a sind zwei prismatische Schieber, auf deren Rückseite vom Ocular aus angesehen, die horizontalen Fäden zur |31| Distanzmessung aufgespannt sind, und die durch die Schrauben b, b, denen die Feder e entgegendrückt, in die gehörige Stellung gebracht werden können; die Köpfe dieser Schrauben sind außen durch einen Ring d vor einer zufälligen Drehung geschützt. Der conische Körper f trägt auf seiner dem Ocular zugewendeten Stirnfläche, also in der Ebene lm, in welcher auch die Fäden für die Distanzmessung liegen, das rechtwinkelige Fadenkreuz, oder was für die Winkelmessung viel zweckmäßiger ist, außer dem die optische Achse schneidenden horizontalen Faden, zwei sehr nahe liegende parallele Verticalfäden, zwischen welche das Object viel genauer eingestellt werden kann, als es mittelst eines Fadens oder gekreuzter Fäden möglich ist; vier Schrauben g dienen zum Centriren des Fadenkreuzes. Die Schraube h hält den Ring i, in welchem das Fadennetz befestigt ist, in seiner dem Auge des Beobachters entsprechenden Stellung in Bezug auf das Ocular o fest, und es ist eben sowohl für die Distanzmessung als für die Winkelmessung auf diese Stellung eine besondere Sorgfalt zu verwenden. – Für stärkere Fernröhren und mit einer größeren Distanz der Horizontalfäden, wie sie bei der bayerischen Katastervermessung in Verbindung mit der Kippregel gebraucht wurden, ist es für das richtige Ablesen besser, wenn vor jedem der beiden Horizontalfäden eine besondere Ocularlinse angebracht wird; es hat dann das ungenaue Einstellen des Oculars oder vielmehr der Fäden in Bezug auf das Bild der Latte einen weniger bedeutenden Einfluß, als wenn beide Fäden durch eine und dieselbe Ocularlinse betrachtet werden.

Dieses Instrument wird mit seiner Drehungsachse C, Fig. 14, lothrecht über dem Anfangspunkt A der zu messenden Linie aufgestellt, und ihm gegenüber am Endpunkte B derselben die Distanzlatte BN von dem Meßgehülfen in einer solchen Lage gehalten, daß das darauf senkrecht stehende Visir oder Diopter Dd auf das Objectiv O des Fernrohrs gerichtet ist, die Latte also auf der Verbindungslinie OD senkrecht steht. Diese Latte besitzt eine entsprechende Theilung, deren Nullpunkt am besten oben angebracht wird, damit derselbe einestheils nicht so leicht durch Gebüsch, Getreide etc. verdeckt wird, theils weil die Luft in einiger Höhe über dem Boden immer ruhiger ist, als in der Nähe desselben, während die zu messenden Linien selten die größte Länge, für welche die Latte ausreicht, besitzen, und demnach in den meisten Fällen mit beiden Fäden in der ruhigeren Luft abgelesen werden kann. Ferner wird der Nullpunkt am zweckmäßigsten durch die feine Mittellinie eines oben und unten schwarz eingefaßten weißen Streifens gebildet, da auf diese Mittellinie, auch wenn sie gar nicht mehr sichtbar ist, der entsprechende Horizontalfaden (der untere) selbst mit einem wenig geübten |32| Augenmaaße mit größter Schärfe eingestellt werden kann. Die Theilung selbst dagegen, welche an dem oberen der beiden Distanzfäden des Fernrohrs abgelesen, die senkrechte Entfernung der Latte von der Drehungsachse des Fernrohrs, also die Länge der Senkrechten CD' angibt, besteht wie die Theilung der Nivellirlatten, aus versetzten schwarzen und weißen Feldern, welche aber höchstens 1 Zoll oder 2,5 Centim. Länge erhalten dürfen, damit sie noch durch das Augenmaaß leicht in 10 gleiche Theile getheilt werden können; übrigens dürfen sie auch nicht so klein gemacht werden, daß sie der Faden bei der größten Entfernung der Latte ganz bedeckt. In Fig. 13 ist eine solche Theilung dargestellt; jeder einzelne Theil entspricht hier einem Meter Entfernung, und die angeschriebenen Ziffern 1, 2, 4 bedeuten Zehner von Metern, nämlich 10 Meter, 20 Meter, 40 Meter etc.

