Titel: Helmholtz, theoretische Betrachtungen über lenkbare Luftballons.
Autor: Helmholtz, H.
Fundstelle: 1873, Band 207, Nr. CXXVIII. (S. 465–469)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj207/ar207128

CXXVIII. Theoretische Betrachtungen über lenkbare Luftballons; von Prof. Dr. H. Helmholtz.

Aus den Verhandlungen des Vereines zur Beförderung des Gewerbfleißes in Preußen, 1872 S. 289.

Obgleich wir die Bewegungsgesetze von tropfbaren und gasartigen Flüssigkeiten in Form von Differentialgleichungen ausdrücken können, sind wir doch nicht im Stande, diese Gleichungen so weit zu integriren, daß wir daraus den Widerstand berechnen könnten, welchen Luft oder Wasser einem sich durch sie hinbewegenden Körper von complicirter Gestalt entgegensetzen.

Die Frage nach der Größe dieses Widerstandes kommt aber sehr wesentlich in Betracht, wenn es sich darum handelt, sey es ein Schiff, sey es einen Ballon zu construiren, welche durch Vermittelung irgend |466| welcher Bewegungsapparate fortbewegt werden sollen. In solchen Fällen gibt der Widerstand der Luft gegen die Ruder, Schaufeln, Schrauben oder andere Bewegungsorgane, welche man anwendet, die forttreibende Kraft, derselbe Widerstand gegen den Körper des Schiffes oder des Ballons die widerstehende Kraft. Von dem Verhältnisse beider Kräfte zu einander wird schließlich die Geschwindigkeit der Fortbewegung abhängen, die man erreichen kann.

Für eine Classe dieser Apparate, nämlich für die Schiffe, liegt aber eine große Menge empirischer Erfahrungen vor, und zwar bei sehr mannichfach abgeänderten Constructionsformen gewonnen. Wir wissen, wie viel Arbeit wir verwenden müssen, um durch Ruder, Schaufelräder oder Schrauben einem Boot oder Schiff eine gewünschte Geschwindigkeit zu ertheilen. Auch läßt sich annehmen, daß nahezu die vortheilhaftesten Formen sowohl für den Schiffskörper selbst, als für die Größe und Form der genannten Bewegungsorgane schon gefunden sind. Für die Luft liegen uns nur die Vögel als Beispiele solcher Fortbewegungsmaschinen bis jetzt vor, außer den wenigen, bisher noch nicht zu erheblichen Leistungen gediehenen Versuchen mit Ballons.

Ich will hier zu zeigen versuchen, wie sich mittelst eines passenden Gebrauches der hydrodynamischen Gleichungen die an Schiffen gemachten Erfahrungen auf die entsprechende Aufgabe für die Luft übertragen lassen.

Die hydrodynamischen Gleichungen, wie sie schon längst von Euler aufgestellt, später von Navier, Poisson und Stokes mit Berücksichtigung der Reibung der Flüssigkeiten modificirt worden sind, haben allerdings bisher noch wenig technisch verwerthbare Resultate gegeben, da Integrale denselben sich nur für wenige der einfachsten Fälle der Bewegung geben lassen. Ja sie scheinen sogar für eine Reihe von Fällen falsche Resultate zu geben, nämlich für alle solche Fälle, wo die Strömung der Flüssigkeit um eine scharfe Ecke oder Kante biegt. Ich habe in einer früheren Arbeit91) nachgewiesen, daß die Abweichungen zwischen den berechneten und beobachteten Resultaten in diesen Fällen darauf beruhten, daß man in der theoretischen Behandlung der genannten Gleichungen bis dahin den Umstand nicht berücksichtigt hatte, daß der Druck im Inneren einer Flüssigkeit nicht negativ werden darf. Das wird er aber nach der Aussage der Gleichungen überall da, wo die Geschwindigkeit der Flüssigkeit sehr groß wird. Bei continuirlicher Flüssigkeitsbewegung um eine scharfe Ecke herum würde aber an dieser die Geschwindigkeit |467| positiv unendlich, der Druck negativ unendlich. Daraus folgt, daß um eine scharfe Ecke herum die Bewegung einer tropfbaren oder gasartigen Flüssigkeit nicht continuirlich seyn kann, sondern daß sich von einer solchen Kante aus eine Fläche, von mir Trennungsfläche genannt, ausbildet, welche, sey es ruhende und bewegte Flüssigkeit, seyen es Flüssigkeitsschichten, deren tangentielle Geschwindigkeiten endliche Differenzen haben, von einander scheidet. Berücksichtigt man diesen Umstand, so finden sich in der That in denjenigen Fällen, wo die Integration der hydrodynamischen Gleichungen gelingt,92) Bewegungsformen der Flüssigkeiten, die mit den wirklich beobachteten in guter Uebereinstimmung sind. Erst aus diesen Untersuchungen ergibt sich dann auch der wahre Grund desjenigen Theiles des Widerstandes eines in Flüssigkeit bewegten Körpers, welcher proportional dem Quadrate der Geschwindigkeit wächst.

