Titel: Müller's Construction der Parabel.
Autor: Müller, A.
Fundstelle: 1855, Band 138, Nr. XXVI. (S. 92–93)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj138/ar138026

XXVI. Construction der Parabel; von A. Müller, Rechnungs-Rath im königl. preuß. Kriegs-Ministerium.

Mit einer Abbildung auf Tab. II.

Seitdem an jeder Locomotive zur Beleuchtung der Bahn Lampen angebracht werden, deren Réverbères aus parabolischen Metallspiegeln bestehen, hat sich das Bedürfniß der genauen Herstellung dieser Spiegel so vermehrt, daß es nicht überflüssig erscheinen kann, wenn in nachstehender Beschreibung ein überraschend leichtes Mittel zum Zeichnen der Parabel veröffentlicht wird.

Da diese Beschreibung für einen größeren Kreis von Technikern bestimmt ist, so ist dabei eine Form gewählt worden, die auch ohne mathematische Vorkenntnisse zum Verständniß führt; indeß hat der Verfasser nicht versäumt, für Mathematiker den wissenschaftlichen Beweis des Verfahrens hinzuzufügen.

Die Erklärung der Parabel und ihrer merkwürdigen Eigenschaften glauben wir übergehen zu können, da sie in den Lehrbüchern der Mathematik und Physik zu finden sind. Für Metallspiegel kömmt überdieß nur die Eigenschaft in Betracht, daß die Lichtstrahlen, welche von einem bestimmten Punkt (dem Brennpunkt) innerhalb des Hohlspiegels ausgehen, sich an der Spiegelfläche sämmtlich so brechen, daß sie parallel der Achse ausströmen.

Construction der Parabel.

Ist die Tiefe ab (der Figur 17) und die Höhe cd gegeben, so ist daraus zunächst der Brennpunkt f zu bestimmen.

Die Entfernung des Brennpunktes vom Scheitel a ergibt sich, wenn die halbe Höhe cb mit sich selbst multiplicirt und das Product durch die vierfache Tiefe ab dividirt wird, z.B.

ab sey 5'',

cb sey 6''; so ist

af gleich (6 × 6)/(4 × 5), also 36/20 oder 1 4/5''.14)

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Parallel mit cb ziehe man durch ab Linien in beliebiger Entfernung von einander, nach dem Scheitel a hin jedoch näher an einander, und so, daß diese Linien eine am Rande gezogene Senkrechte ns mit durchschneiden.

Ferner ist af von m nach o aufzutragen, so daß also mo gleich af wird.

Hiernächst wird der Papierstreifen swvn abgeschnitten und der Punkt o (um welchen man einen schmalen Papierrand stehen lassen kann) mit einer feinen Nadel in dem Brennpunkt f befestigt.

Bei Umdrehung des Streifens um den Brennpunkt durchschneiden nun die Punkte g, h, i, k u.s.w. die entsprechenden Linien in den Punkten x, y, z, u u.s.w., welche letzteren die Parabel bilden.15)

Daß die andere Seite der Parabel durch weitere Umdrehung des Papierstreifens von a nach d gezeichnet wird, braucht wohl kaum noch erwähnt zu werden.

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Bekanntlich ist

(uf)² : (cb)² = af: ab und

uf = 2 af; also

4 (af)² : (cbaf: ab.

af = (cb)²/4 ab

|93|

Es möge hier der Beweis folgen, daß

on = fc

og = fx

oh = fy

u.s.w.

In dem Dreieck

cfb ist(cf)² = (cb)² + (fb)², also auch
(cf)² = (cb)² + (abaf)² und
1.(cf)² = (cb)² + (ab)² – 2 ab . af + (af

Ferner ist

(cb)² : (uf)² = ab : af; mithin

(cb)² = (ab (uf)²)/af.

Für uf kann gesetzt werden 2 af, also

(cb)² = (ab . 4(af)²)/af und
2. (cb)² = ab . 4 af

Die Gleichungen 1 und 2 vereinigt, gibt

(cf)² = (ab)² + 4 ab . af – 2 ab . af + (af)² und

(cf)² = (ab)² + 2 ab . af + (af)²; folglich

cf = ab + af = on.

Für xf = og, yf = oh u s. w. ist der Beweis natürlich derselbe.

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