Titel: Decher, über die Theorie der Reactionsräder.
Autor: Decher, Georg
Fundstelle: 1851, Band 121, Nr. LV. (S. 241–259)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj121/ar121055

LV. Ueber die Versuche von Weisbach und Treviranus mit sogenannten Reactions-Wasserrädern und die Theorie derselben; von Prof. G. Decher.

Die vor Kurzem erschienenen Broschüren von Hrn. Professor J. Weisbach: „Versuche über die Leistung eines einfachen Reactionsrades an einem größern Modelle angestellt (Freiberg, Verlag von I. G. Engelhardt, 1851)“ und von Hrn. L. G. Treviranus: „Ueber Reactions-Wasserräder (schottische Turbinen), deren Theorie und Construction (Wien, bei Tendler und Comp., 1851)“, veranlassen mich, im Interesse der technischen Mechanik hier einige kritische Bemerkungen über diese Arbeiten niederzulegen und dabei auch der Schrift des Hrn. Prof. I. A. Schubert: „Beitrag zur Berichtigung der Theorie der Turbinen (Dessau, Verlag von M. Katz, 1850)“ mit einigen Worten zu gedenken.

I.

Hr. Prof. Weisbach hat sich in seiner Schrift die Aufgabe gestellt, die Uebereinstimmung zwischen der Erfahrung und seiner Theorie der Reactionsräder nachzuweisen, oder vielmehr die Uebereinstimmung zwischen der Erfahrung und einer Formel für die Leistung eines solchen Wasserrades, von welcher er glaubt, daß sie aus seiner Theorie hervorgehe. Dieß ist aber durchaus nicht der Fall; denn diese Theorie, auf welche sich Hr. Weisbach in seiner Broschüre beruft, heißt (dessen Maschinenmechanik Bd. II, §. 148) wörtlich also:

„Bezeichnet φ den Geschwindigkeitscoefficienten, so hat man die effective Ausflußgeschwindigkeit:

Textabbildung Bd. 121, S. 241
|242|

Diese Geschwindigkeit ist aber nicht die absolute Geschwindigkeit des Wassers bei dem Austritt aus dem Rade; denn dasselbe hat noch die in entgegengesetzter Richtung vor sich gehende Umdrehungsgeschwindigkeit v mit dem Rade gemeinschaftlich. Es ist demnach die absolute Geschwindigkeit des austretenden Wassers:

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und der entsprechende Arbeitsverlust ist

Textabbildung Bd. 121, S. 242

Den Geschwindigkeitscoefficienten φ = 1 angenommen, erhält man:

Textabbildung Bd. 121, S. 242

und zieht man diesen von der disponiblen Leistung ab, so bleibt die Nutzleistung:

Textabbildung Bd. 121, S. 242

u. s. w.″

In diese unter der speciellen Voraussetzung: φ = 1 abgeleitete Formel, auf deren weitere Besprechung ich nicht eingehen werde, da sie für die Technik doch keinen Werth hat, weil niemals φ = 1 werden kann, führt nun Hr. Weisbach auf Seite 6 seiner Broschüre plötzlich den Geschwindigkeitscoefficienten wieder ein, den er hier mit μ bezeichnet, und erhält so die Gleichung:

Textabbildung Bd. 121, S. 242

für die Leistung eines einfachen Reactionsrades. Wenn man aber, wie recht ist, in dem obern Werthe von L1 den Coefficienten φ oder μ nicht gleich 1 setzt und beachtet, daß die größtmögliche lebendige Kraft, welche das Wasser durch die Druckhöhe h erhalten kann, μ2 v02 Qγ/g ist, wenn wir 2gh durch v02 ersetzen, so findet man als strenge Folgerung aus Hrn. Weisbach's Theorie für die Leistung des Rades den Werth:

Textabbildung Bd. 121, S. 242

oder nach vorgenommener Reduction

Textabbildung Bd. 121, S. 242
|243|

Dieser Werth unterscheidet sich aber von dem vorhergehenden so wesentlich, wie dieser selbst von dem Ausdruck (1), obgleich μ2 nicht sehr von 1 verschieden ist. Denn nach dem Werthe (2) wird die Leistung Null, wenn die Umfangsgeschwindigkeit v der Ausflußgeschwindigkeit μ

Textabbildung Bd. 121, S. 243
gleich wird, während sie in diesem Falle nach der Gleichung (3), und wie dieß auch nach der Theorie des Hrn. Weisbach nothwendig stattfinden muß, gerade ihren relativ größten Werth γQ/2g μ2 v02 erreicht. Man hat dann

Textabbildung Bd. 121, S. 243

es muß also, μ2 = 0,90, μ = 0,949 angenommen,

Textabbildung Bd. 121, S. 243
werden, damit die Leistung nach (2) Null wird und nach (3) den relativ größten Werth 0,90 γ Q/2g v02 erhält. Nach (2) dagegen erhält L seinen relativ größten Werth, wenn, wie es auch Hr. Weisbach gefunden hat,

