Titel: Kramer, über das Project galvanischer Uhren zu Berlin.
Autor: Kramer, August
Fundstelle: 1851, Band 121, Nr. XXIX. (S. 111–121)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj121/ar121029

XXIX. Ueber das Project der galvanischen Uhren zu Berlin; von Dr. August Kramer.

Die Einführung der galvanischen Uhren, welche in der Stadt vertheilt und durch eine unterirdische Drahtleitung miteinander in Verbindung gesetzt werden, hat bekanntlich den Zweck, jedem Theilnehmer gegen Bezahlung eines Eintrittsgeldes und eines mäßigen laufenden Beitrags von Minute zu Minute genau diejenige Zeit anzugeben, welche eine auf dem Ausgangspunkte der galvanischen Kraft aufgestellte Normaluhr anzeigt. Es braucht wohl nicht besonders hervorgehoben zu werden, wie wichtig und höchst wünschenswerth für eine Stadt von größerer Ausdehnung und von lebhaftem Verkehre eine solche Einrichtung seyn muß, vorausgesetzt, daß die Leiter des Unternehmens den |112| Gang der Thurm- und Eisenbahnuhren mit ihrer untadelhaften Normaluhr gewissenhaft im Einklänge erhalten. Die Ueberzeugung von der Nützlichkeit hat auch bereits in Leipzig eine solche Einrichtung ins Leben gerufen. Dort ist der Leitungsdraht nicht unterirdisch, sondern an den Häusern entlang geführt, um später in die Wände eingelassen und gehörig sicher gestellt zu werden. Letzteres ist darum unerläßlich, damit der Draht nicht so leicht durch Zufall, Fahrlässigkeit oder bösen Willen zerstört und dadurch sämmtliche galvanische Uhren zum Stillestehen gebracht werden können. Ebenso bedürfen auch die Leitungen, welche in die Häuser hinein nach den einzelnen galvanischen Uhren hinführen, des sorgfältigsten Schutzes, denn auch hier ist es einem Muthwilligen ein Leichtes, durch Zertrennen des Drahtes wenigstens für den Zeitraum einer Nacht alle galvanischen Uhren der Stadt anzuhalten.

Auch hier bei uns geht man jetzt damit um, galvanische Uhren einzurichten. Nur der letztgenannte Uebelstand der leichten Zerstörbarkeit innerhalb der Wohnungen scheint noch den einzigen Stein des Anstoßes zu bilden. Was ist natürlicher, als daß man auf Mittel und Wege sinnt, ihn zu beseitigen! Sollte es denn, fragt man, gar nicht möglich seyn, eine solche Verbindung unter den einzelnen galvanischen Uhren herzustellen, daß die Zerstörung des nach einer derselben führenden Zuleitungsdrahtes nur eben diese eine beträfe, die übrigen aber in ihrem regelmäßigen Fortgange nicht weiter störte? — etwa wie die Verstopfung einer von der Hauptgasleitung nach einem Hause führenden Röhre nur diesem einen Hause und keinem der übrigen den Gasstrom abschneidet. Es wäre ein Leichtes, derartiges auszuführen, wenn der galvanische Strom, bezüglich seiner Fortpflanzung in einem metallischen Leiter und seiner Verzweigung im Ableitungsdrahte, keine anderen Gesetze befolgte, als eine durch Druck zum Ausströmen gezwungene Gasmenge. Man brauchte ja nur auf dem Ausgangspunkte eine galvanische Batterie aufzustellen, den einen Pol derselben mit der Erde in gut leitende Verbindung zu setzen und von dem anderen Pole aus einen sorgfältig isolirten Leitungsdraht durch alle Straßen zu führen und an verschiedenen Punkten isolirte Drähte nach den einzelnen galvanischen Uhren abzuzweigen, endlich die auf der anderen Seite der Uhren wieder hervorkommenden Enden mit der Erde in gut leitende Verbindung zu setzen, zu deren Erlangung man sich (ohne Platten einzugraben) der Gasleitungsröhren bedienen könnte, wo solche in der Nähe sind. Nunmehr wird der durch die galvanische Batterie erzeugte Strom allerdings sich nach den einzelnen Uhren hin verzweigen, und es stünde somit der wirklichen Ausführung gar nichts im Wege, wenn die durch die Zweigdrähte |113| abfließenden Stromtheile — eine große Anzahl Uhren vorausgesetzt — auch nur annähernd einander gleich gemacht werden könnten. Beschränken wir aber auch die Menge der Uhren auf die bescheidene Anzahl weniger Hunderte, und nehmen wir an, daß jede von der nächstfolgenden etwa um 400 Fuß, d. i. 160 Schritte entfernt aufgestellt ist, was gewiß von der Wahrheit im Allgemeinen nicht bedeutend abweichen wird, machen wir endlich die für die Möglichkeit der Ausführung äußerst günstige Voraussetzung, daß der auf einen Elektromagneten aufgewickelte Multiplicatordraht dem galvanischen Strome einen 600mal so großen Widerstand entgegensetze, wie ein 400 Fuß langes Stück des isolirten Hauptdrahtes (d. h. daß ein Elektromagnet einen Leitungswiderstand von 10 Meilen eines eine Linie dicken Kupferdrahtes besitze), so wird dennoch durch die der galvanischen Batterie am nächsten befindliche Abzweigung sogleich der fünfundzwanzigste Theil des galvanischen Stromes abfließen und nur 24/25 werden in dem Hauptdrahte weiter fließen, um die übrige große Anzahl Uhren in Bewegung zu setzen. Dieß ließe sich noch ertragen, wenn nur nicht die nächstfolgende, zweite Uhr sich abermals 1/25 des schon geschwächten Stromes aneignete, und nunmehr nur noch 576/625, d. i. etwas mehr, als 5/6 in dem Hauptdrahte zurückblieben, welcher Vorgang sich bei jeder folgenden Uhr erneuert. Der Beweis ist in Folgendem enthalten.

