Titel: Schmidt, über Amsler's Planimeter.
Autor: Schmidt, Gustav
Fundstelle: 1876, Band 221 (S. 87–89)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj221/ar221029

Theorie des Amsler'schen Planimeters; von Prof. Gustav Schmidt in Prag.

Mit einer Abbildung.

Sei OA = AM = R* die Länge der beiden Schenkel des Instrumentes, AB = E die Entfernung der Rolle B vom Drehungspunkte A, und r der Halbmesser der Rolle; φ und ρ seien die Polarcoordinaten des variablen Punktes M,

AOM = λ, also ρ = 2 R cos λ.

OAM = α = π – 2λ.

ist als äußerer Winkel im Dreieck OAC auch = β + γ, und β = φλ, also π – 2λ = φλ + γ, somit

γ = π – λ – φ.

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Die Coordinaten des Punktes A sind:

x₁ = R cos β, y₁ = R sin β,

jene des Punktes B:

x = R cos βE cos γ,

y = R sin β + E sin γ,

Textabbildung Bd. 221, S. 88

Aendert sich φ um und zugleich ρ um , so wird

dx = – R sin β dβ + E sin γ dγ

dy = R cos β dβ + E cos γ dγ

ds = √(dx² + dy²) = bildet gegen OH den Winkel ψ, welcher bestimmt ist durch cos ψ = dx/ds, sin ψ = dy/ds. Gegen die Linie AM ist ds geneigt um ε = π – γψ, also legt die Rolle den Weg BD gleitend, und DB' rollend zurück.

Ist also dw der elementare Drehungswinkel der Rolle vom Radius r, so ist

rdw = = ds sin ε = ds sin (γ + ψ)

= ds sin γ cos ψ + ds cos γ sin ψ

rdw = dx sin γ + dy cos γ = R cos (β + γ) dβ + Edγ.

Aber β + γ = π – 2λ, β = φ – λ, γ = π – λ – φ, also

rdw = – R cos 2 λ (dφ – dλ) – E (dφ + dλ)

= R cos 2 λdλR dφ (2 cos ²λ – 1) – E (dφ + dλ).

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Beachtet man, daß R cos λ = ρ/2, R² cos ²λ = ρ²/4 ist, so folgt:

Rrdw = 1/2 R² cos2λ . d . 2λ – 1/2 ρ²dφ + R²dφ – ERdφ – ERdλ.

Da nun 1/2 ρ² = dF das Flächenelement OMM' bedeutet, welches von zwei nächsten Fahrstrahlen und der Contur MM' eingeschlossen ist, so folgt durch Integration:

Rr = (w₂ – w₁) = 1/2 R₂ (sin 2λ₂ – sin 2λ₁) – F + R (RE) (φ₂ – φ₁) – ER (λ₂ – λ₁).

Folgt der Punkt M der Contur einer geschlossenen Fläche in ihrem ganzen Umfange, so ist

φ₂ = φ₁, wenn Punkt O außerhalb F liegt, und

φ₂ = φ₁ + 2π, wenn Punkt O innerhalb der Fläche F liegt.

Im ersten Falle ist:

Rr (w₂ – w₁) = – F,

im zweiten:

Rr (w₂ – w₁) = – F + 2πR (R – E).

Ist n die Anzahl Umdrehungen der Rolle, so ist w₂ – w₁ = 2πn, also im ersten Falle:

2 πnRr = – F,

im zweiten Falle:

2 πnRr = – F + 2 πR (RE)

F = 2πR (REnr).

Ist F ein Kreis vom Radius A, so ist

πA² = 2πR (REnr)

A² = 2R (REnr) und

2nrR = 2R (RE) – A²,

übereinstimmend mit der Gleichung S. 16 in G. A. Hirn: Théorie du planimètre Amsler (Paris 1875), aus deren empfehlenswerthem Studium der vorliegende Aufsatz entstanden ist.

Ist A größer als √(2R(RE)) so ist n negativ, desgleichen wenn Punkt O außerhalb der Fläche F liegt. (Zeitschrift des österr. Ingenieur- und Architektenvereins, 1875 S. 357.)

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Nur für die sogen. Zirkelplanimeter geltend.

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