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geworden ist, woraus sich für unsern Werth von μ2 sofort v = 1,04 v0 ergibt, und die Leistung wird nach (3) erst Null, wenn man hat

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oder v = 18,97 v0, für μ2 = 0,90. Dieser bedeutende Unterschied in den beiden Werthen (2) und (3) von L. wird noch einleuchtender werden durch die nachfolgende Tabelle der Leistungen bei verschiedenen Umfangsgeschwindigkeiten und die nachstehende Figur 1, in welcher diese letztern als Abscissen, die erstern als Ordinaten dargestellt sind. Man findet nämlich, wenn μ2 = 0,90 ist, für

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|244|
Textabbildung Bd. 121, S. 244

Wenn also der Werth (2) von L für ein Reactionsrad mit geraden Ausflußröhren durch die Versuche des Hrn. W., wie es scheint, als der angenähert richtige bestätigt wird, so ist Hrn. W.'s Theorie ganz unschuldig dabei; denn es ist damit diese Theorie gerade widerlegt, und nur eine unrichtig abgeleitete Formel bestätigt, für welche Hr. W. noch theoretische Gründe beizubringen Hat. Denn auch die Ableitung des Werthes von L, welche derselbe in seiner Broschüre S. 26 der gänzlich grundlosen Theorie des Hrn. Prof. Schubert gegenüber aufstellt, führt zu dem Ausdrucke (3), wenn der Geschwindigkeitscoefficient berücksichtigt wird. Man findet nämlich in diesem Falle für die Arbeit L2, durch welche dem ausfließenden Wasser die Umfangsgeschwindigkeit v ertheilt wird, wie dort

Textabbildung Bd. 121, S. 244

aber für die Arbeit L3, welche nothwendig ist, um diesem Wasser, das vermöge der Druckhöhe h die lebendige Kraft μ2 v02 Qγ/g erhalten würde, die lebendige Kraft μ2(v02 + v2) Qγ/g zu ertheilen, ergibt sich nun der Werth:

Textabbildung Bd. 121, S. 244

und man hat demnach als wirkliche Leistung L, wenn diese Arbeiten von der Arbeit L1 der sogenannten Reaction

|245|
Textabbildung Bd. 121, S. 245

abgezogen werden,

Textabbildung Bd. 121, S. 245

wie oben in (3).

Es liegt dieses Ergebniß aber auch in der Natur der Sache; denn bei diesen Theorien ist nicht die geringste Rücksicht auf die Form der Ausflußröhren genommen. Es müßte also für die Leistung eines Rades ganz gleichgültig seyn, ob diese gerade oder gekrümmt sind, während die Erfahrung schon zur Genüge dargethan hat, daß gekrümmte Röhren einen bedeutend höhern Nutzeffect gewähren können als gerade, und daß der Werth (3) von L eher annähernd die Leistung eines Rades mit richtig gekrümmten Röhren geben dürfte. Dagegen Hat Hr. W. in seiner Maschinenmechanik (Bd. II, §. 169) bei der Theorie der schottischen Turbinen (und der Turbinen überhaupt) so viele Nebenverluste beigebracht, daß für dieselbe höchstens eine relative Brutto-Leistung von 60 Procent herausspringt, wie bei einem Rade mit geraden Ausflußröhren, und es ist gewiß sonderbar, daß Hr. W. nicht die Formeln, welche aus letzterer, jedenfalls genauer seyn sollenden Theorie sich ergeben, für seine Versuche zu Grunde gelegt hat, da nach seiner Meinung die Reactionsräder mit geraden Röhren sich von den schottischen Turbinen nur darin unterscheiden, daß das Wasser vor dem Ausfluß durch den Stoß einen neuen Verlust an lebendiger Kraft erleidet, auf welchen übrigens bei der Formel (2) ja auch keine Rücksicht genommen ist. In der That nimmt man in dem Ausdruck:

Textabbildung Bd. 121, S. 245

welchen Hr. W. in §. 170, Bd. II seines genannten Werkes für die Leistung einer schottischen Turbine findet, den Winkel δ und den Coefficienten ζ gleich Null, vernachlässigt den Quotienten (r1/r)2 neben 1 und setzt den Ausflußcoefficienten μ statt

Textabbildung Bd. 121, S. 245
, so wird derselbe ganz gleichlautend mit dem obigen Werthe (2) von L, und es muß daraus geschlossen werden, daß dieser letztere Ausdruck jedenfalls zu große Werthe für L. geben sollte, da er sich aus der genaueren Formel durch Vernachlässigung einiger negativen Glieder ergibt. Die Versuche des |246| Hrn. W. selbst zeigen aber, wie wir nachher sehen werden, daß die nach Formel (2) theoretisch berechneten Leistungen kleiner sind, als es die wirklichen Leistungen seines Rades waren.

