Titel: Th. Weiss, zur Frage der Riementriebe.
Autor: Weiss, Theodor
Fundstelle: 1880, Band 236 (S. 177–186)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj236/ar236064

Zur Frage der Riementriebe1); von Dr. Theodor Weiſs,

o. ö. Professor an der k. k. technischen Hochschule zu Brünn.

Eine zutreffende Begründung der zur Berechnung der Riementriebdimensionen von den Amerikanern benutzten Formel, nämlich:

. . . . (1)

welche unserer alten europäischen Formel, nämlich:

. . . . (2)

namentlich anläſslich der verdienstvollen Philadelphia-Berichte Radinger's neuerdings vorgezogen wird, habe ich unter den vielfältigen diesbezüglichen Erörterungen nicht angetroffen, noch weniger aber einen Hinweis auf die Bedingung, unter welcher diese Formel überhaupt richtig ist, und auf die Grenzen ihrer Anwendbarkeit. Es bedeutet, sämmtliche Dimensionen in Centimeter, sämmtliche Gewichte und Kräfte in Kilogramm genommen:

  • b Breite des Riemens,
  • δ Dicke des Riemens,
  • D Durchmesser der kleineren Scheibe,
  • α vom Riemen umschlungener Bogen des Halbmessers = 1, insbesondere hier = 0,8 π,
  • μ Reibungscoefficient für den Riemen auf der Scheibe,
  • Spannung, welche im Riemenquerschnitt auf je 1qc eintreten darf,
  • P zu übertragende Kraft am Umfang der Scheibe,
  • e Basis der natürlichen Logarithmen.

Ueber die Unrichtigkeit der amerikanischen Theorie, zufolge deren beim Riementriebe als bewegende Ursache lediglich der Luftdruck wirken soll, so daſs auf Grundlage hiervon die Formel (1) aus der Formel:

. . . . (3)

hergeleitet werden könne, unter k den mittleren Atmosphärendruck auf 1qc der berührten Scheibenoberfläche verstanden, herrscht bei uns kein |178| Zweifel. Ein lose aufgelegter Riemen wird nicht vermöge des Luftdruckes die zu treibende Scheibe in Bewegung setzen. Vielmehr kann alle Tage beobachtet werden, daſs die Maschinenwärter dem durch Erschlafftsein der Riemen verursachten Stillstande oder mangelhaften Betriebe der Scheiben durch heftiges Anspannen der Riemen abhelfen müssen. Es ist also dem Riemen im Ruhezustände eine Spannung t1 zu ertheilen, damit er bei der Bewegung eine Spannung T im führenden oder activen und eine Spannung t im geführten oder paſssiven Riementrume annehme und zwar von den Intensitäten:

. . . . (4) und , . . . . (5)

völlig dem bisher in Europa üblichen Berechnungsverfahren entsprechend. Anstatt aber zur Ermittlung von T aus t mit Hilfe des zwischen beiden gelegenen veränderlichen Werthes τ einfach die Formel:

. . . . (6)

zu benutzen, schreibt G. Schmidt (1879 231 406. 550)2) übereinstimmend mit Pinzger (* 1879 232 22):

, . . . . (7)

unter r den Radius der kleinsten der beiden Scheiben verstanden, und erhält hiermit durch Integration:

. . . . (8)

Da nun aus Festigkeitsrücksichten offenbar auch die Formel:

. . . . (9)

Gültigkeit haben muſs, so ergeben sich für gewisse Annahmen von P, k, r, μ, α, δ und die drei Unbekannten T, t und b aus den drei Gleichungen (4), (8) und (9). Insbesondere resultirt zur Bestimmung von b die Formel:

, . . . . (10)

und diese Formel würde an die Stelle der alten europäischen, nämlich (2), aber auch an die Stelle der amerikanischen Formel, nämlich (1) bezieh. (3), zu setzen sein.

