Titel: Steiner's Taseometer.
Autor: Steiner, Friedrich
Fundstelle: 1877, Band 226 (S. 283–297)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj226/ar226073

Ueber das Taseometer und Versuche mit demselben; von Ingenieur Friedr. Steiner, Docent am Wiener Polytechnicum.

Mit Abbildungen im Text und auf Taf. VI [d/4].

Die Unsicherheit, welche stets in der Berechnung und Prüfung auszuführender Bauconstructionen liegt, gab wohl feit langem Veranlassung, auf Methoden zu sinnen, die eine directe Messung der auftretenden Kräfte gestatten. Besonders wichtig erscheint diese Frage für den Brückenbau.

Man hat zu diesem Zwecke an Stelle einzelner Theile Dynamometer eingeschaltet, oder wohl auch, wie dies durch Dupuy geschehen ist, mit Hilfe eines Fühlhebels direct die Ausdehnung und Zusammenziehung einzelner Stäbe gemessen und dadurch auf die Beanspruchung geschlossen. Die Resultate, welche aus diesen Experimenten erhalten wurden1), zeigten, daß die in den Gitterstäben einer Brücke hervorgerufenen Kräfte kaum die Hälfte der Werthe von jenen betrugen, welche sich auf Grund der gewöhnlich zur Anwendung kommenden Formeln ergaben, ja daß gegen die Mitte des Balkens jene Stäbe, welche nach den Unterstützungspunkten hin abfallen, Zugspannungen aufwiesen, während in den andern von entgegengesetzter Neigung Druckkräfte zur Geltung kamen, was den Hypothesen, welche die Theorie aufstellt, gradezu widerspricht.

Auch ich habe mich seit langem mit der Idee getragen, irgend eine empfindliche Methode für die directe Messung zu finden. Die unharmonischen Töne eines Claviers, das bei plötzlich eingetretenem Witterungswechsel durch Verziehen des Holzes verstimmt worden war, riefen in mir den Gedanken wach, ob es nicht möglich wäre, aus der Aenderung des Tones auf die Veränderung der Inanspruchnahme des Holzes zu schließen. Dieses Princip näher verfolgend, construirte ich zwei Klammern, die ich an einen Stab schraubte, und über welche ich eine Saite spannte. Versuche zeigten mir bald, daß die Aenderung der Belastung des Stabes sofort Tondifferenzen hervorrief. Durch Prof. Rebhann, dem ich meine Versuche mittheilte, wurde ich auf die mir damals noch unbekannten Versuche und Schlüsse Göbbel's aufmerksam gemacht, der es schon 1863 probirt hatte, die Größe der Spannung einzelner Bestandtheile in Eisenconstructionen durch die Töne |284| daran angebrachter Eisendrähte direct zu messen.2) Die Hauptresultate seiner Versuche waren, daß bei den Be- und Entlastungen jeder bestimmten Belastung ein bestimmter Ton, der mit der Belastung höher wurde, entsprach; daß die Temperatur zwischen 12 und 16° ohne wesentlichen Einfluß blieb; und daß um so kleinere Belastungsunterschiede merkbar wurden, je tiefer der Ton war.

So interessant nun auch die vorgelegten Methoden sein mögen, so leiden sie doch an zwei wesentlichen Gebrechen. Das erste besteht darin, daß man zur Vergleichung der Tonhöhen an das Gehör des Experimentators, welches nur bei wenigen Personen die hierfür nöthige Empfindlichkeit besitzt, angewiesen ist, und daß diese Methode bei über die Brücke rollenden Eisenbahnzügen, deren Einfluß man constatiren will, absolut unbrauchbar sich erweisen dürfte; das zweite, daß nur die Zusammenziehung oder Ausdehnung des ganzen Stabes gemessen wird, nicht aber örtlich auftretende Spannungen bestimmbar sind.

Indem ich das obgenannte Princip beibehielt, suchte ich beide Uebelstände zu beseitigen und construirte nach manchen Versuchen für das Polytechnicum zu Hannover den in Fig. 35 bis 38 skizzirten Apparat.3)

Auf dem zu untersuchenden Stabe oder Stabbestandtheil A werden zwei Klammern K₁ und K₂ durch Anziehen der Klemmschrauben S befestigt. Die Klammern sitzen mit glatt gehobelten Flanschenflächen f auf, während durch Feststellen der Schräubchen s, von denen je zwei hinter einander auf jeder Klammer sich befinden, die Angriffspunkte bestimmt und eine Ebene fixirt werden. (Es sei hier ein für allemal bemerkt, daß natürlich die Form der Klammern und ihre Einspannung eine im Allgemeinen veränderliche, nach dem Querschnitte der zu untersuchenden Stabstelle sich richtende sein kann.) Ueber beide Klammern legen sich zwei Stahlbändchen b₁ und b₂, aus feinen englischen Uhrfedern gebildet; dieselben laufen über ausgefeilte Stege, sind an einem Ende mittels Schräubchen befestigt und können an dem andern durch die Mikrometerschrauben M₁ und M₂, deren bewegliche Muttern die weiteren Befestigungsschräubchen tragen, angespannt werden. An die Bändchen sind zwei feine Stahlschreibfederchen z₁ und z₂ angelöthet. Die Klammer K₂ trägt eine Stimmgabel, deren eine Zacke ebenfalls mit einem |285| Schreibfederchen z versehen ist. Mit beiden Klammern steht ein Rahmen in Verbindung, der mittels zweier in k und k' lose sitzenden Kugelgelenke eine Drehung um die Achse kk' zuläßt und durch einen federnden Hebel h in beliebiger Lage erhalten werden kann. Der Rahmen trägt einen Schlitten r, in welchen man ein berußtes Glasplättchen P (Fig. 38) schiebt. Eine Spiralfeder zieht den Schlitten, wenn er sich frei überlassen wird, stets gegen K₁.

