Titel: Decher, Beschreibung eines neuen Planimeters welches auf Polar-Coordinaten gegründet ist.
Autor: Decher, Georg
Fundstelle: 1855, Band 136, Nr. XLI. (S. 168–181)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj136/ar136041

XLI. Theorie und Construction eines neuen, auf Polar-Coordinaten gegründeten Planimeters; von Professor G. Decher.

Mit Abbildungen auf Tab. III.

Beim Durchlesen der im polytechn. Journal Bd. CXVI S. 424 u. f. mitgetheilten Beschreibung des Planimeters von Wetli erwachte in mir sogleich das Bedenken, ob nicht die drehende Wirkung, welche die den Stift führende Hand beim Nachfahren des Umfanges der zu berechnenden Figur auf den Wagen oder Schlitten ausübt, und welche bald vorwärts |169| bald rückwärts gerichtet ist, nach und nach eine tobte Bewegung erzeugen müsse, welche der Genauigkeit des Instrumentes bedeutenden Eintrag thun dürfte; dieser Zweifel legte mir den Gedanken nahe, daß der betreffende Uebelstand bei einem auf Polar-Coordinaten gegründeten Instrumente, bei welchem alle Bewegungen nur um oder gegen eine feste verticale Achse stattfänden, vermieden werden könne, und veranlaßte mich, weiter über die Construction eines solchen Instrumentes nachzudenken. Die Theorie desselben war bald festgestellt und der darauf gegründete Entwurf versprach zugleich ein einfacheres und für viele Fälle zweckmäßigeres Instrument als das von Wetli construirte; ich wollte aber darüber nichts veröffentlichen, bis ein solches ausgeführt sey und ich Versuche damit angestellt hätte. Die seitdem durch Prof. Dr. Bauernfeind bekannt gemachte complicirtere Einrichtung, welche Hr. Hofrath Hansen dem Wetli'schen Planimeter geben zu müssen glaubte, um dasselbe möglichst zuverlässig zu machen, war nicht geeignet, mich von meinem obengenannten Bedenken zu befreien und meinen Glauben an die Vorzüge meines Instrumentes, namentlich in Betreff der Einfachheit, Zweckmäßigkeit und Bequemlichkeit in der Anwendung wankend zu machen, und diesem Glauben möge man es zu gut halten, wenn ich meinem frühem Vorsatz untreu werde und die beabsichtigte Einrichtung meines Instrumentes vor der noch in ziemlicher Ferne stehenden Ausführung veröffentliche, in der Hoffnung, daß sich ein Mechaniker finden werde, welcher dasselbe der Ausführung werth hält.

Betrachten wir zunächst die Theorie des Instrumentes. Die Polar-Coordinaten in der Ebene bestehen bekanntlich in dem Fahrstrahl CM = r, Fig. 7, welcher die Entfernung eines Punktes M von dem Pol oder der zur Ebene senkrechten Achse C mißt, und aus dem Winkel ACM = ω, welchen der Fahrstrahl CM mit einer in der Ebene gezogenen fixen Geraden CA einschließt. Ferner hat man für die Fläche O₁ des Sectors CBDEC den Ausdruck:

Textabbildung Bd. 136, S. 169

worin α₀ und α₁ die Winkel ACB und ACE der begränzenden Fahrstrahlen CB und CE mit der Geraden AC bedeuten und r₁ durch die Gleichung:

r₁ = f₁ (ω)

der begränzenden Curve BDE in Function von ω gegeben vorausgesetzt wird. Ebenso hat man für die Oberfläche O₀ des Sectors CBFEC den Werth;

|170|
Textabbildung Bd. 136, S. 170

worin nun die Curve BFE durch die Gleichung:

r₀ = f₀ (ω)

ausgedrückt gedacht wird. Für die Fläche O der geschlossenen Figur BDEF, welche den Pol C nicht einschließt, findet man demnach den Ausdruck:

1)

Textabbildung Bd. 136, S. 170

Schließt die zu berechnende Figur dagegen den Pol C ein, wie in BDEF, Fig. 8, und ist nun

r = f (ω)

die Gleichung ihrer Begränzung, so hat man einfach

2)

Textabbildung Bd. 136, S. 170

als Ausdruck für ihre Oberfläche.

