Titel: Aus dem Gebiete der Festigkeitslehre.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1888, Band 270 (S. 353–360)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj270/ar270070

Aus dem Gebiete der Festigkeitslehre.

(Schluſs des Berichtes S. 310 d. Bd.)

Der vierte Abschnitt bringt eine übersichtliche Zusammenfassung der Hauptergebnisse der durchgeführten Studie, von welchen noch besonders folgender Satz hervorgehoben sei: „Die Biegungsfestigkeit ist eine Function der Querschnittsform- desgleichen ist die zulässige Inanspruchnahme des Materiales von letzterer abhängig. Diese kann allgemein um so gröſser gewählt werden, einen je gröſseren Werth das Verhältniſs der Entfernungen der äuſserst gespannten Materialfaser und es Schwerpunktes der auf der einen Seite der Nullachse gelegenen Querschnittsfläche von der Nullachse des Gesammtquerschnittes annimmt. Hierbei sind die gröſsten (±) Biegungsspannungen nach den Grundgleichungen der Biegungslehre zu berechnen.“

Die absolute Gröſse der zulässigen Inanspruchnahme der guſseisernen |354| Biegungsträger ist durch obige Regel nicht bestimmt; dieselbe wird unter Voraussetzung eines bestimmten Materiales erst nach Durchführung von Biegungsversuchen mit Trägern von verschiedenen Querschnittsformen mittelbar zu finden sein. Diese Versuche müſsten nämlich die Elasticitätsmodule für bestimmte (nahe gelegene) Inanspruchnahmegrenzen nach Maſsgabe der zu beobachtenden elastischen Einbiegungen ermitteln lassen. Diesen Modulen und Biegungsspannungen (Ordinaten) werden unter Ausnutzung der elastischen Einbiegungen (als Abscissen eines Coordinatensystemes) gewisse Curven entsprechen, deren Entwickelung für die einzelnen Versuchsquerschnitte kennzeichnend sein wird. Es steht zu erwarten, daſs auch für das Guſseisen mit Hilfe der bezeichneten Curven, ähnlich wie für die Leder- und Gummimaterialien der Transmissionsriemen, jene Inanspruchnahme derselben annähernd gefunden werden kann, welche für die in Untersuchung gezogenen Querschnittsformen sowohl in Hinsicht der Tragsicherheit als zulässig, als auch für die Ausnutzung des Constructionsmateriales als ökonomisch günstig erkannt werden muſs.

Es ist noch besonders zu bemerken, daſs die im vierten Abschnitte der vorliegenden Abhandlung seitens des Verfassers gelieferte Zusammenstellung der Hauptergebnisse seiner lehrreichen Forschung auf Versuche zurückzuführen ist, welche durchaus mit bearbeiteten, d.h. von der Guſshaut befreiten Probestäben durchgeführt wurden. Es muſs an dieser Stelle hervorgehoben werden, daſs unbearbeitete Guſseisenprobestäbe desselben Materiales unter sonst gleichen äuſseren Umständen wesentlich andere Ergebnisse hinsichtlich der Werthe kz, kb, ferner betreffend die elastische Einbiegung und den Biegungs- wie Zugelasticitätsmodulus liefern, wodurch eben der entscheidende Einfluſs der „Guſshaut“ auf die Elasticitäts- wie Festigkeitsverhältnisse desselben Materiales nachgewiesen ist. Unter Anerkennung der Gründe, welche den Verfasser bestimmten, die erste Studie über die Beziehung der Grundgleichungen der Biegungslehre zu den thatsächlichen mechanischen Eigenschaften des Guſseisens unter Verwerthung von bearbeiteten Versuchskörpern durchzuführen, muſs doch der Wunsch ausgesprochen werden, daſs eine analoge Studie mit unbearbeiteten Biegungsträgern aus demselben Materiale erledigt werde und um so mehr, als die Constructionspraxis in den meisten Fällen Biegungsträger letzterer Art zu verwenden gezwungen ist.

