Titel: Grunert, neue Formel für den körperlichen Inhalt.
Autor: Grunert, Johann August
Fundstelle: 1858, Band 149, Nr. I. (S. 1–12)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj149/ar149001

I. Neue merkwürdige Formel für den körperlichen Inhalt schief abgeschnittener Prismen, mit besonderer Rücksicht auf die wichtigen Anwendungen, welche sich von derselben zur Berechnung der aufzutragenden und abzutragenden Erdkörper bei Eisenbahnbauten, Wiesenanlagen und allen Nivellirungsarbeiten machen lassen; von Prof. Johann August Grunert zu Greifswald.1)

Mit Abbildungen auf Tab. I.

I.

Man kennt die Formel, mittelst welcher der Inhalt eines schief abgeschnittenen dreiseitigen senkrechten oder geraden Prismas bestimmt wird, und weiß auch, wie wichtig diese Formel für die Berechnung der aufzutragenden und abzutragenden Erdkörper bei Eisenbahnbauten, Wiesenanlagen und überhaupt allen Nivellirungs-Arbeiten ist, indem es, insbesondere wenn diese Erdkörper von unregelmäßiger Gestalt sind, wohl überhaupt keine andere Methode zu der, für die Veranschlagung solcher Arbeiten so wichtigen Berechnung der auf- und abzutragenden Erdkörper als die Anwendung der erwähnten Formel geben dürfte. Bekanntlich erfordert die Anwendung dieser Formel die Kenntniß der drei Höhen des Prismas und des Inhalts seiner horizontalen Grundfläche. Die Messung der drei ersteren ist mit Hülfe der Nivellir-Latte und des Nivellir-Instruments mit aller erforderlichen Genauigkeit leicht ausführbar und unterliegt nicht der geringsten Schwierigkeit. Anders verhält es sich aber mit der Bestimmung des Inhalts der horizontalen Grundfläche, welche die Messung der horizontalen Projektionen der drei Seiten der oberen schiefen Grundfläche in Anspruch nimmt, und mit der erforderlichen Genauigkeit |2| nie ohne namhaften Zeitaufwand ausführbar, in der Praxis selbst zuweilen nicht von allen Schwierigkeiten frei ist. Ueberdieß muß man aus diesen drei gemessenen Projectionen den Inhalt der horizontalen Grundfläche nach der bekannten Formel für den Inhalt des Dreiecks aus seinen drei Seiten berechnen, wozu die Ausziehung einer Quadratwurzel erforderlich ist, die sich in diesem Falle nicht wohl anders, als nach der gewöhnlichen elementaren Methode oder mittelst der Logarithmen ausführen läßt. Um diese etwas weitläufige Rechnung zu umgehen, mißt man auch wohl nur die horizontale Projection einer Seite der oberen schiefen Grundfläche und deren horizontalen Abstand von der gegenüberstehenden Ecke dieser Grundfläche, wodurch man sich eine Seite und die entsprechende Höhe der horizontalen Grundfläche verschafft, woraus man dann deren Inhalt leicht berechnen kann; aber diese Messung genau auszuführen, ist nicht ganz leicht und nimmt ziemliche Zeit in Anspruch.

Alle diese Schwierigkeiten werden vermieden, wenn man im Besitz einer Formel ist, mittelst welcher man den Inhalt des Prismas aus seinen drei Höhen und den drei Seiten der oberen schiefen Grundfläche berechnen kann, weil, wie schon gesagt, die Messung der ersteren mittelst der Nivellir-Latte und des Nivellir-Instruments mit großer Genauigkeit leicht ausführbar ist, und die Messung der letzteren nur die unmittelbare Anlegung des Maaßstabes erfordert, wozu ich noch bemerke, daß auch jede Höhe der oberen schiefen Grundfläche sehr leicht mit dem Maaßstabe gemessen, und also der Inhalt dieser Grundfläche einfach aus Grundlinie und Höhe berechnet werden kann. Eine allen diesen Erfordernissen entsprechende Formel für den Inhalt schief abgeschnittener gerader dreiseitiger Prismen will ich nun entwickeln, welche ich auch in theoretischer Rücksicht für sehr merkwürdig und für eine Bereicherung der elementaren Stereometrie zu halten geneigt bin, so daß es mir sehr wünschenswerth scheint, daß dieselbe künftig in den stereometrischen Elementar-Unterricht und die betreffenden Lehrbücher aufgenommen werde, namentlich auch deßhalb, weil dieselbe Gelegenheit zu so vielen wichtigen praktischen Anwendungen darbietet.