Sey nun AA, Fig. 9, eine horizontale Ebene, auf welcher wir die zu berechnende Figur aufgetragen annehmen wollen, BB eine dazu senkrechte feste Achse, CC eine unbiegsame Gerade, welche sich sowohl um die Achse CC drehen, als auch durch dieselbe in der Richtung ihrer Länge verschieben läßt, und welche an einem Ende den Stift D trägt, der dem Umfang der auszumessenden Figur folgen soll; E, E und F, F seyen zwei vertical-stehende Räder, welche auf derselben Achse a, a befestigt sind und mit dieser Achse in Bezug auf die Gerade CC eine unveränderliche Lage behalten; das erstere und etwas größere von beiden stützt sich auf die Ebene AA und wälzt sich auf dieser ab, wenn die Gerade CC um BB gedreht wird; auf dem kleinern F, F dagegen ruht die horizontale Scheibe H, H, welche sich um die auch in der Geraden CC befestigte und allen Bewegungen derselben folgende Achse G dreht, mit hinreichendem Drucke so auf, daß sie vermöge der Reibung durch das Rad F, F umgedreht wird; endlich sey J, J ein vertical-stehendes Rädchen, welches wieder auf der Scheibe H, H ruht, dessen Achse b, b aber so mit dem Träger K, L, M verbunden ist, daß sie mit der Geraden CC und den übrigen Achsen BB, aa und G in derselben Vertical-Ebene liegt, und daß sie zwar auch wie die a, a an der drehenden Bewegung der Geraden CC Theil nimmt, daß sie aber in Bezug |171| auf B, B keine Verschiebung erleiden kann, daß also das Rädchen J, J immer in derselben Entfernung von BB bleibt. Es wird dann einleuchten, daß der ganze Apparat auf der Achse B, B ruhend sich mit dem Stifte D um diese Achse dreht, daß die Räder E, E und F, F, die Scheibe H, H und das Rädchen J, J in Bezug auf ihre Achsen in Ruhe bleiben, wenn der Stift D längs einer durch B gehenden Geraden oder längs eines constanten Fahrstrahls geführt wird, daß dagegen eine drehende Bewegung dieser Theile des Apparates um ihre Achsen eintritt, sobald der Stift D sich um die Achse B, B bewegt oder einen Winkel Δω um den Pol B beschreibt, da sich alsdann das Rad E, E auf der Ebene AA abwälzt, also sich und das Rad F, F und die auf ihm ruhende Scheibe H, H und diese wieder das Rädchen J, J umdreht; und die Aufgabe besteht nun darin, diese Bewegungen so einzurichten, daß der auf der Achse des Rädchens J, J sitzende Zeiger Z beim Umfahren der zu berechnenden Figur einen Winkel Δϕ beschreibt, welcher der Fläche dieser Figur proportional ist.

Bezeichnen wir dazu die Entfernung des Stiftes G von der Achse B, B oder die Länge des Fahrstrahls mit r, die Halbmesser der Räder E, E und F, F mit h₁ und h₂, den unveränderlichen Abstand ED der Ebene des Rades E, E von dem Stifte D mit a, die gleichfalls unveränderlichen Abstände GF und GE der Räder F, F und E, E von der Achse G der Scheibe H, H mit h₃ und b, ferner die constante Entfernung Ji des Rädchens J, J von der festen Achse BB mit c und den Halbmesser dieses Rädchens mit h₄, so haben wir zuerst

BE = ra, GJ = r + c – (a + b).