Mit der Abkürzung:

. . . . (11)

läſst sich Formel (10) schreiben entweder:

. . . . (12)

oder:

. . . . (13)

|179|

Indem wir mit und ein für alle Mal zu setzen pflegen, stellt sich heraus, daſs Formel (10) sowohl die Form (12) unserer alten europäischen Formel, als auch diejenige (13) der amerikanischen Formel erhalten kann, jedoch mit dem Vorbehalte, daſs die Riemendicke δ nicht constant, sondern proportional dem Radius r angenommen und daſs mithin constant vorausgesetzt werden muſs.

Ein solcher Vorbehalt wurde bei uns stets berücksichtigt, es wurden für gröſsere Scheiben stets dickere Riemen, als für kleine Scheiben, verwendet. Wenn daher die Amerikaner diesem Vorbehalte sich ausdrücklich nicht fügen, sondern, wie behauptet wird, stets nahezu gleich dicke und zwar möglichst dünne Riemen anwenden, so haben sie gemäſs Formel (12) und (13) weniger recht als wir. Jedoch wäre es voreilig, hiernach ein abschlieſsendes Urtheil zu fällen. Denn die obige Berechnung ist noch nicht völlig genau. Streng genommen, muſs auch die Schwächung des auf Zug beanspruchten Riemenquerschnittes durch die Befestigungsart der beiden Riemenenden an einander, ferner die Beanspruchung des Riemens auf Biegungsfestigkeit und endlich die Mitwirkung der Centrifugalkraft Berücksichtigung finden. Da die beiden letztgenannten Gröſsen wesentlich zum Radius r in Beziehung stehen, so ist ihre Beachtung für die Klärung der Frage vermuthlich von Wichtigkeit.

Wird der ungünstigste Fall vorausgesetzt, daſs nämlich die neutrale Schicht mit der die Scheibe berührenden Fläche des Riemens zusammenfalle, so berechnet sich die lediglich von der Biegung des Riemens herrührende Spannung s auf 1qc der äuſsersten Riemenschicht, gemäſs dem Elasticitätsgesetze, bekanntlich durch:

, . . . . (14)

sofern E den Elasticitätscoefficienten des Riemenmaterials bedeutet.3)An seiner äuſseren Seite hat daher der Riemen der Spannung zu widerstehen mit dem totalen Festigkeitscoefficienten:

. . . . (15)

Die Centrifugalkraft, um deren Betrag der Radialdruck τ des Riemens gegen die Scheibe und somit der Reibungswiderstand vom Riemen auf der Scheibe vermindert wird, läſst sich bekanntlich ausdrücken durch:

, . . . . (16)

|180|

sofern γ das Gewicht des Riemens für 1cc bedeutet und die Peripherie- oder Riemengeschwindigkeit = v sowie g = 9,81 in Meter eingesetzt wird.

Für gefettetes Leder kann völlig genau genug angenommen werden. Daher läſst sich nun Formel (7) ersetzen durch:

, . . . . (16a)

Formel (8) durch:

, . . . . (17)

Formel (9) mit Rücksicht auf (14) und (15), sowie mit der Annahme, daſs der an der schwächsten Stelle vorhandene Riemenquerschnitt sei, durch:

. . . . (18)

Aus der Vereinigung von (4), (17) und (18) geht dann hervor:

. . . . (19)

Diese Formel kann aber mit den Abkürzungen (11), sowie:

. . . . (20)

und

. . . . . . (21)

geschrieben werden sowohl:

. . . . (22), als auch . . . . (23)

Hieraus läſst sich zunächst derselbe Ausspruch ablesen, welcher aus Formel (12) und (13) hergeleitet wurde. Ferner aber würde sich noch folgendes ergeben.