Führt man den Schlitten ganz nach rechts, bringt das berußte Glasplättchen zur leichten Berührung mit den Spitzen der Federchen und steckt unmittelbar rechts neben den Federchen, senkrecht zur Ansichtsfläche, einen Keil L (Fig. 37), welcher, sich zwischen die Zacken der Stimmgabel und die gespannten Bändchen klemmend, diese aus einander zwängt, so wird hierdurch der Schlitten in seiner Lage erhalten. Zieht man dann den Keil mittels einer daran angebrachten Schnur rasch heraus, so gerathen sowohl die Bändchen als auch die Gabelzacken in Schwingungen; die an den Federchen anliegende Glastafel wird im Schlitten von der Spiralfeder rasch vorüber geführt, und es entsteht auf der berußten Fläche ein Bild der Schwingungsverhältnisse; man erhält ein Phonogramm.

Die Stimmgabel ersetzt die Uhr, sie dient als zeitmessendes Instrument. Nimmt man ein Phonogramm vor, eines nach der im Stabe A eingetretenen Beanspruchung auf, so kann man aus beiden die Größe der Beanspruchung von A direct berechnen, wie ich in Folgendem zeigen will.

Hat sich der Stab gedehnt, so wird die ursprüngliche Schwingungszahl der Bändchen eine größere, hat er sich zusammengedrückt, eine kleinere werden. Hat sich der Stab gebogen, so wird, im Falle dies z.B. nach abwärts geschehen ist, das obere Bändchen verhältnißmäßig mehr an Tonhöhe, bezieh. Schwingungszahl abnehmen als das untere.

Fig. I und II (S. 286) zeigen Theile zweier Phonogramme, wie dieselben thatsächlich gelegentlich eines Versuches erhalten wurden, bei dem das Instrument an einem Stabe befestigt war.

Die Sinuslinie 0 zeigt in beiden Fällen die Schwingungen der Stimmgabel, 1 jene des obern, 2 jene des untern Bändchens. Im ersten Falle kommen auf 40 Schwingungen der Stimmgabel 25 Schwingungen des obern, 20 Schwingungen des untern Bändchens, im zweiten auf 40 Schwingungen der Stimmgabel 20,5 des obern, 20,3 des untern Bändchens. Der Stab hat sich daher – in horizontaler Lage betrachtet – jedenfalls nach abwärts gebogen, gleichzeitig hat derselbe aber auch, da sich die Schwingungszahl des untern vermehrt, |286| einen Zug erlitten. Die nähere Berechnung der factischen Beanspruchung müßte nach den später zu entwickelnden Formeln erfolgen.

Fig. 1., Bd. 226, S. 286
Fig. 2., Bd. 226, S. 286

Durch Anfertigung eines dritten Phonogrammes nach entschwundener Beanspruchung wird man sich überzeugen, ob die Bändchen nicht etwa durch ein Nachgeben an den Einspannungsstellen ihre ursprüngliche Schwingungszahl verändert haben, was bei präciser Ausführung des Instrumentes nicht zu erwarten steht und auch bei meinen Versuchen nicht eintrat.

Theorie des Instrumentes. Wir wollen annehmen, daß das Instrument an einem Stabe befestigt sei, dessen Querschnittsfläche gegen jene der Stahlbändchen4) sehr groß ist, und daß dasselbe hinsichtlich des Trägheitsmomentes des Stabquerschnittes in Betracht zu den Trägheitsmomenten der Bandquerschnittsflächen, bezogen auf die Stabquerschnittsachse, gelte; es ist dann gestattet, jenen Theil der innern Kräfte, welcher von den Bändchen bei der Beanspruchung des Stabes aufgenommen wird, gegen jene des Stabes zu vernachlässigen, was in den allermeisten praktischen Fällen eintritt.

Betrachten wir zunächst ein Bändchen b₁. Es bedeute in Figur III:

P₁ die Kraft, mit der dasselbe ursprünglich angespannt wurde,

g die Beschleunigung der Schwere,

|287|

G₁ das Gewicht des Bändchens innerhalb der Stege,

l₁ die Länge des Bändchens zwischen den Stegen,

l'₁ und l''₁ die über die Stege greifenden Längen.

Fig. 3., Bd. 226, S. 287

Die Anzahl der Hin- und Herschwingungen n₁ in der Secunde sind dann gegeben durch

1) n₁ = 1/2 √(gP₁)/(Gl₁).

Macht die Stimmgabel n Schwingungen in der Secunde, und setzen wir n₁/n = v₁, so ergibt sich aus (1) sofort, daß

2) v₁² = g/(4 Gln²) P₁.