α β sey eine galvanische Batterie, der eine Pol α stehe mit der Erde in leitender Verbindung, von dem andern Pole β gehe ein isolirter

Textabbildung Bd. 121, S. 113
|114|

Leitungsdraht bis Z. Es seyen in den Punkten A, B, C .... X, Y, Z isolirte Ableitungsdrähte A a′, B b′, C c′ .... X x′, Y y′, Z z′ abgezweigt, deren andere Enden a′, b′, c′ .... x′, y′, z′ mit der Erde in Verbindung stehen. Da nun der Leitungswiderstand der Erde selbst gleich 0 ist, so ist die Sache so anzusehen, als liefen die Enden a′, b′, c′ .... x′, y′, z′ alle mit α′ in einen einzigen Punkt zusammen. In jedem der Ableitungsdrähte befinde sich bei a, b, c .... x, y, z ein Elektromagnet mit dem Leitungswiderstande m; die Entfernungen δ der Ableitungsstellen A, B, C .... von einander seyen einander gleich und zwar jede = 1.

Angenommen nun, es komme ein galvanischer Strom von V her nach W an, so wird er, da in dem Punkte W sich ihm zwei Wege W w′ und W X darbieten, sich in zwei Theile spalten, deren Stärke abhängig ist von den Leitungswiderständen, welche er auf dem einen und auf dem anderen Wege antrifft. Der eine Leitungswiderstand W w′ ist bekannt, nämlich gleich dem des eingeschalteten Elektromagneten = m; der des zweiten Weges aber läßt sich nicht so einfach angeben, kann vielmehr der vielen noch folgenden Abzweigungen wegen nur durch eine zusammengesetzte Berechnung ermittelt werden. Nennen wir ihn W′.

Gehen wir nun zu der nächst vorhergehenden Ableitungsstelle V in der Distanz δ und nennen den Widerstand des abgezweigten Stroms wiederum m, den des im Strombette verbleibenden V′, so ist offenbar

Textabbildung Bd. 121, S. 114

und da der Einfachheit wegen die Distanzen δ einander gleich, und zwar jede gleich 1 angenommen werden, so erhält man:

Textabbildung Bd. 121, S. 114

Nun ist es aber etwas bequemer, nicht V′, W′ .... selbst, sondern die Verhältnisse m/V′, m/W′ .... in Rechnung zu bringen, daher bilden wir die Gleichung:

Textabbildung Bd. 121, S. 114

Da dasselbe Gesetz Gültigkeit besitzt in Bezug auf je zwei benachbarte Ableitungsstellen, und da namentlich der Widerstand Y′ an der |115| allerletzten Ableitungsstelle Y offenbar = 1 + m, oder der Gleichförmigkeit wegen = 1 + m/1 ist, so ergibt sich, daß wir es mit den Näherungswerthen des endlosen Kettenbruches

Textabbildung Bd. 121, S. 115

zu thun haben werden. Hat man nämlich das Verhältniß m/W′ bereits ermittelt, so erhält man das entsprechende m/V′ der nächst vorhergehenden Ableitungsstelle dadurch, daß man von dem Werthe m/W′, welcher selbst ein Näherungswerth jenes Kettenbruches ist, ausgehend den zweitfolgenden Näherungswerth berechnet.