II.

Auf Tab. I Fig. 1 sey ABC die untere Grundfläche des schief abgeschnittenen geraden dreiseitigen Prismas ABCA'B'C', auf welcher die drei Höhen AA', BB', CC' desselben senkrecht stehen, und A'B'C' sey die obere schiefe Grundfläche desselben. Der Kürze wegen bezeichne man die Inhalte der beiden Grundflächen ABC und A'B'C' respective durch Δ und Δ' und setze:

|3|
BC = α, CA = β, AB = γ;
AA' = a, BB' = b, CC = c;
B'C' = a', C'A' = b', A'B' = c'.

Nach einer bekannten Formel der ebenen Geometrie ist

16 Δ² = 2 α² β² + 2 β² γ² + 2 γ² α² – α⁴ – β⁴ – γ⁴.

Offenbar ist aber

α² = a'² = (bc)², β² = b'² – (ca)², γ² = c'² – (ab)²;

folglich:

16 Δ² = 2{a'² – (bc)²} {b'² – (ca)²}
+ 2{b'² – (ca)²} {c'² – (ab)²}
+ 2{c'² – (ab)²} {a'² – (bc)²}
– {a'² – (bc)²}² – {b'² – (ca)²}² – {c'² – (ab)²}²,

woraus man nach gehöriger Entwickelung der einzelnen Theile dieses Ausdrucks die folgende Formel erhält:

16 Δ² = 2ab'² + 2bc'² + 2ca'² – a'⁴ – b'⁴ – c'⁴
– 2(ab)² (a'² + b'² – c'²)
– 2(bc)² (b'² + c'² – a'²)
– 2(ca)² (c'² + a'² – b'²)
+ 2(ab)² (bc)² + 2(bc)² (c – a)² + 2(ca)² (ab
– (ab)⁴ – (bc)⁴ – (ca)⁴.

Nun überzeugt man sich leicht von der Richtigkeit der auch an sich merkwürdigen allgemeinen algebraischen Relation:

1)

+ 2(ab)² (bc)² + 2(bc)² (c – a)² + 2(ca)² (ab
– (ab)⁴ – (bc)⁴ – (ca)⁴
= 0,

und es ist also nach dem Vorhergehenden:

16 Δ² = 2ab'² + 2bc'² + 2ca'² – a'⁴ – b'⁴ – c'⁴
– 2(ab)² (a'² + b'² – c'²)
– 2(bc)² (b'² + c'² – a'²)
– 2(ca)² (c'² + a'² – b'²)

oder, weil nach der schon oben angewandten Formel der ebenen Geometrie

16 Δ'² = 2ab'² + 2bc'² + 2ca'² – a'⁴ – b'⁴ – c'⁴

ist:

|4|

2) 16 Δ² = 16 Δ'² – 2(ab)² (a'² + b'² – c'²)

– 2(bc)² (b'² + c'² – a'²)

– 2(ca)² (c'² + a'² – b'²)

oder

3) 16 Δ² = 16 Δ'² – 2a'²{ (ab)² – (bc)² + (ca)²}

– 2b'²{ (ab)² – (bc)² + (ca)²}

– 2c'²{– (ab)² – (bc)² + (ca)²}.