Noch viel größer würden aber die Differenzen zwischen der Theorie und Erfahrung ausfallen, wenn man die Leistungen einer schottischen Turbine nach der Formel (4) berechnen wollte, und es dürfte nicht schwer seyn, eine solche Turbine von Whitelaw zu finden, welche einen größeren reinen Nutzeffect gewährt, als nach Hrn. W.'s Theorie der Brutto-Effect eines solchen Rades seyn kann. Die Ursache liegt darin, daß Hr. W. die Glieder

xc22 + ζ c2

welche23 schon bei der Bestimmung der Ausflußgeschwindigkeit c2 in dem Ausdrucke:

Textabbildung Bd. 121, S. 246

mit eingerechnet sind, deren Einfluß auf die Verminderung des Nutzeffects durch die Verminderung dieser Ausflußgeschwindigkeit also schon berücksichtigt ist, auch noch dem Arbeitsverlust hinzufügt und demnach zweimal in Rechnung bringt. Man kann hier offenbar nur noch die dem Wasser verbleibende lebendige Kraft und die Arbeit für die Erzeugung der Geschwindigkeit v1 beim Eintritt des Wassers in die Röhre, also die Größe:

Textabbildung Bd. 121, S. 246

in Abzug bringen, aber nicht von der ganzen Arbeitskraft γQh, sondern nur von der disponiblen

Textabbildung Bd. 121, S. 246

welche das Wasser überhaupt durch die Druckhöhe h bei seiner Bewegung durch die Röhre erhalten kann, so daß als Leistung des Rades sich der Ausdruck:

Textabbildung Bd. 121, S. 246
|247|

ergibt, worin μ2 für

Textabbildung Bd. 121, S. 247
gesetzt ist. Führt man in denselben den obigen Werth von c2 ein, so hat man vollständig

Textabbildung Bd. 121, S. 247

und dieser Werth von L, welcher, wie wir weiter unten sehen werden, mit den Versuchen des Hrn. Treviranus etwas besser und vielleicht so nahe übereinstimmt, als es nach dieser Anschauungsweise möglich ist, kommt wieder auf unsern Werth (3) zurück, wenn man δ, ζ und r1 gleich Null setzte.

II.

Allein diese Anschauungsweise, welche von den meisten Schriftstellern über technische Mechanik, namentlich auch von Navier und Redtenbacher bei der Untersuchung der Leistung der Wasserräder zu Grunde gelegt wird, und nach welcher man sich darauf beschränkt, die lebendige Kraft des Wassers nach dem Ausflusse und einige andere Arbeitsverluste, an die man sich eben erinnert, oder die man für solche anzunehmen für gut findet, von der disponiblen Arbeitskraft in Abzug zu bringen, während man sich hütet, zu untersuchen, welchen Druck das Wasser auf das Rad ausübt, und welchen Einfluß demnach die Gestalt der Schaufeln, Röhren oder Curven auf die Leistung des Rades haben mag, diese Anschauungsweise ist offenbar nicht geeignet, eine genaue Theorie dieser Wasserräder zu geben, und es dürfte wohl an der Zeit seyn, dieselbe durch eine andere, gründlichere zu ersetzen, welche zeigt, wie das Wasser in dem Rade wirkt.

Freilich darf man da nicht mit den unklaren Begriffen: Trägheit, Reaction, Centrifugalkraft u. s. f. herumarbeiten, wie es Hr. Weisbach sowohl in seiner Maschinenmechanik, wo er die Trägheit sogar zu den Kräften rechnet (§. 60) und einen Widerstand nennt (§. 67), als auch in seiner Broschüre in der Kritik der Schubert'schen Theorie thut.

Die sogenannte Trägheit in ihrer richtigen Bedeutung ist gar nichts; sie bezeichnet bloß, als Anwendung des allgemeinen Satzes, daß nichts ohne Ursache geschieht, auf die Bewegung, das Unvermögen der Materie, sich von selbst zu bewegen oder etwas zur Aenderung |248| ihres Zustandes beizutragen; diese Trägheit kann also weder Ursache noch Wirkung seyn und sollte in einer vernünftigen Mechanik nur durch den Ausspruch angedeutet werden, daß zu einer jeden Aenderung in dem Zustande eines Körpers eine Ursache, d. h. eine Kraft nothwendig ist. Es hat also gar keinen Sinn, wenn Hr. W. (S. 26 seiner Broschüre) sagt, die Reaction sey eine Wirkung der Trägheit.

Ebenso verfehlt ist die Erklärung, welche Hr. W. in Bd. II seiner Maschinenmechanik §. 146 von der Reaction des Wassers gibt, wenn er sagt: „Sowie ein in beschleunigter Bewegung befindlicher fester Körper eine der bewegenden Kraft desselben gleiche Reaction ausübt, ebenso ist es beim Wasser, wenn es sich beim Ausflusse aus einem Gefäße der Mündung beschleunigt nähert u. s. f.“ Worin soll denn die Reaction eines frei fallenden Körpers bestehen? Wird er etwa durch die Bewegung leichter, wie man fast nach dieser Erklärungsweise vermuthen sollte, welche jeder Unbefangene gewiß so auffassen wird, als solle damit gesagt werden, ein an einer Waage angehängtes Gefäß, aus welchem das Wasser unten vertical ausströme, wiege weniger, als wenn die Oeffnung geschlossen ist, wenn auch in beiden Fällen das Wasser immer auf gleicher Höhe steht?

