Titel: Grove, über die Einsenkung ruhender Treibseile.
Autor: Grove,
Fundstelle: 1877, Band 225 (S. 409–413)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj225/ar225126

Ueber die Einsenkung ruhender Treibseile; nach Professor Grove in Hannover.

Mit einer Abbildung.

Die bei einem Drahtseiltrieb auftretenden Spannungen sind von der Einsenkung des Seiles im Ruhezustande abhängig. Damit diese Spannungen der zu übertragenden Umfangskraft gegenüber weder zu klein noch zu groß ausfallen (ein Fehler nach der einen oder andern Richtung hätte ein Schleifen oder eine Ueberspannung des Seiles, jedenfalls also seine rasche Zerstörung zur Folge), muß das Seil mit der entsprechenden Einsenkung auf die Scheiben aufgelegt werden; die Kenntniß der Einsenkungsgröße des ruhenden Seiles ist somit von hoher praktischer Bedeutung.

Bisher ging man bei Bestimmung derselben von dem Poncelet'schen Satz aus, daß die Spannung im Ruhezustande das arithmetische Mittel aus den Arbeitsspannungen ist. Professor Grove macht nun in den Mittheilungen des Gewerbevereines für Hannover, 1876 S. 202 darauf aufmerksam, daß der Poncelet'sche Satz nur dann Geltung hätte, wenn das Seil geradlinig, also ohne Einsenkung zwischen den Scheiben, laufen würde, der Einfluß seines Eigengewichtes auf die Anspannung somit vernachlässigt werden könnte. Da dies aber in Wirklichkeit nicht der Fall ist, die Spannungen in dem lose auf die Scheiben gelegten Seil vielmehr lediglich eine Folge der durch sein Eigengewicht hervorgebrachten Einsenkung sind, ist die gebräuchliche Voraussetzung unzulässig. Der Verfasser bestimmt die wirkliche Spannung und die Pfeilhöhe der Seilcurve für den Ruhezustand unter der ganz gerechtfertigten Voraussetzung, daß die Spannung an jeder Stelle der Seilcurve und das Gewicht jedes laufenden Meter eines Seiles zwischen zwei Scheiben constant seien, und unter Hinweis auf die Thatsache, daß man auf dieselbe Länge desselben spannungslosen Seiles kommen muß, wenn man sich einmal das arbeitende Seil, welches im führenden und geführten Theil verschiedene Spannungen hat, von den Scheiben abgenommen denkt, oder wenn man das andere |410| Mal das ruhende Seil mit gleichen Spannungen in den beiden Seilstücken vornimmt.

Textabbildung Bd. 225, S. 410

Bezeichnet in vorstehendem Holzschnitt:

2 a die Achsenentfernung eines horizontalen Seiltriebes in Meter,

f die Einsenkung eines Seilstückes in Meter,

S die Spannung auf 1qc Drahtquerschnitt in Kilogramm,

T die Gesammtspannung im Seilstück in Kilogramm,

P die zu übertragende Umfangskraft der Scheiben,

q das Seilgewicht pro Meter in Kilogramm,

E den Elasticitätsmodul des Seiles in Kilogramm auf 1qc,

i die Anzahl der Drähte des Seiles,

δ der Drahtdurchmesser in Centimeter,

und beziehen wir die Größen f, S und T durch Beifügung der Indices 0, 1 und 2 der Reihe nach auf das ruhende, führende und geführte Seil, so läßt sich zunächst die durch das Auflegen des Seiles mit der Pfeilhöhe f entstehende Spannung ausdrücken durch

T = (q a²)/2f = Si (δ²π)/4, (1)

wobei zur Verhütung des Seilgleitens auf den Scheiben fast genau

T₁ = 2 P, T₂ = P (2)

sein muß. Nach aus gefühlten Seilen kann q = 0,7 i δ², somit

S = 0,446 a²/f (3)

gesetzt werden. Da aus (1) folgt, das Sf constant ist, so ergibt sich S₀f₀ = S₁f₁ = S₂f₂, und

f₁ = (S₂/S₁) f₂ = (1/2) f₂
f₀ = (S₁/S₀) f₁ = (S₂/S₀) f₂
(4)

