Titel: Gollner, zur Festigkeitslehre.
Autor: Gollner, H.
Fundstelle: 1889, Band 273 (S. 205–211)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj273/ar273040

Zur Festigkeitslehre; von Prof. H. Gollner.

Die experimentelle Festigkeitslehre ist neuerdings durch eine von Prof. Bach durchgeführte Arbeit1) bereichert worden, welche einerseits eine |206| Ueberprüfung der alten und neueren Theorie der Drehungsfestigkeit, andererseits die Ermittelung der zulässigen Inanspruchnahme von Stäben zum Zwecke hatte, welche, auf Drehfestigkeit beansprucht, das -, , +-Profil besitzen.

Bach verwendet für seine interessanten Untersuchungen Probestäbe aus Guſseisen, obwohl sich dieses Material wegen der Veränderlichkeit des Elasticitäts-Modulus nicht vollkommen eignet für Untersuchungen, deren Ergebnisse zur Controle von Theorien verwerthet werden sollen, weil erstens die Herstellung solcher Probestäbe verhältniſsmäſsig billig ist, und weil zweitens die angedeutete Veränderlichkeit des Schub-Elasticitäts-Modulus nicht so bedeutend ist, als daſs die Versuchsergebnisse und deren Vergleichungen mit den Ergebnissen der Theorie – welche allerdings die Unveränderlichkeit des bezeichneten Modulus voraussetzt – nicht noch als Näherungswerte aufgefaſst und verwerthet werden könnten.

Ueber die Veränderlichkeit des Schub-Elasticitäts-Modulus des Materiales in einem bearbeiteten cylindrischen Guſseisen-Probestab gibt folgende Zusammenstellung Aufschluſs, deren Werthe von einer durch den Referenten erledigten einschlägigen Untersuchung mit Probestäben aus böhmischem Maschinen-Guſseisen herrühren. Es sei noch bemerkt, daſs bis zu einer gewissen Grenze der Inanspruchnahme dieses eigenartigen Materiales, die auch als eine Art Flieſsgrenze bezeichnet werden könnte, mit genügender Annäherung für gewisse Inanspruchnahme-Grenzen mehrerer Schub-Elasticitäts-Module sichergestellt werden können, deren Werthe mit der Erhöhung der Inanspruchnahme abnehmen.

Die bis zu der obenbezeichneten „Flieſsgrenze“ ermittelten Schub-Elasticitäts-Module haben folgende Werthe:

Probestab: Durchmesser d = 6cm,98, Probelänge l = 40cm,0, Drehmoment Md in Kg . cm, absolute Verdrehung δ0 in cm, specifischer Drehwinkel im Bogenmaſs (für l = d/2 = 1) , Inanspruchnahme der Drehfestigkeit Kdat, Schub-Elasticitäts-Modulus Gat.

Md = 0–7500, 7500–15000, 15000–22500, 22500–30000
Kd = 0–112,4, 112,4–224,8, 224,8–337,2, 337,2–449,6
δ 0 = 0,0102, 0,0228, 0,0370, 0,0560
δ = 0,000072, 0,000163, 0,000264, 0,000401
G = 440,000, 395,000, 365,000, 321,000.

In Folge der Inanspruchnahme mit 449at,6 auf Drehung ist die Flieſsgrenze des Probemateriales erreicht. Die Festigkeitsgrenze Kd liegt bei 1460at,9. Die Zugfestigkeit Kzat desselben Materiales wurde mit 1375,1 ermittelt, daher Kd : Kz = 1,06.

Nach Gegenüberstellung der Hauptergebnisse der alten und neueren (von de Saint Venant herrührenden) Theorie auf Drehung beanspruchter Körper und zwar daſs im Sinne der alten Theorie die gröſste Inanspruchnahme |207| (Tmax) in jenen Querschnittspunkten eintrete, welche am weitesten von der Stabachse abstehen, daſs nach den Ergebnissen der Theorie nach de Saint Venant die gröſste Schubspannung in denjenigen Umfangspunkten des Querschnittes eintritt, welche der Stabachse am nächsten liegen, werden die Resultate der neueren Theorie für fünf Querschnittsformen übersichtlich zusammengestellt, welche den kreis- und kreisringförmigen, den elliptischen und elliptisch-ringförmigen umfassen; an diese gewöhnlichen Querschnittsformen reiht sich die analytische Behandlung des gleichseitigen Dreieckes und Sechseckes als Querschnittsform für auf Drehung beanspruchte stabförmige Körper.

