Titel: Ueber Integraphen.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1890, Band 275 (S. 17–21)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj275/ar275004

Ueber Integraphen, insbesondere den Abdank-Abakanowicz'schen Integraphen.

Mit Abbildungen.

So dienlich die graphischen Methoden zur Lösung mancher Aufgaben auf technischen und wissenschaftlichen Gebieten auch sind, so versagen sie doch in vielen Fällen und zwar gerade dort, wo auch der Weg der Rechnung weitläufig und unbequem ist. Schon wenn es sich um Bestimmung der Flächeninhalte irgend welcher unregelmäſsigen ebenen Figuren handelt, macht sich das eben Gesagte bemerklich und sind deshalb für Lösung dieser Aufgabe, welche sich ja bei Bestimmung der von veränderlichen Kräften geleisteten Arbeiten, Körperberechnungen u. dgl. fortwährend wiederholt, schon lange die Planimeter im Gebrauch. Letztere ergeben nun allerdings das Endresultat in Zahlen nach Vornahme einfacher Operationen, lassen aber nicht das Gesetz erkennen, nach welchem es sich bildet, was in vielen Fällen gerade wünschenswerth ist.

Um letzterer Forderung zu genügen, müſste es möglich sein, zu irgend einer Curve a (Fig. 1), welche das gegebene Diagramm begrenzt, eine zweite b zu zeichnen, deren Ordinate in irgend einem Punkte x proportional wäre dem bis zur betreffenden α-Ordinate von irgend einer Ausgangsstelle ab zwischen der Curve a und der Abscissenachse liegenden Flächeninhalte. Letzterer stellt sich bekanntlich, wenn y = f(x) die Gleichung der gegebenen Curve a ist, unter der Formel dar, |18| und die zu construirende Curve b würde demnach diejenige sein, deren Gleichung durch wiedergegeben und welche als Integralcurve zu a zu bezeichnen wäre.

Die unmittelbare Construction der Integralcurve b zu einer gegebenen beliebigen Curve a, deren Bildungsgesetz y = f(x) vielleicht gar nicht bekannt ist, läſst sich nun mit den gewöhnlichen Hilfsmitteln des Zeichnens nicht einmal punktweise durchführen. Wohl lehrt die Mathematik, daſs die trigonometrische Tangente des Neigungswinkels der Berührungslinie an die Integralcurve in irgend einem Punkte P derselben proportional der entsprechenden Ordinate y der gegebenen Curve a ist und dies könnte zur Lösung der umgekehrten Aufgabe benutzt werden, nämlich zu der Integralcurve b die zugehörige Grundcurve a zu finden. Zeichnerisch hätte man hierbei etwa in der Weise zu verfahren, daſs man für jede Ordinate Y von b das rechtwinklige Dreieck NOP aufträgt, in welchem NP die Berührungslinie an b, NO aber constant ist. Macht man hierbei NO gleich der Einheit, so hat man in die zugehörige Ordinate der Curve a und es ist umgekehrt

.

Nach Längeneinheiten NO gemessen, stellen also die Ordinaten y der Curve a die ersten Derivirten der Ordinaten Y der Curve b und umgekehrt diese die Integrale der Werthe y dar. Die Constante C ist offenbar gleich der ersten Ordinate Y0 für x = O.

Die Umkehrung dieser Aufgabe, also die Ermittelung derjenigen Curve b, deren Ordinaten Y gleich den Integralen der Ordinaten y einer gegebenen Curve a sind, ist, wie man nun erkennt, ohne weitere Hilfsmittel durch Zeichnung allein deshalb nicht ausführbar, weil die Richtung der Tangente an b stetig sich ändert, also von einem Punkte der Curve zu einem unendlich naheliegenden übergegangen werden muſs. Wohl aber lassen sich mechanische Vorkehrungen, sogen. Integraphen ersinnen, welche einen Schreibstift B zwingen, sich stets in einer Richtung NP zu bewegen, welche mit der Abscissenachse einen veränderlichen Winkel a einschlieſst, dessen trigonometrische Tangente immer proportional ist derjenigen Ordinate y der gegebenen Curve b, in deren Verlängerung sich P augenblicklich befindet.