Bedeutet nun ferner P'₁ die Kraft, womit das Bändchen während der Beanspruchung des Stabes angespannt wird, so ist die Verlängerung Δl₁, die dasselbe erfährt, gegeben durch

3) Δl₁ = (P'₁ – P₁)/Ef₁ (l₁ + l'₁ + l''₁),

wenn E₁ den Elasticitätscoefficienten, f₁ die Querschnittsfläche des Bändchens ausdrückt. Macht der zwischen die Stege gespannte Theil nun n'₁ Schwingungen in der Secunde, so ist n'₁ = 1/2 √(gP'₁)/(Gl₁). Quadrirt man diese Gleichung, dividirt sie beiderseits durch n² und zieht Gleichung (2) davon ab, so erhält man, das Verhältniß n'₁/n mit v₁ bezeichnend:

4) v'₁² – v₁² = g/4Gln² (P'₁ – P₁),

oder mit Rücksicht auf (3)

5) Δl₁ = C₁ (v'₁² – v₁²),

|288|

wenn man unter C₁ = (4 l₁(l₁ + l'₁ + l''₁) Gn²)/(gEf₁) eine vom Material und den Dimensionen des Bändchens abhängige Constante versteht.

Fig. 4., Bd. 226, S. 288

Es sei nun (Fig. IV) wieder A der zu beanspruchende Stab, an welchem das Instrument befestigt wurde; I, II zeige die gegenseitige Lage der Einspannungsquerschnitte vor der Beanspruchung von A; I, II' die gegenseitige Lage derselben nach eingetretener Beanspruchung des Stabes. Hierbei sind abweichend von der Figur in Wirklichkeit die Aenderungen natürlich sehr klein gegen die ursprüngliche Länge, so daß es gestattet ist, den Bogen für die Sehne zu setzen. Bezeichnet man den Krümmungsradius5) des Stabes nach eingetretener Beanspruchung mit r, die Verlängerung, welche das obere Bändchen erlitten, mit Δl₂, jene des untern mit Δl₁, die Abstände der Bänder von der Oberfläche des Stabes mit a₂ und a₁, so ist, wie sich aus der Aehnlichkeit der Dreiecke abo und acO sofort ergibt: l/r = (Δl₂ – Δl₁)/(a₂ – a₁). Bezeichnet man |289| wie früher mit v₁ und v₂ die Verhältnisse der Schwingungszahlen der Bändchen 1 und 2 zu den Stimmgabelschwingungen vor, mit v'₁ und v'₂ die analogen Verhältnisse nach eingetretener Beanspruchung von A, mit C₁ und C₂ die diesbezüglichen Constanten, so ergibt sich, mit Rücksicht auf (5):

Textabbildung Bd. 226, S. 289

ein Ausdruck, welcher uns direct gestattet, aus den beobachteten Größen v'₂, v₂, v'₁, v₁ auf die Krümmung des Stabes zu schließen. Sind die beiden Bändchen gleich lang und aus demselben Material, so ist C₁ = C₂. Der Ausdruck wird positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt unter, negativ, wenn er über den schwingenden Bändchen liegt.

Die Längenänderung Δl z einer Faser, die den Abstand z von dem obern Bändchen hat, ist, wie sich aus der Figur leicht ergibt: Δl z = Δl₂ – (l/r) z.

Die Beanspruchung K z auf die Quadrateinheit in dieser Faser ergibt sich demnach, wenn E den Elasticitätscoefficienten des Stabes bezeichnet, Kz = (Δl z/l) E, oder

7) K z = (v'₂² – v₂²) CE/ll/r E/l z.

Ist die Dicke des Stabes an den Einspannungsstellen d, so ergibt sich hieraus speciell als Beanspruchung

der obersten Faser: K' = (v'₂² – v₂²) CE/ll/r E/l a₂ und

für die unterste: K'' = (v'₂² – v₂²) CE/ll/r E/l (a₂ + d).

Man ist hiernach im Stande, direct aus den beobachteten Größen die Beanspruchung irgend einer Faser des Querschnittes zu berechnen. Dem positiven Zeichen entspricht Zug, dem negativen Druck.

Einfluß der Temperatur. Wenn möglich, wird es sich empfehlen, die nöthigen Versuche bei nahe gleicher Temperatur anzustellen. Sind jedoch Temperatursdifferenzen unvermeidlich, so läßt sich denselben in nachstehender Weise Rechnung tragen.

Es sei t die Temperatur, bei der man den ersten Versuch (A unbeansprucht) gemacht; t' die Temperatur im Momente des zweiten Versuches bei beanspruchtem Stabe. Die Differenz t' – t werde mit Δt bezeichnet. Wir setzen wieder voraus, und dies wird in den meisten |290| praktischen Fällen zutreffen, daß die Querschnitte der Bändchen sehr klein gegen den Querschnitt des Stabes seien; es wird sich dann der Einfluß der Bändchen auf den Stab vernachlässigen lassen.

