Titel: Jacobi, über die Theorie der elektromagnetischen Maschinen.
Autor: Jacobi, Moritz Hermann
Stammer, Karl
Fundstelle: 1852, Band 125, Nr. XCV. (S. 438–445)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj125/ar125095

XCV. Ueber die Theorie der elektromagnetischen Maschinen; von M. H. Jacobi.81)

Auszug der Abhandlung im Bulletin de la Classe physico-mathématique de l'Académie des sciences de St. Pétersbourg, T. IX No. 19 et 20; von Dr. K. Stammer.

Die wesentlichen Theile, die bei Berechnung der Formeln und Aufstellung der Gesetze für die elektromagnetischen Maschinen in Betracht kommen, sind Spiralen von isolirtem Draht, im Innern mit einem Kerne weichen Eisens oder ohne denselben, die als bewegliche oder feste Systeme angeordnet sind; ein Commutator, um den Strom zu unterbrechen, oder seine Richtung umzudrehen so oft sich die Pole der Spirale oder der Kerne begegnen, und eine galvanische Batterie. Die Art und Weise, wie hierdurch eine rotirende oder oscillirende Bewegung hervorgebracht wird, ist völlig gleichgültig.

Wenn man in den Draht ein Galvanometer einschaltet, so weicht die Nadel im Momente wo der Strom unterbrochen wird, um einen gewissen Winkel ab, und dieser Winkel hängt bekanntlich ab von der Stärke des Stromes, und umgekehrt läßt sich diese als Function dieses Winkels ausdrücken. Nennt man i die Stromstärke, k die elektromotorische Kraft eines Elementes der Batterie, n die Zahl der Elemente, und ρ den Widerstand des ganzen Systems, so ist nach der bekannten Ohm'schen Formel

1) i = nk/ρ.

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Der elektrische Effect, oder die Zinkmenge, die in einer gewissen Zeit aufgelöst wird, ist bekanntlich proportional dem Producte der Stromstärke durch die Zahl der Elemente. Nennen wir diese Menge q, so ist

2) q = ni = n²k/ρ.

Bei dem von uns angenommenen Stillstande der Maschine sind die Größen i und q ganz unabhängig von der Construction derselben. Es ist gleichgültig, ob sich Stäbe von weichem Eisen in den Spiralen befinden oder nicht, und diese selbst haben nur Einfluß auf unsere Formeln durch den Widerstand des Drahtes. Indessen bestehen zwischen den Polen der Magnete, die einen Theil des Systemes bilden, magnetische Attraction und Repulsion, welche die Quelle der bewegenden Kraft sind, die aber augenblicklich in ihrer Wirksamkeit gehindert sind. In Bezug auf diese Gesetze haben frühere Arbeiten von mir und Hrn. Lenz herausgestellt:

1) daß bei gleichen Umständen die magnetische Kraft eines Elektromagneten proportional ist der Stärke des Stromes, multiplicirt mit der Anzahl der Windungen der Spirale;

2) daß die Anziehung zweier Elektromagnete sich verhält wie das Product ihrer magnetischen Kräfte, oder wenn die Ströme dieselbe Intensität haben, wie das Quadrat dieser Intensität. Für diesen Fall, auf den sich die Fälle der Ungleichheit der Ströme leicht reduciren lassen, ist also, wenn β die Zahl der Drahtwindungen sowohl im festen als im beweglichen System, m die Summe des Magnetismus der Elektromagnete in beiden Systemen, und μ die Summe ihrer gegenseitigen Anziehungen vorstellt:

3) m = βi = βnk/ρ und 4) μ = m² = β²i² = β²n²k²/ρ².

Es findet indeß während der Bewegung der Maschine eine Schwächung des Stromes statt, die nur den magneto-elektrischen Gegenströmen zugeschrieben werden kann, die bei jeder Veränderung der gegenseitigen Stellung der beiden Systeme unserer Maschine erzeugt werden. Um die Wirkung dieser Gegenströme, deren Daseyn durch viele Experimente dargethan wurde, zu bestimmen, dienen folgende Gesetze:

Die elektromotorische Kraft der Inductionsströme in einer Spirale, die dem Einfluß eines Magnetes unterliegt, verhält sich:

1) wie die magnetische Kraft,

2) wie die Anzahl der Windungen,

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3) wie die Geschwindigkeit der Veränderung in der Lage des Magnetes in Bezug auf die Spirale.

Außerdem unterliegen diese Ströme noch dem Einflüsse des Widerstandes in der Spirale, der jedoch so unbedeutend ist, daß er in den folgenden Entwickelungen vernachlässigt werden kann, und dem der Coercitivkraft, die durch die Constante x ausgedrückt werden soll.