Ist nun irgend ein Näherungswerth jenes Kettenbruches = p/q, dann ist der nächstfolgende (nicht der zweitfolgende) offenbar

Textabbildung Bd. 121, S. 115

Textabbildung Bd. 121, S. 115

Verfährt man mit dem eben gewonnenen Werthe in gleicher Weise, so erhält man

Textabbildung Bd. 121, S. 115
als zweitfolgenden Näherungswerth.

Mit Hülfe dieser Formel ist man im Stande, die auf einander folgenden Größen m/Y′, m/X′, m/W′, .... welche wir der Reihe nach mit [1], [2], [3] .... bezeichnen wollen, eine nach der anderen zu berechnen. Allein es ist ein unerquickliches Geschäft, eine derartige Rechnung numerisch nur einigermaßen weit fortzuführen. Auch kann uns an der Kenntniß jeder einzelnen dieser Größen wenig gelegen seyn, vielmehr wünschen wir zu erfahren, welchen Gang die Werthe [1], [2], [3] im Allgemeinen befolgen. Dieser Wunsch ist leicht erfüllt, wenn es gelingt, durch eine einfache Rechnung aus [λ] und [μ] den Werth von [λ + μ] auf einmal zu finden, ohne uns auf die dazwischen liegenden [λ + 1], [λ + 2], .... weiter einzulassen. Zu dem Ende beantworten |116| wir zunächst die Frage, wie sich der Werth z/n eines Näherungswerthes obigen Kettenbruches ändert, wenn man an den allerletzten Partialnenner 1 noch das eine Glied x/1 anhängt. Heißt der dem z/n zunächst vorhergehende Näherungswerth z′/n′, so ist nach Obigem

Textabbildung Bd. 121, S. 116

zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Näherungswerthe.

Jetzt erinnere man sich des Verfahrens, aus zwei unmittelbar aufeinanderfolgenden Näherungswerthen p/q und r/s des ganz allgemeinen Kettenbruches

Textabbildung Bd. 121, S. 116

den nunmehrigen nächsten mit Hülfe des neu hinzutretenden Partialbruches f/φ zu berechnen. Dieser ist nämlich:

Textabbildung Bd. 121, S. 116

Für unseren Fall ist:

Textabbildung Bd. 121, S. 116

derjenige Werth, in welchen z/n übergeht, wenn man noch das eine |117| Glied + x/1 hinzufügt, oder wenn man für z/n das einfache Zeichen [λ], für x aber [µ] setzt,

Textabbildung Bd. 121, S. 117

Wenden wir uns nun zur wirklichen Berechnung einiger Näherungswerthe, indem wir die Annahme machen, ein Ableitungswiderstand m sey gleich dem 600fachen der Distanz zweier benachbarter Ableitungsstellen, d. h. für m = 600. Wir bedienen uns für den Anfang obiger Formel:

Textabbildung Bd. 121, S. 117

[1] = 600/601

[2] = 720600/361801

[3] = 649440600/218163001, abgekürzt 216480/72721

[4] = 173520600/43921801

[5] = 130465440600/26570523001 = 4,91015.

Jetzt kann schon das bisherige Rechnungsverfahren verlassen werden. Wenden wir uns zu der Formel:

Textabbildung Bd. 121, S. 117

und setzen [λ] = [µ] = [5], so ergibt sich

[10] = 9,402. Nimmt man nun [λ] = [µ] = [10], so erhält man

[20] = 16,261. Ebenso

[40] = 22,268,

[80] = 23,931. Nimmt man jetzt [λ] = [80] und [µ] = [20], so ergibt sich:

[100] = 23,9865.

Von nun an ist es überhaupt nicht nöthig, noch weiter zu rechnen, denn die nun folgenden Werthe [101], [102]..... sind von einander so wenig verschieden, daß sie für die Anwendung als völlig gleich angesehen werden können. Nimmt man nämlich den Kettenbruch in der That als unendlich an und setzt seinen unbekannten Werth = x, so ist offenbar

|118|

x = m/1 + x, also

x2 + x - m = 0, woraus folgt:

Textabbildung Bd. 121, S. 118

Für m = 600 ist aber diese Größe genau = 24. Wir mögen also obigen Kettenbruch so weit verlängern als wir wollen, niemals werden wir den Werth 24 erreichen.