Am untern Ende ist die Latte mit einer eisernen Spitze versehen, um diese in den Boden eindrücken, und die Latte auch in einer nicht verticalen Stellung sicher halten zu können, was für einen festen Mann mit einigen durch die Uebung erlangten Vortheilen in der Stellung des Körpers und namentlich in der Haltung der Arme, keine so gar schwere Aufgabe ist, wenn die zu messende Linie sich nicht über 30° gegen den Horizont neigt, ein Fall, der selten vorkommt und für den auch das Fernrohr kaum mehr anwendbar ist.

Um endlich auch dem Diopter eine richtige und unwandelbare senkrechte Stellung zur Latte zu sichern, habe ich demselben die in Fig. 11 und 12 dargestellte Einrichtung gegeben. Es dreht sich dasselbe nämlich auf einem auf der schmalen Seite der Latte L angeschraubten conischen Zapfen, auf dem es mittelst einer Mutter und Vorlegplatte so festgehalten wird, daß es keine wankende Bewegung machen kann. Auf den schmalen Kanten sind zwei Federn a und b angeschraubt, eine stärkere a, welche durch eine Schraube c in einer bestimmten Lage erhalten wird, und eine schwächere freispielende b. Beim Richten des Diopters legen sich diese Federn in den entsprechenden Einschnitt ef der großen an der vordern Fläche der Latte angeschraubten Schnappfeder F ein, und geben dem Diopter immer dieselbe Lage in Bezug auf die Latte, so daß dasselbe immer senkrecht darauf stehen wird, wenn die Feder a einmal mittelst der Schraube c für diesen Zweck richtig gestellt ist. In unserer Darstellung ist auf den Fall Rücksicht genommen, wo die Latte auf beiden Seiten zum Distanzmessen gebraucht wird, das Diopter also vorwärts und rückwärts muß eingelegt werden können, wenn man nicht vorzieht zwei Dioptern anzubringen, damit der Gehülfe für jede Seite |33| der Latte, die er dem Instrumente zuwendet, das Diopter in derselben Lage vor sich hat.

Zur Berechnung der Theilung der Latte und der Reduction der gemessenen geneigten Linien auf den Horizont sey nun allgemein (Fig. 14):

die horizontale Distanz A 'B der Stationspunkte A und B = d
die Entfernung CB der Drehungsachse des Fernrohrs vom
Fußpunkt B der Latte BN

= d
die senkrechte Entfernung CD' der Drehungsachse von der
Latte oder die abgelesene Distanz

= d
die senkrechte Entfernung OD des Objectivs von der Latte = d
die Entfernung OC des Objectivs vom Drehungspunkt = b
die Entfernung ON des Objectivs vom Nullpunkt der Latte = d
die Brennweite des Objectivs = f
der Abstand des Bildes der Latte vom Objectiv (Sammelweite) = a
der halbe Abstand der beiden Distanzfäden f und f' =e
der Abstand DN des Diopters der Latte vom Nullpunkt = L
der Abstand DB desselben vom Fußpunkt der Latte = l
die Länge des zwischen den Visirstrahlen ON und Ox
liegenden Theiles der Latte

= x
der Winkel zwischen der optischen Achse COP des Fernrohrs
und der Senkrechten OD

= φ
der Winkel zwischen der optischen Achse und jeder der Visirlinien
ON und Ox oder Of und Of'

= α
der am Instrumente abgelesene Winkel zwischen der
optischen Achse und dem Horizont, der für die Depression
positiv, für die Elevation negativ genommen werde


= δ
endlich der Winkel, den die Senkrechte CD' mit der Geraden
CB bildet

= ψ.

