Titel: MacCord, über Herzräder.
Autor: MacCord., C. W.
Fundstelle: 1876, Band 220 (S. 303–309)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj220/ar220082

 Ueber Herzräder; von Prof. C. W. MacCord.

Mit Abbildungen auf Taf. VI.

Herzräder (unrunde Räder, Spiralräder, englisch lobed wheels) werden in manchen Fällen angewendet, wenn die gleichförmige Umdrehungsbewegung einer Welle so auf eine andere übertragen werden soll, daß die zweite Welle während eines Theiles ihrer Umdrehung sich |304| schneller bewegen soll als während eines andern. Von solchen Rädern, deren Außenform durch bekanntere krumme Linien begrenzt wird, wären zu erwähnen elliptische Räder oder excentrische kreisrunde Räder, welche mit ovalen zusammengreifen, wie man sie bekanntlich im Werkzeugmaschinenbau öfters anwendet, um durch die so erlangte ungleichförmige Bewegung einer Welle die von derselben hervorgebrachte, an sich sehr ungleichförmige Kurbelstangenenden-Bewegung in eine nahezu gleichförmige zu verwandeln.

Zwei gleiche Ellipsen kann man als zu einander passende Räderformen benützen, wenn man jede Ellipse um einen ihrer Brennpunkte dreht, und man erhält dann, wenn eine Welle mit ihrem elliptischen Rade sich gleichförmig einmal umdreht, für die andere auch eine einzige Umdrehung, aber eine Umdrehungsgeschwindigkeit, die nach einem bestimmten Gesetz aus einer Maximalgeschwindigkeit in eine Minimal- und aus dieser wieder in die Maximalgeschwindigkeit übergeht. Will man mehr als einen solchen Wechsel während einer Umdrehung erzielen, so kann man dies durch Herzräder erreichen, welche aus der Ellipsenform abgeleitet sind. Man ziehe in jeder Ellipse vom Brennpunkte aus radiale Strahlen und verkleinere die von denselben eingeschlossenen Winkel in einem bestimmten Verhältniß, auf die Schenkel der so reducirten Winkel trage man aber die ursprünglichen Radienlängen auf, so erhält man zwei neue Curven, die eben so auf einander rollen wie die ursprünglichen Ellipsen. Es läßt sich dieses Verfahren der Reduction oder Contraction einer solchen Ellipse auch auf andere gegenseitig auf einander rollende Curven anwenden, und wenn man ein Paar reguläre Ellipsen als Einblatträder (unilobed) bezeichnet, so erhält man bei einer Reduction der Winkel auf die Hälfte Zweiblatträder (twolobed wheels), bei denen die Abwechslung von Maximal- und Minimalgeschwindigkeit zwei Mal erlangt wird. Eben so lassen sich Dreiblatt- oder überhaupt Vielblatträder aus der ursprünglichen Einblattform entwickeln; aber wenn man die Ellipse als Grundform benützt, so kann man immer nur ein Paar Einblatträder oder ein Paar Zweiblatträder zusammen arbeiten lassen, während es vielleicht wünschenswerth ist, ein Einblattrad mit einem Zweiblatt- oder mit einem Dreiblattrad zusammen arbeiten zu lassen, weil die getriebene Welle blos halb oder ein Drittel so schnell laufen soll; eben so kann es erforderlich sein, ein Zweiblattrad mit einem Dreiblattrad zusammengreifen zu lassen. Diese Aufgabe läßt sich aber leicht lösen, wenn man als Curve für die Radform eine logarithmische Spirale wählt, bei welcher an jedem Punkte der Curve das Curvenstück oder die Tangente stets den gleichen Winkel mit dem Radius einschließt. |305| Ist nun auch die Construction solcher Spiralräder nach der logarithmischen Linie eine längst bekannte Sache, so ist doch eine mehr elementare und graphische Ableitung des einzuschlagenden Verfahrens vielleicht Manchem willkommen, dem die Rechnung mit Logarithmen nicht recht geläufig ist; wir geben dazu das Nachstehende unter Zugrundelegung einer von Prof. C. W. MacCord im American Artizan und daraus in der Deutschen Industriezeitung, 1876 S. 73 veröffentlichten Arbeit.