Prof. L. v. Tetmayer liefert in der Schweizerischen Bauzeitung, 1887 Bd. 10 Nr. 16 (Revue polytechnique), einen Beitrag Zur Theorie der Knickungsfestigkeit, durch welchen die Beziehung des in der Schwarz-Rankine'schen Knickungsformel:

|355|

vorkommenden Knickungscoefficienten (η) zum Verhältnisse l : k für das Schmiedeeisen klar gestellt werden soll. Der Verfasser führt zunächst die bekannte Euler'sche und Schwarz-Rankine'sche Knickungsformel vor, in welchen bezeichnet:

α eine von der Befestigungsweise des Knickungsstabes abhängige

n den Sicherheitsgrad gegen Zerknicken, l die Stablänge, k den feinsten Trägheitshalbmesser (k2 F = J), J das kleinste Trägheitsmoment der Querschnittsfläche, reducirt auf ihre Schwerpunktsachse,

σd die (absolute) Druckinanspruchnahme, σk die resultirende Inanspruchnahme in Folge Knickung; so daſs die Euler'sche Formel lautet:

In der Besprechung der Kritik dieser beiden Formeln in Hinsicht wer Brauchbarkeit für die Bestimmung der Dimensionen von auf Knickfestigkeit in Anspruch genommenen Stäben constatirt zunächst der Verfasser, daſs die von Prof. J. Bauschinger gewonnenen Versuchsergebnisse mit Stäben aus Façonschweiſseisen, welche an den Enden thunlichst beweglich gelagert waren (Spitzenlagerung), überhaupt nur mit den aus der Euler'schen Knickungsformel entwickelten Rechnungsresultaten befriedigend übereinstimmten. Die vom Verfasser selbst am eidgenössischen Polytechnikum mit Schweiſseisen und Holzstäben erledigten Knickungsversuche ergaben Resultate, welche für den Fall, als bei Schweiſs- und Fluſseisenstäben die erwähnte Spitzenlagerung eingehalten wurde und die Spannung (σk) der Stäbe nicht allzu nahe an die Druckelasticitätsgrenze ihres Materiales heranreichte, gleichfalls eine sehr befriedigende Uebereinstimmung mit den Rechnunesergebnissen der Euler'schen Formel lieferte.

In der für den praktischen Gebrauch sehr geeigneten Schwarz-Rankine'schen Formel bedeutet der Nenner: die Gröſse der Verminderung der als zulässig erkannten Druckinanspruchnahme σd, um aus dieser die zulässige Knickinanspruchnahme σk zu berechnen. Bisher wurde der Werth η als ein für eine gegebene Materialgattung constante Erfahrungszahl angesehen und von Bauschinger, Laissle und Schübler, Scharowski u.a. für verschiedene Materialien angenommen; allein schon Ersterer konnte nach Versuchen mit guſseisernen Säulen erkennen, daſs der Werth η eine Function der Art der Herstellung der Probesäulen sei u.s.w. – Der Verfasser hat nun auf Grund von zahlreichen mit Holzprismen (von verschiedener Länge) ausgeführten Knickungsversuchen auſser Zweifel gestellt, daſs der Werth η eine veränderliche Gröſse ist. Die von demselben mit Schweiſseisenstäben erledigten Knickungsversuche lieſsen weiter erkennen, daſs η nicht nur |356| vom Materiale, sondern wesentlich auch von dem Verhältnisse l : k abhängig, so daſs ausgedrückt werden kann:

.

Für das Schweiſseisen soll die Begründung der Function im Folgenden erfolgen. Als Probematerial dienten sieben verschiedene, an den Enden senkrecht abgestochene Rundeisen bis 5cm Durchmesser; ihre Versuchslänge wurde derart gewählt, daſs dem Verhältnisse (l : k) die Werthe (l : k) = 4,0 bis (l : k) = 250,0 entsprachen. Im Ganzen wurden 30 Schweiſseisen- und 30 Fluſseisenstäbe den Knickversuchen unterzogen. Von beiden Materialsorten wurde zunächst die Qualität an sich durch umfassende Dehnungs- und Zerreiſsversuche festgestellt; die bezüglichen Ergebnisse lassen erkennen, daſs beide Materialsorten eine entsprechende Elasticität, Festigkeit und Zähigkeit besitzen.