Ich bemerke noch, daß die erwähnten Trennungsflächen eine Art labilen Gleichgewichtes besitzen und das Bestreben haben, sich in Wirbel aufzurollen. Durch die Existenz solcher Wirbel wird die von mir beschriebene discontinuirliche Art der Flüssigkeitsbewegungen am leichtesten und häufigsten sichtbar.

Ich bemerke aber weiter noch, daß allerdings zwischen tropfbaren und gasartigen Flüssigkeiten der Unterschied besteht, daß jene unter Einwirkung von Druck ihr Volumen sehr merklich verändern. Da wir es aber bei der vorliegenden Frage nur mit dem offenen Luftmeere zu thun haben, und die Luft nach allen Seiten hin frei entweichen kann, ferner, wie sich zeigen wird, die vortheilhaftesten Resultate gerade mit den geringeren Geschwindigkeiten der Flügel oder Schrauben zu gewinnen sind, so kommen nur diejenigen Druckunterschiede in Betracht, welche durch die Beschleunigungen der bewegten Lufttheile bedingt sind, und diese so wie die von ihnen abhängige Volumenänderung der Luft sind zu vernachlässigen, so lange die erzeugten Geschwindigkeiten im Vergleich mit der Schallgeschwindigkeit zu vernachlässigen sind. Das wird bei den Bewegungen, auf die sich unsere Betrachtungen beziehen, immer vorauszusetzen seyn, und wir dürfen uns deßhalb erlauben, die Dichtigkeitsveränderungen der Luft zu vernachlässigen und dieselbe wie ein uncompressables Fluidum zu behandeln.

Ich bezeichne im Folgenden mit u, v, w die Componenten der Geschwindigkeit der Flüssigkeit, genommen nach den Richtungen der rechtwinkeligen Coordinatachsen für den Punkt x, y, z und die Zeit t, mit |468| p den Druck und mit ε die Dichtigkeit des Fluidum an demselben Punkte und zur selben Zeit. Ferner sey k die Reibungsconstante. Dann sind die Gleichungen der Bewegung eines incompressablen Fluidum

Textabbildung Bd. 207, S. 468

so wie die beiden anderen, die aus 1a. entstehen, wenn man entweder u mit v und x mit y, oder u mit w und x mit z vertauscht.

Dazu kommen dann die Grenzbedingungen für die Oberfläche des eingetauchten Körpers und der sonst noch etwa vorhandenen festen Wände. In den meisten Fällen können wir die Theilchen einer reibenden Flüssigkeit als an den genannten festen Oberflächen festhaftend betrachten; d.h. analytisch ausgedrückt, die Werthe von u, v, w an der Grenzschicht der Flüssigkeit sind gleich denen, die für die oberflächlichen Theile des festen Körpers gelten.

Wenn wir nun für irgend eine Art der Bewegung einer Flüssigkeit theoretisch oder experimentell die Werthe von u, v, w gefunden haben, welche den genannten Bedingungen genügen, und wir gehen zu einer anderen Flüssigkeit über, deren Reibungscoefficient K, deren Dichtigkeit E ist, und bezeichnen die Coordinaten ihrer Punkte mit X, Y, Z, die Zeit mit T, die Geschwindigkeitscomponenten ihrer Theile mit U, V, W, den Druck mit P, und setzen dann

K = qk . . . . . . . . . 2.

E = . . . . . . . . . . 2a.

U = nu X = q/n x

V = n v Y = q/n y

W = nw Z = q/n z

P = n²r T = q/n² t

wovon q, r und n constante Factoren sind, so erfüllen die mit großen Buchstaben bezeichneten Größen ihrerseits ebenfalls das System der oben aufgestellten Bedingungen, wie man leicht sieht, wenn man dieselben statt der mit kleinen Buchstaben bezeichneten Größen in die obigen Gleichungen |469| setzt. Es findet sich dann jedes Glied jeder der Gleichungen mit demselben constanten Factor multiplicirt, nämlich jedes von Gleichung 1 mit n²/q, jedes von 1 a mit n³/q. Indem man diese Factoren forthebt, findet man die Gleichungen 1. und 1 a. wieder. Von den drei Constanten sind q und r durch die Natur der beiden Flüssigkeiten nach den Gleichungen 2. und 2 a. gegeben, n aber ist willkürlich. Die linearen Dimensionen der zweiten Flüssigkeit werden also im Verhältniß q/n vergrößert seyn; die der sie begrenzenden Wände und der in sie eingetauchten festen Körper müssen in demselben Verhältniß vergrößert gedacht werden, um die Grenzbedingungen zu erfüllen.

Da die Oberflächen wachsen wie q²/n³, und der Druck wie n² r, so wächst der Gesammtdruck auf entsprechende Flächen wie g² r. Der Gesammtdruck multiplicirt mit der Geschwindigkeit der Fläche, die auf das n fache gesteigert ist, gibt das Verhältniß der Arbeit, die in gleicher Zeit aufgewendet werden muß, um den veränderten Apparat zu bewegen, dieses ist q²nr.

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Monatsberichte der königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, vom 23. April 1868.

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Man s. auch: Kirchhoff, zur Theorie seiner Flüssigkeitsstrahlen, in Borchardt's Journal für Mathematik, Bd. LXX.

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