Zuerst kann man wegen der Kleinheit des Winkels φ und der Länge b im Verhältnisse zu d₂ die beiden Senkrechten CD ' und OD mit hinreichender Genauigkeit der Richtung nach als congruent annehmen, und hat dadurch:

1) d₃ = d₂ – b;

ferner gibt das Dreieck ODN:

2) tang (φ + α) = L/d₃, 3) 1/d₄ = cos (φ + α)/d₃,

|34|

und die bekannte Formel der Dioptrik:

4) 1/a = 1/f – 1/d

bestimmt die Entfernung a, in welcher das Bild des Nullpunktes der Latte vom Objectiv erscheint; man zieht daraus

5) sin α = e/a

und kennt nun, wenn e als gegeben vorausgesetzt wird, damit und durch das Vorhergehende, die Winkel α und φ, und zuletzt findet man

x = Ldtang (φα) = d₃ (tang (φ + α) – tang (φα))

oder sehr nahe

6) x = 2 dtang α/cos²φ,

als Länge des der Distanz d₂ entsprechenden Theiles der Latte. Mittelst dieser Gleichungen können also die Theile der Latte für verschiedene Entfernungen berechnet werden, und wenn diese auf die Latte aufgetragen sind, kann man die Unterschiede derselben, ihrer geringen Veränderlichkeit wegen, proportional in kleinere Theile abtheilen.

Zuvor müssen wir aber noch den halben Abstand der Distanzfäden genau bestimmen. Dieß geschieht dadurch, daß man nach einer einfachen Proportion die Höhe H der Latte feststellt, welche dem am Instrumente abgemessenen mittleren Abstande der Fäden und einer größten Entfernung D₂ der Latte vom Instrumente entspricht oder entsprechen soll, und darnach die Größe e berechnet. Bezeichnen wir dazu die Größen, welche in der Entfernung D₂ den Größen d₃, d₄, α, φ, a und x entsprechen, mit D₃, D₄, α₁, φ₁, A und H, so haben wir wie vorher:

D₃ = D₂ – b,

tang (α₁ + φ₁) = L/D₃, tang (α₁ – φ₁) = (HL)/D

und finden daraus α₁ nach der bekannten Formel:

α₁ = 1/2 (α₁ + φ₁) + 1/2 (α₁ – φ₁).

Es ist ferner

1/D₄ = cos (φ₁ + α₁)/D₃,

womit sich

1/A = 1/f – 1/D

|35|

und zuletzt der gesuchte halbe Abstand der Fäden

e = A sin α

berechnen läßt.

Ist dann die Latte auf diese Weise getheilt, so gibt man den Distanzfäden den eben berechneten Abstand, indem man auf einem möglichst ebenen und wenig geneigten Boden die Entfernung D₂ mit der Kette abmißt, am Anfangspunkt das Instrument, am Endpunkt die Latte aufstellt, und die Lage der Fäden mittelst der Druckschrauben so corrigirt, bis sie gleichzeitig auf den Punkten N und H einstehen. Um sich dann zu überzeugen, ob die Fäden gleichweit von der optischen Achse abstehen, bemerkt man sich die Stellung des Instrumentes am Verticalkreise und schlägt das Fernrohr um, so daß der obere Faden der untere, der untere der obere wird, stellt wieder auf die Latte ein, und sieht zu, ob der Gradbogen dieselbe Abweichung vom Horizont angibt. Ist dieß nicht der Fall, so halbirt man den Unterschied, und corrigirt die Fäden von Neuem so, daß sie die Punkte N und H decken. Mit einem guten Augenmaaß erreicht man übrigens denselben Zweck genauer und mit weniger Umständen. Bei dieser Correction oder Prüfung der Distanzfäden, die nach längeren Zeiträumen immer wieder vorgenommen werden muß, kann man sich zugleich von der Richtigkeit der Theilung der Latte überzeugen und im Ablesen einüben, indem man beim Abmessen der Länge D₂ in mehreren Zwischenräumen Zeichen einstecken und die entsprechenden Entfernungen notiren, und dann, wenn die Fäden corrigirt sind, die Latte in den bezeichneten Punkten aufstellen läßt, um ihre Entfernungen mittelst des Instrumentes zu bestimmen.

