Titel: Die geometrischen Verhältnisse des Fräsewerkzeuges.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1895, Band 296 (S. 254–259)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj296/ar296053

Die geometrischen Verhältnisse des Fräsewerkzeuges.

Von Prof. Pregél in Chemnitz.

Mit Abbildungen.

In Folgendem ist eine übersichtliche Darstellung der Bewegungszustände und der darauf begründeten Grössenverhältnisse des Fräsewerkzeuges, sowie eine dem praktischen Gebrauch dienende Zusammenstellung der Schnitt- und Schaltgeschwindigkeiten desselben versucht worden. Das diesem wichtigen Werkzeuge entgegengebrachte allgemeine Interesse der Fachkreise dürfte auch diese Arbeit rechtfertigen.

Der Arbeitsweg der Fräserschneiden.

Wird das Werkstück in gerader Richtung gegen den Umfang der kreisenden Fräse geführt, so verläuft die Schnittwirkung nach einer Bahncurve, welche die Resultirende aus der Schaltbewegung des Werkstückes und der Kreisbewegung der Fräse ist. Wenn die Schaltbewegung verschwindet, so ist die Schnittwirkung Null; wenn aber die Hauptbewegung der Fräse verschwindet, wenn die vorher kreisende Fräse stillsteht, so wird die Schaltbewegung zur Hauptbewegung, sofern überhaupt eine hobelartige Wirkung möglich ist. Da aber gewöhnlich die Schaltung vom Hauptbetrieb der Spindel abgeleitet ist, so folgt beim Stillstand der Spindel auch der Stillstand des Tisches.

Soll aber überhaupt eine Schnittwirkung durch Fräsen möglich werden, so muss die Schnittgeschwindigkeit bedeutend grosser als die Schaltgeschwindigkeit werden. Die Bahnen der einzelnen Fräserschneiden sind Rollcurven eines erzeugenden Kreises, dessen Halbmesser r um so kleiner im Verhältniss zum Schnittkreis R wird, je kleiner das Verhältniss der geradlinigen Schaltgeschwindigkeit u zur tangentialen Schnittgeschwindigkeit v der Fräse wird.

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Da

ist, so folgt

und daher

als Halbmesser des Rollkreises.

Ist aber der Rollkreis r kleiner als der Schnittkreis R, so entstehen als Rollcurven die verlängerten Radlinien oder Orthocykloiden.

Ebenso wird beim Rundfräsen eines äusseren Cylinders mit zur Fräsespindel paralleler Drehungsachse als Bahncurve irgend eine verlängerte Aufradlinie (Epicykloide) und beim Rundfräsen eines Hohlcylinders eine verlängerte Jeradlinie (Hypocykloide) entstehen. Das Wesen dieser Rollcurven in Anwendung auf die Fräsen hat in eingehender Weise Prof. Hartmann in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1893 Bd. 37 Nr. 4 * S. 95 bezieh. Nr. 20 * S. 587, Nr. 21 * S. 603, behandelt.

Textabbildung Bd. 296, S. 255
Textabbildung Bd. 296, S. 255
Textabbildung Bd. 296, S. 255
Textabbildung Bd. 296, S. 255

In Folgendem wird eine Darstellung dieser für das Verständniss des Fräserprocesses wichtigen Bewegungsvorgänge versucht. Ist M (Fig. 1) Mittelpunkt des Grundkreises G, auf welchem der Rollkreis K mit dem Mittelpunkte O sich abwälzt, und ist ferner S der augenblickliche Berührungspunkt der beiden Kreise, zugleich der Schnittpunkt der Mittelpunktslinie MO (Centrale oder Hauptstrahl) mit den Kreisen, ist ferner P ein erzeugender Punkt im Rollkreis K, sowie D sein Gegenpunkt, so lautet bekanntlich das Gesetz der Rollcurven:

1) Die Normale PC zu einem Curvenpunkt geht stets durch den Berührungspunkt S.

2) Der Mittelpunkt C des Krümmungskreises pp liegt im Durchschnitt der Verbindungslinie DM (Gegenpunkt-Grundkreismittelpunkt) mit der Normalen. Krümmungskreis einer Curve pp im Punkte P ist der Kreis, welcher diesen Punkt und die beiden Nachbarpunkte gemein hat.