In Folge der Temperatursänderung hat sich l am Stabe geändert um Δl = αl Δt, wenn α den Ausdehnungscoefficienten des Stabes bezeichnet; das Bändchen würde sich frei ausdehnen um αl' = α'l Δt; durch die Differenz beider Ausdehnungen ΔlΔl' wird demnach in dem Bändchen l eine thatsächliche Längenänderung erzeugt, welche gegeben ist durch (αα') Δtl₁. Hierdurch erleidet aber das Quadrat der Schwingungszahl des Bändchens einen Zuwachs, welcher, in Verhältniß zu n gesetzt6) und mit Δ (v'₁²) bezeichnet, nach (5) gibt: Δ (v'₁²) = (αα')Δtl₁)/C₁.

Sind die Länge, das Material und der Querschnitt des Bändchens 2 dieselben wie jene des ersten, so ist der Zuwachs, welchen die Länge des ersten Bändchens durch die Temperatur erfährt, gleich dem des zweiten. Unter obiger Annahme, die sich bei jedem Instrumente erfüllen läßt, bleibt der Werth l/r unverändert derselbe, da die Correctionsglieder sich aufheben. Auf Formel (6) ist daher die Temperatur ohne Einfluß; (7) aber geht mit Rücksicht auf die Temperatursdifferenz Δt über in:

8) K z = (v'₂² – v₂²) CE/ll/r E/l z – (αα') Δt E.

Besteht das Versuchsstück aus Schmiedeisen, das schwingende Bänderpaar aus Stahl, so ist α = 0,00001232, α' = 0,00001239, E = 2000000 (für Kilogramm und Qudratcentimeter). Dies gibt für die Größe des Correctionsgliedes + 0,14 Δt, oder für eine Temperatursdifferenz von 10° 1k,4 für 1qc, d. i. 1/3000 des Festigkeitscoefficienten, also eine hier wohl nicht zu berücksichtigende Größe.

Bedeutender wird der Einfluß, wenn das Versuchsmaterial Holz ist; setzt man hier α = 0, E = 120000, so erhält man + 1,49 Δt; dies gibt für eine Differenz von 10° 14k,9 oder 1/57 des Festigkeitscoefficienten. In diesem Falle wäre also wohl auf den Temperaturwechsel Rücksicht zu nehmen.

Bestimmung der Constanten. Die Ermittlung der in den Formeln auftretenden, von der Beschaffenheit der schwingenden Bändchen |291| abhängigen Constanten kann in verschiedener Weise geschehen, am einfachsten wohl dadurch, daß man sich direct der Mikrometerschräubchen zur Anspannung der Bändchen bedient. Die am beschriebenen Instrumente befindlichen Schrauben besitzen eine Ganghöhe von genau 0mm,5. Nach Formel (5) ist aber Δl₁ = C₁ (v'₁² – v₁²); dies gestattet direct eine Bestimmung der Größen C₁ und C₂.

Betrachten wir zunächst ein Bändchen. Nimmt man für eine bestimmte Stellung der Mikrometerschraube, die eine hinreichende Anspannung des Bändchens erzielt, ein Phonogramm auf und ermittelt v₁, verlängert dann das Bändchen um 0mm,5, indem man die Mikrometerschraube um eine volle Windung dreht, und nimmt abermals ein Phonogramm auf, so ist die Verlängerung, die das Bändchen innerhalb der Stege erfahren: 0,5 – C₁ (v'₁² – v₁²). Daraus berechnet sich aus den bekannten Werthen von v'₁ und v₁ unmittelbar C₁ = 0,5/(v'₁² – v₁²) Millimeter. In ganz ähnlicher Weise erfolgt die Bestimmung von C₂.

Am vorliegenden Instrumente ergab sich aus 2 Versuchen folgendes.

Oberes Bändchen. Erster Versuch. Zweiter Versuch.
Ursprünglicher Stand: n₂ = 24,5 n = 60,5 n = 30,5 n = 74,8
Schraube um 360° gedreht: n'₂ = 28,8 n' = 45,9 n'₂ = 49,8 n' = 79,0.
Unteres Bändchen.
Ursprünglicher Stand: n₁ = 25 n = 60,5 n = 30,5 n = 74,8
Schraube um 360° gedreht: n'₁ = 28,8 n' = 45,9 n'₁ = 49,2 n' = 79,0.

Daraus berechnen sich die Werthe für den ersten Versuch:

Oberes Bändchen.
v'₂ = n'₂/n' = 28,8/45,9 = 0,6274 und v₂ = n₂/n = 24,5/60,5 = 0,4033.
C = 0,5/(v'₂² – v₂²) = 0,5/(0,3937 – 0,1627) = 2mm,165.
Unteres Bändchen.
v'₁ = n'₁/n' = 28,8/45,9 = 0,6274 und v₁ = n₁/n = 25/60,5 = 0,4132.
C = 0,5/(v'₁² – v₁²) = 0,5/(0,3937 – 0,1707 = 2mm,242.