Demnach verhält sich in nicht zu großer Nähe am Ende Z des Hauptdrahtes A Z der Leitungswiderstand m eines Elektromagneten zu dem hinter seiner Ableitungsstelle noch weiter folgenden Gesammtwiderstande äußerst nahe wie 24 : 1, und fließt folglich durch jede Ableitung 1/25 des im Hauptdrahte noch vorhandenen Stromes ab.

Selbst unter den oben gemachten günstigen Voraussetzungen erleidet der Strom durch die Abzugscanäle gar bald eine empfindliche Schwächung, so daß er schon bei der 17ten Abzweigung nur noch die Hälfte, und bei der 27sten nur noch ein Drittheil seiner ursprünglichen Kraft besitzt. Und dieses Drittheil soll noch einige Hundert folgende Uhren in Betrieb setzen! Es ist nämlich:

(24/25)x = ½, (24/25)y = ⅓,

x . log 0,96 = - log 2, y . log 0,96 = - log 3

x = 0,301/0,018, y = 0,477/0,018,

x = nahe 17, y = nahe 27.

Somit leuchtet es ein, daß es für die Ausführung unmöglich ist, viele Uhren durch eine und dieselbe galvanische Kette in der vorgeschlagenen Weise in Bewegung zu setzen. Denn es ist wohl unausführbar, den Uhren eine solche Einrichtung zu geben, daß die von der Batterie am weitesten entfernten mit einem kleinen Bruchtheile derjenigen Kraft einen sicheren Gang erlangten, welche die näheren in Bewegung setzt. Es können vielmehr in der Anwendung die Werke nur einander ähnlich und so ausgeführt werden, daß die einzelnen zum sicheren Gehen eine nicht zu ungleiche Kraft verlangen.

Ja, wenn nur die Stromstärke nicht so reißend schnell abnähme, dann könnte man vermittelst eines zweiten isolirten Leitungsdrahtes und einer zweiten mit ihren Polen in gehöriger Weise eingeschalteten, ebenfalls auf dem Ausgangspunkte aufgestellten Batterie den am äußersten Ende befindlichen Elektromagneten kräftig, den in der Mitte liegenden |119| wenigstens einigermaßen von dem andern Ende des Hauptdrahtes her zu Hülfe kommen.

Da nun also nach den Gesetzen der Stromverzweigung den näheren Uhren bei weitem der größte Theil der durch die Batterie erzeugten Kraft zuströmt, den weit entfernten aber fast gar nichts, so liegt der Gedanke nahe, dem Abfließen des Stromes durch die in der Nähe der Batterie befindlichen Ableitungen vermittelst Einschaltung von Leitungswiderständen aus Neusilberdraht ein größeres Hinderniß in den Weg zu legen, damit — unter der Voraussetzung, daß etwa 1000 Uhren in Gang gesetzt werden sollen — in der That nur 1/1000 des Stromes der nächsten Uhr zuströme, dagegen anderweite 999/1000 in dem allgemeinen Strombette ihren Weg weiter fortsetzen. Von dem so verringerten Strome soll abermals 1/999 durch die zweite Ableitung abfließen, damit die übrigen 998/999 den noch übrigen 998 Uhren zu gute kommen u. s. w. Vielleicht gewährt diese Methode den Vortheil, welchen wir durch die vorhin betrachtete vergeblich zu erlangen suchten. Sind die Uhren abermals um 400′ von einander entfernt aufgestellt, ihre Anzahl 1000, und die Leitungswiderstände der Elektromagnete selbst einander annähernd gleich (auf das gegenseitige Größenverhältniß jener Länge von 400′ und des Leitungswiderstandes eines Elektromagneten kommt bei der jetzigen Frage nichts an), so ergibt die Rechnung, daß in den Ableitungsdraht der ersten Uhr noch ein künstlicher Leitungswiderstand eingeschaltet werden müsse, welcher sich auf die ungeheure Höhe von 8325 Meilen beläuft, bei der zweiten 8308–8309 Meilen u. s. w.

Fragen wir nämlich darnach, wie groß die Widerstände der Ableitungen A a′, B b′.... seyn müssen, wenn durch jede derselben ein gleiches Stromquantum abfließen sollte, so ergibt sich folgendes: Wenn auf die Ableitung bei W noch deren n - 1 folgen, dann muß offenbar der Leitungswiderstand W w′, den wir in diesem Falle mit ω bezeichnen wollen — damit von dem von V herkommenden Strome in der That nur 1/n abfließe, dagegen n - 1/n im Strombette verbleiben — so beschaffen seyn, daß die Gleichung gilt:

ω : W′ = n - 1 : 1 und bei der vorherigen Ableitungsstelle ebenso

v : V = n : 1.