Nehmen wir dann r einen Augenblick als constant an und drehen die Gerade CC um den Winkel Δω, so wälzt das Rad E, E den Bogen (ra) Δω ab, es dreht sich also dabei um den Winkel

Δψ₁ = (ra)/hΔω,

ebenso wie das Rad F, F, von welchem deßhalb ein Punkt des Umfanges den Bogen

hΔψ = h₂/h₁ (ra) Δω

zurücklegt. Der Berührungspunkt F dieses Rades und der Scheibe H, H beschreibt denselben Bogen und die letztere dreht sich um den Winkel

Δψ₂ = h₂/hΔψ₁ = h₂/h₃ . (ra)/hΔω;

der Berührungspunkt J der Scheibe und des Rädchens J, J beschreibt darnach den Bogen

|172|

(r + c – (a + b)) Δψ₂ = h₂/h₃ (ra)/h₁ (r + cab) Δω

und das Rädchen selbst dreht sich um den Winkel

Textabbildung Bd. 136, S. 172

Daraus ergibt sich das Verhältniß der Aenderung von ϕ in Bezug auf die Aenderung von ω

Textabbildung Bd. 136, S. 172

welches für ein veränderliches r in das nur für eine augenblickliche Lage und Größe von r geltende Aenderungsgesetz

3)

Textabbildung Bd. 136, S. 172

übergeht, worin man sich nun r als eine Function von ω zu denken hat. Macht man demnach noch

4) cba = a oder c = b + 2a,

so wird einfach

5)

Textabbildung Bd. 136, S. 172

Bewegt sich also der Stift D längs der Curve BDE, Fig. 7, so dreht sich der Zeiger Z um einen Winkel

Textabbildung Bd. 136, S. 172

folgt der Stift dann aber der Curve EFB, so geht der Zeiger um einen Winkel

Textabbildung Bd. 136, S. 172

zurück, und zeigt am Ende, wenn der Stift wieder in B angekommen ist, noch eine Drehung

Textabbildung Bd. 136, S. 172

oder

|173|

6)

Textabbildung Bd. 136, S. 173

Dieser Ausdruck, verglichen mit dem Werthe (1) für die Fläche O dieser Figur gibt die Beziehung:

7)

Textabbildung Bd. 136, S. 173

und zeigt, daß die Fläche einer Figur, welche den Pol C (die Achse B, Fig. 9) nicht einschließt, unabhängig von der Constanten a unmittelbar durch den Drehungswinkel des Zeigers gemessen wird.

Schließt dagegen die Figur welche berechnet werden soll, die Achse B oder den Pol C, Fig. 8, ein, so wird sich der Zeiger fortwährend in demselben Sinne drehen und zwar, während der Stift den ganzen Umfang der Figur beschreibt, um einen Winkel

Textabbildung Bd. 136, S. 173

Dieser Werth, verglichen mit dem Werthe (2) für die Fläche O der betreffenden Figur, gibt die Gleichung

8)

Textabbildung Bd. 136, S. 173

man hat daher in diesem Falle, um die Fläche O zu erhalten, zu der Angabe des Zeigers noch die constante Kreisfläche πa ² zu addiren, welche sich durch Versuche leicht finden läßt, wenn man ein und dieselbe Figur einmal nach der ersten Art ausmißt, d.h. so, daß die Achse B außerhalb der Figur liegt, und dann nach der zweiten Art, indem man diese Achse in die Figur hinein versetzt.

Der Werth von O wird dagegen wieder unabhängig von a, wenn die zu berechnende Figur von zwei geschlossenen Linien begränzt wird und beide den Pol C einschließen, wie in Fig. 10, wobei man aber der innern Linie mit dem Stift im Sinne der negativen ω folgen, die Figur also in der Richtung ABCADEFDA umfahren muß, gerade so, als wenn bei AD eine Unterbrechung des ringförmigen Raumes wäre, in welchem Falle die Figur nur in der Richtung ABCadEFDA umfahren werden kann.