Der Abstand des Krümmungsmittelpunktes PC = ρ ist der Krümmungshalbmesser des Ergänzungskreises pp. Für den oberen Scheitelbogen aa (Fig. 2) der Rollinie kann dieses Verfahren keine unmittelbare Anwendung haben, weil der Schnittpunkt der Normalen AS mit der Verbindungslinie AM unbestimmt bleibt. Werden jedoch die Krümmungsmittelpunkte C1 und C2 zweier oder mehrerer Nachbarpunkte A1 und A2 gesucht, so kann im Schnitt der Verbindungscurve mit der Centralen OM der Krümmungsmittelpunkt C ermittelt werden. In Fig. 3 ist links das bekannte Verfahren, durch Abwälzung des Rollkreises K den Curvenpunkt d zu ermitteln, gezeigt, wobei S3d = S3S ist. Die Methode mit ruhendem Rollkreis ist rechts gezeichnet. Diese letztere lautet:

Mit Sehne Sb aus a einen Kreisbogen gezeichnet, mit ab als Zwischenstrecke den Kreisbogen aus S geschnitten, so ist der Schnittpunkt C ein Punkt der Aufradlinie.

Weil aber Sb = Sa ist, so kann diese Methode auf alle gleichabständige Bogenpunkte 1, 2 u.s.w. Anwendung finden. Ist ferner Sa = SS3 und Sb = Sd, so liegen die Curvenpunkte C und d symmetrisch zur Centralen MO.

Der geometrische Ort sämmtlicher Krümmungsmittelpunkte einer Curve heisst Evolute. Sf ist Evolute zur Aufradlinie Sg (Fig. 4).

Wird der Grundkreis unendlich, also zur Geraden, so entsteht die gemeine Radlinie Sc (Fig. 5). Liegt aber für den Rollkreis SO = r der erzeugende Punkt im grösseren Kreise OB, so folgt eine verlängerte Radlinie Be. Ist d ein Punkt dieses Kreises, welcher dem Punkt b im Fahrstrahl Od entspricht, und ist Bogen Sb gleich Strecke Sa, so wird der Curvenpunkt nach der Methode Fig. 3 gefunden, indem mit Sd aus a ein Kreisbogen gezeichnet wird, welcher, durch Strecke ad aus S geschnitten, den Punkt d der verlängerten Radlinie ergibt.

Textabbildung Bd. 296, S. 255
Textabbildung Bd. 296, S. 255
Textabbildung Bd. 296, S. 255

Weil nun bei den Fräsen im Gegensatz zu den Flankencurven der Radzähne gerade das Scheitelstück der Radlinie von Bedeutung ist, der Krümmungshalbmesser erst nach Aufzeichnung der ganzen Curve gefunden werden kann, so ist ein Verfahren, mit welchem der Krümmungshalbmesser unmittelbar zu ermitteln ist, sehr vortheilhaft.

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Sind ρ (Fig. 6) die Nachbarnormalen zu einem Element Δ der Curve aa und ist ferner ε der unendlich kleine zugehörige Centriwinkel, so ist A Δ = ρε die Bogenlänge und der Schnittpunkt C der Normalen zugleich der Krümmungsmittelpunkt für das Curvenelement Δ.

Dieser Krümmungsmittelpunkt C (Fig. 7) kann auch gefunden werden, wenn man die tangentialen Geschwindigkeiten v und u des Punktes A und eines Zwischenpunktes B kennt, dieselben als Normalen aufträgt und die Verbindungslinie der Endpunkte bis zum Schnitt mit der Normalen AC verlängert.

Wälzt sich ein Kreis K (Fig. 8) auf dem Grundkreis G ab und ist S der augenblickliche Berührungspunkt beider Kreise, ist ferner u die tangentiale Geschwindigkeit der Wälzungsbewegung, so kennt man ohne weiteres die tangentiale Geschwindigkeit v des Mittelpunktes O des Rollenkreises K.

Textabbildung Bd. 296, S. 256

Demnach gibt die Verbindungslinie vu im Schnitt mit der Centralen OM den Krümmungsmittelpunkt M für die Bahn des Kreismittelpunktes O an, welche nur eine Kreislinie vom Halbmesser (R + r) sein kann. Der am schrägliegenden Fahrstrahl SA im Abstande ρ abliegende Punkt A hat selbstverständlich in dieser Lage eine grössere tangentiale Geschwindigkeit vα als der Kreismittelpunkt O.