Nach Erledigung dieser Voruntersuchungen konnte zur Feststellung der Druckelasticität und Festigkeit derselben Materialien geschritten werden, zu welchem Zwecke Probestäbe verwendet wurden, für welche (l : k) < 45 war. Eine eigentliche Bruchgrenze, erreicht durch Druckkräfte, konnte in keinem Falle festgestellt werden, wenn die Probestäbe in Form von gleichseitigen Cylindern der Druckprobe unterzogen wurden. Probestäbe, für welche der Verhältniſswerth (l : k) = 11,6 bis 24,4 erreichte, haben sich bei Schweiſseisen und einer specifischen Inanspruchnahme von 2400at bis 2480at, bei Fluſseisen bei einer Inanspruchnahme von 2610at bis 2630at lokal gestaucht und derart ihre Stauch- oder Quetschgrenze erkennen lassen. An dieser verloren die Probestäbe zumeist plötzlich ihre Widerstandsfähigkeit (Tragfähigkeit), daher die eben bezeichnete Grenze auch als eine Art „Cohäsionsgrenze der Druckbelastung“ gekennzeichnet werden kann.

Auf Grund dieser Wahrnehmung wurden sowohl mit Schweiſs- wie mit Fluſseisenstäben Untersuchungen, betreffend ihre Druckelasticitäts- wie Stauchgrenze, durchgeführt und hierdurch im Wesentlichen folgende Resultate erzielt:

Fluſseisen: Maximum der Stauchgrenze erreicht bei (l : k) = 45,9
Minimum = 43,7
Mittlere Stauchgrenze = 2650at
Schweiſseisen: Maximum der Stauchgrenze erreicht bei (l : k) = 31,6
Minimum = 75,7
Mittlere Stauchgrenze = 2350at

Hiernach folgen die Schwankungen in den Werthen der Stauchgrenze etwa den Schwankungen der Werthe der Streckgrenze bei Dehnungs- und Zerreiſsversuchen. Die dargestellten Versuchsergebnisse lassen erkennen, daſs die Stauchgrenze selbst für verschiedene Werthe von (l : k) nicht wesentlich verschieden ist.

Mit Benutzung der aus den eben erwähnten Versuchen abgeleiteten |357| Werthe konnte die Formel nach Euler und Schwarz-Rankine wie folgt geschrieben werden:

Schweiſseisen Fluſseisen
Euler:
Rankine:

Die Ergebnisse der unter Anwendung der Spitzenauflagerung endlich durchgeführten Knickungsversuche mit obigen Probestäben wurden zur graphischen Darstellung der Werthe au verwerthet, welchen die nach Euler berechneten Werthe derselben Gröſse gegenüber gestellt werden konnten. In dieselbe Darstellung, für welche die Verhältniſswerthe (l : k) als Abscissen ausgenutzt waren, wurden schlieſslich die nach Schwarz-Rankine berechneten Werthe von η eingetragen.

Aus der derart gewonnenen Darstellung ging die befriedigende Uebereinstimmung der im Versuchswege gefundenen und nach Euler berechneten Werthe von gh und endlich die Abhängigkeit des Werthes η vom Verhältnisse (l : k) klar hervor. Die Beziehung dieser Gröſsen wird vom Verfasser mit für die praktischen Bedürfnisse genügender Genauigkeit ausgedrückt durch:

für l : k = 80 wird η = 0, und σk = 2,65 bezieh. 2,35, d.h. es wird die mittlere Stauchgrenze erreicht, für welche die eigentliche Knickung aufhört.

Es kann somit der Satz ausgesprochen werden, daſs für Schweiſseisenstäbe von kreisförmigem Querschnitte und mit beweglicher Lagerung, deren Länge l ⋜ 80 k ist, deren Durchmesser ohne Rücksicht auf Knickungsgefahr, also einfach nach den Regeln der absoluten Druckfestigkeit zu bestimmen ist.

Bei Flächenlagerung bezieh. eingemauerten Enden derselben Knickungsstäbe ist für (l) die freie Stablänge, d. i. die Entfernung der Inflexionspunkte seiner elastischen Linie zu setzen.

