Titel: Studien über die Mechanik der Kugellager.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1899, Band 314 (S. 40–43)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj314/ar314009

Studien über die Mechanik der Kugellager.

Von Ingenieur R. Frank.

(Schluss des Berichtes S. 26 d. Bd.)

Es soll nun weiter die Abnutzung der Kugellager betrachtet werden. Die Abnutzung denkt man sich, in der Regel als Folge der gleitenden oder Pivotreibung, und zwar den ganzen Vorgang analog wie bei einem spanabhebenden Werkzeug. Eine reine rollende Reibung, entstanden gedacht durch Aufkippen des belasteten rollenden Körpers um die äusserste Kante der durch die Deformation hervorgerufenen Auflagefläche, kann daher eine Abnutzung im eigentlichen Sinne des Wortes nicht bewirken. Dem widerspricht die Wirklichkeit. Auch wo nur rollende Reibung oder ganz vorzugsweise rollende Reibung thätig ist, ist Abnutzung zu konstatieren, speziell weisen auch pivotreibungslose Konen zerstörende Einflüsse auf. Diese können herrühren von gleitenden Reibungen, welche als Nebenerscheinungen auftreten. Ist z.B. die Bildung einer Rille bereits eingetreten, so wird dadurch auch beim pivotreibungslosen Konus eine zusätzliche gleitende Reibung hervorgerufen. Dieselbe ist allerdings gering. Bourlet berechnet sie an der schon zitierten Stelle für ein Zahlenbeispiel zu 1/40 der Pivotreibung für ε = 30°. Man wird daher nach einer anderen Erklärung zu suchen haben. Aus den Gleichungen 20) bis 22) berechnet sich der maximale Flächendruck zu . Bei der Kleinheit von σ0 muss dieser Wert sehr hoch werden, so hoch, dass wahrscheinlich Ueberschreitung der Elastizitätsgrenze und damit eine im Laufe der Zeit fortschreitende Formänderung eintritt. Diese Annahme wird durch eine oft beobachtete Erscheinung bestätigt. Ein längere Zeit in Gebrauch gewesener Konus zeigt oft eine tiefe Rille, deren Oberfläche jedoch noch vollkommen glashart ist – ein Beweis, dass sich unter der harten Oberhaut Verdrückungen eingestellt haben. Da es für den Zustand des Lagers gleichgültig ist, ob es durch Abnutzung im eigentlichen Sinne, oder durch Formänderung geschädigt ist; da ferner der Hauptsache nach nur rollende Reibung, Pivotreibung nur in geringen Prozenten, vorhanden ist, so soll im folgenden die Abnutzung direkt proportional den Gesamtreibungsarbeiten gesetzt werden, gleichviel ob sie von rollender Reibung oder von Pivotreibung herrühren.

Als Mass der Abnutzung eines Konus oder einer Schale soll nun eine Zahl k' formuliert werden, welche geeignet ist, als Grundlage für die Vergleichung verschiedener Lager zu dienen. Es werde eine Umdrehung eines Kugellagers betrachtet, so dass χ = 2π. Nach Gleichungen 16) errechnen sich daraus ϕ1 und ϕ2.

Es sei nun allgemein die Reaktion Q1 während einer Umdrehung veränderlich. Die Reibungsarbeit für eine Drehung 1 ist dann

ρ1Q1 . r11.

k' muss indirekt proportional sein der Fläche, welche diese Reibungsarbeit aufzunehmen hat. Diese ist ein Kreisring von der Grösse

2r1π . 2σ0.

Da aber ein Teil, entweder der Konus oder die Schale, mit der Kraftrichtung feststeht, der andere sich dreht, so muss der eine Teil nur mit seinem halben Umfang die Reibungsarbeit aufnehmen, der andere Teil hat dazu seinen ganzen Umfang zur Verfügung. Die die Reibungsarbeit aufnehmende Fläche muss also ausgedrückt werden durch ϑ . 4r1πσ0, wo ϑ bald = 1, bald zu setzen ist. Diese Fläche ist wegen σ0 gleichfalls mit Q1 veränderlich.

Da wegen der Uebersetzung die verschiedenen Achsen verschiedene Tourenzahlen besitzen, ist diese zu berücksichtigen, und zwar ist k' proportional derselben. Die Tourenzahl der Kurbelachse sei 1, die der übrigen mit u bezeichnet. Dann ist für eine Drehung 1 abgesehen von einer Konstanten

. . . . 32)

. . . . 33)

Gleichung 22) gibt die Beziehung zwischen Q1 und σ0. Damit wird

ist eine sich stets gleichbleibende Konstante, und soll daher fortgelassen werden, ebenso soll ρ1 der sich ebenfalls annähernd immer gleichbleibende Koeffizient der pivotreibungsfreien Konusreibung herausfallen. Es entsteht dann eine zu Vergleichen geeignete Zahl k, welche die „relative Abnutzung“ heissen soll. Sie lautet demnach für die drei Laufstellen des Kugellagers






. . . . . 34)

Die Integrale können durch Mittelwerte ersetzt werden. Es bleiben nämlich die Reaktionen während einer halben Umdrehung konstant und wechseln nur mit Rechts- und Linkstritt auf die Pedale, wenn man annimmt, dass die Kraftäusserug des vertikal nach unten tretenden Fahrers konstant bleibt. Sind Qr und Ql die Werte einer Reaktion für Rechts- und Linkstritt, so ist der Verlauf des Integrals so, wie ihn Fig. 20 zeigt, d.h. es wird z.B.

