Titel: Hermann, über die Zahnflächen und ihre automatische Erzeugung.
Autor: Hermann, Gustav
Fundstelle: 1877, Band 225 (S. 396–399)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj225/ar225125

Die Zahnflächen und ihre automatische Erzeugung. Eine kinematisch-technologische Stucke von Prof. Gustav Hermann in Aachen.

Von der Anschauung ausgehend, daß die Bestimmung der richtigen Zahnbegrenzungen bei Zahnrädern ihrem innersten Wesen nach eine Aufgabe der Kinematik sei, sofern die letztere sich mit der Ursache der gegenseitigen Abhängigkeit |397| der Ortsveränderungen in der Maschine beschäftigt, diese Ursache aber bei den Zahnrädern in der Zahnform besteht, hat Prof. Gustav Hermann in Aachen die Frage der richtigen Formgebung für Räderzähne geprüft und die Ergebnisse dieser Prüfung als Abhandlung unter oben genanntem Titel in den Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbfleißes, 1877 S. 61 bis 110 (mit 6 Tafeln Abbildungen) veröffentlicht. Indem wir hiermit auf diese werthvolle Arbeit verweisen, welche sich durch umfassende, klare und streng wissenschaftliche Behandlung des Stoffes auszeichnet und mit correct ausgeführten Zeichnungen der auf Grund der Ergebnisse dieser Untersuchung construirten Apparate zur automatischen Herstellung der richtigen Zahnformen für Stirnräder mit Cycloïdenzähnen, für Stirnräder mit Evolventenzähnen, für conische und hyperboloidische Räder mit Cycloïdenzähnen, für conische Räder mit Evolventenzähnen und endlich für Schraubenräder ausgestattet ist, wollen wir im Folgenden den Inhalt derselben nur kurz in flüchtigen Umrissen skizziren.

In den ersten 9 Paragraphen werden des Zusammenhanges wegen die Grundgesetze der elementaren Bewegungen: Verschiebungen, Drehbewegungen und Schraubenbewegungen vorgeführt und mit Hilfe derselben die Momentanachsen und Momentanachsenflächen (Axoide) für den in der Praxis am häufigsten vorkommenden Fall der Anwendung von Rädern ermittelt, welche zwei Achsen in der Art mit einander verbinden sollen, daß eine gleichmäßige Umdrehung der einen treibenden Achse eine ebenfalls gleichmäßige Bewegung der andern getriebenen Achse zur Folge haben soll, wobei neben der gegenseitigen Lage der Achsen zu einander im Raume das constante Verhältniß der Winkelbewegungen, d.h. der Umdrehungszahlen in bestimmter Zeit gegeben ist. Da die Momentanachsenflächen den beiden Frictionsrädern entsprechen, welche man zur Hervorbringung des verlangten Bewegungszustandes der Achsen auf diesen anordnen muß, oder bei Stirnrädern den sogen. Theilkreiscylindern, d.h. denjenigen berührenden Cylinderflächen, auf welchen allein die Umfangsgeschwindigkeiten von gleicher Größe sind, so werden diese hier schlechtweg mit dem Namen der Radflächen bezeichnet. Hierbei werden nach einander parallele Achsen, sich schneidende Achsen und endlich windschiefe Achsen in Betracht gezogen und hierfür die Radflächen bestimmt, welche bei parallelen Achsen zwei sich je nach dem Drehungssinne außen oder innen berührende Cylinderflächen, bei sich schneidenden Achsen zwei Kegelmäntel mit Kegelrollung des einen Kegels auf oder in dem andern, mit dem speciellen Falle des Planrades, und endlich bei windschiefen Achsen zwei einschalige Umdrehungshyperboloide ergeben, deren mathematische Beziehungen ebenfalls in höchst einfacher, eleganter Weise auf kinematischem Wege zu Stande kommen. Bei den windschiefen Achsen werden noch specielle Eigenschaften der Radflächen hervorgehoben, so die, daß dasselbe Axoidenpaar ebenso wohl für den Vorwärtsgang seine Geltung hat, wie für den Rückwärtsgang der Achsen, daß man bei derselben Achsenlage und demselben Uebersetzungsverhältnisse für die beiden Fälle, da die Momentanachse in die beiden Nebenwinkel fällt, auch zwei Paare von Hyperboloiden als Radflächen erhält, von denen jedes einzelne Paar sowohl für den Vorwärtsgang wie für den Rückwärtsgang giltig ist, daß endlich bei rechtwinkligen Achsen die zugehörigen Axoidenpaare in ein einziges Paar zusammen fallen. Im Allgemeinen berühren sich wieder die Hyperboloide von außen oder von innen, je nachdem die beiden Drehungsachsen auf entgegengesetzten Seiten oder auf derselben Seite der Momentanachse liegen; zwischen diesen beiden Fällen liegt wieder als Grenzfall ähnlich wie bei den conischen Rädern derjenige, bei welchem der eine Achsenwinkel aus einem spitzen in einen stumpfen durch 90° |398| übergeht; hierbei schrumpft das eine Axoid auf eine Gerade, nämlich die Momentanachse zusammen. Die Verkörperung dieses Falles in der Praxis führt zu einer Zahnstange, in welche ein Getriebe mit geneigt gegen seine Achse gestellten Zähnen eingreift, während die Zähne der Zahnstange normal zu deren Länge stehen. Es wird bei Betrachtung dieses speciellen Falles noch hervorgehoben, daß diese Zahnstange für die Verzahnung der Hyperboloidenräder eine ähnliche Rolle spielt wie die gewöhnliche Zahnstange bei den cylindrischen und das Planrad bei den conischen Rädern. Nach Aufstellung der Gleichung für die Drehachsenfläche, d. i. für diejenige Fläche, welche die Achsen aller derjenigen Hyperboloide oder Radflächen in sich enthält, die überhaupt mit einem zu Grunde gelegten bestimmten Hyperboloide in richtigem Eingriffe stehen können, wird aus derselben erwiesen, daß sich Achsen für eine Schar von Hyperboloiden finden lassen, welche sämmtlich mit dem zu Grunde gelegten Hyperboloide in richtigem Eingriffe stehen, d.h. zu diesem letztern richtige Radflächen bilden, und daß ferner die Drehachsenfläche gleichzeitig die Eigenschaft besitzt, der geometrische Ort zu sein für die Normalen aller Hyperboloide der betrachteten Schar, welche in Punkten der gemeinsamen Berührungslinie oder der Momentanachse errichtet wurden. Hierauf wird endlich der wichtige Lehrsatz vom dritten Axoid in seiner Allgemeinheit ausgesprochen, dahin lautend: Irgend zwei Radflächen, welche mit einer dritten im richtigen Eingriffe, entsprechend den Umsetzungsverhältnissen n₁ = ω₁/ωund n₂ = ω₂/ωstehen, sind auch richtige Radflächen zu einander für das Umsetzungsverhältniß n₁/n₂ = ω₁/ω₃. Die drei Radflächen können sich in einer und derselben Momentanachse berühren. Dieser Lehrsatz bildet, wie in der Abhandlung weiter ausführlich erwiesen wird, die Grundlage aller Verzahnungsmethoden, und wird daraus das allgemeine Bildungsgesetz der Zahnflächen in §. 10 abgeleitet, wobei die Untersuchung, welche in den genannten 9 ersten Paragraphen, insofern es sich um die Darstellung von Frictionsrädern handelt, als geschlossen zu betrachten ist, nach denselben Grundsätzen noch weiter geführt wird, soweit auch die Begrenzungsflächen der Zähne derartig zu bestimmen sind, daß sie den Achsen in jedem Augenblicke die ihrem geforderten Bewegungszustande entsprechende Momentanbewegung unter Ausschluß jeder andern gestatten. Dieses allgemein giltige Bildungsgesetz der Zahnflächen lautet: Man erhält für irgend zwei Radflächen mit beliebigem Umsetzungsverhältnisse richtige Zahnbegrenzungen in denjenigen beiden Flächen, welche eine beliebige gerade oder krumme Linie relativ gegen diese Achsen erzeugen, sobald diese Linie mit einer dritten Radfläche fest verbunden ist, welche den beiden ersten zugehört und durch deren Drehung jene beiden bewegt werden.

