Titel: Kick, über das Gesetz der proportionalen Widerstände.
Autor: Kick, Fr.
Fundstelle: 1883, Band 250 (S. 141–145)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj250/ar250051

Das Gesetz der proportionalen Widerstände und seine Anwendung auf Sanddruck und Sprengen; von Fr. Kick.

Mit Abbildungen.

Der Name thut zwar nichts zur Sache; aber er ist nöthig, um sie zu bezeichnen und leichter von ihr sprechen zu können. Aus diesem Grunde nennen wir jenes Gesetz, das auf Grund von Versuchen festgestellt wurde und welches lautet:

„Körper bestimmten Materials und bestimmter Form bedürfen zu einer bestimmten Formänderung oder Theilung einer Arbeitsgröſse, welche gleich ist dem Producte aus dem Körpergewichte in die für die Gewichtseinheit desselben Materials bei geometrisch ähnlicher Grundform und gleicher Formänderung oder Theilung benöthigte Arbeitsgröſse“ (vgl. 1883 247 5)

das Gesetz der proportionalen Widerstände geometrisch ähnlicher Körper gleicher Massen oder kurz das Gesetz der proportionalen Widerstände. Eine andere Form des Ausdruckes dieses Gesetzes gaben wir in D. p. J. 1879 234 257 und 260, wo es hieſs:

1) Die Arbeitsgröſsen, welche zu gleichartiger und mit gleicher Geschwindigkeit erfolgender Formänderung zweier geometrisch ähnlichen und materiell gleichen Körper erfordert werden, verhalten sich wie die Volumen oder Gewichte dieser Körper; also A : A1 = V : V1 = 1 : a3. Hierbei ist unter gleichartiger Formänderung jene verstanden, bei welcher die beiden deformirten Körper in den einzelnen in Vergleich gezogenen Stadien der Deformation geometrisch ähnlich bleiben.

2) Die Drücke, welche zur gleichartigen Formänderung zweier geometrisch ähnlichen und materiell gleichen Körper erfordert werden, verhalten sich wie die correspondirenden Querschnitte der gepreſsten Körper, also Q : Q1 = F : F1 = 1 : a2, unter a das Verhältniſs der linearen analogen Abmessungen verstanden.

Im Nachstehenden sei es zunächst versucht, eine theoretische Begründung des Satzes der proportionalen Widerstände zu geben, und daran zwei neue, durch Experimente bestätigte Anwendungen desselben geschlossen.

Zwei geometrisch ähnliche Körper gleicher Materie werden gleichzeitig so deformirt, daſs sie während der Formänderung stets geometrisch ähnlich bleiben. Alle linearen Abmessungen bleiben im Grund Verhältnisse 1 : a.

Betrachten wir nun eine Gruppe von Massentheilchen des einen Körpers während eines Zeittheilchens dt, so wird im Allgemeinen ein Lagenwechsel dieser Theilchen gegen einander stattfinden und gleichzeitig eine Ortsveränderung. Als specielle Fälle sind zu bezeichnen: eine |142| Ortsveränderung ohne Lagenwechsel (Mitbewegung) und Ruhe der betrachteten Theilchen, während andere sich bewegen. Vermöge der vorausgesetzten geometrischen Aehnlichkeit beider in Deformation befindlicher Körper entspricht jedem dV des einen Körpers ein dV1 des zweiten von analoger Lage (proportionalen Coordinaten, d.h. solchen, welche gleichfalls im Grund Verhältnisse stehen) und es ist erlaubt, sich diese Körperdifferentiale in demselben Volumenverhältnisse zu denken, in welchem die Körper selbst stehen, also dV : dV1 = V : V1 = 1 : a3, wobei a wieder das Grundverhältniſs oder das Verhältniſs der linearen analogen Abmessungen bezeichnet.

Bei jedem Lagen Wechsel der Theilchen sind innere Kräfte zu überwinden. Jedes Massendifferential ist durch seine Oberfläche in Verbindung mit den umliegenden Massentheilchen und die Reactionen treffen naturgemäſs die Oberfläche des Theilchens. Auf das Theilchen dV wirke bei dessen relativer Verschiebung um ds die Reaction ξdO. Nun nehmen wir an, daſs das Theilchen dV1 des zweiten Körpers, dessen Lage durch proportionale Coordinaten x1, y1, z1 gegeben ist, denselben specifischen Widerstand ξ zu überwinden habe; die Reaction wird hier ξdO1 sein. Die Arbeitsdifferentiale werden sein dA = ξdOds und dA1 = ξdO1ds1. Nachdem dO1 =a2dO und ds = ads1 ist, so erhalten wir dA : dA1 = ξdOds : ξ a3dOds = 1 : a3.