Um die Eigenschaften der logarithmischen Curve etwas zu zeigen, gehe folgende Betrachtung voraus. Es seien (Fig. 39) RM und LD zwei Parallelen, LM eine beide Linien schneidende Gerade; CD, NO, RF, JH seien andere Parallelen, senkrecht zu RM, deren Schnittpunkte mit LM auf F, E, P, und H fallen. Um den Punkt P werde mit PE als Radius ein Kreisbogen beschrieben und aus C mit einem Radius CA = NE ein zweiter, welcher den ersten in A schneidet. Dreht man das Dreieck ACP so, daß A auf E fällt, so fällt C auf N. Sucht man einen weitern Punkt G so auf, daß man AG = EF, GC = RF macht, und diesseits CP den Punkt K dadurch, daß PK = PH, CK = JH gemacht wird, so kann das entstandene Polygonstück KPAG sich auf die geraden Linien HF abwälzen, und dabei durchläuft der Punkt C nach und nach die Punkte von J bis R. Hätte man die einzelnen Punkte ganz nahe zusammen genommen und KP, PA und AG nicht als Sehne, sondern als Bogenlänge aufgetragen, so würde die gebrochene Linie von K bis G eine Curve geben, welche im Punkt P von LM tangirt wird, oder wenn die Wälzung so erfolgt, daß C nach N kommt, wäre LM die Tangente für den Punkt A. Aus dem Parallelismus von CP und NE folgt aber die Gleichheit der Winkel NEP und CPM, und es wird also für jeden Strahl, den man von C aus nach einem Curvenpunkt zieht, die Tangente an das Strahlende immer den gleichen Winkel einschließen; demnach ist die Curve eine logarithmische Spirale und C als deren Pol zu bezeichnen. Rollt die Curve auf LM hin, so bleibt der Pol immer auf der Linie RM, und dabei macht jeder Radius alle Mal mit der Normale zur Berührungsstelle denselben Winkel, den RM und ML einschließen. Wird dieselbe Construction auf der andern Seite der Tangente ausgeführt, indem man PB = PE, DB = OE, PI = PH, DI = VH macht u. s. w., so erhält man eine andere Curve, deren Pol D ist, welche ebenfalls auf der Tangente LM sich abrollt und demzufolge mit der vorigen Curve derart zusammen arbeiten kann, daß, wenn beide Curven sich um die festen Punkte C und D drehen, sie sich auf einander abwälzen, so daß I mit H, E mit A etc. in Berührung kommt. Uebrigens ist noch zu beachten, daß, wenn man mit BD als Radius den Punkt S |306| abscheidet und SE zieht, SE senkrecht zu DC wird. PS ist aber die Differenz der Radien DB und PD, PE die abgewickelte Bogenlänge; demnach erhält man letztere für ein durch zwei Radien bestimmtes Stück Curve, wenn man vom Ende des einen Radius die Radiendifferenz abträgt und in dem so bestimmten Punkte eine Senkrechte errichtet; diese schneidet alsdann auf der Tangente die abgewickelte Bogenlänge ab.

Die Verzeichnung der logarithmischen Spirale für einen gegebenen Radienwinkel AOB (Fig. 40) kann nun auf verschiedene Weise erfolgen; z. B. man theilt den Winkel AOB durch Radien in gleiche Theile, zieht zunächst eine geneigte Linie AC und macht dann die Dreiecke CDO, DEO und EFO alle ähnlich ACO; die durch die Punkte A, C, D, E, F zu verziehende Curve ist dann eine logarithmische Spirale, weil sie mit allen Radien denselben Winkel einschließt. Man erreicht dasselbe, wenn man (Fig. 41) an AO eine beliebig geneigte Linie OG anlegt, zunächst AG senkrecht OG, GI senkrecht AO, IH senkrecht OG und HK wieder senkrecht zu AO zieht und dann die Radien OC, OD, OE, OF durch Kreisbogen vom Halbmesser OG, OI, OH, OK begrenzt. Es handelt sich immer nur darum, ähnliche Dreiecke zu construiren, und da sich AL : LI = LI : IM = IM : MK verhält, so reducirt sich die Aufgabe dahin, eine gegebene Strecke AK, d. h. die Radiendifferenz OAOF nach geometrischem Verhältniß abzutheilen.