Der Begriff Reaction rührt von der Wahrnehmung und Folgerung her, daß alle Wirkungen in der Natur gegenseitig sind und seyn müssen, daß der Mond ebensowohl die Erde, wie die Erde den Mond anzieht, und in solcher Weise betrachtet kann er wohl in der Physik Platz finden, hat aber für die Mechanik wenig oder keinen Werth. Denn diese fragt nicht, wo die Kräfte herrühren; sie sind für sie schon da, und sie untersucht nur, welches die Wirkungen dieser Kräfte sind; höchstens könnte man hier den an sich sehr evidenten Satz, daß Druck und Gegendruck gleich sind, als eine Anwendung jenes allgemeinen Satzes betrachten. Daß eine Kraft, welche zwischen zwei materiellen Punkten thätig ist, welche also an jedem derselben angreift, auf jeden derselben bewegend wirkt oder wirken will, liegt in der Natur der Sache und bedarf keines besondern Begriffes. — Was man aber bei einem horizontal ausströmenden Wasserstrahl Reaction zu nennen pflegt, ist eben ein Druck, wie jeder andere, und wie jeder andere Druck die Wirkung einer bewegenden Kraft, welche verhindert ist, ihren Angriffspunkt in ihrem Sinne zu bewegen. Wenn eine Kugel auf einer horizontalen Ebene liegt, so drückt sie auf dieselbe, weil sie der Wirkung ihres Gewichtes nicht folgen kann; aus demselben Grunde drückt sie |249| auch auf eine geneigte Ebene, aber weniger, weil sie nun jener Wirkung zum Theil folgen kann. Ist daher die geneigte Ebene selbst in horizontaler Richtung beweglich, so wird dieselbe in Folge dieses Druckes der Kugel, welcher doch gewiß auch eine Reaction ist, rückwärts ausweichen. Die Wirkung des Wassers in einer Jonval'schen Turbine ist demnach ebensogut eine Reaction, als in einer schottischen Turbine, und es hat endlich gar keinen Sinn, die Turbinen, wenn das Wasser voll ausfließt, Reactionsturbinen, und wenn der Wasserstrahl die Ausflußöffnung nicht ausfüllt, Druckturbinen zu nennen.

Ueber die Größe des Druckes, welchen ein horizontal ausfließender Wasserstrahl auf die der Ausflußöffnung gegenüberstehende Wand des Gefäßes ausübt, kann nach dem Obigen kein Zweifel obwalten; denn er ist der Kraft gleich, welche angewendet werden muß, um der ausflißenden Wassermasse M, welche vorher in horizontaler Richtung noch die Geschwindigkeit Null hatte, die Geschwindigkeit v oder die Bewegungsgröße M v in der Einheit der Zeit zu ertheilen, und diese Kraft ist bekanntlich selbst gleich M v oder, wenn Ω den Flächeninhalt der Ausflußmündung bezeichnet, M also durch γ Ω v/g ausgedrückt wird, gleich γ Ω v2/g, und es ist dabei offenbar ganz gleichgültig, ob das Gefäß in horizontaler Richtung eine Bewegung besitzt oder nicht; der Druck bleibt immer derselbe, so lange das Wasser mit gleicher Geschwindigkeit ausfließt.

Was endlich die Centrifugalkraft betrifft, insofern man damit eine bewegende, Geschwindigkeit erzeugende oder arbeitende Kraft, und nicht bloß einen Druck auf eine feste Fläche oder Curve bezeichnet, so ist auch dieser Begriff sehr geeignet, zu falschen Schlüssen zu verleiten und von der richtigen Auffassung der Verhältnisse abzulenken; denn diese Kraft ist immer nur eine relative, welche überall auftritt, wo die Bewegung eines materiellen Punktes als eine relative in Bezug auf einen Körper betrachtet wird, der selbst in einer drehenden Bewegung begriffen ist, und wobei es gleichgültig bleibt, ob jener materielle Punkt an dieser drehenden Bewegung Theil nimmt oder nicht, was sich mit der gewöhnlichen Vorstellung von dieser Kraft gar nicht vereinigen läßt. Es ist z. B. ganz einerlei, ob eine Kugel in einer beliebigen Höhe über einer horizontal mit der Winkelgeschwindigkeit φ sich drehenden Scheibe mit der Geschwindigkeit v0, so hinfliegt, daß ihre Projection auf der Scheibe durch deren Mittelpunkt geht, oder ob sie, von der |250| Reibung abgesehen, mit gleicher Geschwindigkeit auf derselben, sey es frei oder längs einer Rinne, von der Achse aus fortgestoßen wird; für einen Beobachter, der sich mit der Scheibe umdreht, ist die relative Geschwindigkeit v der Kugel in beiden Fällen

Textabbildung Bd. 121, S. 250

wenn sie in der Entfernung r von der Drehungsachse angekommen ist, und doch kann hier von einer Centrifugalkraft der sich geradlinig bewegenden Kugel keine Rede seyn.