Nach dem Vorhergehenden ist die Angabe des Instrumentes unabhängig von den Größen c und b; diese stehen aber unter sich und zu der |174| Größe a in einer durch die Gleichung (4) ausgedrückten Abhängigkeit, durch welche die Einrichtung des Instrumentes bedingt wird und zwar in Verbindung mit den andern Bedingungen, daß das Rädchen J, J immer auf der Scheibe H, H aufliegen muß, und daß der Stift D nicht unter diese Scheibe kommen darf. Bezeichnet man nun den größten Werth von r, d.h. die größte Entfernung des Stiftes D von der Achse BB, mit R, so erhält man als größten Abstand des Rädchens von der Achse G der Scheibe den Werth: R + cab, oder mit der Bedingungsgleichung (4) den Werth: R + a, welcher nach den ersten der genannten Bedingungen zugleich die Größe des Halbmessers der Scheibe vorstellt. Darnach erhält aber diese Scheibe, auch wenn man a möglichst klein macht, eine ziemliche Größe im Vergleich zu der Größe der Figuren, für welche das Instrument anwendbar ist. Es dürfte daher zweckmäßiger seyn, die Größe a negativ zu machen, d.h. den Stift D zwischen die Achse B, B und das Rad E, E zu setzen; man hat dann

BE = r + a, c = b – 2a, GJ = ra,

also noch wie früher (Gleichung 5)

Textabbildung Bd. 136, S. 174

der Halbmesser H der Scheibe wird dadurch Ra, und das Instrument kann überhaupt für gleiche Größe der Anwendbarkeit eine geringere Ausdehnung erhalten; denn wenn auch durch die ebengemachte Annahme und die zweite der obigen Bedingungen die Größe b so beschränkt wird, daß sie nicht kleiner werden kann, als H + a oder kleiner als R, so wird doch dadurch c nicht viel größer als Ra.

Durch die vorhergehende Annahme in Betreff der Größe a entsteht aber die neue Schwierigkeit, daß der Stift D oder die ihn ersetzende optische Achse der Loupe durch die Achse a, a der Räder E, E und F, F gehen müßte; diese Schwierigkeit läßt sich indessen leicht heben, wenn man beachtet, daß der Stift D nicht nothwendig in der durch BB und CC gehenden Ebene liegen muß. Denn ist D, Fig. 11, die Horizontalprojection des Stifts, B die der festen Achse, also BD der Fahrstrahl r, und bezeichnet man die Projection Bd dieses Fahrstrahls auf die Gerade CC' mit r' und die constanten Entfernungen dC' und dD mit a und f, so hat man nach dem Frühern

9)

Textabbildung Bd. 136, S. 174

es ist aber auch

r'² = r² – f²

|175|

und daher wird im jetzigen Falle

10)

Textabbildung Bd. 136, S. 175

Für eine geschlossene Figur, welche den Pol nicht einschließt, bleibt also die frühere Gleichung

11)

Textabbildung Bd. 136, S. 175

für eine solche aber, welche den Pol einschließt, wird

Textabbildung Bd. 136, S. 175

oder wenn man

Textabbildung Bd. 136, S. 175

setzt

12) O = kΔϕ + πl²;

es ändert sich also gegen die frühere Annahme nichts, weil die Fläche πl² ebenso wie πa² durch den Versuch bestimmt werden muß.

Endlich wäre noch das Instrument so einzurichten, daß der oben mit k bezeichnete Coefficient, welcher die von der Winkel-Einheit (57°,29..) repräsentirte Fläche ausdrückt, nicht zu groß wird, damit der der Flächeneinheit entsprechende Winkel Δϕ nicht zu klein ausfällt. Theilt man, wie es am zweckmäßigsten ist, das Zifferblatt in 100 gleiche Theile und drückt den Winkel Δϕ durch n solcher Theile aus, so hat man

Δϕ = 2π/100 n

und damit wird

13) O = hhh₁/hπ/100 n;

für die einem solchen Theile entsprechende Fläche ergibt sich also der Werth

14) f = hhh₁/hπ/100 n

und dieser wird, da h₁/h₂ immer größer als 1 werden muß, um so kleiner, je kleiner h₃ und h₄ sind, d.h. je näher das Rad FF an der Achse G der Scheibe H, H, und je kleiner das Rädchen J, J ist.