Nun ist aber

Textabbildung Bd. 121, S. 119
folglich

|120|

Textabbildung Bd. 121, S. 120
und da W′ = 1/n w, so ergibt die Substitution

v = w + n δ,

d. h. der Leitungswiderstand des

Textabbildung Bd. 121, S. 120
sten Ableitungsdrahtes muß gleich seyn dem des nten, vermehrt um den der nfachen Entfernung beider. Nehmen wir alle diese Distanzen δ wieder einander gleich, und nennen wir den Widerstand der letzten Ableitung z, der vorletzten y, der drittletzten x u. s. w., so ist:

Textabbildung Bd. 121, S. 120

Demnach, wenn der Ableitungen 1000 sind

a = z + δ + 2 δ + 3 δ + ..... + 999 δ

= z + 1000 × 999/2 δ = z + 499500 δ.

Ist nun der Leitungswiderstand des innerhalb der nächsten Ableitung A a′ befindlichen Elektromagneten nahe gleich dem dessen in Z z′ so muß noch ein künstlicher Leitungswiderstand = 499500 δ überdieß in A a′ eingeschaltet werden. Diese Größe beträgt für δ = 1/60 Meile (400′)

8325 Meilen.

Dieß ist schon der Kosten wegen unausführbar; auch dürfte es dann schwerlich gelingen, mit weniger als 8000 Daniell'schen Elementen die 1000 Uhren in Bewegung zu setzen.

Ja selbst, wenn man die Anzahl der Uhren nur gleich 100 annimmt, ergibt sich immer noch als beizufügender Widerstand bei den nächstgelegenen 82½ Meile, was sich allenfalls noch mittelst einer Rolle ganz feinen Neusilberdrahtes (Gesammtlänge etwa 1500 Fuß) erreichen ließe.

Denn, sind nur 100 Ableitungen vorhanden, so hat man δ + 2 δ + 3 δ + ..... 99 δ = 100 × 99/2 δ = 4950 δ, und wenn δ = 1/60 Meile, so ist jene Größe gleich 82½ Meile.

|121|

Ganz anders würde sich die Sache gestalten, wenn man von jeder einzelnen Uhr einen besonderen isolirten Leitungsdraht nach dem Ausgangspunkte führte, wenn dadurch nicht die Anlagekosten ins Unerhörte wüchsen. Unter dieser Voraussetzung würde sich auch die Menge der zum Betriebe selbst von 1000 Uhren erforderlichen galvanischen Elemente auf eine geringe Anzahl (2 bis 3) zurückführen lassen, wenn man nur ihre Oberflächen entsprechend groß wählte.

Die Ergebnisse der vorstehenden Betrachtungen sind somit nicht günstig ausgefallen, und es bleibt daher wohl nichts weiter übrig, als die alte gute Leipziger Methode im Wesentlichen beizubehalten, namentlich, da es sich auf die sogleich anzugebende Weise erreichen läßt, daß die Zerstörung der Drahtleitung innerhalb einer Wohnung nur einen kleinen Theil der Uhren außer Thätigkeit seht.

Man führe von dem in der Mitte der Stadt belegenen Ausgangspunkte 40 isolirte Drähte, wie die Radien eines Kreises nach den verschiedenen Stadttheilen und schließe in jeden derselben etwa 100 galvanische Uhren ein. Die Leitungswiderstände der einzelnen Strahlen, incl. der in dieselben eingeschalteten Elektromagnete, erhalte man so lange die Anlage dauert durch Einschaltungen auf dem Ausgangspunkte einigermaßen in Gleichheit. Man vereinige diese 40 Drähte auf dem Ausgangspunkte in einen einzigen, welcher mit dem einen Pole einer Batterie in Verbindung zu setzen ist, dagegen die entfernten Enden jener 40 Ausläufer mit der Erde in Verbindung stehen. Der noch freie andere Pol der galvanischen Kette wird durch die Contactuhr alle Minuten einen Moment ebenfalls mit der Erde verbunden. Eine Daniell'sche Batterie von 100 bis 120 Elementen, deren jedes eine einseitige Oberfläche von 1 bis 2 Quadratf. besitzt, wird hinreichen, sämmtliche 4000 Uhren zu bewegen.

Wird nunmehr ein Draht zerstört, so werden nur die 100 in diesem Radius befindlichen Uhren außer Thätigkeit gesetzt, während die übrigen 3900 regelmäßig weiter gehen.

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