Der Zerreiſsungscoefficient hat sich nach Versuchen von E. Brauer (vgl. 1878 229 296 und Verhandlungen des Vereines zur Beförderung des Gewerbefleiſses, 1878 S. 115) für das beste Leder zu herausgestellt. Der Elasticitätscoefficient wird von bis zu angenommen. Wird daher gesetzt und und angenommen, so resultirt aus (20):

,

also mit und , sowie :

,

mit und , sowie :

,

|181|

mit und , sowie :

,

und demgemäſs ergibt sich mit m = 2 folgende Zusammenstellung:

0 10 20 30 40 50 60



31
13
30
13
27
15
22
18
15
26
6
66
0



24
17
28
18
20
20
15
26
8
50
0




19
20
18
22
15
26
10
40
3
133
0

Hieraus lassen sich nachstehende Aussprüche folgern:

1) Die für die Formeln (22) und (23) zu benutzenden Coefficienten und sind sehr veränderlich auſser mit dem Betrage von auch mit den Festigkeits- und Elasticitätsverhältnissen des Riemens mit dem zuzulassenden Sicherheitsgrade ψ, mit der Gröſse des mitwirkenden Luftdruckes, also des Coefficienten k, und mit der Riemengeschwindigkeit v.

2) Unter allen diesen Gröſsen spielt der Luftdruck keineswegs eine so hervorragende Rolle, als daſs dessen zeitherige Vernachlässigung einen nennenswerthen Einfluſs auf die Richtigkeit der mit Formel (22) bisher angestellten Berechnungen ausgeübt haben könnte.

3) Bis zu Riemengeschwindigkeit bleiben die Coefficienten und C in Bezug auf v nahezu constant. Die durch die Festigkeitsverhältnisse und durch den Luftdruck verursachten Verschiedenheiten bewegen sich für zwischen 15 und 31 und für C zwischen 13 und 26. Gewöhnlich wurde bisher bis 26 angenommen, während bis 25 gesetzt wird.

4) Bei Geschwindigkeiten von über 20m und noch mehr bei solchen über 30m verändern sich die Coefficienten _2 und C sehr beträchtlich, so daſs die Formeln (22) und (23) schon bei bis 60m unendlich breite Riemen berechnen lassen würden. Es ist daher gerechtfertigt, im Mittel nur bis zu 25 bis 30m Riemengeschwindigkeit zu gehen.

In Bezug auf diesen letztgenannten Punkt kann nachfolgende Berechnung angestellt werden. Am meisten Effect wird hinsichtlich der Geschwindigkeit v von einem Riemen bei dem Werthe:

oder auch

übertragen. Da nun nach Formel (19):

|182|

ausfällt, so ergibt sich für alle endlichen Werthe von b:

als die dem gröſsten Effecte entsprechende Geschwindigkeit. Mit den in obiger Tabelle verwendeten drei Gruppen von verschiedenen Annahmen folgt hieraus beziehentlich: v = 33, 28 oder 25m. Es erscheint daher nicht zweckmäſsig, über diese Beträge der Geschwindigkeit hinauszugehen, und diesfalls kann bei gutem, ja selbst bei mittelgutem Riemenmateriale gemäſs obiger Tabelle der Coefficient _2 oder C unabhängig von der Geschwindigkeit berechnet oder angenommen werden.

Jedoch ist hiermit keineswegs gesagt, daſs diese letztgenannten Geschwindigkeiten in allen Fällen oder auch nur für irgend einen Sonderfall die zweckmäſsigsten oder solche seien, welche den zweckmäſsigsten Dimensionen des Riementriebes entsprechen. Vielmehr müssen die letztgenannten Dimensionen, welchen überdies ein zweckmäſsigster

Betrag für den Quotienten und nicht etwa der in den obigen Berechnungen beispielsweise hierfür angenommene Werth angehört, mittels völlig anders gearteter, als hier durchgeführter, Berechnungen festgestellt werden.