Es werden hierbei hauptsächlich zwei Gleichungen aufgestellt und entsprechend specialisirt; die eine bezieht sich auf den Werth der maximalen Inanspruchnahme (Tmax), die zweite behandelt die Beziehung des specifischen Verdrehungswinkels δ zu den maſsgebenden Gröſsen.

Bezeichnet φ und ψ je einen Coefficienten, Φ das kleinere der beiden Haupt-Trägheitsmomente des Stabquerschnittes, Φp das polare Trägheitsmoment desselben, Md das Drehmoment, F die Gröſse des Stabquerschnittes, ist endlich , gleich dem Radius des Vollkreises und der halben kleinen Achse der Vollellypse, sowie dem äuſseren Radius bezieh. der äuſseren kleinen Halbachse des Ellypsenringes, so nehmen die Gleichungen für Tmax und δ folgende allgemeine Form an:

.

Es folgen im Weiteren die Sonderwerthe der Coefficienten φ und ψ für die bezeichneten Querschnittsformen, wobei hervorzuheben ist, daſs nach Venant's Theorie für den rechteckigen Querschnitt der Werth ψ = f (b : h) ist. Dieser Werth ψ variirt zwischen 42,68 und 38,5 für die Grenzwerthe k : b = 1 : 1 und h : b = 8 : 1, wofür der abgerundete Werth ψ = 40,0 eingeführt wird.

Bach erörtert das zur Verfügung stehende Versuchsmaterial zur Prüfling der Theorie nach de Saint Venant für die verschiedenen Querschnittsformen und erwähnt hierbei das von Bauschinger gelieferte Material durch Untersuchung von 10 guſseisernen Wellen, von welchen je zwei den kreis- und ellypsenförmigen, den quadratischen und rechteckigen Querschnitt (b : h = 1 : 2 und 1 : 4) nachweisen.

de Venant's Theorie liefert für die bezeichneten Stäbe der Reihe nach folgende Verhältnisse der specifischen Verdrehungswinkel für und zwar:

δa : δb : δc : δd : δe = 1 : 1,25 : 1,13 : 1,40 : 9,1
Nach Bauschinger wurde gemessen = 1 : 1,24 : 1,20 : 1,47 : 9,65
Grashof's Gleichungen ergaben = 1 : 1,25 : 1,43 : 1,79 : 12,30.

Bauschinger hat noch Stahlwellen von kreisförmigem und quadratischem |208| Querschnitte auf Drehfestigkeit erprobt und für 13 Wellenpaare den folgenden mittleren Verhältniſswerth δ1 : δ2 = 1 : 0,696 festgestellt.

Die alte Theorie würde ergeben: = 1 : 0,589
die neuere Theorie: 1 : 0,833.

Die ältere Theorie liefert demnach zu geringe Formänderungen; diese Differenz wird um so gröſser, je mehr sich der Querschnitt von der Kreisform entfernt.

Die nun von Bach in neuerer Zeit durchgeführten Drehversuche mit Probestäben aus Guſseisen (unbearbeitet) und von rechteckigem, kreis–, kreisringförmigem und hohl quadratischem Querschnitte liefern folgende Durchschnittswerthe betreffend Tmax und das Verhältniss Kd : Kz, welche als sehr instructive Versuchsergebnisse zu bezeichnen und in der folgenden Tabelle übersichtlich zusammengestellt sind.

Querschnittsform b : h T max at Kd : Kz
quadratisch 1 : 1 2228 1,42 : 1
rechteckig 1 : 2,5 2529 1,60 : 1
1 : 5 2366 1,50 : 1
1 : 9 2508 1,59 : 1

Bach weist weiters nach, daſs die neuere Theorie die Beziehung zwischen Tmax und den Werthen b und h für den rechteckigen Stabquerschnitt nicht vollkommen richtig darstellt2), wobei allerdings noch auf die Beschaffenheit des Probemateriales Rücksicht zu nehmen sein wird, wenn obige Verhältniſswerthe für Kd : Kz zur Controle der Venant'schen Gleichung Tmax = ψ (Md : b2 h), wobei ψ = 4,5 ist, verwerthet werden.