In den oben aufgestellten Formeln ist i die Stromstärke für die Schnelligkeit = 0; es sey i' die Stromstärke für die gleichförmige Schnelligkeit der Maschine, und i‚ die Stärke des fraglichen magneto-elektrischen Gegenstromes, so ist

5) i‚ = ii'.

Der mittlere Magnetismus m' der Spirale oder ihrer Kerne ist also

6) m' = βi', und die Stärke des Gegenstromes

7) i‚ = xm'βv/ρ,

wo v die gleichförmige Geschwindigkeit der Maschine ausdrückt, da der Widerstand ρ für beide Ströme derselbe ist, indem sie denselben Weg durchlaufen.

Aus den Formeln 5), 6), 7) erhält man

8) i‚ = ²i'v/ρ,

9) i' = /(ρ + ²v),

und durch Substitution des Werthes von i (1)

10) i' = nk/(ρ + ²v),

11) m' = βnk/(ρ + ²v),

12) v = (βnkm'ρ)/m'xβ².

Um in diese allgemeinen Betrachtungen die Gesetze einzuführen, die bei allen Maschinen, welche auch ihre Einrichtung sey, gelten, ist nun darauf Rücksicht zu nehmen, daß bei jeder Maschine die Summe der bewegenden Arbeit gleich ist der Summe der Widerstände während der gleichförmigen Bewegung der Maschine, oder allgemeiner während jeder Periode, in der die Maschine wieder ihre Anfangsgeschwindigkeit annimmt. Dieses Princip findet seine Anwendung auf alle Maschinen, |441| und sämmtliche vorkommende Fälle lassen sich ihm mit Leichtigkeit unterordnen. So wie nun diese Eigenschaft sowohl für unsere elektromagnetischen wie für alle anderen Maschinen gilt, so sind sie auch, wie diese, eines Maximums an nützlichem Effect fähig, ob sie nun mit continuirlicher Rotation oder mit oscillirender Bewegung construirt sind. Wenn die elektromagnetische Maschine eine gleichförmige oder periodisch gleichförmige Geschwindigkeit erlangt hat, und zugleich die Galvanometernadel eine feste Stellung einnimmt, so ist daraus ersichtlich, daß alsdann Gleichheit zwischen der bewegenden Arbeit und der Summe der Widerstände stattfindet. Man kann also die eine der anderen substituiren, und da es erlaubt ist, die Momente des Widerstandes an irgend einen Punkt des beweglichen Systemes, sowie an den Punkt der magnetischen Attraction zu verlegen, setzen

13) R = μ' und

14) Rv = μ'v,

d.h. für den Widerstand R die mittlere magnetische Attraction μ' während der Bewegung der Maschine setzen. Hieraus folgt nach den oben entwickelten Formeln:

15) R = μ' = m'², oder nach (11)

16) R = m'² = (βnk)²/(ρ + ²v)²,

und wenn T die Arbeit der Maschine bezeichnet:

17) T = Rv = (βnkm'm'²ρ)/²,

18) T = (βnkR)/², oder

19) T = v(βnk)²/(ρ + ²v)².

Das oben erwähnte Maximum erhält man, indem man aus den Gleichungen dT/dR = 0 und dT/dv = 0 die Werthe R₀, v₀, die dem Maximum der Arbeit T₀ entsprechen, berechnet, nämlich:

20) R₀ = β²n²k²/4ρ²,

21) v₀ = ρ/²,

woraus durch Substitution in 18) und 19) folgt:

22) T₀ = n²k²/4ρ².

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Die Vergleichung der Formeln 20) und 4) zeigt, daß man, um das Maximum der Arbeit zu erhalten, die Summe der Widerstände der Maschine so einrichten muß, daß sie gleich ist dem 4ten Theile der mittleren Attraction der Magnete im Zustande der Ruhe.

Betrachtet man die Formel 18)

T = (βnkR)/²,

so ersieht man, daß T gleich Null wird, wenn man R = 0 und wenn man R = β²n²k²/ρ² setzt. Im ersten Falle wird v = ∞ (16), d.h. wenn man absieht von jedem Widerstande, so wird die Geschwindigkeit unendlich groß, während die Intensität des Stromes i' gleich Null wird. Die Maschine geht alsdann allein in Folge der erlangten lebendigen Kraft, und ohne Hülfe der magnetischen Thätigkeit. Es ist also eine unendlich große Geschwindigkeit nothwendig, wenn die Intensität des Gegenstromes gleich der des Stromes der Batterie werden soll. Im andern Falle, wenn R = β²n²k²/ρ² ist, wird ebenfalls v = 0, wenn der Widerstand gleich ist der mittleren Attractionskraft der unbeständigen Magnete während des Stillstandes der Maschine.