Die Reduction der abgelesenen Entfernung d₂ auf den Horizont ergibt sich einfach wie folgt. Man hat in dem rechtwinkeligen Dreiecke CD'B oder CDB

BD/CD = 1/d₂ = tang ψ, CB = d₁ = d₂/cos ψ

und dann in dem Dreiecke CBA

A'B = d = dcos (δ + φ + ψ)

als die gesuchte horizontale Entfernung der Stationspunkte A und B. Für die Interpolation ist es jedoch zweckmäßiger, die an der abgelesenen Distanz d₂ anzubringende Reduction:

R = dd

zu berechnen, und diese nach den Werthen des durch die Beobachtung |36| gegebenen Winkels δ in eine Tabelle, wie die unten folgende zusammenzustellen. Man hat dann:

d = d₂ + R.

Das einfachste Mittel, sich in der Anwendung dieser Tabelle zu üben und von ihrer Richtigkeit zu überzeugen, wird darin bestehen, das Instrument und die Latte an zwei in verschiedener Höhe liegenden Punkten aufzustellen, und zwar zuerst das Instrument oben, die Latte unten, und dann die Latte an der obern und das Instrument an der untern Station, und die jedesmal abgelesenen Distanzen, die nicht gleich seyn werden, mittelst der Tabelle auf den Horizont zu reduciren, wodurch jedesmal dieselbe horizontale Distanz zum Vorschein kommen muß. Eine mehrmalige Wiederholung dieses Verfahrens bei verschiedenen Entfernungen und Höhenunterschieden wird für den Gebrauch des Instrumentes und der Tabelle der beste Lehrmeister und zugleich die beste Empfehlung desselben seyn.

Nach der vorhergehend beschriebenen Einrichtung des Instrumentes, der Latte und Reductionstabelle hat also der Geometer nur dafür zu sorgen:

1) daß die Distanzfäden die richtige Entfernung von einander haben;

2) daß die Drehungsachse des Fernrohrs lothrecht über dem Anfangspunkte A der zu messenden Linie, und das Instrument dabei so aufgestellt ist, daß der verticale Kreis oder Gradbogen die Neigung der optischen Achse gegen den Horizont richtig angibt;

3) daß die Fäden genau mit dem Bilde der Latte zusammentreffen, was man leicht durch ein geringes Neigen des Kopfes darnach beurtheilen kann, ob die Fäden auf der Latte unverrückt bleiben. Ist dieß nicht der Fall, so muß der Ocularkopf so lange verrückt werden, bis es erreicht ist;

4) wenn der untere Faden auf Null eingestellt ist, so muß in demselben Augenblicke bloß durch Verrückung des Auges mit Vermeidung jeder fühlbaren Bewegung des Körpers auch die Stellung des obern Fadens abgelesen werden, was übrigens in kurzer Zeit mehrmal wiederholt werden kann;

5) sogleich nachdem die abgelesene Distanz notirt, und ohne daß in der Stellung des Instrumentes das Geringste geändert worden ist, wird die Elevation oder Depression der optischen Achse am Gradbogen abgelesen und aufgezeichnet, und zwar genügt es, wenn diese Winkel auf Zehntel-Grade bestimmt werden.

|37|

Der Gehülfe hat dabei nichts zu beobachten, als was früher schon erwähnt wurde, nämlich daß die Latte in dem Endpunkte B fest aufgestellt wird, daß das Diopter auf das Objectiv des Instrumentes zeigt, und die schmale Seite der Latte in einer verticalen Ebene liegt. Das letztere kann übrigens der Gehülfe nicht leicht selbst beurtheilen; es muß ihm daher von dem Geometer durch Winken angedeutet werden. Die ganze Behandlung des Instrumentes und der Latte ist also sehr einfach und erfordert gewiß den möglich kleinsten Zeitaufwand für die Bestimmung der Entfernung eines Punktes aus einer Station, wobei die Resultate hinsichtlich der Genauigkeit jede billige Anforderung befriedigen, und namentlich den für Detailvermessungen nothwendigen Grad der Genauigkeit selbst bei geringer Hebung des Beobachters erreichen.

Aus dem Vorhergehenden ersieht man, daß die Theilung einer Latte streng genommen für jedes Fernrohr besonders berechnet werden muß; es geht indessen auch daraus hervor, daß kleine Abweichungen in der Brennweite des Objectivs und in seiner Entfernung von der Drehungsachse des Fernrohrs nur sehr kleine Aenderungen in jener Theilung bewirken; es dürfte deßhalb für Manchen erwünscht seyn, wenn ich hier die Theilung der Latte, sowie die Reductionstabellen für zwei verschiedene Instrumente, wie sie meistens angewendet werden, mittheile, und bei einem derselben zugleich die Art und Weise der Rechnung zeige.