Diesen Bemerkungen gemäß beabsichtige ich, dem Instrumente die in den Figuren 12 bis 15 dargestellte Einrichtung zu geben.

|176|

A ist eine kreisförmige ebene Scheibe von starkem Spiegelglase, welche in einen messingenen Ring B gefaßt und in der Mitte kreisförmig durchbohrt ist, um hier die conische Achse C befestigen zu können, und zwar mittelst der Schraube g, deren Kopf zugleich als Stütze für die Mitte der Scheibe A dient, wenn dieselbe auf die Ebene aufgesetzt wird, auf welcher die zu berechnende Figur gezeichnet ist. Auf der Achse C und zum Theil von der Feder p getragen, dreht sich die conische Hülse D mit dem Träger E, in welchem der ganze übrige Theil des Instrumentes ruht. Dazu besitzt derselbe zwei horizontale Arme F und in den Enden derselben die conisch zugespitzten Schrauben G, welche eine horizontale Drehungsachse für den Rahmen H bilden, so daß sich dieser um dieselbe zwischen dem Träger E passend auf und nieder bewegen läßt. Auf diesen Rahmen H sind die abgeschrägten Leisten J aufgeschraubt, welche dem an seinen Seiten in gleicher Weise abgeschrägten Rahmen K zur Führung dienen und demselben eine leichte aber sichere Verschiebung in der Richtung seiner Länge gestatten. In der Mitte dieses Rahmens K (der Breite nach) sind die kleinen Träger M befestigt, deren Schrauben m der Achse O mit den Rädern N und N' als Drehungspunkte dienen; das Rad N ist etwas größer im Durchmesser als N' und ruht auf der Ebene A auf und zwar mit einem Drucke, welcher hinreichend seyn dürfte, um die gleitende Bewegung des Rades N auf der Scheibe A zu verhindern, wenn der Rahmen K um die Achse C gedreht wird, da sich das Gewicht der Rahmen H und K und der darauf befestigten Theile nur auf die Achse G, G und das Rad N vertheilt, und nach unserer Einrichtung die Länge der Arme F schon wegen des nöthigen Spielraumes für die Bewegung des Rades N' so bemessen ist, daß der Schwerpunkt aller dieser Theile immer zwischen die Achse G, G und das Rad N fällt, auch wenn dieses bis an die Hülse D hin verschoben wird. Man könnte indessen, um in dieser Beziehung vollkommen sicher zu seyn und zugleich zu verhindern, daß die Spiegelscheibe A bei der nach der Länge des Rahmens K stattfindenden Verschiebung des Rades N verkritzt werde, dieses letztere auf dem Umfange mit einem sehr dünnen Ueberzug von feinem Leder oder Kautschuk bekleiden; ich für meinen Theil habe indessen die Ueberzeugung, daß bei dem stattfindenden Drucke das Rad N auch mit blanker Metallfläche nicht gleitet, wenn der Rahmen K stetig um C gedreht wird.

Auf dem Rahmen K ist ferner der Träger P aufgeschraubt, welcher das Lager für den cylindrischen Zapfen der kreisförmigen ebenen Scheibe Q enthält; diese Scheibe ist unterhalb noch durch eine kleinere ebene Scheibe R verstärkt und ruht mittelst dieser auf dem Rade N', auf das sie mit ihrem ganzen Gewichte drückt, und dadurch wieder hinreichende Reibung |177| erzeugt, um ein vollkommenes Abwälzen zwischen beiden zu bewirken, auch wenn die Scheibe R eine blanke Metallfläche darbietet, welche ebenso wie die obere Ebene der Scheibe Q nur fein abgeschliffen und nicht polirt zu seyn braucht.