Für den zweiten Versuch:

Oberes Bändchen.
v'₂ = n'₂/n' = 49,8/79,0 = 0,6304 und v₂ = n₂/n = 30,5/74,8 = 0,4077.
C = 0,5/(v'₂² – v₂²) = 0,5/(0,3974 – 0,1662) = 0,5/0,2312 = 2mm,163.
Unteres Bändchen.
v'₁ = 49,2/79,0 = 0,6228 und v₁ = 30,5/74,8 = 0,4077.
C = 0,5/(v'₁² – v₁²) = 0,5/(0,3879 – 0,1662) = 0,5/0,2217 = 2mm,255.
|292|

Als mittlere Werthe ergeben sich demnach: C₂ = 2mm,164 und C₁ = 2mm,248. Da a₂ – a₁ = 47 – 11,75 = 35mm,25 ist, ergibt die Formel (6):

l/r = 0,0614 (v'₂² – v₂²) – 0,635 (v'₁² – v₁²).

Mit Hilfe des bekannten Werthes der Constanten ist es nunmehr auch leicht, die Ausdrücke, nach denen die Berechnung der Beanspruchung K' und K'' der obersten und untersten Faser an der Einspannungsstelle zu geschehen hat, anzugeben.

Die Substitution der früher erhaltenen Werthe in die Formel für K' und K'' gibt für die oberste, bezieh. unterste Faser:

K' = [0,00746 (v'₁² – v₁²) – 0,00180 (v'₂² – v₂²)] E, beziehungsweise

K'' = [(0,00746 + 0,000159 d) (v'₁² – v₁²) – (0,00180 + 0,000154 d) (v'₂² – v₂²)] E.

Beispiel. Um den Gebrauch des Instrumentes zunächst an einem einfachen Versuche zu erproben, wurde nachstehendes Experiment gemacht. Ueber zwei auf festen Unterlagen ruhenden Schneiden von 1m Entfernung wurde ein Stahlstab von 80mm Breite, 8mm Höhe und 1500mm Länge symmetrisch gegen den Halbirungspunkt der Auflagerdistanz gelegt. Je 50mm von den Enden des Stabes wurden zwei Wagschalen aufgehängt, unmittelbar neben jede der Klammern des Instrumentes kam je eine empfindliche Libelle, nun wurde das Taseometer (ebenfalls symmetrisch gegen die Stabmitte) an demselben angeschraubt, jedes der Bändchen angezogen, der Stand der beiden Libellen beobachtet und notirt, und ein Phonogramm aufgenommen; dasselbe ergab n₁ = 45,2, n₂ = 34,5 und n = 80. Hierauf wurde in die Wagschalen je ein Gewicht von 3k gelegt, der Ausschlag der Blasen an den Libellen markirt und abermals ein Phonogramm aufgenommen; dasselbe ergab n₁ = 46,5, n₂ = 40,2 und n = 80.

Um über den Winkel ins Klare zu kommen, welcher der Differenz der Ausschläge entspricht, wurde derselbe Ausschlag mit Hilfe eines Justirbretchens erzeugt. Die dreimalige Beobachtung und Berechnung dieses Winkels ergab:

Libelle 1. Libelle 2.
4' 52''
4' 45''
4' 52''
4' 50''
5' 8''
5' 00''

im Mittel
588'' oder
0,00285.

Die Berechnung dieses Werthes nach Formel (6) aber liefert unter Berücksichtigung der oben gefundenen Werthe:

v'₁² = 0,3379 v₁² = 0,3185
v'₂² = 0,2525 v₂² = 0,1860.

Daraus findet man φ = 0,0614 × 0,0665 – 0,0635 × 0,0194 = 0,00285, was mit dem oben ermittelten Werthe vollständig übereinstimmt.

Einfluß der Fehler. Es möge im Weiteren die Genauigkeit etwas näher untersucht werden, welche sich mit dem vorliegenden Instrumente erreichen läßt. Setzen wir zunächst den Fall voraus, daß wir es mit der Untersuchung eines Stabes zu thun haben, der nur auf Zug beansprucht wird. Man braucht sich dann nur eines Bändchens zu bedienen, und hat K = C₂ (v'₂² – v₂²) E/l für l/r = 0; für unser Instrument ist C₂ = 2mm,164 und l = 400mm.

|293|

Setzen wir ein Versuchsstück aus Eisen voraus und dabei E = 20000, so wird

(α) K = 108 (v'₂² – v₂²).

Die beiderseitige Differenzenbildung gibt ΔK = 216 (v'₂ Δv'₂ – vΔv₂). Nun ist aber v₂ = n₂/n, daher Δv₂ = (ΔnnΔnn₂)/n².

Die Länge einer Stimmgabelwelle beträgt durchschnittlich 2mm, wobei 80 Wellen noch mit voller Schärfe auf die Tafel kommen. Nimmt man den Werth der Schätzung in der Längenmessung mit 0mm,1 an, so ist Δn = ± 0,05 einer Stimmgabelwellenlänge. Die Wellenlänge eines Bändchens ist 1/v mal so groß als jene durch die Stimmgabel erzeugte; wir können daher näherungsweise Δn₂ = ∓ vΔn setzen. Δv₂ erreicht seinen größten Werth, wenn sich beide Einflüsse summiren, und wir erhalten Δv₂ = ∓ (Δnvn + Δnn₂)/n² oder, wenn wir Zähler und Nenner durch n dividiren, Δv₂ = ∓ 0,1 v₂/n. In analoger Weise erhalten wir für Δv'₂ = ± 0,1 v'₂/n und ΔK = 216 (v'₂² + v₂²/n) 0,1. Führt man n wie oben in beiden Fällen mit 80 ein, so ergibt sich ΔK = 0,27 (v'₂² + v₂²).