Das erste dieser Instrumente ist ein Multiplications-Theodolit oder ein terrestrisches Universalinstrument mit einem Fernrohr zum Durchschlagen von 12 bis 15maliger Vergrößerung; die beiden Kreise (Horizontal- und Höhenkreis) sind nach der Centesimaltheilung in 400° und entsprechend weiter getheilt; der Höhenkreis gibt an den Nomen Unterschiede von 5 Minuten an. Die Brennweite f des Objectivs ist 0,2928 Meter, und der Abstand desselben von der Drehungsachse 0,20 Meter. Die dazu gehörige Latte ist etwas über 3 Meter lang, und nach dem metrischen Maaße getheilt, weil mir dieses für das Ablesen die zweckmäßigste Eintheilung gab, nämlich Theile, die einer Längeneinheit entsprechen, und nicht zu groß und nicht zu klein sind. Die Latte ist nämlich auf der einen Seite von unten auf als Nivellirlatte in Centimeter eingetheilt, welche bis zu Entfernungen von 50 Meter durch das Augenmaaß leicht noch genau in 10 gleiche Theile getheilt werden können, so daß das mit einer sehr empfindlichen Libelle versehene Fernrohr bei Stationen von 100 Meter von der Mitte aus die Höhen auf 1 Millimeter sicher angibt. Auf der andern Seite ist die Latte als Distanzlatte von oben herab, wie in Fig. 13 dargestellt |38| ist, so getheilt, daß jeder Theil, der etwa 1,5 Centim. groß ist, einem Meter Unterschied in der Entfernung entspricht, und daß darauf die Distanzen von 10 bis 200 Meter leicht auf 1/500, und mit einiger Uebung des Beobachters, namentlich bei ruhiger Luft und guter Beleuchtung selbst bis auf 1/1000 derselben genau abgelesen werden können.

Die Entfernung L des Diopters dieser Latte vom Nullpunkte ist = 1,623 Met.
„ „ l „ „ „ „ vom Boden „ = 1,4 Met.
die Hauptdistanz D₂ zur Correction der Fäden ist = 200 Met.
und die entsprechende Höhe H der Latte = 3 Met.

Mit diesen Werthen berechnet sich zuerst der halbe Abstand der Fäden wie folgt.

Es ist:

1) D₃ = D₂ – b = 200,00 Met. – 0,20 = 199,80 Met.;

2) tang (α₁ + φ₁) = L/D₃ = 1,623/199,80 = tang 0,5171°

3) tang (α₁ – φ₁) = (HL)/D₃ = (3 – 1,623)/199,80 = tang 0,4387°

4) α = 1/2 (α₁ + φ₁) + 1/2 (α₁ – φ₁) = 0,4779°

5) 1/D₄ = cos (φ₁ + α₁)/D₃ = cos 0,5171/199,80 = 0,005005

6) 1/A = 1/f – 1/D₄ = 1/0,2928 – 0,005005 = 3,41029

7) e = A sin α₁ = 1/3,41029 sin 0,4779°

also:

e = 0,0022014 Met.

log e = 7,342694.

Die Berechnung der Theile der Latte, für welche es genügt, wenn sie für die Entfernungen von 10, 20, 40, 60, 100, 150 und 200 Meter nach den obigen Formeln durchgeführt wird, indem man damit die Werthe von x für die dazwischen liegenden Zehner von Metern leichter durch Interpolation erhalten kann, wird sich am einfachsten und sichersten in der nachstehenden tabellarischen Form herstellen lassen, worin die Buchstaben d. E. decadische Ergänzung bedeuten.

|39|
Textabbildung Bd. 116, S. 39

Mit diesen Werthen ergibt sich dann durch eine leichte Interpolation die nachstehende Tabelle für die Theilung der Distanzlatte, aus welcher man steht, wie die Unterschiede in den Theilen allmählich mit der Entfernung zunehmen, und zwar im Anfang sehr merklich, zuletzt aber nur sehr wenig. Man sieht ferner daraus, daß man auch bei den kleinern Distanzen die Zwischenräume zwischen den angegebenen Theilungspunkten in 10 gleiche Theile theilen darf, um die Theile für 1 Meter Unterschied in der Entfernung ohne wahrnehmbaren Fehler zu erhalten.