Endlich ist auf dem Rahmen K, welcher vorn in den ringförmigen Griff L zur Führung desselben endigt, noch der Träger W für die vertical stehende Loupe Z befestigt, und zwar so, daß die Schraube q durch einen länglichen Schlitz hindurchgeht, und der Träger W sich mittelst der Druck- und Zugschrauben i und k nach der Länge des Rahmens K etwas verschieben läßt, um der Bedingungsgleichung (4) in der Form:

a = (cb)/2

durch Correction der Größe a so genau wie möglich genügen zu können. Der Träger W ist nach unten bis nahe an die Scheibe A hin verlängert und trägt dort eine horizontale, bis in die Achse der Loupe reichende feine Stahlspitze h, welche die Gestalt eines längs seiner Achse durchschnittenen Kegels hat, und den ebenen Achsenschnitt der Scheibe A zuwendet, und deren äußerste Spitze beim Gebrauch des Instrumentes auf der zu berechnenden Figur herumgeführt wird. Statt dieser Spitze kann indessen, wenn man es vorzieht, eben so leicht ein mit einem kleinen Ringe versehenes Glasplättchen angebracht werden; am besten dürfte es aber seyn, um jede Parallaxe zu vermeiden (bei der von Hansen angewendeten freien Loupe ohne begränzte Ocularöffnung scheint mir dieselbe ziemlich groß werden zu können), statt der einfachen Loupe ein nur aus Objectiv und Ocular zusammengesetztes Mikroskop von nicht starker Vergrößerung anzubringen und den Index, Stahlspitze oder Glasplättchen mit Ring, wie gewöhnlich zwischen dem Objectiv und Ocular zu befestigen, wobei aber das Centriren dieses Index nothwendig und die Loupe wieder complicirter wird.

Der Träger E geht über die Scheibe Q hinweg und besitzt über derselben zwei Ansätze S mit Schrauben, von deren Spitzen der Rahmen T festgehalten wird mit der Freiheit, sich um diese Spitzen wie um eine horizontale Achse zu drehen; in der Mitte dieses Rahmens dreht sich, ebenfalls in Spitzen laufend, die Achse V, auf welcher das wie die Räder N und N' am Rande abgerundete Rädchen U und das etwas kleinere gezahnte conische Rädchen b befestigt sind, und über demselben Rahmen liegt, auf drei Stützen a befestigt, das Zifferblatt Y. Die Zeigerachse f ruht in einer auf dem Rahmen T befindlichen Querleiste X und trägt ein conisches Rädchen c, von gleicher Größe wie b, in welches dasselbe eingreift, so daß der Zeiger mit dem Rädchen U in derselben Zeit einen Umgang |178| macht. Der Druck des Rahmens T und der daran befestigten Theile vertheilt sich auf das Rädchen U und die Achse i, i nahezu gleich und bewirkt wieder die zur wälzenden Bewegung des Rädchens U erforderliche Reibung. Endlich bietet jener Rahmen und das darauf befestigte Zifferblatt Raum und Stützpunkte genug, um das Zeigerwerk noch weiter und in der Art zu vervielfältigen, daß man auch die Anzahl der Umdrehungen des Zeigers ablesen kann.

Nach dieser Beschreibung und der vorausgehenden Theorie des Instrumentes wird es kaum nothwendig seyn, über dessen Anwendung etwas Weiteres zu sagen; es mögen daher noch folgende Bemerkungen erlaubt seyn.

Wenn das Instrument in der Größe der Zeichnung ausgeführt wird, so kann der Rahmen K oder die Loupe eine geradlinige Bewegung von 6,5 Centim. erhalten und damit die Fläche einer Figur berechnet werden, welche in einen Kreis von 13Cm. Durchmesser beschrieben ist, wenn die Achse C über den Mittelpunkt dieses Kreises gestellt wird; es beträgt daher die größte Fläche, welche damit berechnet werden kann, etwa 130 □Cm.. Die in dem Entwurfe angenommenen Maaße, welche auf die Angabe des Instrumentes Einfluß haben, sind

h₁= 20mm, h₂ = 18mm, h₃ = 9mm, h₄ = 3mm,98;

man hat daher nach (13) und (14)