Für l : k = ∞, wird η = ∞ und σk = 0 und ist hierdurch der zweite naturgemäſse Grenzfall gekennzeichnet.

Schlieſslich sei noch hervorgehoben, daſs die Schwarz-Rankine'sche Formel mit Zugrundelegung der früheren Gleichung von η auch für Façonschweiſseisen von , ⊔, ⊤- und ⋁-Querschnittsform Werthe von σk liefert, welche sich mit den von Prof. J. Bauschinger beobachteten Werthen von σk befriedigend decken.

Eine Fortsetzung der eben skizzirten Studie findet sich unter dem Titel Zur Frage der Knickungsfestigkeit der Bauhölzer in der Schweizerischen |358| Bauzeitung, 1888 Bd. 11 Nr. 17, in welcher derselbe Verfasser die Ergebnisse neuerer im eidgenössischen Festigkeitsinstitute durchgeführter Knickungsversuche mit Bauhölzern behandelt. Dieselben ergaben zunächst, daſs eigentliche Knickungserscheinungen erst dann eintreten, wenn die Dimensionen der Probestäbe Knickungsbeanspruchungen σk liefern, welche kleiner sind, als die Inanspruchnahme (y) des Materiales an der Druckelasticitätsgrenze.

Unter Berücksichtigung der Lagerungsverhältnisse der Knickungsstäbe wird für σk < y nach der Euler'schen Knickungsformel:

und stimmen die Ergebnisse dieser Formel mit den gewonnenen Versuchsresultaten befriedigend überein, so lange nicht σk = γ wird.

Die Schwarz-Rankine'sche Formel kann für η = Const. ebenso wenig verwendet werden, wie Euters Formel für σk > γ Wird hingegen (wie für Schweiſseisen) in dieser Formel der Werth η als Function von (l : k) verwerthet, so ergibt sich wieder zwischen den rechnungsmäſsigen Werthen von σk (nach Euler und Schwarz-Rankine) und den aus den Knickungsversuchen abgeleiteten Werthen von σk die befriedigendste Uebereinstimmung. Der Verfasser untersuchte an 10 Stück (7m,5 langen) Balken von quadratischem Querschnitte (etwa 15cm,0 Seitenlänge) die einschlägigen Verhältnisse; die Versuchsbalken waren drei Lärchen-, drei Föhren- und je zwei Weiſs- und Rothtannenstämmen entnommen.

Zur Ermittelung der Beziehung zwischen der Druckfestigkeit (σk) des Materiales und dem Verhältnisse (l : k) wurden die Balken aus Föhren- und Lärchenholz verwendet, zur Controle dienten die Balken aus Tannenholz, welche auch zur Feststellung der Beziehung zwischen aa und den beiden Lagerungsarten, d. i. Punktauflagerung und volle (satte) Flächenauflagerung verwerthet wurden.

Die durch Vorversuche sicher gestellten Elasticitäts- und Festigkeitsverhältnisse (für Druckinanspruchnahme) der Probematerialien ergaben folgende mittlere Resultate:

Elasticitätsmodul
in Atm.
Stauchgrenze
in Atm.
Festigkeitsgrenze
in Atm.
Lärchenholz 1083,000 116,0 324,0
Föhrenholz 1031,000 122,0 312,0
Lärchen- und Föhrenholz 1056,000 119,0 318,0
Rothtannenholz 283,0
Weiſstannenholz 288,0

Für die Punktauflagerung ergibt die Euler'sche, sowie die Schwarz-Rankine'sche Formel bei Benutzung der obigen Resultate folgende Werthe:

nach Euler nach Schwarz-Rankine
Für Lärche und Föhre (Mittel):
|359|
Für Roth- und Weiſstanne (Mittel):

Auf Grund der nun auch durchgeführten Knickungsversuche konnten die Werthe (beobachtet) und weiter die der Euler'schen Formel entsprechenden Werthe von σk ermittelt, ferner für die gegebenen Verhältniſswerthe (l : k) die Knickungscoefficienten η (Schwarz-Rankine'sche Formel) (mit Benutzung der beobachteten Werthe von σk) berechnet werden. Eine graphische Darstellung der Werthe σk (beobachtet und berechnet) und η (als Ordinaten) für (l : k) als Abscissen, lieſs die befriedigende Uebereinstimmung der beobachteten und nach Euler berechneten Werthe von σk erkennen. Ebenso ergab sich (wie für Schweiſseisenstäbe) die Veränderlichkeit für η in Beziehung zu (l : k); hiernach entspricht dem von Laiſsle und Schübler verwendeten Werthe η = 0,00016 nur ein bestimmter Verhältniſswerth (l : k).