Leicht ergibt sich:

(ab)² – (bc)² + (ca)² = – 2(ab) (ca),

(ab)² – (bc)² + (ca)² = – 2(bc) (ab),

– (ab)² – (bc)² + (ca)² = – 2(ca) (bc);

und es ist also:

16 Δ² = 16 Δ'² + 4a'² (ab) (ca) + 4 b'² (bc) (ab) + 4c'² (ca) (bc)

oder

Textabbildung Bd. 149, S. 4

oder auch:

Textabbildung Bd. 149, S. 4

und folglich:

4)

Textabbildung Bd. 149, S. 4

Bezeichnen wir jetzt den Inhalt des schief abgeschnittenen dreiseitigen geraden Prismas ABCA'B'C' durch P, und denken uns durch A' eine mit ABC parallele Ebene gelegt, wodurch das schief abgeschnittene dreiseitige gerade Prisma in ein gerades dreiseitiges Prisma und eine vierseitige Pyramide zerfällt wird; so ist, wenn wir das von A oder A' auf die Ebene BCB'C' gefällte Perpendikel durch h bezeichnen, offenbar:2)

Textabbildung Bd. 149, S. 4
|5|
Textabbildung Bd. 149, S. 5

also:

5)

Textabbildung Bd. 149, S. 5

Also ist nach 4):

6)

Textabbildung Bd. 149, S. 5

und wenn man

7) 2s' = a' + b' + c'

setzt, so ist bekanntlich:

8)

Textabbildung Bd. 149, S. 5

also:

9)

Textabbildung Bd. 149, S. 5

oder:

10)

Textabbildung Bd. 149, S. 5

Formeln, durch welche nun, wie verlangt wurde, P bloß durch a, b, c und a', b', c' ausgedrückt ist.

In der Praxis wird man sich am besten der Formel 6) bedienen, indem man den Flächeninhalt Δ' der oberen schiefen Grundfläche A'B'C' |6| durch Messung nur einer Seite und der dieser Seite entsprechenden Höhe des Dreiecks A'B'C' bestimmt, was nie einer Schwierigkeit unterliegt und immer mit der erforderlichen Genauigkeit durch unmittelbare Anlegung des Maaßstabes ausführbar ist.3)

III.

Wenn die Ebene A'B'C' nur wenig von der horizontalen Lage abweicht, was bei praktischen Arbeiten häufig der Fall seyn wird, so sind die absoluten Werthe der Differenzen ab, bc, ca nur klein, und es wird also auch der absolute Werth der Größe

Textabbildung Bd. 149, S. 6

nur klein seyn. Setzen wir also

11)

Textabbildung Bd. 149, S. 6

und folglich nach 6):

12)

Textabbildung Bd. 149, S. 6

so kann in solchen Fällen zur Berechnung der in dieser Formel vorkommenden Quadratwurzel vortheilhaft das Binomial-Theorem angewandt werden, wodurch wir den folgenden Ausdruck erhalten:

13)

Textabbildung Bd. 149, S. 6

oder

14)

Textabbildung Bd. 149, S. 6

welcher eine desto leichtere Rechnung gewährt, je kleiner ε ist.

IV.

Nach einem bekannten Satze der Lehre von den Projectionen ist, wenn i' den Neigungswinkel der Ebene A'B'C' gegen den Horizont, d.h. im Allgemeinen gegen die Ebene ABC, bezeichnet:

Δ = Δ' cos i',

also nach 4) offenbar

|7|

15)

Textabbildung Bd. 149, S. 7

folglich:

16)

Textabbildung Bd. 149, S. 7

woraus:

17)

Textabbildung Bd. 149, S. 7

oder

18)

Textabbildung Bd. 149, S. 7

folgt, welche Formeln gleichfalls sehr bemerkenswerth und mancher Anwendungen fähig sind.

V.