Wenn daher Hr. Weisbach in seiner Broschüre S. 28 ff. die Bewegung eines Wassertropfens längs einer sich drehenden Rinne mittelst der Centrifugalkraft erklären will, so zeigt er damit, daß er über diese Bewegung noch nicht im Klaren ist, und es ist Hrn. Schubert nicht ganz zu verargen, wenn er durch eine solche Erklärung nicht von seiner irrigen Theorie der Turbinen bekehrt wird. Hr. W. sagt nämlich a. a. O.: „Der materielle Punkt hat jedenfalls zwei Bewegungen zugleich, eine in der Rinne und eine zweite mit der Rinne zugleich; während er in der Rinne den Bogen C B Fig. 2, zurücklegt, gelangt diese aus der Lage C B D in die Lage C M Q, durchläuft also der materielle Punkt auch noch den Kreisbogen B M, im Ganzen also irgend eine krummlinige Bahn C L M. Es hat also auch der materielle Punkt M außer seiner Geschwindigkeit v in der Rinne noch eine Umdrehungsgeschwindigkeit u, die wir, wenn wir die Winkelgeschwindigkeit

Textabbildung Bd. 121, S. 250
|251|

der Scheibe durch ε und den veränderlichen Radiusvector C M des Punktes durch z bezeichnen, = ε z setzen können. Da ein Körper vermöge seiner Trägheit allein nur in der geraden Linie fortgeht, so u. s. w.“ Dieß ist nun, so wie es gesagt ist, durchaus unrichtig. Wenn die Rinne, so wie in der Zeichnung, der Bewegung der Scheibe entgegengekrümmt ist, so hat der materielle Punkt jedenfalls eine kleinere Winkelgeschwindigkeit als die Scheibe; denn während die Rinne den Winkel B C M beschreibt, legt der Fahrstrahl, auf dem sich der materielle Punkt befindet, und welcher zuerst eine Tangente an der Rinne in C war, nur den Winkel M C T zurück. Die Winkelgeschwindigkeit dieses Fahrstrahls, also auch die des materiellen Punktes ist demnach kleiner als die der Scheibe, und wenn die Rinne nach einer Spirale gekrümmt ist, deren Gleichung, wie es Hr. W. selbst abgeleitet hat, die Form

r = v0/φ ω

hat, worin r und ω die Polarcoordinaten sind und v0 die anfängliche Geschwindigkeit des materiellen Punktes, φ die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe bedeutet, so bewegt sich der materielle Punkt radial mit der constanten Geschwindigkeit v0 auswärts, wie unsere Kugel oben, als wenn keine Rinne da wäre; er hat demnach gar keine Winkelgeschwindigkeit, also auch keine Centrifugalkraft, und doch ist die relative Geschwindigkeit v, mit welcher der materielle Punkt die Rinne verläßt, also die Ausflußgeschwindigkeit, wie bei jeder andern Rinne, und wie oben

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Es wird also mit dieser an der Centrifugalkraft klebenden Erklärung im Grunde gar nichts erklärt.

Ferner folgt aus dieser Betrachtungsweise, daß der Druck, welchen der materielle Punkt auf die Rinne ausübt, aus der normal gerichteten Componenten jener Centrifugalkraft bestehen müßte und aus dem eigentlichen dynamischen Druck in Folge der Bewegung des materiellen Punktes längs der Rinne; jener Druck wird nach unserer Bezeichnung durch

m r φ2 sin ψ = m r2 φ2 d ω/ d s

ausgedrückt, wenn noch ψ den Winkel K M P zwischen der Tangente an der Rinne und dem Fahrstrahl des Bewegten und m die Masse des letztern bezeichnet, und der zuletzt genannte Druck wird bekanntlich durch |252| m v2/ρ vorgestellt, wenn ρ der Krümmungshalbmesser der Rinne im Punkte M ist. Der ganze Druck N wäre demnach

N = m v2/ρ + m r2 φ2 d ω/d s,

und es wäre darnach nicht einzusehen, wie dieser Druck für die obige archimedische Spirale, auf welche der Bewegte offenbar keinen Druck ausüben kann, Null werden soll.

Ueber diese Widersprüche kommt man nur hinaus, wenn man etwas mehr wissenschaftlich zu Werke geht, als es bis jetzt noch in der Maschinenlehre gebräuchlich ist, und sich statt auf unbestimmte Begriffe auf die allgemeinen Gesetze des Gleichgewichts und der Bewegung stützt; also im vorliegenden Falle, wenn man die Bewegung des materiellen Punktes längs der Rinne nach den Gesetzen der relativen Bewegung behandelt, wie sie am Schlusse des vor Kurzem im Drucke vollendeten ersten Bandes meines Handbuches der Mechanik (Augsburg, Verlag der Matth. Rieger'schen Buchhandlung) dargestellt und angewendet sind. Man wird sich dort nicht nur von der Richtigkeit der vorhergehenden Bemerkungen über die Centrifugalkraft überzeugen, sondern auch finden, daß der Druck des materiellen Punktes auf die Rinne die Form hat:

N = m (v2/ρ + r2 φ2 d ω/d s - 2 φ v),

daß er also außer den beiden obengenannten Gliedern noch ein drittes: - 2 m φ v enthält, auf welches man durch die Betrachtung des Hrn. W. niemals kommen wird, und welches gerade das wichtigste ist, wenn sich die Rinne einer Geraden nähert, da für eine Gerade selbst sich N auf dieses negative letzte Glied allein reducirt. Aus diesem Werthe von N wird man dann leicht folgern, daß für eine gewisse Form der Rinne der Druck auch Null werden kann, und daß er für die oben angegebene Spirale wirklich in jedem Punkte Null wird, wenn die Bewegung des materiellen Punktes in der Achse mit der Geschwindigkeit v0 beginnt; denn aus der Gleichung

r = v0/φ ω

ergibt sich zuerst

d r/d ω = v0/φ, d2 r/d ω2 = 0,

|253|

also

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ferner hat man

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und demnach mit dem Werthe v =

Textabbildung Bd. 121, S. 253

Textabbildung Bd. 121, S. 253

also für jeden Werth von r

N = 0.

Ebenso wird sich Hr. Prof. Schubert bei Durchlesung des letzten Capitels im Isten Bande meines erwähnten Handbuches überzeugen, daß seine, freilich ziemlich nothdürftig begründete Theorie für die Bewegung des Wassers in einer geradlinig ausweichenden Rinne (Beiträge zur Berichtigung etc. 1ster Abschnitt) ganz richtig ist, daß dagegen seine Ansichten über die Bewegung in einer sich drehenden Rinne (4ter Abschnitt ff.), wornach er glaubt, die relative Bewegung in einer sich drehenden Rinne auf die in einer geradlinig ausweichenden zurückführen zu können, durchaus irrig sind. Ich habe a. a. O. bereits den Weg angedeutet, welcher allein zu einer strengen Theorie der Wasserräder führen kann, und hoffe auch auf diesem Wege die Anforderungen der Technik an eine solche Theorie in meiner Maschinenlehre, welche die dritte Abtheilung des Handbuches der Mechanik bilden wird, vollkommen zu befriedigen.

III.

Wenden wir uns nun zu den Versuchen des Hrn. Weisbach und den Folgerungen, welche derselbe aus diesen zieht, so kann man sich vor Allem nicht genug wundern, daß derselbe bei der Sorgfalt, mit welcher er die übrigen zur Bestimmung des Effects nothwendigen Größen ermittelt hat, nicht auch die Größe des Luftwiderstandes von vornherein zu bestimmen suchte, was doch bei seiner Einrichtung nicht so gar schwer gewesen wäre. Er hätte die Schnüre nur in entgegengesetzter Richtung um die Rolle schlagen dürfen, um das Rad durch angehängte Gewichte |254| mit verschiedenen Beschleunigungen in demselben Sinne sich drehen zu lassen, in welchem es durch das Wasser bewegt wird; daraus hätte mit Einrechnung der schon zuvor bestimmten Reibung die Arbeit des Luftwiderstandes mit hinreichender Sicherheit gefunden werden können. — Es klingt doch wirklich gar naiv, wenn man bei Versuchen, welche dazu dienen sollen, die Uebereinstimmung zwischen der Theorie und Erfahrung nachzuweisen, die Differenzen zwischen beiden einer einzigen und noch dazu der Größe nach unbekannten Ursache zuschreibt und diese Größe aus jenen Differenzen herausrechnet, als wenn es nicht noch andere Ursachen für diese Unterschiede geben könnte. Dieses Verfahren wäre höchstens noch zulässig, wenn jene Differenzen in ihrem Gange eine solche Ansicht rechtfertigten. Die nachfolgende Tabelle, welche, in einigen Punkten berichtigt24, der Broschüre des Hrn. Weisbach Seite 17 entnommen ist und sich auf die Versuche mit den äußern Oeffnungen bezieht,

Textabbildung Bd. 121, S. 254

zeigt aber, daß die Differenzen zwischen der von der Erfahrung gegebenen relativen Leistung η ohne Einrechnung des Luftwiderstandes und |255| der theoretisch nach Formel (2) berechneten η1 bis zu dem größten Werthe derselben negativ sind und von da an erst positiv werden, daß also jene Formel die Leistung für kleinere Umfangsgeschwindigkeiten als