Das Maximum der Arbeit, dessen die elektromagnetische Maschine fähig ist, wird ausgedrückt durch T₀ = n²k²/4ρx, und da in dieser Formel keine Größe vorkommt, die von der besonderen Construction der Maschine, von der Kombination der Spirale u.s.w. abhängig wäre, so ist klar, daß dieß Maximum damit nicht im Geringsten zusammenhängt. Wenn einerseits die Zahl der Elemente der Batterie und andererseits der Total-Widerstand des elektrischen Kreislaufes dieselben bleiben, so kann man die Zahl der Windungen vermehren oder vermindern, ohne daß das Maximum der Arbeit verändert würde. Man hat es indessen in der Gewalt, die beiden Elemente der Arbeit zu verändern, nämlich die Kraft und die Geschwindigkeit. Im Ausdruck von T₀ ist nur deßwegen β² nicht enthalten, weil es bei R₀ (20) ein Zähler und bei v₀ (21) im Nenner enthalten war. Nimmt man also Drähte von verschiedener Länge und Dicke, aber so berechnet, daß sie dem Strome denselben Widerstand entgegensehen, so kann man die Zahl der Windungen beliebig ändern; durch eine Vermehrung der Zahl derselben nimmt die Stärke der Maschine zu im Verhältniß des Quadrates dieser Zahl, die Schnelligkeit aber im selben Verhältniß ab u.s.w., |443| so daß man also Kraft und Geschwindigkeit beliebig variiren lassen, nicht aber das Maximum der Arbeit verändern kann.

Die Unterhaltungskosten der bewegenden Kraft sind leicht in die Formeln einzuführen; nach (4) sind sie proportional der Anzahl der Elemente, multiplicirt mit der Intensität des Stromes; nennt man sie q'₀, so ist

q'₀ = ni',

und wenn man für i' seinen Werth aus (10) und für v aus (21) substituirt, so wird

23) i'₀ = nk/2ρ und 24) q'₀ = n²k/2ρ,

25) T₀ = kq'₀/2x.

Diese Formel zeigt uns, daß auch bei dieser Maschine das Gesetz der Proportionalität der Kosten und der Arbeit eben so sehr Anwendung findet, wie das der Proportionalität der Kraft und der Geschwindigkeit. Indeß ist nicht zu verkennen, daß in der Formel (25) die elektromotorische Kraft der Volta'schen Batterie als Factor enthalten ist, daß man also solche Metalle zu wählen hat, welche die stärkste elektromotorische Kraft besitzen.

Wenn man die Menge der Arbeit durch die Ausgabe dividirt, so erhält man den ökonomischen Effect (duty)

26) E = T₀/q'₀ = k/2x.

Er ist also unabhängig von der Einrichtung der Batterie und der Spiralen, und nur abhängig von der elektromotorischen Kraft und jenem Coefficienten x, der eine Function der Coercitivkraft des weichen Eisens und der Construction der Maschine im Allgemeinen ist. Dieser Effect ist also bei derselben Art elektromagnetischer Maschinen und derselben Combination der Elemente eine constante Größe, unabhängig sowohl von der Dicke der Drähte und der Spirale, als von der Oberfläche und Zahl der Elemente.

In dem Ausdrucke (22) für das Maximum der Arbeit Tn²k²/4ρx kann man T₀ betrachten als eine Function von der Zahl n der Elemente. Nennt man σ die gesammte Oberfläche der Säule, λ den Widerstand der Einheit der Oberfläche eines Elementes, und λ' den Widerstand der Spirale, so ist:

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ρ = n²λ/σ + λ' und

27) T₀ = σn²k²/4x(n²λ + λ'σ),

woraus erhellt, daß bei gegebener Gesammt-Oberfläche das Maximum der Arbeit wächst mit der Vermehrung der Zahl der Elemente oder mit der Verminderung ihrer Oberfläche. Angenommen n²λ sey so groß, das λ'σ vernachlässigt werden kann, so wird als Gränze des Maximums der Arbeit:

28) T₀ = σk²/4,

und ebenso erhält man als Gränze der Kraft und der Geschwindigkeit und der Stromstärke:

29) R₀ = β²σ²k²/4λ²n²,

30) v₀ = n²λ/xσβ²,

31) i'₀ = σk/2.