Wenn in Fig. 3 die Schwerpunkte der Dreiecke ABC und A'B'C' respective S und S' sind, so ist bekanntlich

AD = BD, A'D' = B'D'; SD = 1/2 CS, S'D' = 1/2 C'S';

woraus zunächst auf der Stelle erhellet, daß die Linie SS', welche die Schwerpunkte der beiden Grundflächen des Prismas mit einander verbindet, den Kanten AA', BB', CC' des Prismas parallel ist, und daher auf ABC senkrecht steht. Ferner ist nach einem leicht zu beweisenden Satze vom Trapezium:4)

|8|

DD' = 1/2 . AA' + 1/2 . BB',

SS' = 2/3 . DD' + 1/3 . CC';

folglich:

SS' = 1/2 . AA' + 1/3 . BB' + 1/3 CC'

oder

SS' = (AA' + BB' + CC')/3 = (a + b + c)/3.

Bezeichnen wir also die Entfernung der Schwerpunkte der Dreiecke ABC und A'B'C', nämlich der beiden Grundflächen des schief abgeschnittenen geraden dreiseitigen Prismas, von einander, oder nach dem Vorhergehenden die Entfernung des Schwerpunkts der oberen Grundfläche von der unteren, durch E, so ist nach 5):

19) P = ,

und nach 6) ist:

20)

Textabbildung Bd. 149, S. 8

VI.

Ein schief abgeschnittenes gerades Prisma von beliebiger Seitenzahl kann man, wie Fig. 5 zeigt, immer in mehrere schief abgeschnittene gerade dreiseitige Prismen zerlegen, deren untere und obere Grundflächen wir mit Bezug auf die genannte Figur durch

Δ₁, Δ₁'; Δ₂, Δ₂'; Δ₃, Δ₃'; Δ₄, Δ₄'; Δ₅, Δ₅'

bezeichnen wollen. Bezeichnen wir dann ferner die Entfernungen der Schwerpunkte der Grundflächen dieser schief abgeschnittenen geraden dreiseitigen Prismen von einander, welche nach V. zugleich die Entfernungen der Schwerpunkte der oberen Grundflächen von der unteren Grundfläche des ganzen Prismas sind, respective durch

E₁, E₂, E₃, E₄, E

und den Inhalt des ganzen schief abgeschnittenen Prismas durch P, so ist nach 19):

P = EΔ₁ + EΔ₂ + EΔ₃ + EΔ₄ + EΔ₅.

Nach der Lehre vom Schwerpunkte ist aber, wenn wir die Entfernung des Schwerpunktes der oberen Grundfläche des ganzen schief abgeschnittenen Prismas von dessen unterer Grundfläche durch E bezeichnen:

E = (EΔ₁' + EΔ₂' + EΔ₃' + EΔ₄' + EΔ₅')/(Δ₁' + Δ₂' + Δ₃' + Δ₄' + Δ₅'),

|9|

oder, wenn Δ' den Inhalt der ganzen oberen schiefen Grundfläche unseres Prismas bezeichnet, so daß

Δ' = Δ₁' + Δ₂' + Δ₃' + Δ₄' + Δ₅'

ist:

' = EΔ₁' + EΔ₂' + EΔ₃' + EΔ₄' + EΔ₅',

folglich auch, wenn i' den Neigungswinkel der oberen Grundfläche gegen die untere bezeichnet:

' cos i'

= EΔ₁' cos i' + EΔ₂' cos i' + EΔ₃' cos i' + EΔ₄' cos i' + EΔ₅' cos i',

also nach dem schon oben angewandten bekannten Satze von den Projectionen, wenn Δ den Inhalt der ganzen unteren Grundfläche unseres Prismas bezeichnet:

= EΔ₁ + EΔ₂ + EΔ₃ + EΔ₄ + EΔ₅.

Daher ist nach dem Obigen:

21) P = ,

und die oben für das schief abgeschnittene gerade dreiseitige Prisma bewiesene Formel 19) gilt daher allgemein für jedes schief abgeschnittene gerade Prisma von beliebiger Seitenzahl.