In den weiteren Paragraphen 11 bis 27, mit welch letzterm die Abhandlung schließt, wird nun dieses Gesetz auf die verschiedenen Verzahnungen der Stirnräder, conischen und hyperboloidischen Räder und endlich der Räder mit schrägen Zähnen angewendet. Hiernach bietet die Verzahnung der conischen und hyperboloidischen Räder für windschiefe Achsen ebenso wenig Schwierigkeiten dar wie die der cylindrischen Räder paralleler Achsen; ebenso ergaben sich die Regeln für die schrägen und schraubenförmigen Räder sehr einfach. Außerdem bewies sich hierbei die erwähnte Betrachtungsweise noch in der Art als höchst fruchtbar, daß dieselbe ohne weiters die mechanischen Mittel an die Hand gab, welche eine einfache |399| automatische Herstellung der genauen Zahnformen ermöglichen. Diese einfachen, jedoch sehr sinnreichen Vorrichtungen, durch deren Anwendung jede gewöhnliche Shapingmaschine zur selbstthätigen Erzeugung genau richtiger Zähne für die verschiedenen Arten von Rädern befähigt wird, deren eine noch speciell zur Anbringung an einer Nuthstoßmaschine construirt ist, sind dann gleichzeitig behandelt und faßlich beschrieben. Es würde zu weit führen, hier näher darauf einzugehen. Wir verweisen diesbezüglich auf die citirte Quelle selbst und führen hier nur noch einen Punkt des §. 27 an, welcher die schrägen Zähne betrifft. Man wendet dieselben hauptsächlich wegen des gleichmäßigen Ganges bei exacten Maschinen an, und es ergibt sich aus der Darstellung der Abhandlung auch sogleich der Grund dieses gleichmäßigen Ganges. Die Erzeugungslinie, welche als Berührungslinie zweier Zähne auftritt, schneidet nämlich bei schrägen Zähnen sowohl bei cylindrischen Profilen wie auch bei Evolventenformen die Momentanachse in jeder Stellung. Zwei schräge Zähne werden daher sich stets in einem Punkte der Momentanachse berühren, woraus eine sehr gleichmäßige Bewegung ähnlich wie bei Frictionsrädern folgt. Hiermit verbindet man nun häufig die Meinung, daß dann die Reibung zwischen den Zähnen vermieden werde, und grade aus diesem Grunde hegte man von den schrägen Zähnen bei dem ersten Bekanntwerden derselben große Erwartungen, welche die Erfahrung aber nicht verwirklichte. Es ist ein Irrthum, wenn man glaubt, die Reibung sei nicht vorhanden, sobald die Zähne sich in der Momentanachse berühren; sondern sie tritt nur dann nicht auf, wenn sich die Zähne nur in der Momentanachse berühren, wenn also alle Berührungspunkte in die Momentanachse fallen, wie dies in der That bei den geraden Zähnen der Stirnräder und conischen Räder in demjenigen Augenblicke der Fall ist, wo die gerade Berührungslinie durch die Momentanachse hindurch geht. In jeder andern Stellung, wo die Berührung der Zähne außerhalb der Momentanachse stattfindet, tritt auch Reibung ein zwischen den Zähnen.

J. P.

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