Diese Intensität ist also die Hälfte des Maximums-Stromes eines einzigen Elementes, dessen Verbindungsdraht dick genug ist, daß sein Widerstand vernachlässigt werden kann.

Nach dem Gesetze der Elektromagnete erhält man das Maximum des Magnetismus, wenn die Batterie so eingerichtet ist, daß ihr Widerstand dem der Spirale gleich ist, d.h. wenn

λ' = n²λ/σ.

Setzt man in (22) ρ = 2n²λ/σ, so ist

32) T₀ = σk²/8,

d.h. die Gränze der mechanischen Arbeit einer Batterie von gegebener Oberfläche ist nun das Doppelte der Arbeit, welche man erhält, wenn man dem Elektromagnete das Maximum des Magnetismus ertheilt.

Setzt man in (21) v₀ = ρ/² ρ = (λ'σ + n²λ)/σ, so erhält man v₀ = (λ'σ + n²λ)/xσβ², woraus erhellt, daß sich die Geschwindigkeit der Maschine mit n vermehrt, wenn auch das Maximum der Arbeit bestehen bleibt. In der |445| Praxis ist es aber nicht vortheilhaft, gewisse Gränzen der Schnelligkeit zu überschreiten, da zugleich manche Widerstände vermehrt werden, und dadurch der Nutzeffect abnimmt.

––––––––––

Aus allen diesen durch ihre Allgemeinheit für sämmtliche elektromagnetische Maschinen geltenden Formeln läßt sich ein Schluß ziehen auf die Anwendbarkeit dieser Kraft zu industriellen Zwecken; bis jetzt scheint diese Anwendung noch nicht praktisch, da der mechanische Effect, den diese Kraft hervorbringen kann, in Bezug auf die Unterhaltungskosten allen gebräuchlichen Motoren nachsteht. Die obigen Formeln sprechen dieses so entschieden aus, daß ein Erfolg nur zu erwarten steht von dem größten Werth, den man dem Bruch k/x geben kann. Man müßte also eine neue Batterie erfinden, deren elektromotorische Kraft die der Grove'schen bedeutend überträfe und deren Anwendung viel einfacher und wohlfeiler wäre; oder man müßte eine Maschine erfinden, in der die Größe x so klein wäre, daß sie der Größe k/x einen größern Werth gäbe, als sie bisher erhalten worden ist. Alle übrigen Versuche, namentlich die Vergrößerung der Dimensionen in Maschinen desselben Systems, können keinen Erfolg geben. Eher noch wäre ein Erfolg zu erwarten von einer Verwerthung der Nebenproducte der Batterie, wodurch allerdings die Unterhaltungskosten vermindert würden, zugleich aber auch andere Nachtheile entstehen könnten.82)

Diese Abhandlung enthält die vollständige Entwicklung der Gesetze der elektromagnetischen Maschinen, ohne der früheren Abhandlung „über die Principien dieser Maschinen“ (polytechn. Journal Bd. LXXXI S. 107) Neues beizufügen. Der Verfasser bemerkt, daß in den zehn Jahren, welche seit seiner ersten Veröffentlichung der fraglichen Gesetze verstoßen, dieselben nicht so bekannt geworden sind, als sie es wegen ihrer Allgemeinheit und Einfachheit verdienen, und daß daher selbst wissenschaftliche Autoritäten sich an großen Irrthümern betheiligten, welche durch die Kenntniß dieser Gesetze hätten vermieden werden können, wovon er einige Beispiele anführt. A. d. Red.

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Beispielsweise könnte eine Verarbeitung des Zinkvitriols zu kohlensaurem Salze (als Malerfarbe) stattfinden, und das Kupfer gleich in einem solchen Apparate niedergeschlagen werden, daß es anstatt in formlosen Stücken in bestimmten Gestalten erhalten würde, wodurch es einen höhern Werth erhielte. Dieß letztere ist indeß von geringem Vortheile. Bei den galvanoplastischen Apparaten wendet man in der Regel so dicke Leitungsdrähte an, daß ihr Widerstand vernachlässigt werden kann, dann ist die gesammte Kupfergewinnung dargestellt durch

/λ.

Wird durch dieselbe Batterie mit einer Gesammtoberfläche = σ eine Maschine in Bewegung gesetzt, so wird die Kupfergewinnung nur seyn

n²/2(n²λ + σλ'),

oder, wenn die Maschine das Maximum ihrer Kraft ausübt

/4λ,

d.h. also nur der vierte Theil der in gewöhnlichen Apparaten erhaltenen Menge.

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