Titel: Ueber die Genauigkeit der Polarplanimeter.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1895, Band 297 (S. 14–16)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj297/ar297006

Ueber die Genauigkeit der Polarplanimeter.

Mit Abbildung.

Unter dem Titel: The Polar-Planimeter, macht William Cox im American Machinist folgende Mittheilungen:

Es liegt nicht in meiner Absicht, in diesen Zeilen die Theorie oder die Anwendungsmethoden des Polarplanimeters zu beschreiben, sondern vielmehr an den Versuchen derjenigen, welche dem Studium und der Anwendung dieser geistvollen Erfindung Jahre gewidmet haben (ebenso als an meinen eigenen Versuchen) zu zeigen, dass es trotz der Zweifel, welche neuerdings an seiner Richtigkeit erhoben werden, volle Glaubwürdigkeit verdient.

Als bezeichnend müssen wir uns vergegenwärtigen, dass es Planimeter gibt, welche sich mit einem Preise von 5 bis auf 100 Dollars für das Stück und mehr einreihen lassen, so dass das Vertrauen, welches denselben entgegengebracht werden kann, augenscheinlich abhängig ist von ihrem System, von ihrer Constructionsart, von ihrer Güte und somit auch von ihrem Preis. Meine Bemerkungen beziehen sich hauptsächlich auf das in der Figur dargestellte Instrument, weil dessen System für Civil- oder Maschineningenieurarbeiten das passendste, sowie seine Güte eine der besten, ferner der bewegliche oder Stangenarm durchaus auf seine ganze Länge gut getheilt ist, so dass es so corrigirt werden kann, dass der wirkliche Flächeninhalt einer gegebenen Figur, welche zeichnerisch in irgend einem Maasstabe dargestellt ist, leicht erhältlich ist.

Die Genauigkeit der Messung, welche mittels des Polarplanimeters vorgenommen wird, hängt ab von der Sorgfalt, welche beim Umfahren des Umfanges der Figur, deren Inhalt gesucht werden soll, mit dem Gestänge gehandhabt wird, ebenso von der Sorgfalt, welche auf die Construction und Correction der verschiedenen Instrumententheile verwendet ist. Es gibt aber noch einen anderen Factor, welcher die Genauigkeit der Resultate wesentlich beeinflusst, und das ist die Oberfläche des Papiers, auf welchem der Planimeter gebraucht wird. Das Instrument ist nothwendiger Weise ein sehr empfindlich construirtes, und da das Messungsergebniss durch Rollen oder Gleiten der Räder allein, sowie durch deren combinirtes Rollen und Gleiten erzeugt wird, so muss die Oberfläche, über welche es geht, augenscheinlich die grössere oder geringere Regelmässigkeit seines Fortschreitens beeinflussen, indem das Ergebniss in manchen Fällen zu gross (vermehrt), in anderen zu klein (vermindert) wird.

Um sowohl im Allgemeinen die Genauigkeit des Planimeters nachzuweisen, als auch um die Correctur des Gestängearmes in Bezug auf den Maasstab, in welchem die Zeichnung hergestellt ist, zu erleichtern, wird gewöhnlich ein rundes Messingscheibchen dem Instrument beigegeben, welches einen feinen Einschnitt rund herum an seinem Rande hat und dem Inhalt einer gegebenen bezieh. bekannten Fläche, z.B. 4 Quadratzoll, entspricht. Das Gestänge kann mit beträchtlicher Genauigkeit rund um die Scheibe mittels des Einschnitts geführt und das Resultat am Rade verglichen werden mit der bekannten Fläche, welche mittels des Einschnitts umfahren ist. Einige wenige Versuche, sowohl vorwärts als rückwärts, ergeben den Grad der erreichbaren Genauigkeit mit ziemlicher Gewissheit. In einigen Fällen wird statt des Einschnitts ein kleiner Metallstreifen benutzt, der am einen Ende eine feine Centralnadel und 1, 2, 3 u.s.w. Zoll entfernt davon Löcher enthält, in welche die Gestängespitze eingesetzt werden kann, so dass damit genaue Kreise von 2, 4, 6 u.s.w. Zoll Durchmesser beschrieben werden können und das Resultat am Rade mit der bekannten Fläche je eines solchen Kreises verglichen werden kann. Selbstverständlich |15| wird bei Forderung einer grösseren Genauigkeit das Mittel von mehreren Umdrehungen genommen und der Gestängearm corrigirt, um die mittlere Ablesung so genau als möglich mit der bekannten Fläche des Kreises in Einklang zu bringen. So bekam ich beim Prüfen eines Instrumentes die folgenden Resultate nach einander für jedes Durchlaufen des Gestänges um die Scheibe: 4,18 + 4,175 + 4,178 + 4,170 + 4,180 + 4,172 = 25,055; im Mittel 4,176. Hieraus ist ersichtlich, dass die grössten Abweichungen vom Mittel sind: + 0,004 und – 0,006, was 0,10 und 0,12 Proc. ausmacht. Die Fläche der benutzten Scheibe war 4,17 Quadratzoll, so dass das mittlere Resultat sehr nahe richtig war und wahrscheinlich durch eine geringe Correction des Gestängearmes noch genauer hätte erreicht werden können. Die grösste Abweichung zwischen zwei Resultaten war nur 1 : 417 oder weniger als ¼ Proc.