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Distanzen.
Entsprechende Längen
der
Latte von Null an.

Unterschiede.
10 Met. 0,14659 Met.
20 0,29498 0,14839
30 0,44466 0,14968
40 0,59474 0,15008
50 0,74492 0,15018
60 0,89516 0,15024
70 1,04544 0,15028
80 1,19575 0,15031
90 1,34608 0,15033
100 1,49642 0,15034
110 1,64677 0,15035
120 1,79712 0,15035
130 1,94747 0,15035
140 2,09782 0,15035
150 2,24818 0,15036
160 2,39854 0,15036
170 2,54890 0,15036
180 2,69926 0,15036
190 2,84963 0,15037
200 3,00000 0,15037

Um ferner die Berechnung der Reductionstabelle in gleicher Weise durchzuführen, sucht man zuerst den Winkel ψ und den Werth von d₁ wie folgt:

d₂ =
d E. log d₂ =
log l =
log tang ψ =
ψ =
φ =
Met.
10,00
9,00000
0,14613
9,14613
8°,86
9,97
Met.
20,00
8,69897

8,84510
4°,45
4,74
Met.
40,00
8,39794

8,54407
2°,23
2,12
Met.
60,00
8,22185

8,36798
1°,49
1,25
Met.
100,00
8,00000

8,14613
0°,89
0,56
Met.
150,00
7,82391

7,97004
0°,59
0,21
Met.
200,00
7,69897

7,84510
0°,45
0,04
φ + ψ = 18,83 9,19 4,35 2,74 1,45 0,80 0,49
d. E. log cos ψ =
log d₂ =
0,00412
1,00000
0,00106
1,30103
0,00027
1,60206
0,00012
1,77815
0,00004
2,00000
0,00002
2,17609
0,00001
2,30103
log d₁ = 1,00412 1,30412 1,60233 1,77827 2,00004 2,17611 2,30104

und gibt der weitern Rechnung, bei welcher man sich darauf beschränkt, die Winkel δ von 5° zu 5° zu nehmen, die nachstehende übersichtliche Einrichtung, wobei zu bemerken ist, daß δ' für δ + φ + ψ steht.

|[Zu Seite 40]|
Textabbildung Bd. 116, S. 41
|[Zu Seite 40]|
Textabbildung Bd. 116, S. 42
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Bezeichnet man dann die vier Werthe von R, welche zwischen zwei in der vorstehenden Tabelle aufeinanderfolgende eingeschaltet werden sollen, mit R', R'', R''', RIV, die letzteren selbst mit R und R₁, so hat man nach der gewöhnlichen Interpolationsformel, indem man die dritte und die höhern Differenzen vernachlässigt:

R' = R + 1/5 Δ R – 2/25 Δ² R,

R'' = R + 2/5 Δ R – 3/25 Δ² R,

R''' = R + 3/5 Δ R – 3/25 Δ² R,

RIV = R + 4/5 Δ R – 2/25 Δ² R,

oder für die fortgehende Berechnung zweckmäßiger:

R' = R + 1/5 Δ R – 2/25 Δ² R,

R'' = R' + 1/5 Δ R – 1/25 Δ² R,

R''' = R'' + 1/5 Δ R,

RIV = R''' + 1/5 Δ R + 1/25 Δ² R,

wozu dann das Glied

R₁ = R IV + 1/5 Δ R + 2/25 Δ² R

als Controle dienen wird.

Auf diese Weise erhält man die beiden Tabellen A und B, welche auf einen Streifen dünne Pappe aufgezogen, und sogleich im Felde zur Reduction benützt werden können. In der Mitte einer jeden derselben ist eine Spalte mit dem Kopfe: Δ für 10 Met., welche die nahe constanten Differenzen der in derselben Zeile stehenden Zahlen enthält (nur die beiden ersten Spalten unter 10 und 20 Met. machen davon eine fühlbare Ausnahme), und die Interpolation für die Distanzen, welche zwischen die in der Tabelle angegebenen fallen, erleichtert. Ein Beispiel wird die Anwendung klar machen:

Man habe auf der Latte die Distanz 113,70 Met. abgelesen bei einer Depression der optischen Achse des Fernrohrs von 18,3°, und will dieselbe auf den Horizont reduciren.