O = (20 . 9 . 3,98)/(18 . 100) πnmm = 1,25 nmm;

f = 1,25 □mm;

ein Theil des Zifferblattes entspricht also einer Fläche von 1 1/4 □mm, oder ein Umgang des Zeigers einer Fläche von 125 □mm = 1 1/4 □Cm.. Würde man das Instrument in der doppelten Größe ausführen und alle Verhältnisse beibehalten, so würde die Fläche f viermal so groß, also

f = 5 □mm,

bei einer größten berechenbaren Fläche von 500 □Cm.

Gegen das Planimeter von Wetli oder Hansen steht das meinige in einem Nachtheil, welcher auf den ersten Anblick vielleicht nicht unwesentlich genannt werden möchte, und welcher darin besteht, daß die richtige Angabe des Instrumentes an die genaue Erfüllung der Bedingung (4) gebunden ist. Wenn diese Bedingung nicht genau erfüllt ist, wenn man hat

r + cb + a = ra + δ statt ra

|179|

so wird

/ = 1/k (r² – a²) + 1/k (r + a) δ

und

Textabbildung Bd. 136, S. 179

oder

Textabbildung Bd. 136, S. 179

der Fehler γ in der Angabe des Zeigers ist also im ersten Falle, wo der Pol außerhalb der Figur liegt,

Textabbildung Bd. 136, S. 179

im zweiten, wo er von der Figur eingeschlossen wird,

Textabbildung Bd. 136, S. 179

und daher offenbar am größten, wenn r constant ist und seinen größten Werth R hat; dieser größte Fehler ist demnach

Γ = 2π δ/k (R + a);

setzt man in diesen Ausdruck die obigen unserer Construction zu Grunde liegenden Maaße und noch R = 65mm, a = 10mm, und drückt Γ in Theilen des Zifferblattes aus, so wird

Γ = 100/2π . (18 . 2π)/(10 . 9 . 3,98) . 75 δ = 188,4 δ,

und man hat für δ = 0,01mm, Γ = 1,884; dieser Fehler in der Angabe des Zeigers entspricht aber einer Fläche von 2,355 □mm, um welche die Fläche des Kreises zu groß oder zu klein gefunden wird, je nachdem δ positiv oder negativ ist.

In dieser Größe des Fehlers liegt aber auch das Mittel ihn zu beseitigen; denn wenn man denselben für diesen größten Kreis, welcher ohne unterliegende Figur, also auch ohne die mit dem Nachfahren unzertrennlichen |180| Fehler beschrieben werden kann, indem man den Rahmen K durch die Leisten J festklemmt, durch Correction der Stellung der Loupe so klein als möglich gemacht hat, so wird er für kleinere Figuren, und namentlich für solche, bei welchen auch eine Bewegung im Sinne der negativen ω stattfindet, verschwindend klein werden.

Dieser Nachtheil meines Instrumentes, wenn man ihn nach dem Vorhergehenden noch so nennen kann, da er nur auf eine vorzunehmende Correction zurückkommt, dürfte indessen nach meiner Ansicht durch die Vorzüge desselben mehr als aufgewogen werden.

Außerdem, daß die bei dem Wetli'schen Planimeter stattfindende, den Principien der angewandten Mechanik widerstrebende Bewegung eines Wagens mittelst eines einarmigen Hebels und der daraus folgende schon von Stampfer bemerkte Fehler beseitigt ist, und hier alle Bewegungen in ungezwungener Weise stattfinden, halte ich auch die Beseitigung des bei jenem Planimeter angewendeten Drahtes zur Bewegung der Scheibe für einen Vorzug, da sich dieser Draht bei längerer Anwendung des Instrumentes dehnen und durch die fortwährende Biegung und Streckung selbst zerreißen wird, und mit dem Einspannen eines neuen Drahtes eine Aenderung in der Angabe des Instrumentes eintritt, wenn der neue mit dem alten nicht vollkommen gleiche Dicke hat.