Die Seillänge s zwischen zwei Aufhängepunkten ist nach der bekannten Rectificationsformel für flache Bögen hinreichend genau

s = 2a [1 + 2/3 (f/a)²] (5)

|411|

Die Verlängerung λ, welche das durch sein Gewicht gespannte Seilstück über seine ursprüngliche Länge l erfährt, ist nach dem bekannten Elasticitätsgesetz λ = l (S/E), folglich die Gesammtlänge des gespannten Seilstückes l + λ = s = l (1 + S/E) und die Länge des spannungslosen Seilstückes

l = s/(1 + S/E) (6)

Der oben angeführte Grundsatz ergibt mithin nach (5) und (6) die Gleichung:

Textabbildung Bd. 225, S. 411

Da die verschiedenen Werthe S/E gegen 1 sehr kleine Größen sind, so darf überall 1/(1 + S/E) = 1 – S/E gesetzt werden; ebenso sind bei der Multiplication mit Rücksicht des gegen 1 geringen Werthes von (f/a)² dessen Producte mit S/E gegen die Größen selbst zu vernachlässigen, und man erhält

4/3 (f₀/a)² – 2 (S₀/E) = 2/3 (f₁² + f₂²)/a² – (S₁ + S₂)/E (7)

Werden in diese Gleichung die nach (3) gebildeten Werthe von S₀, S₁ und S₂ und aus (4) der Werth f₂ = 2 f₁ eingesetzt, so erhält man für die gesuchte Einsenkung des ruhenden Seiles die cubische Gleichung

f₀³ – (2,5 f₁² – 0,502 (a⁴/f₁E)) f₀ – 0,669 a⁴/E = 0 (8)

von der Form x₃ – AxB = 0. Sie kann deshalb nach der Cardanischen Formel

Textabbildung Bd. 225, S. 411

gelöst werden, wenn man A = 2,5 f₁² – 0,502 a⁴/fE und B = 0,669 a⁴/E setzt. Die Umständlichkeit dieser Rechnung empfiehlt jedoch zur Ermittlung |412| des genauen Werthes von f₀ die Anwendung der Newton'schen Näherungsmethode, für welche sich der nöthige Näherungswerth von f₀ leicht bestimmen läßt.

Nach dem Poncelet'schen Satz wäre 2 S₀ = S₁ + S₂. Wegen (2) ist S₁ = 2 S₂, somit wird

S₀ = 3/2 S₂ = 3/4 S₁ (10)

Die Einsetzung dieses Werthes in (4) gibt den Näherungswerth

f₀ = 4/3 f₁ = 2/3 f₂ (11)

Würde dagegen der Einfluß der Spannungen vernachlässigt und in (7) S₀/E = S₁/E = S₂/E = 0 gesetzt werden, so wäre f₀ = √(f₁² + f₂²)/2,1) oder mit Beziehung auf (4), wonach f₂ = 2 f₁, ist, einfacher

f₀ = √(5/2 f₁²) = 1,58 f₁ = 0,79 f₂ (12)

Diese Gleichung liefert bessere Werthe als (11); doch weichen dieselben von den genauen Werthen von f₀, um so mehr ab, je stärker das Seil gespannt ist, also namentlich dann, wenn man zur Verhütung großer Einsenkungen bei Kraftübertragungen auf große Entfernung dem Seil eine verschärfte Anspannung gibt. Meist sind (f/a) und S/E nahezu gleich groß, die Vernachlässigung des einen Werthes gegen den andern ist dann natürlich unzulässig. Der genaue Werth von f₀ liegt zwischen den Werthen (11) und (12), und man kann mit mehr Berechtigung

f₀ = 1,5 f₁ = 0,75 f₂ (13)

setzen. Bezeichnet man diesen Näherungswerth mit x und schreibt man in x³ – A xB = F(x) = 0 den genauen Werth x = x + , worin die Correction des Näherungswerthes bedeutet, so ist nach dem Taylor'schen Satze F(x + ) = F(x) + ∆ F'(x) + ²/(1 × 2) F''(x) + . = 0 und, wenn klein genug genommen wird, mit ausreichender Genauigkeit F(x) + ∆F'(x) = 0, woraus sich die Correction des Näherungswerthes = – F(x)/F'(x) findet. Die Einführung von in x = x + ergibt

x = x – (x³ – Ax – B)/(3x² – A) (14)

|413|

als genauem Werth von f₀. Zur Prüfung der erzielten Genauigkeit kann dieser Werth x wiederum als Näherungswerth x betrachtet und nach (14) abermals mit ihm gerechnet werden.

|412|

Vgl. Reuleaux: Der Constructeur, 3. Aufl. S. 383.

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