Textabbildung Bd. 297, S. 15

Prof. Franz Lorber in Leoben (Oesterreich), der eine grosse Menge Zeit der Prüfung von verschiedenen Arten von Planimetern gewidmet und verschiedene Tausende von sorgfältigen und vollkommenen Versuchen damit anstellte, kam zu dem Schluss, dass der Fehler in den Resultaten durch eine Gleichung dargestellt ist, welche zusammengezogen die Form hat:

wobei E = Fehler im Resultat, ausgedrückt in Theilen
der gemessenen Fläche,
F = wirklich gemessene Fläche,
f = Werth eines Umganges des Messrades, abhängig
vom Stand des Gestängearmes,

K und m sind Constante, verschieden nur nach der Art des Instruments, und bei dem durch unsere Figur dargestellten:

K = 0,00126 und m = 0,00022.

Prof. Lorber fertigte Tafeln über die Resultate einer Anzahl von Versuchen an; die folgende bezieht sich auf den hier dargestellten Planimeter.

Wirklich ge-
messene
Fläche = F

Absoluter Fehler
im Resultat = E

Relativer Fehler im Resultat
f mit = 100 qc
qc qc 1 auf: Proc.
200 0,157 1,247 0,0785
100 0,148 682 0,148
50 0,141 355 0,282
20 0,135 148 0,675
10 0,133 75 1,33
5 0,131 39 2,62

Das Obige sind die Fehler eines einzigen Umlaufs des Gestängpunktes um die zu messende Fläche und nicht die Mittel von verschiedenen Umläufen. Es muss bemerkt werden, dass die absoluten Fehler, welche von 0,131 bis 0,157 qc variiren, nur wenig von einander verschieden sind und ganz und gar nicht im Verhältniss zu der gemessenen Fläche stehen, so dass auf der anderen Seite sich der relative Fehler beträchtlich vermindert, wenn die gemessene Fläche grösser ist, indem er nahezu umgekehrt proportional zur Vermehrung der Fläche steht.

Prof. Henry S. H. Shaw sagt in einem werthvollen, dem Institut der Civilingenieure zugestellten Schreiben: „Ich kenne ein Civilingenieurbureau, wo eine grosse Anzahl von Erdmassen erhoben werden mussten; die Berechnungen schritten langsam voran und mit vielen Wiederholungen, bis ein Angestellter sich einen Planimeter verschaffte, und dann ging das Uebrige mit dem Resultate einer schnellen Durchführung und fast ganz ohne Fehler und selbst dann nur in den Decimalstellen, wo vorher die Abweichung nach Einheiten zählte.“

Clemens Herschel, Civilingenieur, sagt in einem Schreiben, welches 1874 dem Journal des Franklin-Institutes zugetheilt wurde, nachdem er die Methode der mechanischen Berechnung der Erdmassen nach der Prismoidalformel mittels des Polarplanimeters beschrieben hat, dass er finde, dass der wahrscheinliche Fehler nicht grösser sein dürfe, als 2 Yards auf 1000 oder 0,2 : 1 Proc.

Ein Correspondent des Engineering News sandte vor wenigen Monaten einige Specialarbeiten, welche von ihm mit dem gleichen hier illustrirten Planimeter ausgeführt sind. Er sagt: „Verschiedene Artikel über den Gebrauch des Polarplanimeters sind in Ihrem Journal von Zeit zu. Zeit erschienen, aber sie waren nur Beschreibungen und mathematische Darlegungen seines Arbeitens, gleichzeitig mit verschiedenen Formeln und nicht Vergleiche von Resultaten aus der täglichen Praxis. Es werden selten Ingenieure in Eisenbahnconstructionen angetroffen, welche je den Planimeter zur Berechnung ihrer Anschläge benutzten oder irgend etwas über seine Vortheile bei solchen Arbeiten wissen. Bei der Berechnung von Flächen mit complicirten Querschnitten und beim Revidiren von monatlichen Anschlägen, wobei die Zeit immer eine Rolle spielt, ist er bestens zu empfehlen und seine Genauigkeit wird durch folgenden Vergleich gezeigt, welcher aus der wirklichen Praxis schwieriger Eisenbahnconstructionen in Erde und Fels entnommen ist, wo die Arbeit mit Dampfschaufeln verrichtet wird und zahlreiche Einschlitzungen nöthig sind, um jeden Einschnitt zu vollenden.

Vergleich der Resultate von Originalquerschnitt, definitivem Kostenanschlag und Polarplanimeter.


Aushub
Nach
Original-
quer-
schnitt
Nach de-
finitivem
Kosten-
anschlag
Nach
Polar-
plani-
meter

Differenz
Cub.-Yds Cub.-Yds Cub.-Yds Proc.
Dalrymple-Einschnitt 61,164 61,196 60,871 – 0,52
Heine-Einschnitt 52,801 52,801 51,763 – 1,96
Herrick-Einschnitt 44,211 45,521 45,683 + 0,35
Smith-Einschnitt 43,947 43,223 43,088 – 0,31
Baker-Einschnitt 116,647 113,510 114,502 + 0,86

Für Revisionen in zwei Fällen, welche analytisch berechnet und nach der graphischen Methode erstellt sind:

|16|
1419187 Cubik-Yards,
der Planimeter hatte + 0,024 Proc. Differenz,
1027839 Cubik-Yards,
der Planimeter hatte + 0,0316 Proc. Differenz.

Ich denke, ich habe genug gesagt, um zu zeigen, dass den Resultaten, welche mittels des Polarplanimeters gefunden wurden, volles Vertrauen entgegengebracht werden kann, wenn man vor Benutzung des Instrumentes es sorgfältig mit der beschriebenen Scheibe untersucht und genau nach dem Zeichenmaasstab corrigirt hat. Bei den grösseren und kostspieligeren Instrumenten sind Erfindungen der einen oder der anderen Art angebracht, wodurch der Factor der ungleichen Papieroberfläche mehr oder weniger beseitigt wird.

-r.

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