Stehen aber die zur proportionalen Verschiebung der analogen Massentheilchen erforderlichen Arbeitsgröſsen in dem angegebenen constanten Verhältnisse, dann muſs auch die Summe derselben bezieh. die Gesammtarbeit stets in diesem Verhältnisse stehen und unser Gesetz wäre erwiesen. Auf jene Arbeitsgröſse, welche zur bloſsen Orts Veränderung erforderlich ist, wurde keine Rücksicht genommen, da dieselbe gegenüber der Verschiebungsarbeit als verschwindend klein zu betrachten ist.

Die oben gemachte Annahme, daſs die Massentheilchen analoger Lage in beiden der Deformation gleichzeitig unterworfenen, stets geometrisch ähnlich bleibenden Körpern in jedem einzelnen Zeitdifferentiale gleichen specifischen Pressungen unterworfen sind, wobei sich diese Pressungen während des Fortschreitens der Formänderung beliebig ändern können, ist gewiſs die denkbar einfachste und hat schon, daher die Wahrscheinlichkeit für sich. Sie wird noch weiter durch folgende Erwägung bestätigt. Soll die Aenderung der Form bei beiden Körpern so stattfinden, daſs dieselben stets geometrisch ähnlich bleiben, so müssen die analogen Körperdifferentiale in jedem Zeitdifferentiale nach derselben Richtung sich bewegen, bezieh. parallele Bahnen durchlaufen; es muſs in beiden Fällen ein ganz gleichartiges Kräftespiel stattfinden. Ist nun auch die Druckvertheilung unbekannt, so läſst sich von den äuſseren Kräften, welche die gleichartige Formänderung bedingen, doch behaupten, daſs die verlangte analoge Formänderung nur bei gleichartiger Einwirkung dieser Kräfte möglich wird und daſs der specifische Druck an den Oberflächen-Elementen |143| analoger Lage gleich sein muſs. Ist dies der Fall, so müssen sich diese Kräfte der gleichartigen Kräftezerlegung wegen auch so fortpflanzen, daſs an irgend einem Punkte m des einen Körpers derselbe active specifische Druck herrscht wie im analogen Punkte m1 des zweiten Körpers. Herrschen aber in den analogen Punkten m und m1 dieselben activen specifischen Drücke, dann können auch dieselben inneren specifischen Widerstände ξ überwunden werden. Mithin ist auch hierdurch die obige Annahme gerechtfertigt und unser Gesetz bewiesen, so weit es sich ohne Kenntniſs des Wesens der Materie beweisen läſst.

Auf Flüssigkeiten geringen inneren Widerstandes kann unser Deformationsgesetz darum keine Anwendung finden, weil bei diesen die zur bloſsen Ortsveränderung der Massentheilchen erforderliche Arbeitsgröſse nicht mehr gegenüber der Verschiebungsarbeit verschwindet; hingegen gestattet es die Anwendung auf körnige Materialien, z.B. Sand, ganz wohl, sobald die Korngröſse gegenüber den angewendeten sonstigen Abmessungen als verschwindend klein betrachtet werden kann und wir es mit statischen Aufgaben zu thun haben. Wird z.B. ein Gewicht G durch Sand S in der in Figur 1 dargestellten Art getragen, herrscht also hier Gleichgewicht, so wird eine geometrisch ähnliche Sandmasse ein Gewicht G1 zu tragen vermögen, welches denselben specifischen Druck ausübt, d.h. G : G1 = 1 : a2.

Fig. 1., Bd. 250, S. 143

Versuche haben dies bestätigt. Erzeugt man sich z.B. aus 1k äuſserst feinem Sande einen Kegel vom natürlichen Böschungswinkel, was am besten durch Aufwärtsheben (Streifen) kleiner Sandmengen durch ein Kartenblatt geschieht, wobei man natürlich diese Arbeit rundum vorzunehmen hat, und einen zweiten Sandkegel von dem 8fachen Gewichte. Die Volumen beider Kegel verhalten sich wie 1 : 8, die linearen Dimensionen wie 1 : 2. Setzt man nun mit aller Vorsicht auf den kleineren Sandkegel ein Gewicht von z.B. 1k auf, auf den gröſseren von 4k, wobei sich deren Durchmesser wie 1 : 2 verhalten müssen, was erforderlichen Falles durch Kartenpapier zu rectificiren ist, so findet ein Einsinken beider Gewichte statt und zwar derart, daſs für das Gleichgewicht der Abstand h des einen Gewichtes von der Bodenplatte zum analogen Abstande h1 des zweiten Gewichtes im Grundverhältnisse 1 : 2 stehen soll. Je gröber der Sand, desto geringer ist allerdings die Uebereinstimmung und zwar wird h1 gröſser als ah gefunden werden, wenn a > 1 ist. Die Ursache hiervon liegt einestheils darin, daſs ein bereits merkbarer Theil der Arbeitsgröſse des langsam sinkenden Gewichtes auf die Ortsveränderung der Sandkörnchen entfällt, hauptsächlich |144| jedoch darin, daſs zwischen den Sandkörnchen Luft sich befindet, welche um so mehr elastisch reagirt, je gröſser das Sandvolumen und je rascher die Einwirkung erfolgt. Hängt man z.B. die Gewichte G, G1 so auf, daſs sie die Spitzen der Sandkegel gerade berühren und brennt man die Fäden ab, so ist das Verhältniſs der analogen Höhen, welche nun mit h' und h1' bezeichnet seien, nicht mehr 1 : a, sondern h1' ist wesentlich gröſser als ah'.