Der Verfasser drückt die Beziehung η zu (l : k) durch die empirische Formel

aus.

Für (l : k) = 16 wird η = 0; also σk = σd, d.h. für Holzstäbe mit vollkommen beweglicher Lagerung und einer Länge l < 16k, d. i. kleiner als etwa die fünffache Durchschnittsbreite, hat die Bestimmung der Dimensionen ohne Rücksicht auf Knickungsgefahr nach den Regeln der Druckfestigkeit zu erfolgen.

Für Bauholz von (l: k) = 16 bis (etwa) 90 findet eine annähernd gesetzmäſsige Abnahme der Druckfestigkeit in Folge Einwirkung der Astknoten statt. Für l : k = ∞, wird η = ∞, also σk = 0, wodurch der zweite naturgemäſse Grenzfall charakterisirt ist.

Bei den Bauhölzern mit (l : k) > 120 konnten schön ausgeprägte Knickungserscheinungen hervorgerufen werden; allein der für die Flächen-Auflagerung der Probestäbe nach Euler's Formel zurück berechnete Abstand der Inflexionspunkte der elastischen Linie (l0) lag zwischen den Grenzen l0 = 0,5l bis 0,6l, und wurde l0 = 0,513l im Mittel, wobei l die Stablänge bedeutet. Den praktischen Verhältnissen entsprechend soll besser mit l0 = 0,6l gerechnet werden, nachdem die „praktische“ Auflagerung niemals so genau sein kann als jene, welche bei den Vergehen erreicht wird.

Zum Nachweise der für die Zwecke der Praxis befriedigenden Uebereinstimmung zwischen den beobachteten und den nach der Schwarz-Rankine'schen Formel berechneten Knickungsspannungen σk in Atmosphären für die bezeichneten Holzgattungen unter Beibehaltung des mittleren Verhältniſswerthes (0,513l : k), sowie zur Sicherstellung der Knickungscoefficienten η, welche für (0,513 l : k) der früher angegebenen |360| empirischen Formel für η entsprechen, sei auf die folgende tabellarische Zusammenstellung hingewiesen, in welche wenigstens diejenigen Daten für die Versuche und aus den bezüglichen Rechnungen eingestellt sind, die für die einzelnen Holzgattungen den Grenzversuchen und ihren Ergebnissen entsprechen.


Holzgattung
Stablängen
(cm)
k min
(cm)

Knickungscoefficienten η
σk Atm
beobachtet berechnet
Lärche 725–525 3,77 0,000203–0,000166 105–183 108–175
Föhre 725–525 3,85 0,000200–0,000164 95–164 109–172
Weiſstanne 725–520 3,97 0,000197–0,000160 98–171 106–166
720–500 3,77 0,000202–0,000162 105–177 99–164
Rothtanne 725–520 4,14 0,000192–0,000156 102–177 112–172
720–500 4,03 0,000204–0,000156 108–178 105–174

Der Nachweis der Veränderlichkeit des Knickungscoefficienten η, dessen Beziehung zu dem Verhältniſswerthe (l : k), ferner die Sicherstellung der absoluten Werthe von η mit einer für die Zwecke der Praxis vollkommen genügenden Genauigkeit, endlich die Klarstellung und Begrenzung des Werthes der mehrgenannten Regeln nach Euler und Schwarz-Rankine sind als wichtige Beiträge für die Theorie der Knickungsfestigkeit der in den beiden Abhandlungen bezeichneten Materialien zu begrüſsen und – wie schon eingangs erwähnt – voll geeignet, den entscheidenden Werth des praktisch-wissenschaftlichen Versuches für die Theorie und deren Anwendungen nachzuweisen.

Prof. Gollner.

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