Die ältere Theorie liefert hingegen für Tmax ganz unbrauchbare Werthe, wenn nämlich die Gleichung ausgenützt wird. Die mittleren Versuchsergebnisse mit den Probestäben von kreis-, kreisringförmigem und hohlquadratischem Querschnitte betreffend dieselben Gröſsen Tmax und Kd : Kz sind in der folgenden Tabelle enthalten:


Querschnittsform
Durchmesser, Seitenlänge
T max at

Kd : Kz
auſsen innen
kreisförmig 10,3cm 1618 1,02 : 1
kreisringförmig 10,2cm 7,0cm 1234 0,82 : 1
hohlquadratisch 6,2cm 3,2cm 1788 1,13 : 1

Eine Vergleichung der Drehungsfestigkeit für Probestäbe mit voll- und hohlquadratischem, sowie von kreis- und kreisringförmigem Querschnitte hat das interessante Ergebniſs geliefert, daſs für beide Querschnittsgruppen der Vollquerschnitt um 25 Proc. widerstandsfähiger ist |209| als der zugehörige Hohlquerschnitt. Hieraus folgert Bach mit Recht, daſs die Ausnutzung der Vollquerschnitte eine günstigere ist, als bisher angenommen wurde.

Die „Rippenquerschnitte“, welche allerdings im modernen Maschinenbau als auf Drehfestigkeit beanspruchte Querschnitte von Maschinenelementen immer seltener verwendet werden, besonders wenn diese aus Guſseisen hergestellt werden sollen, erweisen sich als instructive Versuchsobjecte an Verdrehungs-Probestäben, über deren zahlreiche Ergebnisse nachgelesen werden muſs. Es sei hier nur hervorgehoben, daſs schon die Art des Entstehens der ersten Brüche, ferner die Aenderung der Widerstandsfähigkeit der schon angebrochenen Probestäbe bemerkenswerthe Resultate sind und daſs endlich auch das Verhältniſs der Festigkeit des Rippenquerschnittes zum rechteckigen Querschnitte von gleichen Hauptdimensionen (b und h) je nach der Querschnittsform ein eigenartiges wird.

So hat Bach sicher gestellt, daſs a) die -Querschnitte gegenüber Inanspruchnahme auf Drehfestigkeit an sich von geringer Widerstandsfähigkeit sind, daſs b) derselbe Querschnitt nicht wesentlich mehr widersteht, als der aus dem Stege des Querschnittes gebildete rechteckige Querschnitt; c) die Gleichung für Tmax als Ergebniſs der neueren Theorie für den in Rede stehenden Querschnitt nicht brauchbar ist; d) als maſsgebend die Festigkeitsgleichung Md = 2/9 b2 h . Tmax vorläufig angenommen werden kann.

Für die -Probequerschnitte ist folgendes maſsgebend: a) die Gleichung nach de Saint Venant für Tmax ist auch für diese Querschnitte nicht brauchbar; b) es mag bis auf Weiteres benutzt werden: Md = 2/9 Tmax s2(h + 2bo), wenn bedeutet: s die Stegstärke sowie die Flanschenstärke, ferner bo = (b – s), wobei b die Breite der Flansche bezeichnet.

Für den +-Probequerschnitt kann genommen werden:

Md = 2/9 Tmax s2(h + h1s),

hierbei bedeuten h und h1 die Höhen, s die Stärke der beiden Rippen.

Ein besonderes Interesse bieten weiters die abgebildeten Bruchstücke hinsichtlich der Form der Brüche, der Lage der Bruchlinien, ferner die Beobachtungen, aus welchen die Art der Entstehung der Bruchlinien abzuleiten wäre.