Wenn nun Räder construirt werden sollen, so ist meist das Verhältniß der Winkelgeschwindigkeit des treibenden Rades gegen die des getriebenen gegeben, und diese verhalten sich umgekehrt wie die Radien; es würde z. B. (Fig. 39) v/v′ = PD/CP; v/v″ = DB/AC sein. Außerdem kennt man den Winkel, um welchen sich jedes Rad drehen soll, während in dem getriebenen Rade die Maximalgeschwindigkeit in die Minimalgeschwindigkeit übergeht. Man hätte alsdann nach Feststellung der Radien, welche in jedem Rade die gleiche Differenz haben müssen, nur den Winkel AOF (Fig. 42) für das betreffende Rad aufzuzeichnen, AO und OF die richtigen Werthe zu geben und KA = OA - OF nach geometrischem Verhältniß abzutheilen, was man am bequemsten so macht, daß man erst auf einer beliebigen Linie QR eine Strecke SR, wie früher angegeben abtheilt, diese Eintheilung durch Parallelen zu AR auf den Radius AO überträgt und die Spirale dann wie angegeben verzeichnet.

Es sei nun (Fig. 43) eine Wellenentfernung CD gegeben; es sollen beide Wellen sich um gleiche Winkel drehen, aber das Uebersetzungsverhältniß für die größte Winkelgeschwindigkeit der getriebenen Welle |307| AD/AC und für die kleinste die Reciproke AC/AD sein, so ist CD nach Verhältniß AD : AC abzutheilen, DH = AC zu machen und für die Winkel MDA = ECH, sowie für die Radiendifferenz AH die logarithmische Spirale aufzuzeichnen. Errichtet man in H eine Senkrechte HL zu DC und schneidet von A aus mit AC gleich der ausgestreckt gedachten Bogenlänge AE = AB den Punkt L ab, so gibt GLAP die Lage der Tangente.

Als specielle Fälle seien hierbei (Fig. 44) einfache Herzräder anzuführen, für welche der Winkel MDC = 180° ausfiele und die Spirale symmetrisch zu beiden Seiten von AE aufzuzeichnen wäre.

Wird der Winkel MDC = 90° genommen (Fig. 45), so lassen sich Zweiblatträder durch vierfache Aneinanderreihung von auf- und absteigenden Spiralen zusammensetzen. Für Dreiblatträder mit dreimaliger Abwechslung der Geschwindigkeiten für einen Umgang (Fig. 46) hätte Winkel MDC 60° zu betragen. Soll aber die treibende Welle blos einen Umgang machen, während die getriebene deren zwei macht (Fig. 47), so ist zunächst für einen Winkel von 180° und eine Radiendifferenz ein Herzrad zu construiren und kann dessen Spirale gleich weiter fortgesetzt aufgezeichnet werden. Das getriebene Rad wird dann ein Zweiblattrad, für welches der Winkel der Radien BD und DO blos 90° beträgt und die Radiendifferenz BD - DO = AC - BC = FG sein muß. BD und DO sind aber erst zu bestimmen, und zwar werden beide in demselben Verhältniß größer als AC und BC ausfallen, als die Radiendifferenz FG größer als der Werth EG ist; es müßte also BD : AC = FG : GE oder BD = AC . FG/GE sein und DO = BD - FG. Man könnte aber auch an C einen rechten Winkel LCK anlegen und so lange in der Spirale sich drehen lassen, bis die Differenz der Schenkel LC - KC = AC - BC ausfällt, dann wäre DB = LC und DO = KC zu nehmen.

Es lassen sich beide Radien aber noch auf andere Weise ermitteln; setzt man LC = x und KC = y, sowie der Kürze halber AC = a und BC = b so würde EC = √a b nach der frühern Entwicklung sein. Nun soll x - y = a - b, also y = x - a + b sein, und es muß x : y = a : √a b sich verhalten oder x : (x - a + b) = a : √a b, woraus

xa b = ax + a2 + ab

x(√a b - a) = ab - a2

Textabbildung Bd. 220, S. 307

und y = b + √a b = BC + EC.

|308|

Also sind die gesuchten Radien BD und DO einfach aufzufinden, indem man den Radius CE an AC und CB ansetzt, und läßt sich dann das Zweiblattrad leicht vollenden. Wollte man das construirte Herzrad mit einem Dreiblattrad zusammenarbeiten lassen, so daß die getriebene Welle blos ein Drittel so viel Umgänge machte als die treibende, oder sollte das Zweiblattrad mit einem Dreiblattrad zusammengreifen und letzteres dann blos zwei Drittel so viel Umgänge machen als das Zweiblattrad, so würde man wieder von dem Herzrade ausgehen, an AC den Winkel ACP = 60° anlegen und, mit CP einen Kreisbogen beschreibend, die Differenz SG bestimmen. Dann würde der große Radius des Dreiblattrades TU sich wieder bestimmen lassen ähnlich wie früher: TU = AC. GF/SG, und der kleinere: UV = TU - FG oder = CP. FG/SG . Oder man hätte an C einen Winkel NCM von 60° anzulegen, dessen Schenkel wieder um FG verschieden lang sind.