Solche, schon für viele anderen Maschinerien von mir angestellten Berechnungen sind auf den Gedankengang zu gründen, daſs eine gewisse Pferdestärke N bei einer gewissen Umdrehungsgeschwindigkeit n mit einem Minimum von Jahresausgaben zu übertragen sei, welche sich aus den Herstellungskosten entsprechenden Jahreszinsen und den für die Betriebskosten der Maschinerie aufzuwendenden Jahresausgaben zusammensetzen. Einem später folgenden Artikel soll es vorbehalten bleiben, die Resultate solcher Berechnungen zu bringen, wobei auch die für diesen Gegenstand wichtige Frage von den Effectsverlusten der Riementriebe selbstverständlich erörtert werden wird. Hier sollte nur der Nachweis geliefert werden, daſs die amerikanische Formel nicht etwa unter der Annahme einer unveränderlichen, sondern einer mit dem Halbmesser der Scheibe proportionalen Riemendicke begründet erscheint, und daſs sie unter dieser Bedingung mit unserer alten europäischen Formel im Grunde genommen die gleiche Form hat.

Wenn daher der Riementrieb gemäſs den verdienstvollen Berichten Radinger's eine bei weitem ausgedehntere Anwendung in Amerika als bei uns gefunden hat, so gründet sich diese Thatsache wohl weniger auf eine Verkehrtheit unserer bisherigen Berechnungsweise der Riemendimensionen, als auf den Umstand, daſs zeither hier zu Lande die Fabrikation breiter und durchweg gleich elastischer Riemen nicht in solcher Vollkommenheit wie in Amerika ausgebildet war und daſs demgemäſs in unseren Lehrbüchern nur die Anwendung schmaler Riemen |183| als zweckmäſsig bezeichnet wurde. Allerdings ist von der Uebertragung beträchtlicherer Effecte durch Riemen auch wegen der mit dieser Transmissionsart verknüpften bedeutenden Effectsverluste abgerathen worden, und in dieser Beziehung war die bisherige Berechnung unrichtig, weil sie die von den Amerikanern schon längst erkannte Mitwirkung des Luftdruckes unberücksichtigt lieſs. Allein zufolge einer genaueren Ueberlegung und Berechnung sind die Unterschiede unserer bisherigen Anschauung und der amerikanischen für die meisten Fälle auch nicht so beträchtlich, als sie in der letzteren Zeit von vielen Seiten wohl dargestellt wurden, wie ebenfalls in einem später folgenden Artikel nachgewiesen werden wird.

An dieser Stelle ist es wichtiger, noch besonders auf die Betheiligung der Biegungsverhältnisse und auf noch einen Umstand hinzuweisen, welcher das Hypothetische der von G. Schmidt und Pinzger bevorzugten und in Formel (7) zum Ausdruck gelangten Berechnungsweise der Betheiligung des Luftdruckes betrifft. Es erscheint mir sachgemäſs, die Intensität des letzteren sowohl von der Geschwindigkeit v, als auch von der Spannung τ abhängig zu machen, anstatt sie, wie in Formel (7), einfach constant k zu setzen. Denn ebenso wie die Mitwirkung des Luftdruckes vermuthlich mit aufhört und für gröſsere Beträge von v anwächst, ist sie wahrscheinlich auch für nicht vorhanden, wird dagegen mit zunehmendem τ gesteigert. Dies kann etwa durch Einführung des Coefficienten:

. . . . (24)

in die bisherigen Rechnungen zum Ausdruck gebracht werden, sofern unter q und u echt gebrochene positive Exponenten verstanden werden. Wird als wahrscheinlich gröſster Werth von u beispielsweise hier die Einheit angenommen, so tritt mit der Abkürzung:

. . . . (25)

an die Stelle von (16a):

. . . . (26)

und hieraus folgt durch Integration:

oder

. . . . (27)

In Verbindung mit Formel (4) und (18) läſst sich dann mit den Abkürzungen:

. . . . (28) und . . . . (29)

die Riemenbreite bestimmen durch:

. . . . (30) oder . . . . (31)

|184|

Aus dieser behufs des leichteren Vergleiches nur mit theilweise entwickelten Formeln durchgeführten Berechnungsweise lassen sich folgende Aussprüche herleiten:

1) Unter den hier vorangestellten Voraussetzungen, zwischen welchen und den Schmidt'schen die Wahrheit vermuthlich liegen wird, wirkt der Luftdruck genau wie ein vergröſserter Reibungseoefficient und zwar so, als sei an die Stelle des bisherigen Reibungscoefficienten μ der Coefficient zu setzen. Die Folge hiervon ist, daſs die Zahl m1 jedenfalls kleiner als m ausfällt; jedoch wird m1 unter allen Umständen gröſser als 1 bleiben, während m bisher im Mittel = 2 angenommen wurde.