Nimmt man als kleinstes, praktisch brauchbares Verhältniß v₂ = 0,25 an, wobei das Bändchen noch eine solche Spannung aufweist, daß die Wellen sehr deutlich ausfallen, wovon man sich leicht durch Versuche überzeugt, und berechnet das Verhältniß v x, welches für die größte im Bauwesen vorkommende Spannung auftritt, indem man als Maximalinanspruchnahme 10k für 1qmm in Rechnung zieht, so ist nach Formel (α) : 10 = 108 (v x² – 0,0625), daraus v x = 0,394, und man erhält hiernach für ΔK = 0k,058 auf 1qmm oder 0,58 Proc. des Werthes. Setzt man als Grenzwerth für die Abschätzung nicht 0mm,1, sondern 0mm,5, so nimmt der Ausdruck das 5fache des Werthes an, und man erhält als Fehler 3 Proc. des Werthes.7)

Um die oben angegebene Fehlergrenze von 0k,058 durch directe Messung der Längenänderung des Stabes von 400mm Länge zu finden, |294| müßte man diese Messung bis auf 0mm,001 genau anstellen. Der Apparat ersetzt also hier gewissermaßen einen Fühlhebel von 100facher Vergrößerung, bei dessen Ablesung 0mm,1 als Fehlergrenze angenommen wird. Aus dem Ausdrucke für den Fehler sieht man ferner, daß die Genauigkeit um so größer wird, je größer man n nimmt und je kleiner v₁ und v₂ ausfallen, je tiefer also der Ton ist. Man wird daher starke Spannungen möglichst vermeiden.

Bei eintretender Biegung werden die Bändchen oft größere Inanspruchnahme erfahren als der Stab selbst. Bei dem größten Werth, den v überhaupt annehmen kann, soll die Elasticitätsgrenze des Materials der Bändchen nicht überschritten werden.

Wenn man für die Beanspruchung an der Elasticitätsgrenze 60k auf 1qmm annimmt, so ist nach Formel (α) 60 = 108 v'₂² max und v'₂² = 0,5555, v = 0,746. Für diesen Werth wird der äquivalente Werth für den Fehler bei directer Längenmessung etwa 0mm,003, wobei v₁ = 0,25 gesetzt wurde. Durch Rückschluß auf diesen Fehler ist es auch leicht, nach Formel l/r = (Δl₂ – Δl₁)/(a₂ – a₁) Anhaltspunkte für die Größe des bei Ermittlung des Krümmungsmaßes auftretenden Fehlers im einzelnen Falle zu gewinnen.

Praktische Durchführung. Zum Zwecke der nähern Beschreibung der Durchführung mögen hier noch einige Bemerkungen Platz finden.

Der Transport des Instrumentes erfolgt am leichtesten mit Hilfe eines Bretchens, das mittels Schrauben an die Klammern befestigt wird und in der Zeichnung weggelassen wurde. Man kann dann die Bändchen stets befestigt erhalten und hat immer die Entfernung der Klammern fixirt.

Das Anbringen des Apparates an dem zu untersuchenden Stabe hat mit einiger Vorsicht zu geschehen; vor Allem ist daraus zu achten, daß die glatten Flächen der Backen gut anliegen; durch allfälliges Glattfeilen der Unebenheiten des Stabes kann nachgeholfen werden. Im Weitern ist bei gelüfteten Schrauben, mittels denen die Klammern am Transportbretchen befestigt sind, eine Klammer durch Anziehen von S festzustellen und nun die zweite Klammer in die richtige Entfernung l zu bringen und parallel zu stellen. Ist dies geschehen, wird auch die zweite Schraube S angezogen. Diese ganze Manipulation hat bei schlaffen Bändchen zu geschehen.

Durch Anziehen der Stifte s werden nun die Klammern vollends fixirt, dann die Bändchen durch Drehen der Mikrometerschrauben gespannt, bis jedes derselben einen hellen Ton gibt. Wie weit man hierin gehen darf, muß die Uebung zeigen. Tritt im zu untersuchenden Stabe voraussichtlich Druck ein, so wird man die Anspannung schärfer, also den Ton höher, im entgegengesetzten Falle tiefer machen. Es ist keineswegs nothwendig, jedoch nützlich, beide Bändchen dem Gehöre nach auf den gleichen Ton zu bringen.

Nun wird, wie oben erklärt, ein berußtes Glasplättchen in den Schlitten gesteckt, derselbe nach rechts geschoben, die berußte Fläche gegen die Federchen bis zur leichten |295| Berührung gebracht. Liegt eines derselben nicht gut an, so kann durch eine mittels des Fingers zu bewirkende, kleine Biegung desselben leicht nachgeholfen werden. Hierauf wird der Keil zwischen die Zacken der Stimmgabel und die gespannten Bündchen gesteckt, wodurch zugleich der Schlitten Widerhalt findet. Der Keil ist so eingerichtet, daß die Entfernung seiner Theile geändert werden kann, damit stets ein gleichmäßiges Anspannen beider Bändchen, deren Entfernung von den Zacken der Stimmgabel sich ändert, wenn die Keilflanschenfläche nicht stets ganz parallel zu den Bändchen aufsitzt, möglich sei.