Diese Geschwindigkeit vα bestimmt sich aus der Gleichheit der Winkel ASvα und OSv = δ oder aus der Aehnlichkeit der Dreiecke O1Sv1 und ASvα , welche wieder durch die Gleichheit der Winkelgeschwindigkeit Begründung findet, und da

Dreieck O1Sv1OSv

daher

O1S = OS und v1 =v

ist, so folgt

wobei das Verhältniss

ist.

Wird daher auf den Schrägstrahl SA im Polpunkt S eine Normale gezogen und die tangentiale Wälzgeschwindigkeit u darauf bezogen, so ist uα die Componente dieser Geschwindigkeit.

Die Verbindungslinie vα uα der Endpunkte dieser Geschwindigkeitsstrecken schneidet der Schrägstrahl AS im Krümmungsmittelpunkte C für das Curvenstück A,

Wenn nun ω die Winkelgeschwindigkeit des Hauptstrahles MS (Fig. 8) ist, so muss nothwendigerweise die tangentiale Wälzgeschwindigkeit u = R . ω sein.

Ebenso wird die Geschwindigkeit des Mittelpunktes O

v = (R + r) ω

also

sein müssen.

In gleicher Weise wird aber

am Schrägstrahl SA, der gegen die Richtung von u um den Winkel α abweicht, sein.

Nun ist

uα = u . cos (90 – α)

bezieh.

u α = u . sin α

und

vα = ρω

so dass das Verhältniss

bezieh.

oder

die Gleichung von Euler und Savary ist.

Für α = 90° und sin α = 1, entsprechend ρ = r und ρ1 = R1 wird

eine Constante sein.

Wird nun über u als Durchmesser ein Kreis gezeichnet, so liegt der Endpunkt uα im Kreis, weil der Winkel uuαS ein Rechter über dem Durchmesser ist. Die Sehnen dieses Kreises aus S, welche normal zu den Schrägstrahlen liegen, sind Componenten der tangentialen Wälzgeschwindigkeit u.

Wird in Fig. 9 aus C eine Normale zum Schrägstrahl CA gezeichnet, so bestimmt der Schnittpunkt D dieser Normalen mit dem Hauptstrahl den Krümmungsmittelpunkt für den Scheitelpunkt B, welcher ebenfalls in der Normalen AB liegt. Alsdann ist ub = u die tangentiale Wälzgeschwindigkeit und vb die tangentiale Geschwindigkeit dieses Punktes B, welcher Schnittpunkt der Normalen AB mit dem Hauptstrahl ist.

Das Verhältniss

also ebenfalls

bezieh.

wird, wie vorher angegeben, eine Constante sein.

Daraus folgt, dass die Krümmungsverhältnisse der Bahnen, welche von den Punkten eines beliebig geneigten Strahles des Systems K durchlaufen werden, Projectionen der Krümmungsverhältnisse des Hauptstrahles sind.

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Bei der Radlinie (Fig. 10) hat der Mittelpunkt O des Rollkreises K die Geschwindigkeit u auch gleich der Wälzgeschwindigkeit. Der obere Scheitelpunkt A hat jedoch die tangentiale Geschwindigkeit v, welche aus dem Verhältniss

gefunden wird.

Dagegen ist der Krümmungshalbmesser aus dem Verhältniss

zu ermitteln.

Textabbildung Bd. 296, S. 257

Es ist nämlich

CA = CS + SA und CA = CS + 2r

daher

bezieh.

und daher

2r = CS also CA = 4r

der Krümmungshalbmesser von A.

Ebenso sind ve und vb die tangentialen Geschwindigkeiten der ausserhalb des Rollkreises K liegenden Punkte E und B, welche verlängerte Radlinien ergeben, wobei Ce und Cb die entsprechenden Krümmungsmittelpunkte für die Scheitelstellen E und B sind.

Für den unter der geraden Bahn liegenden Punkt B wird die Geschwindigkeit vb, rückläufig, und zwar ist und für SB = r angenommen, wird Vb = u werden.