Textabbildung Bd. 121, S. 255
jedenfalls zu klein angibt, da der Luftwiderstand für diese kleineren Geschwindigkeiten offenbar nicht negativ werden kann. Im Gegentheil wird derselbe sogar größer seyn, als ihn Hr. W. berechnet hat, da derselbe die negativen Differenzen bei der Bestimmung seines Coefficienten mit einrechnete, während die Vermuthung nahe liegt, daß die Formel durchaus zu kleine Werthe für die Leistung gibt, und daß die Differenzen nur wegen der Vernachlässigung des Luftwiderstandes bei der als erfahrungsmäßig angegebenen Leistung positiv werden, sobald dieser Widerstand größer ist, als der Unterschied zwischen der theoretischen und jener angeblichen erfahrungsmäßigen Leistung. Die Arbeit für die Ueberwindung des Luftwiderstandes gehört aber doch ebensowohl zur Leistung, wie diejenige für die Ueberwindung der Reibung, und wenn wir uns auch mit den Werthen η2 begnügen, die Hr. W. für den Luftwiderstand angibt, welche aber bei den größern Geschwindigkeiten merklich kleiner sind, als die Differenzen η1 - η, so haben wir die Werthe η und η2 zu addiren, um die wahre erfahrungsmäßige Leistung zu erhalten, und es stellt sich dadurch folgende Tabelle heraus,

Nr. des Versuchs. Angeblicher erfahrungsmäßiger Wirkungsgrad ohne den Luftwiderstand.
η
Relative Arbeit des Luftwiderstandes.
η2
Wirklicher erfahrungsmäßiger Wirkungsgrad mit dem Luftwiderstand.
η3 = η + η2
Theoretischer Wirkungsgrad.
η1
Differenz der Wirkungsgrade.
η1 - η3
I. 0,109 0,000 0,109 0,096 - 0,013
II. 0,333 0,001 0,334 0,298 - 0,036
III. 0,540 0,006 0,546 0,484 - 0,062
IV. 0,668 0,024 0,692 0,619 - 0,073
V. 0,661 0,066 0,727 0,665 - 0,062
VI. 0,612 0,095 0,707 0,661 - 0,046
VII. 0,539 0,125 0,664 0,646 - 0,018
VIII. 0,452 0,159 0,611 0,622 + 0,011
IX. 0,356 0,208 0,564 0,582 + 0,018
X. 0,250 0,243 0,493 0,551 + 0,058
XI. 0,100 0,317 0,417 0,478 + 0,061

in welcher nun schon zwei Drittheile der Differenzen und zwar nacheinander regelmäßig wachsend und abnehmend negativ sind, was |256| gewiß nicht zufällig ist oder Beobachtungsfehlern zugeschrieben werden kann, was vielmehr im Hinblick auf Fig. 3, worin die Werthe von η3 und η1 anschaulich dargestellt sind, die obige Vermuthung vollkommen rechtfertigt, daß die Formel (2) die Leistung durchaus zu klein angibt. Jedenfalls aber ist darnach die größte erfahrungsmäßige Leistung 73 Proc. der Wasserkraft, nicht ⅔ oder 67 Proc.; die nach Formel(2) berechnete größte Leistung ist demnach nur 67/73 oder 0,92 von der erfahrungsmäßigen.

Textabbildung Bd. 121, S. 256

Um aber zu zeigen, daß man auf dem Wege des Hrn. W. leicht zu passendern Ergebnissen kommen kann, will ich die Behauptung aufstellen, daß die Leistung eines einfachen Reactionsrades durch die Formel

Textabbildung Bd. 121, S. 256

ausgedrückt werde. Berechnet man nach dieser Formel die Werthe von η1 und aus den Differenzen mit η die Größe des Luftwiderstandes, so |257| ergibt sich folgende Tabelle, in welcher die Werthe der erfahrungsmäßigen Leistung mit Einrechnung des Luftwiderstandes bei weitem besser mit den aus der Formel gezogenen übereinstimmen, als es in der vorhergehenden Tabelle der Fall ist, und worin nun als größte relative Leistung ¾ oder 75 Proc. hervorgehen.

Nr. des Versuchs Angeblicher erfahrungsmäßiger Wirkungsgrad ohne den Luftwiderstand.
η
Theoretischer Wirkungsgrad nach Formel (7).
η1
Differenz der Wirkungsgrade.
η1 - η
Relative Arbeit des Luftwiderstandes.
η2=0,00527v3/L
Wahre relative Leistung mit dem Luftwiderstand.
η1 + η2
Differenz zwischen der theoretischen u. Der wahren erfahrungsmäßigen relativen Leistung.
η1 - (η + η2)
I 0,109 0,108 - 0,001 0,000 0,109 - 0,001
II 0,333 0,336 + 0,003 0.001 0 334 + 0,002
III 0,540 0,545 + 0,005 0,008 0,548 - 0,003
IV 0,668 0,697 + 0,029 0,035 0,703 - 0,006
V 0,661 0,749 + 0,088 0,095 0,756 - 0,007
VI 0,612 0,744 + 0,132 0,135 0,747 - 0,003
VII 0,539 0,728 + 0,189 0,177 0,716 + 0,012
VIII 0,452 0,701 + 0,249 0,225 0,677 + 0,024
IX 0,356 0,656 + 0,300 0,294 0,650 + 0,006
X 0,250 0,620 + 0.370 0,343 0,593 + 0,027
XI 0,100 0,538 + 0,438 0,448 0,548 - 0,010