Soll der Versuch gemacht werden, so braucht man nur den Keil mittels der daran hängenden Schnur rasch herauszuziehen. Ist letztere hinreichend lang, so ist der Platz, an dem man sich zu diesem Ende aufzustellen braucht, ziemlich gleichgiltig – ein Umstand, der namentlich bei Versuchen an Brücken während des Darüberfahrens von Zügen nicht werthlos sein dürfte. Ist das Phonogramm verzeichnet, entfernt man durch Niederdrücken des Hebels den Rahmen mit dem Schlitten von den Federchen und zieht das Plättchen heraus.

Zum Aufbewahren der Platten kann man sich eines kleinen, mit Coulissen versehenen Kästchens bedienen, das zugleich stets den nöthigen Vorrath an berußten Gläsern enthält. An Stelle der Glasplättchen ist auch feines Papier, das entsprechend versteift ist, benutzbar. Das Berußen geschieht am einfachsten, indem man die Platte über eine freie Oel- oder Kerzenflamme hält und mehrmals hin und her bewegt. Es ist nicht nöthig, den Ruß sehr dick aufzutragen; die Curven fallen im Gegentheile auf leicht berußten Flächen schärfer und feiner aus. Papier wird vor dem Berußen schwach mit Wasser befeuchtet.

Um die Phonogramme zu fixiren, läßt man Collodium oder einen schnell trocknenden Firniß, dessen sich die Photographen bedienen, über das Plättchen fließen. Ist es trocken, so kann man mittels eines Stahlstiftes auf der berußten Fläche wie mit Bleistift auf einer Papierfläche zeichnen.

Bestimmung von v. Wichtig ist die genaue Abzählung der in gleichen Zeiten gemachten Schwingungen. Die ersteren Schwingungen sind hierzu unbrauchbar, da sie der geringen Anfangsgeschwindigkeit des Plättchens wegen zu nahe an einander liegen. Nach Erfahrungen, die ich hierüber gewonnen, geht man wohl am besten, wie folgt, vor: Man markirt sich mit Zuhilfenahme der Loupe die höchste Spitze des letzten Wellenberges I (Fig. 38) der Bändchenschwingung, die vollkommen scharf erkennbar erscheint, und zählt nur eine Anzahl von Wellenbergen ab, die vollkommen deutlich erscheinen; ihre Zahl sei m₁. Dadurch, daß das Plättchen zur Ruhe kommt, noch ehe die Schwingungen aufgehört haben, markirt sich der Endpunkt der Schwingungscurve ganz genau als kleiner verticaler Strich O. Die Striche O der drei Curven würden genau über einander stehen, wenn die Spitzen der Federchen genau in einer Verticalen stünden, was praktisch kaum erreichbar ist, aber bedeutungslos wird, wenn man die Strecke OI auch vom Punkte O der Stimmgabelcurve aus aufträgt; ebenso nimmt man den Abstand des Punktes O vom ersten der markirten Wellenberge I' aus und trägt ihn von O der Stimmgabelcurve aus auf. Zählt man nun die Zahl m der Wellenlängen der Stimmgabelcurve, die zwischen I und I' liegen, ab, wobei man Zehntel derselben noch abschätzen kann, so gibt m₁/m das Verhältniß der Schwingungszahlen zweier in gleichen Zeiten beschriebenen Curven, also v₁.

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Sind die Federchen nicht in der Mitte der Bändchen befestigt, so zeigen die Curven nicht reine Sinuslinien, sondern eigenthümliche secundäre Berge und Thäler, die zwischen den Maxima und Minima liegen. Sie rühren neben anderem von dem Umstande her, daß die Bändchen nicht nur als Ganzes, sondern auch in Theilen schwingen, d.h. Obertöne entstehen. Auf die Bestimmung der Hauptschwingungszahl, die hier allein in Betracht kommt, ist dies ohne Einfluß.

Ich wählte Bändchen, an Stelle von ursprünglich projectirten schwingenden Saiten, weil diese während des Schwingens keine seitlichen Oscillationen machen, daher die Phonogramme viel genauer ausfallen.

Vortheile der Anwendung. Die Anwendung des vorbeschriebenen Apparates dürfte eine Reihe von Vortheilen mit sich bringen, die im Nachstehenden kurz beleuchtet werden sollen.

1) Da der Apparat bei geringer Modification der Klemmschraube sich an beliebigen Stellen einer beanspruchten Construction anschrauben läßt, ist man im Stande, örtlich auftretende Spannungen zu messen. Man vermag z.B. leicht zu untersuchen, in welcher Weise sich die Spannung des Gurtes auf die Decklamellen und die Stehbleche vertheilt, wie die Spannungen der Gitterstäbe an den Befestigungsstellen sich verhalten etc. Welche große Vortheile die Theorie der Brücken aus solchen Versuchen schöpfen kann, braucht wohl nicht näher beleuchtet zu werden.