Ist dies der Fall, so wird auch der Abstand des Krümmungsmittelpunktes, auch zugleich der Krümmungshalbmesser des Scheitelstückes des unteren Zweiges bb der verlängerten Radlinie sein.

Die Anwendung dieser Rollcurven auf die Bewegung der kreisenden Fräsescheibe folgt aus der Betrachtung der Fig. 11 bis 15.

Textabbildung Bd. 296, S. 257
Textabbildung Bd. 296, S. 257
Textabbildung Bd. 296, S. 257
Textabbildung Bd. 296, S. 257
Textabbildung Bd. 296, S. 257
Textabbildung Bd. 296, S. 257

Wird der festgelagerten, mit der Umfangsgeschwindigkeit v rechts kreisenden Fräse O (Fig. 11) das Werkstück mit der rechts gerichteten Schaltgeschwindigkeit u zugeführt, so wird im unteren schneidenden Scheitelpunkte B eine relative Geschwindigkeit (v – u) vorhanden sein, und während der augenblickliche obere Scheitelpunkt A eine resultirende Geschwindigkeit (v + u) besitzt, wird dem Fräsermittelpunkt O eine der Schaltgeschwindigkeit u entsprechende relative Geschwindigkeit zukommen.

Der Schnittpunkt P der Verbindungslinie der Geschwindigkeitsstrecken (v + u) und (v – u) in den Punkten A und B mit dem Hauptstrahl A B ist ein Punkt mit der relativen Geschwindigkeit Null. Wird mit OP = p der Rollkreis K gezeichnet und ist S der Berührungspunkt der zur Schaltrichtung parallelen Grundlinie GG mit dem Rollkreise, so ist nach dem Vorhergehenden die Wälzgeschwindigkeit c des Scheitelpunktes B aus dem Verhältniss bestimmbar.

Hiernach kann ohne weiteres aus dem Verhältniss der Werth für CB = x ermittelt werden, und da SB = (r + ρ) ist, so folgt .

Weil aber c = v + u ist, so wird sein.

Nun ist ferner bezieh. nach gehöriger Ausrechnung 2 (ur – vρ) = ρ

vρ = ur

der Halbmesser des Rollkreises.

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Wird dieser Werth für ρ in die Gleichung für

eingeführt, so folgt nach durchgeführter Rechnung als Krümmungshalbmesser

Für die Schaltgeschwindigkeit u = o wird und x = r.

In Fig. 12 ist und daher

Dahingegen wird für die Gleichheit der Schaltung und Kreisgeschwindigkeit, also für u = v auch x = 4r werden.

Bei zunehmender Schaltungsgeschwindigkeit tritt die Fräsewirkung gegen die Hobelwirkung zurück, z.B. bei wird x = r (1 + 2)2 = 9r, und wenn v = o, also wird, so wird auch x = ∞ die resultirende Bewegung zur geradlinigen Tischbewegung GG werden.

Sowie in Fig. 11 und 12 die Schaltung der Schnittbewegung entgegengesetzt gerichtet ist, ebenso ist in Fig. 13 bis 15 die Schaltung mit der Schnittbewegung gleichläufig. Für diese gleichläufige Schaltung (Fig. 13) folgt:

Nun ist

Da aber

ist, so folgt

also allgemein

worin (+) für die gegenläufige und (–) für die gleichläufige (incorrecte) Schaltung gilt.

Aus Fig. 14 ist bei einem angenommenen Verhältniss die hackende Fräserwirkung gut ersichtlich, während in Fig. 15 bei einem Verhältniss der Krümmungsmittelpunkt C in die Nähe des Fräsermittels O fällt, so dass der Schnittbogen fast mit den Kreisbogen Ad zusammenfällt, was für die Schaltgeschwindigkeit u = o streng der Fall ist.

Die Theilung der Fräsezähne.

Die an der Bearbeitungsfläche zurückbleibenden Wellen, Kerben oder Fräsemarken sind für die Beurtheilung der Arbeitswirkung stets maassgebend. Ihr Abstand λ (Fig. 13) ist durch den Halbmesser ρ des Rollkreises und die Zähnezahl z des Fräsewerkzeuges bedingt.

Ist

secundliche Schaltgeschwindigkeit

und

secundliche Schnittgeschwindigkeit,

so ist

und

der Halbmesser des Rollkreises.

