Titel: Thallmayer's Construction gewisser Spirallinien.
Autor: Thallmayer, V.
Fundstelle: 1877, Band 226 (S. 156–158)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj226/ar226043

Annäherungsweise Construction gewisser Spirallinien; von Prof. V. Thallmayer.

Mit Abbildungen auf Taf. V [c.d/1].

Die Curven, nach welchen die Schneidekante der Messer einiger Häckselschneidemaschinen, die Kanten der Mühlstein-Haufurchen geformt werden, gehören, wie bekannt, den Spirallinien an. Wenn auch schon für die Verzeichnung speciell der Hauschlagcurven in den Werken über Mahlmühlen verschiedene Methoden angeführt erscheinen, so erlaube ich mir dennoch hier eine einfache Verzeichnungsweise für derartige Curven mitzutheilen, da sie in vielen Fällen angewendet werden kann.

Soll die Form der Kante eines rotirenden Schneidewerkzeuges, welches Schnitt oder Zertheilung des Materials an einer feststehenden Kante zu vollführen hat, unter der Bedingung construirt werden, daß der Schnitt stets unter demselben Winkel, oder unter nach einem bestimmten |157| Gesetze sich ändernden Winkeln stattfinde, so verfahre man einfach, wie folgt: Man verzeichne sich die feststehende Schnittkante AB, die in Fig. 21, 23, 28 und 29 als Gerade, in Fig. 22 und 25 hingegen als Kreisbogen angenommen wurde, und ziehe vom Punkte A an in gleichen Entfernungen von einander concentrische Kreise aus dem Punkte O, um welchen die schneidende Kante rotirt. Diese Kreise schneiden die feststehende Kante in Punkten, die in den Figuren mit 1, 2, 3... bezeichnet erscheinen. An diese Punkte und die feststehende Kante verzeichne man die Schnitt- oder Kreuzungswinkel α, wodurch man an den Kreisen die Schnittpunkte s, s₁, s₂... erhält. Nun nehme man As als Anfangselement der Curve an und füge die Stücke 1 s₁, 2 s₂, 3 s₃... successive an As an.

Das Aneinanderfügen der einzelnen die Curve bildenden Elemente kann am Zeichenbrete, wie man leicht einsehen wird, sehr einfach mit Zuhilfenahme von Pauspapier geschehen; auf einem Brete aber, um etwa eine Schablone in Naturgröße anzufertigen, kann dasselbe, wie es auch in den Figuren ersichtlich gemacht ist, nicht minder einfach mit Hilfe zweier scharnierartig zusammengefügten Lineale erfolgen.

Dadurch, daß man die Entfernung der concentrischen Kreise von einander klein annimmt, und daß man etwa noch am Ursprunge der Curve bei A, wo sie eine schärfere Krümmung besitzt als wie am Außenende, die Kreise dichter an einander wählt, kann man eine praktischen Zwecken genügend entsprechende Genauigkeit erreichen.

Fig. 24 und 26 zeigen (abgebrochen) je ein Paar Mühlsteine mit 12 Feldern, wo Haupt- sowie Nebenfurchen denselben Zug haben, und zwar sind die Haufurchen des Bodensteines in Figur 24 Gerade, in Figur 26 hingegen Kreisbogen. Die Haufurchen des Läufers sind so construirt, daß die Kreuzungswinkel vom Läuferauge an gegen die Peripherie hin continuirlich von 90° auf 30° abnehmen und zwar in dem Maße, als die Entfernung der Punkte 1, 2, 3, 4... auf der Furche des Bodensteines vom Punkte A an zunehmen (Fig. 23 und 25). Die Kreuzungswinkel, die in einem und demselben Kreise liegen, sind hierbei natürlicherweise constant.

Die Gestalt der Schneide oder Zertheilungskante hängt, wie dies auch aus den Figuren ersichtlich, von der Lage des Drehungspunktes und von der Gestalt der feststehenden Kante ab; sie kann entweder Convexität oder Concavität oder beides vereint gegen die feststehende Kante kehren.

Dab im Vorstehenden besprochene, unmittelbar aus den gestellten Anforderungen entspringende, annäherungsweise richtige Constructionsverfahren führt übrigens auch |158| zur Bestimmung der Polargleichung dieser Curven. Nimmt man nämlich O als Ursprung des Coordinatensystemes und sind die Polarcoordinaten ρ und φ, ferner α der Kreuzungswinkel an irgend einer Stelle, γ der Winkel, den der Radiusvector mit der Tangente an die feststehende Schnittkante an jener Stelle einschließt, so ist (α + γ) der Winkel, den der Radiusvector mit der Tangente der zu verzeichnenden Curve an jener Stelle bildet. Aus der Analysis her ist die Richtigkeit der Gleichung = ρdφ cotg (α + γ) bekannt.

Drückt man nun γ als Function von ρ oder φ aus, so z.B. nach Figur 21 durch sin γ : sin ω = α : ρ, oder nach Figur 22 durch b² = r² + ρ² 2 cos (90 – γ), und ist das Gesetz, nach welchem α sich verändern soll, in Abhängigkeit zu φ oder ρ zu bringen, so kann durch Integration die Gleichung der Curve gefunden werden.

In dem einfachen, der Figur 21 entsprechenden Falle, wo α constant ist, erhält man nach Integration des Ausdruckes für und Bestimmung der Constanten als Polargleichung der Curve:

Textabbildung Bd. 226, S. 158

Für ω = 0 geht (1) in die Gleichung der logarithmischen Spirale über. Für α = 90° geht (1) über in die Gleichung

Textabbildung Bd. 226, S. 158

und die dieser Gleichung zukommende Curve Figur 27 kann bei der Construction von Hebedaumen verwendet werden, umsomehr deshalb, weil die Berührungsfläche zwischen Daumen und Ansatz des Stempels stets rechtwinklig auf die Hubrichtung bleibt.

Für α = 90° und gleichzeitig ω = 90° geht (1) in die Gleichung

Textabbildung Bd. 226, S. 158

der Polargleichung der gewöhnlichen Kreisevolvente über.

Das Anführen der Gleichungen von andern Annahmen entsprechenden Curven kann hier mit Anfügung der Bemerkung, daß sie cyclometrische und logarithmische Ausdrücke enthalten, umsomehr wegbleiben, als sie ihrer Complicirtheit wegen für den praktischen Gebrauch ohne Belang sind. Ist die feststehende Kante nach einem Kreisbogen geformt, der gleichzeitig auch durch den Drehungspunkt der schneidenden Kante geht, so bekommt man unter Annahme constanter Schneidewinkel als Gleichung der schneidenden Kante eine aus zwei Gliedern bestehende, der Gleichung 1 ähnliche Gleichung.

Ungarisch-Altenburg, Juli 1877.

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