2) Da die ganze Manipulation während der Beanspruchung nur darin besteht, den Keil herauszuziehen, kann man die Versuche vornehmen, während Züge die zu prüfende Brücke passiren, und ist dadurch im Stande, den Einfluß der Geschwindigkeit und Stöße auf die Beanspruchung zu constatiren.

3) In den berußten Plättchen, deren Phonogramme fixirt sind, besitzt man Documente, die jederzeit über den gemachten Versuch Rechenschaft geben. Die Ermittlung der Beanspruchung aus den Phonogrammen kann in aller Ruhe zu Hause geschehen und jederzeit controlirt werden, was namentlich für die staatliche Inspection von Werth ist.

4) Bei der Montirung wird sich die Verwendung empfehlen, um zu constatiren, ob sich die Spannungen zu gleichen Theilen auf einzelne Constructionsglieder, die hierfür berechnet sind, übertragen; so z.B. auf die Glieder einer Kettenbrücke, eines gezogenen Gurtes etc.

5) Von großem Werthe dürfte es sein, daß uns der Apparat in den Stand setzt, die geringste Biegung und den Sinn derselben an einzelnen Constructionstheilen sofort zu constatiren. Es wäre dies namentlich bei allen Versuchen, die mit Knickfestigkeit im Zusammenhange stehen, von Bedeutung.

6) Auch den Versuchsanstalten über Baumaterialien dürfte vielleicht manches Nützliche aus den angegebenen Principien erwachsen, um Beanspruchung und Biegung zu messen etc. Die Nachtheile, die dem Apparate anhaften, sind wohl vor allem die, daß man bei ausgeführten Brücken nur die relative, durch die zufällige Belastung hervorgerufene Beanspruchung messen kann, und daß die Federchen etwas empfindlicher Natur sind, daher besonders sorgfältig behandelt werden müssen. Der erstere Nachtheil ließe sich allerdings dadurch einigermaßen beseitigen, daß man den Einfluß des Eigengewichtes in indirecter Weise erprobt, indem man auf die Construction eine gleichmäßig vertheilte, ruhende Belastung bringt, die einen bekannten Theil des Eigengewichtes ausmacht, und aus den Beanspruchungen welche sich hierbei ergeben, auf |297| die durch das Eigengewicht hervorgerufenen schließt. Ein weiterer Nachtheil, den die Methode mit allen ähnlichen theilt, die direct oder indirect auf die Messung der Längenänderung hinauslaufen, liegt in dem Umstande, daß in der Formel für die Inanspruchnahme der Elasticitätscoefficient des Versuchsstückes erscheint, mithin das Resultat nur bis auf jene Grenzen verläßlich sein kann, innerhalb welcher letztere Erfahrungsgröße liegt. Dasselbe ist aber auch bei dem Verfahren Göbbel's, Dupuy's, sowie beim Messen der Durchbiegung der Fall. Ob und welche Uebelstände noch in der Methode liegen, muß die Erfahrung lehren.

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Vgl. Notice sur les dessins, modèles et ouvrages etc. réunis par les soins du ministère des traveaux publics. Exposition universelle à Vienne en 1873 (Paris, Imprimerie nationale), p. 430.

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Vgl. Bericht über die 14. Versammlung Deutscher Architekten und Ingenieure, abgehalten zu Wien 1864 (Verlag des österreichischen Ingenieur- und Architektenvereines), S. 167.

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Derselbe wurde in seiner gegenwärtigen Form von dem Mechaniker Leo Elger, dem ich manche praktische Idee hinsichtlich der Detaildurchführung verdanke, hergestellt. Ein anderer in den Details bedeutend abweichender Apparat wurde in der Wochenschrift des österreichischen Ingenieur- und Architektenvereines, 1877 S. 13 ff. beschrieben.

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Hierbei sind, um einen richtigen Maßstab für die Beurtheilung des Fehlers zu gewinnen, die Querschnittsflächen der Bändchen noch mit dem Verhältniß des Elasticitätscoefficienten des Stahls zu jenem des Stabmateriales zu multipliciren; ein Coefficient, der bei Schmiedeisen 1,25, bei Holz 21 beträgt.

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Strenge genommen, ist natürlich diese Größe der Krümmungsradius der elastischen Linie der eingespannten Strecke nur, wenn dieselbe ein Kreisbogen, angenähert dann, wenn l gegen die Länge des Stabes klein ist.

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Mit sich ändernder Temperatur wird allerdings auch die Schwingungszahl n der Stimmgabel eine andere. Die Abweichung ist jedoch eine ganz verschwindende und wird auch bei feinen physikalischen Untersuchungen innerhalb gewöhnlicher Temperatursverhältnisse wohl kaum in Betracht gezogen.

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Die Differenz der bei der Constantenbestimmung erhaltenen Resultate findet ihre Ursache in erster Linie wohl nicht in der Unsicherheit der Ablesung der einzelnen Schwingungszahlen, als vielmehr in dem Umstande, daß eine Drehung der Mikrometerschraube um eine volle Windung sich am benutzten Apparate nicht mit der nöthigen Präcision ausführen ließ. Diesem Uebelstande soll bei einem künftigen Instrumente abgeholfen werden, indem es an den Mikrometerschrauben in Grade getheilte Köpfe mit Ablesemarken erhalten soll.

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