Die auf einen Fräsezahn entfallende Schaltungsgrösse folgt

und da

die Zahntheilung ist, so entsteht für die Spandicke oder den linearen Abstand der Fräsewellen

Ebenso folgt für die Höhe δ der Wellenköpfe, welche vom Krümmungshalbmesser x des Rollcurvenscheitels und vom Abstande λ abhängig ist, mittels analytischer Rechnung

oder angenähert

bezieh.

als Scheitelhöhe.

Werden für λ2 und x die früher gefundenen Werthe

eingesetzt, so folgt

worin für gegenläufige Schaltung das +– und für gleichläufige das –-Zeichen gilt.

Zum Beispiel wird für t = 10, z =12 und r = 19, sowie

für gegenläufige

und

für gleichläufige Schaltung

folgen.

Ist ferner λ die auf einen Fräsezahn entfallende Schaltung, so ist (λz) die einer Umdrehung entsprechende, so dass

die Schaltgeschwindigkeit in mm/Sec. ist.

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Nun ist

die Schnittgeschwindigkeit,

daher

die secundliche Umlaufszahl,

welche, in die Gleichung für u eingeführt,

ergibt, und weil ist, so entsteht

oder

d.h. das Verhältniss der Schalt- zur Schnittgeschwindigkeit ist dem Verhältniss Spandicke λ zur Fräsezahntheilung t gleich.

Dieses Verhältniss (Fig. 16) ist um so genauer der Tangente des Eindringungswinkels γ gleich, je kleiner das bezieh. je kleiner der Rollkreishalbmesser ρ im Verhältniss zu r wird.

Wichtig für einen ruhigen Arbeitsgang ist die Grösse der Fräsezahntheilung t, welche möglichst kleiner als der Eingriffsbogen oder der entsprechenden Sehne AE (Fig. 16) zu machen ist.

Aus dem Kreisverhältniss folgt

h : l = l : (2r – h)

bezieh.

h (2r – h) = l2

oder

Wenn nun angenommen wird, so folgt

als Durchmesser der Fräse.

Umgekehrt folgt daraus

als Theilung.

Wird dieser Werth für t in die früher entwickelte Gleichung eingeführt, so entsteht

woraus folgt, dass dem Geschwindigkeitsverhältniss (u : v) das Verhältniss Spandicke λ zum geometrischen Mittel aus Durchmesser und Schichthöhe gleicht.

Es ist ferner leicht, für eine gegebene Schichthöhe h und eine angenommene Theilung t oder Stichzahl den Durchmesser d bezieh. die Zähnezahl z für ein Fräsewerkzeug zu ermitteln, welches der angeführten Bedingung entspricht.

Es war

und für

folgt

bezieh.

bezieh. wenn π2 = 10 gesetzt wird

als Durchmesser der Fräse.

Dementsprechend ist die folgende Tabelle I zusammengestellt, während eine Reihe wirklich ausgeführter Fräser diese Annahme zu bestätigen scheint.

Tabelle I.

Fräser für eine Schichthöhe h = 1,5 mm.

1,0 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,5 3,0 3,5
d 15 21,6 26 29,4 33 38,4 42,5 48,6 53,2 60 95 135 185,5
z 15 18 20 21 22 24 25 27 28 30 38 45 53
Fräser von Brown und Sharpe u.a.
z 12 15 16 20 20 24 27 35 40 50
d 2,7 20 19 25,4 30 38 50,8 70 100 175

Aus

folgt

sowie

die gewünschte Riffenzahl für eine gegebene Schichthöhe h und eine angenommene Stichzahl (t : π) bezieh. abgerundet

wonach die Uebersichtstabelle II berechnet ist.

Tabelle II.

Zähnezahlen z für Fräser mit geraden Riffen und für Schichthöhen h = 0,1 bis 4 mm mit der Stichzahl .

h 1,2 1,5 1,7 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
0,1 225 270 340 380
0,5 45 54 68 76 90 112 136
1,0 23 27 34 38 45 56 68 80 90 100
1,5 15 18 22 25 30 37 45 53 60 66
2,0 11 14 17 19 23 28 34 40 45 50
2,5 9 11 14 15 18 22 27 32 36 40
3,0 9 11 13 15 18 23 27 30 34
4,0 9 11 14 17 20 23 25

(Schluss folgt.)

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