2) Der Luftdruck hat unter den hier gemachten Voraussetzungen auſserdem noch die Wirkung, daſs der Einfluſs der Geschwindigkeit υ, also auch derjenige der Centrifugalkraft, auf den Coefficienten und demnach auch auf die Riemenbreite b bei weitem geringer, als unter den früheren Voraussetzungen, ja sogar so gut wie verschwindend klein ist.

3) Demgemäſs würde die Form unserer bisherigen europäischen Formel, nämlich (30), noch mehr als nach Maſsgabe der von Schmidt und Pinzger durchgeführten hypothetischen Berechnungsweise gerechtfertigt sein.

4) Die Form der amerikanischen Formel, nämlich (31), ist auch unter den hier zum Schluſs gemachten Voraussetzungen nur unter der Bedingung richtig, daſs ein constantes Verhältniſs der Riemendicke zum Scheibenhalbmesser und nicht etwa eine für alle Fälle nahezu constante Riemendicke angenommen wird, und sie fällt durch Eliminirung dieser Bedingung mit derjenigen unserer alten europäischen Formel völlig zusammen.

Jedoch schlieſsen die Formeln (29) und (31), sowie (20) und (21) noch folgende höchst bemerkenswerthe Eigentümlichkeiten ein. Mit Correction durch Formel (14 a) entsteht aus (20) und (21):

. . . . (32)

aus Formel (29) und (31):

. . . . (33)

Hiermit ergibt sich für die Werthe und nachfolgende Zusammenstellung:

|185|
0,001 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05
ε = 0 = 50
E = 2000
= 30
E = 900
= 20
E = 500
C
C'
C
C'
C
C'
40
62
43
104
47
160
18
15
23
23
28
34
13
10
18
16
21
20
13
10
17
14
18
16
18
15
14
12
17
15
60

12
16
18
16


28
33
21
20




23
34





ε = ½ = 50
E = 2000
= 30
E = 900
= 20
E = 500
= 20
E = 1500
= 10
E = 440
C
C'
C
C'
C
C'
C
C'
C
C'
39
61
33
160
45
183
48
250
52
290
16
13
20
19
27
32
30
30
39
70
10
8
15
11
20
17
24
24
38
38
8
6
12
8
15
12
23
23
27
30
7
5
8
7
12
10
26
30
25
27
6
5
9
6
11
8
42
152
25
26
8
5
9
6
10
8


28
29
9
6
9
6
10
7


30
38
10
7
9
7
10
7
16
13
9
8
10
7


10

10
7

Die Ziffern dieser Tabelle geben abgerundet diejenigen Werthe an, welche unter verschiedenen Voraussetzungen an die Stelle des zwischen C = 20 bis 25 angenommenen Coefficienten der amerikanischen Formel gesetzt werden sollten.

Auſser für fünf verschiedene Annahmen betreffs der Zugfestigkeits- und Elasticitätscoefficienten und E sind zwei verschiedene Annahmen betreffs der Lage der neutralen Schicht bei der Biegung des Riemens berücksichtigt, nämlich ε = 0 und ε = ½; ferner gilt hinsichtlich der Mitwirkung des Luftdruckes der Coefficient C für die von G. Schmidt und der Coefficient C' für die von mir hier befolgte Berechnungsweise. Zu ersehen ist, daſs die Biegungsverhältnisse des Riemens, also der Elasticitätscoefficient E und das Verhältniſs , auf die Gröſse des Coefficienten C oder C' einen hervorragenden Einfluſs ausüben, namentlich auch in so fern, als durch eine Compensation zwischen E und herbeigeführt wird und hierdurch ein für verschiedene Werthe von nahezu gleich groſser Coefficient C entsteht. Wird beispielsweise die oberste Horizontalrubrik betrachtet und dem Quotienten in Formel (23) ein gewisser singulärer Werth beigelegt, so ergibt sich mit r = 100cm sowohl für , als auch für , mithin für δ = 0,5 und δ = 2cm, die gleiche Riemenbreite b. Dieses Resultat besagt aber, daſs ein schmälerer Riemen bei 0cm,5 Dicke nicht die Zugspannung und bei 2cm Dicke nicht die Biegungsspannung aushalten würde. Uebrigens aber gibt es ein gewisses Verhältniſs von , bei welchem der Coefficient |186| C, also auch die Riemenbreite, einen Minimalwerth annimmt, weil diesfalls sowohl die Zugfestigkeit, als auch die Biegungsfestigkeit in gleichem Grade beansprucht wird.