Die oben durchgeführten theoretischen Betrachtungen gelten daher hier nur für statische Fälle; statt dem inneren Widerstände der Verschiebung der Massentheilchen fester, plastischer Körper tritt hier in ähnlicher Weise die Reibung der Sandtheilchen an einander auf. Es kann daher von unserem Gesetze auch bei Sand Gebrauch gemacht werden, namentlich bei Lösung jener Fragen, welche sich auf den Druck des Sandes auf Gefäſswände beziehen, vorausgesetzt, daſs die Korngröſse gegenüber den sonstigen Abmessungen verschwindend klein ist.

Eine ganz besonders schöne Anwendung läſst das Gesetz der proportionalen Widerstände in der Sprengtechnik zu. Es lehrt die Erfahrung, daſs durch die Wirkung des Explosivs gegen die dem „Pulversacke oder Minenherde“ A (Fig. 2) nächst liegende freie Wand MN eine kegelförmige Gesteinsmasse, der Wurfkegel, herausgerissen wird. Die Entfernung AB des Minenherdes A von der freien Wand führt die Bezeichnung „Vorgabe“. Durch den Druck der Gase des Explosivs wird der Zusammenhang zwischen dem Materiale des Wurfkegels und den umliegenden Massen aufgehoben. Geometrisch ähnliche Formen vorausgesetzt, wird die Gleichung Q : Q1 = 1 : a2 unmittelbar anwendbar sein, wobei unter a wieder das Verhältniſs der gleichartigen linearen Abmessungen, also auch das Verhältniſs der Vorgaben zu verstehen ist.

Fig. 2., Bd. 250, S. 144

Man erhält hierdurch zunächst den Satz: Die Pressungen, welche die Explosivs auf die Massen der Wurfkegel bei deren Abtrennung ausüben müssen, verhalten sich wie die. Quadrate der Vorgaben (I).

Denken wir uns nun zwei Minenherde geometrisch ähnlicher Form, deren Abmessungen sich wie die betreffenden Vorgaben verhalten, und bezeichnen deren Volumen mit V : V1 = 1 : a3. Da nun die Gewichtseinheit des Explosivs eine bestimmte Gasmenge bei vollkommener Vergasung liefert, so wird die specifische Spannung der Explosivgase unter sonst gleichen Verhältnissen dann die gleiche sein, wenn die Volumen |145| der Minenherde proportional sind den Gewichten des Explosive. Bezeichnen wir letztere – die Ladungen – mit L und L1, so wird für gleiche specifische Spannung V : V1 = L : L1 sein müssen. Bei gleicher Spannung werden sich die Pressungen, welche die Gase gegen die analogen Flächen der Minenherde ausüben, wie diese Flächen verhalten und man erhält demnach Q : Q1 = F : F1 = 1 : a2 und damit ist dem Satze (I) entsprochen und zwar unter der Voraussetzung, daſs die Ladungen proportional den Volumen der Minenherde sind.

Bei durchaus analogen Verhältnissen, d.h. solchen, bei welchen nebst demselben Gesteine und gleichem Explosive auch Proportionalität der gleichartigen Abmessungen vorhanden ist, gelangt man mithin zu dem Schlüsse, daſs sich die Mengen des anzuwendenden Explosivs (Ladungen) nach der Gleichung L : L1 = V : V1 = 1 : a3 berechnen lassen. In demselben Verhältnisse stehen, der geometrischen Aehnlichkeit wegen, auch die Wurfkegel und führt unsere Betrachtung daher zu dem alten Axiome der Sprengtechnik: Zwei normale Ladungen verhalten sich wie die Volumen der Wurfkegel (II).

Den Satz I suchte Verfasser durch Versuche zu bestätigen, wobei die kugelförmigen Hohlräume in künstlichen Steinen (Cementmassen) dem hydraulischen Drucke einer mit Manometer und Windkessel versehenen Pumpe ausgesetzt wurden. Diese in den Vorarbeiten sehr mühsamen Versuche sind zwar noch nicht abgeschlossen; aber soweit sie ausgeführt sind, bestätigen sie die Gültigkeit des Satzes der proportionalen Widerstände auch für das Sprengen und sie sind ein Beweis, daſs das alte Axiom der Sprengtechnik richtig, hingegen die neuere, hiervon wesentlich abweichende Theorie H. Hoefer's (vgl. 1880 237 221. 1881 242 153) unrichtig ist.

Prag im Oktober 1883.

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