Aus der bekannten Construction, durch welche man den Schwerpunkt einer beliebigen geradlinigen Figur, die man in Dreiecke zerlegt hat, nach und nach aus den Schwerpunkten dieser Dreiecke zu finden pflegt, erhellet auf der Stelle, daß die Entfernung E des Schwerpunkts der oberen Grundfläche unseres Prismas von seiner unteren Grundfläche die gerade Linie ist, welche die Schwerpunkte der beiden Grundflächen mit einander verbindet.

Wenn man in der oberen schiefen Grundfläche unseres Prismas drei ganz beliebige Punkte A', B', C' annimmt, deren Entfernungen B'C', C'A', A'B' oder a', b', c' von einander mißt und ihre senkrechten Abstände a, b, c von der unteren Grundfläche nach dem gewöhnlichen praktischen Verfahren bestimmt, so ist nach 15):

Textabbildung Bd. 149, S. 9

wo wie früher

2s' = a' + b' + c'

ist, oder

Textabbildung Bd. 149, S. 9
|10|

also, wenn Δ und Δ' wie oben die ganze untere und obere Grundfläche des schief abgeschnittenen mehrseitigen Prismas bezeichnen, da nach dem schon mehrfach angewandten Satze von den Projectionen allgemein Δ = Δ' cos i' ist, nach 21):

22)

Textabbildung Bd. 149, S. 10

oder

23)

Textabbildung Bd. 149, S. 10

Bezeichnen wir den Inhalt des vorher auf der oberen Grundfläche unseres Prismas beliebig angenommenen Dreiecks, dessen Seiten a', b', c' sind, jetzt durch D'; so ist

D'² = s' (s'a') (s'b') (s'c'),

also:

24)

Textabbildung Bd. 149, S. 10

wo man D' auch durch Messung einer Seite und der entsprechenden Höhe des betreffenden Dreiecks bestimmen kann.

Die vorstehenden Formeln, in denen alle zu messenden Elemente sich auf die obere schiefe Grundfläche des Prismas beziehen, und in allen Fällen durch die bekannten Methoden mittelst des Maaßstabes, der Nivellir-Latte und des Nivellir-Instruments leicht und genau ermittelt werden können, gelten auch für schief abgeschnittene gerade Cylinder, weil im Vorhergehenden natürlich die Seitenzahl des Prismas sich beliebig groß annehmen läßt, die Seitenflächen desselben beliebig klein angenommen werden können.

VII.

Wir wollen uns jetzt ein Prisma von beliebiger Seitenzahl von zwei gegen seine parallelen Seitenkanten willkürlich geneigten Ebenen durchschnitten denken, wodurch zwei Schnitte entstehen, deren Flächenräume wir durch Δ' und Δ₁', und den Inhalt des zwischen diesen Schnitten enthaltenen Körpers durch P bezeichnen wollen. Die Schnitte Δ' und Δ₁' mögen der Kürze wegen die Grundflächen dieses Körpers genannt werden. |11| Denken wir uns nun ferner einen auf den parallelen Seitenkanten des Körpers P senkrecht stehenden Schnitt Δ, welcher entweder ganz außerhalb oder ganz innerhalb des Körpers P liegt, so daß im ersten Falle die Grundfläche Δ' zwischen der Grundfläche Δ₁' und dem senkrechten Schnitte Δ liegt, und bezeichnen die Entfernungen der Schwerpunkte der Grundflächen Δ' und Δ₁' von dem senkrechten Schnitte Δ respective durch E und E₁; so ist nach 21) offenbar

P = EΔ = (EE₁) Δ,

indem man in dem ersten der beiden obigen Fälle das obere, in dem zweiten dieser beiden Fälle dagegen das untere Zeichen zu nehmen hat. Aus VI. erhellet unmittelbar, daß die Schwerpunkte von Δ', Δ₁', Δ in einer und derselben auf dem Schnitte Δ senkrecht stehenden geraden Linie liegen, so daß also EE₁ die Entfernung der Schwerpunkte der beiden Grundflächen des Körpers P von einander, und folglich, wenn wir diese Entfernung durch E bezeichnen, nach dem Obigen

25) P = EΔ

ist.