Die Tabelle B (Depression) gibt als Reduction für 110 Met. bei 18° Depression: 500 Met., bei 19°: 551, und demnach ist bei 18,3°

R = 500 + (551 – 500)/10 × 3 = 515 Centim.

|42|
Ferner hat man bei 18° für 10 Meter die Differenz: 37
19° „ „ „ „ 42
–––––
also bei 18,3° „ „ 39
für 1 Meter „ „ 4
und „ für 3,7 Met. „ „ 15

Die vollständige Reduction der abgelesenen Distanz ist sonach 530 Centim. und folglich

113,70 Met. – 5,30 Met. = 108,40 Met.

die auf den Horizont reducirte Entfernung des Stationspunktes der Latte von der Station des Instrumentes.

Mit einiger Uebung läßt sich diese kurze Rechnung, wie dieß beim Meßtische nothwendig ist, schon im Felde leicht und schnell ausführen; bei polygonometrischen Messungen wird man besser thun, sich, wie schon bemerkt, die Neigungswinkel zu notiren, und die Reduction zu Hause zu berechnen.

Das zweite Instrument, für welches hier noch die Theilung der Latte und die Reductionstabellen folgen, ist ein Distanzmesser mit Kippregel für die Aufnahme mittelst des Meßtisches; das Fernrohr besitzt eine 25 bis 30malige Vergrößerung, und vor jedem Distanzfaden eine Ocularlinse; aber kein Collectivglas. Die Brennweile des Objectivs ist = 1,675 bayer. Fuß, und der Abstand desselben von der Drehungsachse = 0,833 Fuß. Die dazu gehörige Latte ist zum Zusammenlegen eingerichtet, sie wird in ihrer ganzen Länge bis zu 1000 Fuß, die Rückseite der untern Hälfte bis 500' gebraucht. Der Abstand des Diopters vom Boden ist 4,8 Fuß; der Abstand von Null bei der ganzen (1000') Latte = 12', bei der 500' Latte = 4'; der Hauptdistanz D₂ = 1000' entspricht die Höhe H = 15',3. Die 1000' Latte ist in Felder von 7''' bis 8''' Länge eingetheilt, welche einem Unterschiede von 5' in der Entfernung entsprechen; bei der 500' Latte, die von 50' anfängt, haben die Felder oder Theile bis zu einer Distanz von 250' nur 3''' Länge und entsprechen Entfernungsunterschieben von 2 Fuß; von 250' bis 500' ist dagegen die Theilung auf dieselbe Weise, wie auf der 1000' Seite beschaffen. Diese Latte hat ein Diopter wie das in Fig. 11 und 12 dargestellte.

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Mit den eben angegebenen Werthen berechnet sich die Theilung der Latte für dieselbe durch die 1000' Latte bestimmte Fädendistanz wie folgt:


Distanzen.
Werthe
von x bei der 500'
Latte.
Werthe
von x bei der 1000'
Latte.
50' 0,7325'
100 1,4970 1,5147
150 2,2361 2,2752
200 3,0296 3,0376
300 4,5631 4,5679
400 6,0968 6,1000
500 7,6307 7,6328
600 9,1658
700 10,6992
800 12,2327
900 13,7663
1000 15,3000

Die Reductionstabellen folgen unter C, D, E und F und bedürfen nur der Bemerkung, daß die Werthe von δ hier gewöhnliche oder Sexagesimal-Grade bedeuten.

|44|

A.

Textabbildung Bd. 116, S. 44
|45|

A.

Textabbildung Bd. 116, S. 45
|46|

B.

Textabbildung Bd. 116, S. 46
|47|

B.

Textabbildung Bd. 116, S. 47
|48|
Textabbildung Bd. 116, S. 48
|49|
Textabbildung Bd. 116, S. 49
|50|
Textabbildung Bd. 116, S. 50
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Textabbildung Bd. 116, S. 51
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