.

Textabbildung, Bd. 314, S. 40

Setzt man den Mittelwert

. . . . 35)

so wird







. . . . 36)

Die Zahlen k1k2k3 geben ein Mass für die Beanspruchung eines Kugellagers auf Abnutzung. Sie sollen im folgenden für die vier Lager eines Fahrrades üblicher Abmessungen (Tretkurbellager, Hinterradnabe, Vorderradnabe, |41| Pedal) numerisch berechnet werden; an die Zahlenwerte lassen sich dann weitere Folgerungen knüpfen.

Das Gewicht des Fahrers betrage 75 kg, der durchschnittliche Pedaldruck für eine längere Betriebsdauer etwa ¼ desselben = 19 kg; der Kettenzug entsprechend einer Kurbellänge von 165 mm und einem Teilkreisradius für 18 Zähne = 73 mm beträgt dann 43 kg. Die Richtungen der Reaktionen seien durch Winkel bezeichnet, und zwar vertikal nach oben mit 0, von da aus bei Betrachtung des Fahrrades von dessen rechter Seite her im Gegensinn des Uhrzeigers zählend (Fig. 21).

Textabbildung Bd. 314, S. 41

Das Tretkurbellager. Betrachtet werde ein Humber-Lager (Kugeln ausserhalb der Konen) mit rechtwinkligem Schalenprofil. Jedes Lager besitze zehn Kugeln von 5/16 Zoll Durchmesser, dann ist

α = 26° 34'

ϕ1 = 4,34

ϕ2 = 1,94.

Die Hilfsreaktionen sind bei Rechtstritt (Achsweiten s. Fig. 22)

links Ar = 39,6 kg; rechts Br = 80,5 kg,

ihre Richtungen:

μr = 157° 20'; vr = 313° 40',

bei Linkstritt:

links Al = 57,6 kg; rechts Bl = 68,7 kg,

ihre Richtungen:

μl = 15° 20'; vl = 237° 50'.

Daraus folgen die Reaktionen:

Die rechte Lagerschale. Es sei die Laufstelle II (Fig. 13) betrachtet. Lagerreaktionen sind abwechselnd

Xr cos α = Br und Yl cos α = Bl

unter den Winkeln vr und vl. Jede dieser Kräfte möge sich auf den ihrer Richtung zugewandten halben Schalenumfang nach einem kardioidenähnlichen Diagramm zerlegen (Fig. 23). Da die Schale feststeht, ist immer eine und dieselbe Hälfte des Schalenumfangs der Wirkung der Reibungsarbeit ausgesetzt, es ist also . Die Abnutzungsgebiete von Br und Bl überdecken sich um den Winkel π – (vr – vl) = 104° 10'. Innerhalb dieser Ueberdeckung herrscht während der ganzen Umdrehung stets eine Kraftwirkung, und zwar abwechselnd von Br und Bl herrührend; hierfür kommt der Mittelwert der Gleichung 35) in Betracht. Es ist dies das Gebiet der maximalen Abnutzung, während in den Nachbargebieten, die nur von Br oder nur von Bl beeinflusst sind, geringere Abnutzungen herrschen, da sie nur während einer halben Umdrehung beansprucht sind. Die mittlere Kraftwirkung nach Gleichung 35) errechnet sich:

B2 = 74,5.

Textabbildung, Bd. 314, S. 41

Ferner ist:

u = 1

ϕ2 = 1,94

ρ2 : ρ1 = 1,06

und damit nach Gleichung 36)

k2 = 74.

Die relative Abnutzung k3 bleibt ausser Betracht, sie ist wesentlich geringer, da die Kraftwirkungen Yr sin α und Yl sin α wesentlich geringer ausfallen.