Nehmen wir nun etwa in der Grundfläche Δ' die unter dem Winkel ί gegen Δ geneigt seyn mag, drei beliebige Punkte A', B', C' an, und messen deren Entfernungen B'C' = a', C'A' = b', A'B' = c' von einander, so wie ihre senkrechten Abstände a, b, c von der Ebene des senkrechten Schnitts Δ; so ist, wenn D' den Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C' bezeichnet, bekanntlich:

Textabbildung Bd. 149, S. 11

also offenbar:

26)

Textabbildung Bd. 149, S. 11

Ist das Prisma ein dreiseitiges, und sind a, b, c und a₁, b₁, c₁ die senkrechten Abstände der Ecken der Grundflächen Δ' und Δ₁' von dem senkrechten Schnitte Δ, so ist bekanntlich

E = (a + b + c)/3, E₁ = (a₁ + b₁ + c₁)/3;

also

Textabbildung Bd. 149, S. 11
|12|

oder, wenn wir die Entfernungen der Ecken der beiden Grundflächen Δ' und Δ₁' von einander durch a, b, c bezeichnen:

EE₁ = (a + b +c)/3,

also nach dem Obigen:

27) P = (a + b + c)/3 Δ.

Bezeichnen aber wie gewöhnlich a', b', c' die Seiten der Grundfläche Δ' in der oben immer festgehaltenen Ordnung, so daß nämlich, wenn wir diese Grundfläche durch A'B'C' bezeichnen, wie oben a' = B'C', b' = C'A', c' = A'B' ist, so ist:

28)

Textabbildung Bd. 149, S. 12

Alle diese Formeln sind so entwickelt und dargestellt worden, daß die Bestimmung der Größen, von denen sie abhängen, in der Praxis keiner Schwierigkeit unterliegt, was mit ein Hauptzweck war, den dieser Aufsatz zu erreichen suchte.

Vom Verfasser aus seinem „Archiv der Mathematik und Physik“, 1858, XXX. Theil, 4tes Heft, mitgetheilt.

A. d. Red.

|4|

Wenn ABCA'B'C' Fig. 2, ein beliebiges dreiseitiges Prisma ist, so kann man sich dasselbe, indem man durch AA' eine mit BCB'C' parallele Ebene legt, zu einem Parallelepipedon ergänzt denken, von welchem das dreiseitige Prisma die Hälfte ist. Bezeichnet man nun die Entfernung der Kante AA' von der Seitenfläche BCB'C', |5| d.h. ein von einem beliebigen Punkte in AA' auf BCB'C' gefälltes Perpendikel durch H, so ist H . der Inhalt des Parallelepipedons, folglich

Prisma ABCA'B'C' = 1/2 H . ;

und ist BCB'C' ein Rechteck, so ist

Prisma ABCA'B'C' = 1/2 H . . .

Dieser Satz ist oben bei der Bestimmung des Inhalts von P in Anwendung gebracht worden, und kann überhaupt häufig bei Körperberechnungen mit großem Vortheil angewandt werden, weßhalb man ihn in die Elemente aufnehmen sollte.

|6|

Wenigstens die bis hierher entwickelten Formeln möchte ich zur künftigen Aufnahme in den stereometrischen Elementar-Unterricht und die betreffenden Lehrbücher sehr empfehlen.

|7|

Wenn in Fig. 4 in dem Trapezium AA'BB' mit AA' und BB' die Parallele CC' gebogen ist, so erhellet, wenn man durch A eine Parallele mit A'B' legt, auf der Stelle, daß

Textabbildung Bd. 149, S. 7

oder

CC' = AA' . BC/AB + BB' . AC/AB

ist.

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