Ein derartiger, verhältniſsmäſsig einfacher Integraph ist von D. Napoli und Abdank-Abakanowicz hergestellt worden und nebenstehend abgebildet (Fig. 2). Wie bei den Linearplanimetern ist ein über die ganze Breite des Zeichenblattes reichender Wagen vorhanden, welcher in bekannter Weise an einer am Rande des Reiſsbrettes befestigten Schiene mittels Keilrollen so geführt ist, daſs derselbe bei allen Verschiebungen sich genau parallel |19| bleibt. Senkrecht zur Bewegungsrichtung des Wagens sind auf letzterem – ebenfalls durch Rollenführung – 2 kleinere Wagen verschiebbar, deren einer den Fahrstift A zum Umfahren der gegebenen Curve a trägt, während der andere die Ordinatenbewegung des Schreibstiftes B vermittelt, welcher die abzuleitende Integralcurve b aufzeichnen soll. Mit dem Schreibstifte B ist eine kleine Achse starr verbunden, welche 2 Röllchen r und r1 von genau gleicher Gröſse trägt. Wälzen diese Röllchen sich auf der Unterlage ohne zu gleiten, so ist offenbar die absolute Bewegung des Schreibstiftes B, also die Tangente an die verzeichnete Curve in jedem Augenblicke senkrecht gerichtet zur Achse der Rollen r und r1. Soll daher der Schreibstift B die Integralcurve der von A umschriebenen Figur verzeichnen, so ist nach dem oben Gesagten nichts weiter nöthig, als daſs die Senkrechte auf die Rollenachse des Schreibstiftes mit der Abscissenachse, d.h. der Bewegungsrichtung des Hauptwagens einen Winkel α einschlieſst, dessen trigonometrische Tangente sich im Verhältniſs der Ordinaten der gegebenen Figur 1 ändert. Zu diesem Zwecke ist der Schreibstift B durch ein verschiebbares Parallelogramm mit einer Schiene S, welche um die Achse des Fahrstiftes A drehbar ist, derart in Verbindung gebracht, daſs die Rollenachse stets senkrecht, die Bewegungsrichtung von B also sich parallel zur Schiene S einstellt. Letztere wird nun durch eine Rollenführung, die auf der eingetheilten Stange M verschiebbar ist, gezwungen, stets durch einen und denselben mehr oder weniger weit vom Wagenmittel, der gemeinsamen Ordinate von A und B einsteilbaren Punkte hindurchzugehen, schlieſst also mit der Abscissenrichtung einen veränderlichen Winkel ein, dessen trigonometrische Tangente proportional den Ordinaten von A zu- und abnimmt. Durch das verschiebbare Parallelogramm wird nun die Bewegungsrichtung des Schreibstiftes B unter demselben Winkel eingestellt, und ist demnach die Forderung obiger Theorie erfüllt und B beschreibt die Integralcurve der von A umfahrenen Figur.

Fig. 1., Bd. 275, S. 19

Damit nun aber der Schreibstift die seiner absoluten Bewegung entsprechende Ordinatenverschiebung ausführen kann, müssen die beiden nicht zur Bewegungsrichtung parallelen Seiten des Parallelogrammes ihre Länge ändern und zwar – soll der Parallelismus nicht gestört werden – immer um gleiche Stücke. Dies ist in folgender Weise |20| bewirkt. Senkrecht zur Achse der Röllchen rr1 trägt der Schreibstift einen Kreuzarm, auf dessen Enden zwei Scheiben von genau gleichem Durchmesser befestigt sind. Um jede dieser Scheiben ist ein feines biegsames Stahlband geschlungen, welche Bänder andererseits auf gleich groſse Scheiben aufgewickelt sind, die in gleicher Entfernung von der Schiene S in einem mit letzterer starr verbundenen Träger drehbar gelagert sind und mit vortretenden verzahnten Rändern in einander eingreifen. Auſserdem enthält eine dieser Scheiben eine schwache Spiralfeder, welche die Stahlbänder gespannt erhält, ohne die Auswärtsbewegung des Schreibstiftwagens zu sehr zu behindern. Da sich in Folge der Verzahnung beide Scheiben nur um gleiche Winkel drehen können und folglich gleiche Längen des Stahlbandes hergeben oder einziehen, so bleibt der Parallelismus zwischen Schreibstiftbewegung und Schiene S stets gesichert, wobei es gar nichts ausmacht, daſs die losen Scheiben nicht direkt über, sondern seitwärts von der Schiene S liegen.

Fig. 2., Bd. 275, S. 20

Durch kinematische Umkehrungen Heſsen sich nun aus diesem Integraphen verschiedene andere Vorrichtungen zu demselben Zwecke ableiten. Auch böte es keine besonderen Schwierigkeiten, Integraphen für Polarcoordinaten zu construiren, wie denn in dem kürzlich erschienenen Werke von Biltcrli über diesen Gegenstand alle möglichen Constructionen für Integraphen und ähnliche Apparate zusammengestellt sind.

Selbstverständlich kann jeder Integraph den gewöhnlichen Planimeter ganz gut ersetzen. Denn wird mit dem Fahrstifte A eine Figur |21| ganz umzogen, so ist die Ordinate zwischen Anfangs- und Endpunkt des von B aufgezeichneten Zuges proportional dem Flächeninhalte der Figur und dieser selbst unter Berücksichtigung der Einstellung der Rollenführung R leicht zu finden. Auch sonst ist die Verwendbarkeit des Integraphen eine sehr ausgedehnte. Es braucht in dieser Hinsicht nur an verschiedene Probleme des Schiffbaues erinnert zu werden. Auch ist z.B. bei auf Biegung beanspruchten Trägern das Momentendiagramm durch die Integralcurve der Grenzcurve des Scheerkraftdiagrammes begrenzt u.s.w.

Hummel.

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