Wenn nun Hr. W. schon darin einen großen Fehler begeht, daß er die Arbeit für die Ueberwindung des Luftwiderstandes gar nicht als Leistung betrachtet, während er doch die Reibung als Leistung berechnet, und auch die aus der Formel gezogenen Werthe, mit welchen er die der Erfahrung entnommenen vergleicht, offenbar die ganze Brutto-Leistung ausdrücken, so müssen die Folgerungen, welche derselbe in Bezug auf die Geschwindigkeit des Rades aus seinen Versuchen zieht, ganz oberflächlich genannt werden. Unter der Maximalgeschwindigkeit versteht derselbe die Geschwindigkeit, welche das Rad annimmt, wenn es leer geht, d. h. ohne Nutzlast zu heben; in solcher Weise betrachtet, geht das Rad aber auch leer, wenn man die Zapfen desselben einklemmt oder Windflügel daran anbringt, wie dieß nahezu bei der zweiten Versuchsreihe mit den innern Ausflußmündungen der Fall war, wo die über die Ausflußmündungen vorstehenden Röhrentheile wie Windflügel wirkten, und deßhalb die größte Geschwindigkeit nicht einmal die der Druckhöhe h entsprechende erreichte. Nach der Theorie ist die größte Geschwindigkeit diejenige, welche das Rad annehmen würde, wenn es keinen Widerstand zu besiegen hätte, bei welcher also alle Arbeitskraft |258| des Wassers auf die Bewegung des Wassers selbst verwendet würde und die Leistung Null wäre; diese Geschwindigkeit müßte aber, wie oben gezeigt wurde, etwa dreimal so groß seyn, als die der Druckhöhe h entsprechende. Die wirkliche größte Geschwindigkeit, welche das Rad annehmen kann, ist eine Größe, welche von der äußern Einrichtung des Rades und dessen Widerständen abhängt25 mit welcher also die Theorie, insofern sie sich bloß mit der Wirkung des Wassers befaßt, gar nichts zu schaffen hat, mit welcher deßhalb auch die vortheilhafteste Geschwindigkeit, bei welcher nämlich die Brutto-Leistung die größte ist, und mit dieser nur haben wir es gemäß der Formel für die Leistung zu thun, gar nicht verglichen werden kann. Diese vortheilhafteste Geschwindigkeit hat auch Hr. W. auf S. 7 aus seiner Formel berechnet und dafür, wie schon oben bemerkt ist, den Werth

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gefunden; ich vermag aber in seiner Schrift nirgends eine theoretische Beziehung derselben zu der Geschwindigkeit des leergehenden Rades zu entdecken. Für den von ihm in der ersten Versuchsreihe bestimmten Werth von μ = 0,9423 wird jene vortheilhafteste Geschwindigkeit sehr nahe gleich

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, was mit diesen Versuchen ganz gut übereinstimmt, wenn man den Luftwiderstand der angeblichen erfahrungsmäßigen relativen Leistung des Rades hinzufügt; für die zweite Versuchsweise gibt aber Hr. W. den Coefficienten μ = 0,9541 an, und es müßte also die vortheilhafteste Geschwindigkeit v = 1,081
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werden, während sich aus den Versuchen (S. 21) ergibt, daß hier, wo das Rad seine größte Leistung gerade bei der größten Geschwindigkeit hatte, diese, wie schon bemerkt, nicht einmal die Geschwindigkeit
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erreichte.

Textabbildung Bd. 121, S. 258 |259|

durch die Erfahrung wird durch seine eigenen Versuche (S. 21) widerlegt.

Nach diesen Erörterungen wird es denn einleuchten, daß die von Hrn. W. behauptete vollkommene Uebereinstimmung der Erfahrung mit seiner Formel für die Leistung eines Reactionsrades mit geraden Röhren — von einer Theorie dieser Räder kann man gar nicht reden — aus seinen Versuchen nicht hervorgeht, da vielmehr gerade durch sie die Mangelhaftigkeit dieser Formel augenfällig gemacht wurde.

(Der Schluß folgt im nächsten Heft.)

|246|

Das Glied ζ c2 hängt übrigens, nebenbei bemerkt, selbst wieder von der Ausflußgeschwindigkeit c2 ab und kann in dieser Form nicht in den Werth von e2 eingeführt werden.

|254|

In beiden Tabellen S. 17 und 21 hat Hr. W. bei dem letzten Versuche, wo das angehängte Gewicht G Null ist, für P1 die Zahl 0,25 Kilogr. eingesetzt, während die Formel P1 = 0,701 + 1,2115 G in diesem Falle P1 = 0,701 gibt, und die Reibung des Rades allein schon 0,51 Kilogr. beträgt, wenn auch die Haken und Schnüre sollten abgenommen worden seyn. Dieser letztere Werth ist dann auch für P1 in der obigen Tabelle zu Grunde gelegt worden.

|258|

Hr. W. würde offenbar eine ganz andere Leistung und eine andere größte Geschwindigkeit erhalten haben, wenn er für die erste Versuchsreihe seinem Rade die in Fig. 4 dargestellte Einrichtung gegeben hätte.

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