Die Probestäbe mit den einfachen Querschnitten sind durchaus plötzlich und ohne vorherige Anzeichen gebrochen. Bei den Stäben mit voll- und hohlquadratischem Querschnitte scheint der Bruch in der Mitte der Flächen (und nicht an den Kanten) begonnen zu haben; das Umgekehrte scheint für die Probestäbe mit rechteckigem Querschnitte zutreffend zu sein. Genaue einschlägige Beobachtungen und solche Ergebnisse wären für die Controle der de Samt Venant'schen Gleichungen von entscheidender Wichtigkeit.

|210|

Bei den Probestäben mit sogen. Rippenquerschnitten treten die Brüche zuerst in den (Querrippen) Flanschen ein, wobei das Drehmoment sinkt. Dieses kann wieder gesteigert werden, so daſs der Probestab mit eingerissenen Querrippen widerstandsfähiger ist als im unverletzten Zustande. Der Bruch des Steges erfordert in der Regel ein gröſseres Drehmoment, als jenes ist, welches zum ersten Einreiſsen der Flanschen erforderlich war.

Es ist wohl richtig, vorauszusehen, daſs sich dieselben Probestäbe im „bearbeiteten“ Zustande gegenüber der Inanspruchnahme auf Drehfestigkeit anders verhalten hätten als im unbearbeiteten Zustande, in welchem sie durchaus der Probe unterworfen wurden.

Von Interesse ist überhaupt die Kenntniſs des Einflusses der Guſshaut auf die verschiedenen Festigkeitsarten. Bach ermittelt für Probestäbe im bearbeiteten und unbearbeiteten Zustande folgende Verhältniſswerthe für die Biegefestigkeiten (Kb):

a) quadratischer Probequerschnitt 2765 : 2295 = 1,17,
b) - 2254 : 2026 = 1,11,

ferner für die Biegefestigkeit (Kb) zur Zugfestigkeit Kz desselben Materiales im bearbeiteten Zustande:

c) quadratischer Probequerschnitt Kb : Kz = 1,73 : 1,
d) - Kb : Kz = 1,45 : 1.

Diese Angaben, welche zunächst erkennen lassen, daſs der Einfluſs der Guſshaut von der Querschnittsform abhängig ist, sollen durch die folgenden ergänzt werden, die vom Referenten durch einschlägige Untersuchungen mit gutem böhmischen Maschinen-Guſseisen gewonnen wurden, wobei die wichtigsten Arten der statischen Festigkeitsarten berücksichtigt wurden.

Die Biegestäbe erhielten rechteckigen Probequerschnitt (h : b = 9 : 5), alle übrigen, also jene für Zug, Druck, Drehungs- und Abscherproben, den kreisförmigen Probequerschnitt.

Die folgende Tabelle zeigt die Mittelwerthe der maſsgebenden Gröſsen in übersichtlicher Zusammenstellung:

Zeichen
Zustand
Zug-
festigkeit
Kzat
Druck-
festigkeit
Kpat
Biege-
festigkeit
Kbat
Dreh-
festigkeit
Kdat
Scher-
festigkeit
Ksat
a Bearbeitet 1237,5 6188,7 2202,3 1562,7 1233,2
b Unbearbeitet 1375,1 7295,0 1961,0 1791,6 1256,6

Verhältniſs

0,90

0,85

1,12

0,87

0,98
Bearbeitet Kz = 1,00 5,00 Kz 1,78 Kz 1,26 Kz 0,99 Kz
Unbearbeitet Kz = 1,00 5,30 Kz 1,43 Kz 1,30 Kz 0,91 Kz

Diese Tabellenwerthe lassen erkennen:

1) daſs mit Ausnahme der Scherfestigkeit alle übrigen statischen |211| Festigkeiten im bearbeiteten und unbearbeiteten Zustande desselben Guſseisens gröſser sind als dessen Zugfestigkeit;

2) daſs mit Ausnahme der Biegefestigkeit alle übrigen statischen Festigkeiten desselben Guſseisens in Folge des Einflusses der Guſshaut herabgedrückt werden;

3) daſs die Gröſse des Einflusses der Guſshaut auf die Veränderung der Festigkeiten bei gleicher Querschnittsform für die einzelnen Festigkeitsarten ein verschiedener ist und überhaupt von der Form des Querschnittes abhängig ist.

|205|

Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1889 S. 137.

|208|

Vgl. § 34I insbesondere S. 160 von Bach's Elasticität und Festigkeit. (S. Bücheranzeige S. 240.)

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