Titel: Zur Theorie des Polarplanimeters.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1856, Band 141, Nr. LXXV. (S. 326–329)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj141/ar141075

LXXV. Noch etwas zur Theorie des Polarplanimeters.

Hr. Professor Decher nöthigt mich, durch die mir auf S. 29–33 dieses Bandes des polytechn. Journals zugedachte Zurechtweisung, nochmals auf vorgenannten Gegenstand zurückzukommen.

Ich kann diese Zurechtweisung nicht annehmen, indem ich bei meiner Behauptung bleiben muß, daß Hrn. Prof. Decher's Theorie des Polarplanimeters |327| unrichtig ist. Wer mit den Elementen der Differential- und Integralrechnung vertraut ist, dürfte dieses wohl nach den in meinem Aussatz „über das Polarplanimeter“ (S. 321 ff. des vorhergehenden Bandes) gemachten Andeutungen einsehen; indeß soll hier der ausführliche Beweis folgen.

Bezeichnet in Fig. 24 auf Tab. I (dieses Bandes) A die Spitze des Fahrstiftes, C den Pol, D den Punkt in welchem das Rädchen seine Unterlage berührt, und setzt man r = CA, ω = < XCA, ω' = XCD , so ist klar, daß r, ω und ω' sich gleichzeitig ändern, während A eine vorgeschriebene Curve durchläuft, und daß daher r eine durch die Gestalt und Lage dieser Curve bestimmte Function von ω oder ω' ist.

Der Drehungswinkel φ des Rädchens ist eine Function von ω und r, oder von ω allein, da man sich r als Function von ω ausgedrückt denken kann; der totale Differentialquotient von φ nach ω ist daher

/ = (/) + (/dr) dr/ (1)

Hierin bezeichnen die eingeklammerten Ausdrücke, nach Euler's Schreibweise, partielle Differentialquotienten. Die Begründung dieser Gleichung darf ich übergehen, da sie in die Elemente der Differentialrechnung gehört.

Da bei der Bildung von (/) die Größe r als constant angesehen wird, so erkennt man leicht, daß (/) = (/dω') gesetzt werden kann. Die Gleichung (1) kann daher auch geschrieben werden

/ = (/dω') + (/dr) dr/ (2)

Nun ist aber offenbar die von Hrn. Prof. Decher durch Δφ₁ bezeichnete Größe aus der Gleichung

Textabbildung Bd. 141, S. 327

zu bestimmen, wo / den totalen Differentialquotienten bezeichnet, wie schon bemerkt. Allein Hr. Prof. Decher verwechselt den totalen Differentialquotienten / mit dem partiellen (/) oder (/dω'); denn der Ausdruck

Textabbildung Bd. 141, S. 327
|328|

welchen er für / setzt, ist so gebildet worden, daß r dabei als constant behandelt wurde. Aber die Gleichung (2) zeigt, daß / von (/dω') verschieden ist, und daß der richtige Ausdruck Δφ₁ folgende Form hat

Textabbildung Bd. 141, S. 328

wo r₀ und r₁ die den Werthen ω₀ und ω₁ entsprechenden Werthe von r bezeichnen. – Ein ähnlicher Ausdruck gilt für Δφ₂. – Man zeigt leicht, daß (/dr) die Veränderliche ω nicht explicite enthält; also ist

Textabbildung Bd. 141, S. 328

wo Φ₀ und Φ₁ die Winkel bedeuten, um welche sich das Rädchen dreht, wenn bei constantem ω die Größe r von ihrem kleinsten Werth bis zu r₀ und r₁ wächst. – Hieraus ergibt sich leicht die Richtigkeit der in meinem Aufsatz „über das Polarplanimeter“ über Δφ₁ und Δφ₂ aufgestellten Behauptungen.

Zum nämlichen Resultat führt die, hier offenbar gestattete, Anwendung der Differentialen.

Auch die „Fläche-Elemente-Theorie“ sagt mir etwas ganz anderes, als Hr. Prof. Decher meint, – nämlich wenn sie richtig angewendet wird. – Da offenbar φ sich nicht allein mit ω, sondern auch mit r ändert (während ω constant seyn kann), so ist klar, daß der von Hrn. Prof. Decher auf S. 30 für Δφ aufgestellte Ausdruck unvollständig ist, und heißen sollte

Textabbildung Bd. 141, S. 328

r' bezeichnet einen Mittelwerth zwischen den Fahrstrahlen r und (r + Δr), welche die dort betrachtete Fläche begränzen; ψ (r') bedeutet eine gewisse Function von r', auf deren nähere Bestimmung es hier nicht ankommt.

Weiterhin enthält der Aufsatz des Hrn. Prof. Decher eine Reihe von Behauptungen, die sich bei näherer Untersuchung als ungenau oder unrichtig erweisen. So z.B. heißt es auf S. 32, das Rädchen des |329| Polarplanimeters wälze den Weg (a² + b² + 2ac)/2a (ω₁ – ω₀) nutzlos zweimal ab, wenn der Pol außerhalb der umfahrenen Figur liege. Allein Hr. Prof. Decher hat übersehen, daß in dem Ausdruck für Δφ₁ das Vorzeichen jenes Gliedes dem Vorzeichen des Gliedes

Textabbildung Bd. 141, S. 329

entgegengesetzt ist, daß also die von dem Rädchen ausgeführte gesammte (absolute) Drehung umgekehrt um jenen Betrag kleiner ist, als wenn das Instrument geradezu das Integral

Textabbildung Bd. 141, S. 329

darstellte; es besteht also hierin gerade ein Vorzug des Polarplanimeters gegenüber dem Decher'schen Instrumente.

Eine weitere Erörterung der streitigen Punkte werde ich in einem mathematischen Journale folgen lassen, da für die meisten Leser eines technischen Journals solche theoretische Untersuchungen ohne Interesse sind; außerdem sind für Praktiker allein Versuche mit wirklich ausgeführten Instrumenten maßgebend.49)

Schaffhausen, den 16. August 1856.

J. Amsler.

|329|

Die praktischen Bedenken des Hrn. Prof. Decher möchten vielleicht durch die von Fachmännern gemachten Erfahrungen geschwächt werden, worüber mir von verschiedenen Seiten Mittheilungen gemacht wurden. So schrieb mir z.B. Hr. General Dufour, Director der schweizerischen topographischen Aufnahmen, über ein in seinem Bureau dienendes Polarplanimeter: Cet instrument facile à manier et d'un usage, extrêmement commode, donne des résultat suffisamment éxacts pour la practique et plus éxacts peut-être que ceux qu'on obtient d'instruments plus volumineux, d'un emploi délicat et plus dispendieux etc.“ – Hr. Obergeometer Mayer in Carlsruhe schreibt von einem andern Instrument dieser Art, daß dasselbe „die gemessenen Flächen (von 1000 bis 5500 □''') richtig und mit einer Uebereinstimmung der einzelnen Messungen angab, daß das Instrument allgemeine Bewunderung erregte.“

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