Die Angabe des Wetli'schen Planimeters kann nur dadurch geprüft werden, daß man einer vorgezeichneten einfachen Figur nachfährt, und die Angabe des Instrumentes mit der geometrischen Berechnung vergleicht, während bei meinem Instrumente Kreise von verschiedenen Halbmessern beschrieben werden können, ohne daß man mit dem Auge der Figur folgen muß, also auch ohne die von diesem Nachfahren unzertrennlichen Fehler.

Bei jenem Instrumente kann der Werth eines Theiles auf dem Zifferblatte nur durch Abdrehen oder Abschleifen des Rädchens U auf eine bestimmte Fläche zurückgeführt werden; dieser Zweck kann daher nur nach vielen Proben und nach den Versuchen von Stampfer und Bauernfeind kaum so erreicht werden, daß nicht eine Correction nothwendig würde. Bei meinem Instrumente kann man dagegen, ohne das Rädchen U zu ändern, durch eine kleine Verschiebung der Achse O mittelst der Schrauben m das Verhältniß h₃/h₂, also auch den Coefficienten k und den Werth eines Theiles auf dem Zifferblatt ändern oder corrigiren, und diese Operation kann gleichzeitig mit der Correction der Stellung der Loupe vorgenommen werden.

|181|

Ferner dürfte auch die bei meiner Einrichtung erzielte Bequemlichkeit, daß man das Zifferblatt direct vor sich hat und bei jeder Stellung des Instrumentes leicht ablesen kann, nicht zu übersehen seyn.

Endlich glaube ich noch erwähnen zu müssen, daß mein Instrument sich namentlich für die Berechnung der Mittelwerthe aus physikalischen Beobachtungen, welche durch sogenannte Auto- oder Metrographen aufgezeichnet worden, eignen dürfte, da diese Instrumente viel einfacher werden, wenn man jene Beobachtungen auf eine gleichförmig sich umdrehende Scheibe aufzeichnet, als wenn man dazu einen geradlinig sich bewegenden Papierstreifen anwendet; auf diese Scheibe kann dann mein Planimeter unmittelbar aufgesetzt und die Fläche des Sectors berechnet werden, welcher von der aufgezeichneten Figur und den beiden, Anfang und Ende der Beobachtungszeit bezeichnenden Radien begränzt wird. Nennt man diese Fläche S, die Umlaufszeit der Scheibe T, die Zeit der Beobachtung t und den gesuchten Mittelwerth h, so hat man für den der Beobachtungszeit entsprechenden Drehungswinkel ω den Werth

ω = 2π T/t

und da der mit dem constanten Mittelwerth h beschriebene Kreissector der Sectorfläche S gleich seyn muß, die Gleichung

1/2 h²ω = πh² T/t = S,

woraus sich jener Mittelwerth in der Form

h = √(ST/πt)

ergibt.

Zum Schluß erlaube ich mir, noch auf eine Probe dieser Instrumente aufmerksam zu machen, welche weder von Stampfer noch von Bauernfeind erwähnt wird und welche mir besonders geeignet erscheint, über die Genauigkeit des Instrumentes Aufschluß zu geben, namentlich in Betreff der etwa vorhandenen todten Bewegung. Diese Probe besteht darin, daß man zuerst eine Figur ein- oder mehrmal vorwärts, im Sinne des Zifferblattes, und dann wieder eben so oft rückwärts umfährt, wobei der Zeiger am Ende auf den frühern Standpunkt zurückgehen müßte, wenn keine todte Bewegung vorhanden ist, während sich im entgegengesetzten Falle die Größe derselben schon bei einmaligem Umfahren der Figur verdoppeln wird; dadurch kann also das Vorhandenseyn einer solchen todten Bewegung leicht erkannt und ihre Größe ermittelt werden, da sich die Fehler ist der Führung des Index nahezu compensiren werden.

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