Die entferntere Lage der neutralen Schicht von dem Seheibenumfange, entsprechend dem Werthe ε = 1 /2, begründet unter übrigens gleichen Umständen kleinere Coefficienten C, also auch schmälere Riemen. Innerhalb der Grenzen bis 0,02 sind die Coefficienten C der für ε = 0 geltenden Tabelle fast sämmtlich kleiner als der amerikanische Coefficient, also als 20 bis 25. Diese Grenzen erweitern sich in der für ε = 1/2 und den gleichen Festigkeitsverhältnissen berechneten Tabelle noch bedeutend mehr. Man kann hieraus den Schluſs ziehen, daſs die amerikanischen Riemen eine Breite erhalten, welche für äuſserst geringe Dicken, entsprechend dem Werthe , genügt, und daſs diese Breite in vielen Fällen unnöthig groſs ist.

Die Annahme, daſs dieses Uebermaſs von Breite im Interesse der Mitwirkung des Luftdruckes angeordnet werde, ist nicht zutreffend, weil im Gegentheil bei verstärkter Intensität des Luftdruckes, entsprechend einer Vergröſserung des Coefficienten k, die Riemen gemäſs Formel (23) und (32) schmäler gemacht werden könnten. Jedoch zeigen die letzten vier Horizontalrubriken der letzten Tabelle, daſs bei gewissen, keineswegs unwahrscheinlichen Festigkeits- und Elasticitätsverhältnissen der numerische Werth des amerikanischen Coefficienten C sich vollständig genau innerhalb ziemlich weit für angenommener Grenzen mit den hier aufgestellten Formeln berechnen läſst.

Gleichzeitig läſst sich erkennen, wie gering der von der Mitwirkung des Luftdruckes und von der Verschiedenheit in der Berechnungsweise dieses Luftdruckes herrührende Einfluſs auf die Gröſse des Coefficienten C ist, und in welchem hohen Maſse dieser Coefficient fast nur von den Festigkeits- und auch Elasticitätsverhältnissen abhängt.

Die letzteren werden daher vorzugsweise Berücksichtigung finden müssen, so daſs in einem gereifteren Zustande des Berechnungs- und Constructionsverfahrens nicht die amerikanische Formel, mit ihrem durchweg constanten Coefficienten C, oder die alte europäische benutzt werden wird, sondern die genaueren Formeln (32) oder (33), bezieh. (20), (22) oder (29) und (30) zur Anwendung gelangen werden, selbstverständlich aber unter Einführung genau für jede Materialsorte ermittelter Werthe von und E und eines bestimmten Werthes von .

Vgl. Radinger 1878 228 385. Schlink 1878 230 464. G. Schmidt 1879 231 406. 550. 232 407. Pinzger * 1879 232 22. Schwartze 1879 232 404.

|178|

Vgl. auch Mittheilungen des Architekten- und Ingenieurvereines in Böhmen, 1879 S. 112.

|179|

Allgemeiner richtig würde sein:

, . . . . . . . (14a)

unter ε eine mit Rücksicht auf die Lage der neutralen Schicht festzustellende, zwischen 0 und 1 liegende Zahl verstanden, welche gewöhnlich = ½ angenommen wird.

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