Es ist nun leicht zu übersehen, in welcher Weise man das Verfahren fortsetzen könnte. Dabei ist noch zu erwähnen, daß, wenn man das Herzrad verzahnen will, man blos nöthig hätte, die Strecke FG in so viel gleiche Theile zu theilen, als man auf jeder Spirale Zähne anzubringen beabsichtigt; die durch die Theilpunkte beschriebenen concentrischen Kreisbogen schneiden dann auf der Spirale gleiche Bogenlängen ab. Es läßt sich der Beweis für die Richtigkeit dieses Verfahrens leicht aus Figur 39 ersehen, denn die Theile EH und HI der Tangente am Punkt E (Fig. 47), die durch die Senkrechten HF und GI abgeschnitten werden, sind die Bogenlängen EB und EA, also die Abtheilungen der Curve proportional denen der Tangente und diese wegen des Parallelismus von FH und IG proportional denen von FG.

In Einblatt- oder Herzrädern läßt sich auch die Ellipse mit der Spirale combiniren; es läßt sich z. B. ohne Weiteres einsehen, daß die eine Hälfte des Rades (Fig. 48) nach einer aufsteigenden Spirale, die andere nach einer Halbellipse geformt werden kann. Die Grenzumsetzungsverhältnisse sind dann dieselben, aber die Uebergänge aus einer Geschwindigkeit in die andere erfolgen für die beiden halben Umdrehungen nach verschiedenen Gesetzen.

Es lassen sich überhaupt die mannigfaltigsten Formen von Rädern combiniren, derart, daß in einzelnen Sectoren Spiralen zusammenarbeiten, in andern aber Ellipsen, entweder volle oder nach gewissen Winkelverhältnissen contrahirte. Dabei wird freilich immer das Minimalumsetzungsverhältniß die Reciproke des Maximalumsetzungsverhältnisses sein, und es kann in besondern Fällen wünschenswerth sein, daß dies nicht der |309| Fall ist. Zwei zusammengehörige Herzräder lassen sich nun auch in folgender Weise ausführen (Fig. 49). Es sei C der Pol einer Spirale, welche mit einer andern, deren Pol sich in D befindet, zusammenrollt. Beschreibt man mit DM = CM Kreisbogen, so schneiden diese die Spiralen in den Punkten E und F, und es sind die Bogenlängen AE, GF, BE und AF alle gleich. Da CE gleich und parallel DF ist, so sind dies auch EF und CD. Errichtet man im Halbirungspunkte K eine Senkrechte, so ist LE = LF; CE = EK und PE senkrecht auf EF gibt in P den Mittelpunkt einer Ellipse, für welche PL die große, PE die kleine Halbachse und C der Brennpunkt ist. Da PL = EK = ½EF = ½CD, so kann D der Brennpunkt einer gleichen Ellipse werden, welche die erste in L berührt und mit ihr rollt. Für die ursprünglichen Spiralbogen EA und AF kann man also Ellipsenquadranten LE und EF substituiren, so daß nach einer halben Umdrehung auf den Eingriff der Spirale derjenige der Ellipse folgt. Bei jeder Umdrehung findet daher das Maximalumsetzungsverhältniß BC : DG und das Minimalumsetzungsverhältniß CL : CD statt. Da der Spiralbogen EB = EA ist, so folgt aus der Natur dieser Linie, daß die Sehne EB größer als Sehne EA, also auch BP größer als PA und CL größer als CA ist. Die Größe der Verschiedenheit hängt allerdings vom Verhältniß BC zu CA ab, also von der Maximalübersetzung, und es ist nicht gut möglich, die Grenze der Veränderung ohne Weiteres vorauszusehen.

EF ist wohl Tangente der Ellipse, aber nicht für die Spirale; also werden die beiden zusammenstoßenden Curven nicht ohne eine kleine Brechung in einander übergehen, was aber nichts schaden wird, wenn die Räder verzahnt werden.

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