Die linke Lagerschale. Aehnlich wie bei der rechten Schale überdecken hier die Kräfte Xr cos α und Xl cos α ein Gebiet maximaler Abnutzung. Jedem der Gebiete der beiden X liegt aber ein Gebiet des dazu gehörigen Z gegenüber (Fig. 24). Das Ueberdeckungsgebiet der beiden X beträgt π – (μr – μl) = 38°. Dasselbe ist indessen so klein, dass es als Gebiet einer maximalen Abnutzung kaum in Betracht kommt. Denn erstens fallen die Kardioiden nach ihrem Endpunkt hin zur 0 ab, zweitens würde eine auf einen so kurzen Bogen beschränkte intensive Abnutzung bewirken, dass dort jede Kraftübertragung aufhört, mithin die Nachbargebiete in erhöhtem Masse abgenutzt werden. Als Gebiet maximaler Abnutzung ist daher das Ueberdeckungsgebiet von Xl cos α und Zr cos α aufzufassen, welches eine Grösse von μr – μl = 142° besitzt. (Das Ueberdeckungsgebiet von Xr cos α und Zl cos α ist kleineren Kräften ausgesetzt als obiges.) Nach Gleichung 35) wird der Mittelwert obiger Kräfte Q2 = 40,3 kg und damit weiter k2 = 47.

Textabbildung, Bd. 314, S. 41

Der rechte Konus. Es sei zunächst die Wirkung der Reaktion bei Rechtstritt (Yr) betrachtet. Ausgehend von der in Fig. 25 gezeichneten Lage mache der Konus eine halbe Umdrehung, dann wird jeder Punkt seines Umfanges das Gebiet der Kraftübertragung passieren, die Abnutzung während der halben Umdrehung sich also auf den ganzen Konusumfang verteilen. Dabei werden allerdings nicht alle Punkte des Umfanges gleich stark beansprucht; Punkt a, wie leicht ersichtlich, am stärksten, Punkte am schwächsten = 0. Diese ungleichförmige Verteilung kann dargestellt werden durch eine Kurve, Fig. 25. wie sie in Fig. 25 gezeichnet ist; sie soll indessen ebenso ausser Betracht bleiben, wie die genaue Berücksichtigung der kardioidenförmigen Kraftverteilung. Beide, durch und ϑ = 1 gekennzeichnete Glieder des Kugellagers erfahren damit eine Vernachlässigung im. gleichen Sinne, die mithin für die Vergleichszahlen ohne wesentliche Bedeutung sein wird.

Textabbildung, Bd. 314, S. 41

Nach vollendeter halber Umdrehung tritt Yl in Wirkung; es ist ebenfalls ϑ = 1. Mithin ist nach Gleichung 35)

,

also

Y1 = 83,3 kg

u = 1

ϑ = 1

ϕ1 =4,34

und daraus

k1 =85.

Der linke Konus. Während der halben Umdrehung bei Rechtstritt ist die eine Konushälfte unter dem Einfluss von , die andere unter dem von , beide Werte verursachen jeder für sich Abnutzung des ganzen Umfanges entsprechend ϑ = 1. Der abnutzende Einfluss bei Rechtstritt |42| ist also gekennzeichnet durch ; in gleicher Weise der bei Linkstritt durch . Ein mittlerer Belastungswert errechnet sich also aus der modifizierten Gleichung 35)

.

Es wird damit Q1 = 97,7 kg und k1 = 96.

Die Hinterradnabe besitze Kugelreihen innerhalb der Konen, ein Schalenprofil von 90° und in jedem Lager neun Kugeln von ¼ Zoll Durchmesser. Es ist

,

α = 24° 54',

ϕ1 = 4,42,

ϕ2 = 1,86.

Textabbildung, Bd. 314, S. 42

Die Achs weiten sind aus Fig. 26 kenntlich. Es greifen folgende äussere Kräfte an: Anteil vom Eigengewicht des Fig. 26. Fahrers 50 kg, dazu Anteil vom Eigengewicht des Fahrrades (ohne Räder) 6 kg; diese 56 kg vertikale Belastung werden durch die Kettenspanner übertragen. Horizontal: 43 kg Kettenzug.

Es ergeben sich die Hilfsreaktionen

links: A = 28,1 kg, rechts: B = 49,6 kg

und daraus

Y = 54,7 kg X = 42,9 kg Z = 11,8 kg.

Eine Veränderlichkeit der Reaktionen während einer Umdrehung hat nicht statt, wodurch die Betrachtung sehr vereinfacht wird. Für die Tourenzahl wird ein Verhältnis der Zähnezahlen 18: 8 angenommen, so dass u = 2,25.

Die Konen stehen mit der Achse fest, es ist daher zu setzen. Es ist

für den rechten Konus Q1 = Y1, k1 = 300,
für den linken Konus Q1 = X1, k1 = 250.

Die rechte Schale ist an der cylindrischen Fläche mit B belastet, die abnutzende Wirkung erstreckt sich auf den ganzen Schalenumfang (ϑ = 1). Für ρ2 : ρ1 = 1,06 wird k2 = 63.

Die linke Schale ist an ihrem ganzen Umfang, also mit ϑ = 1 der Summe der Wirkungen von X cos α und Z cos α ausgesetzt, als Kraftwirkung ist also in die Gleichung 36) einzuführen:

.

Damit wird Q2 = 59,8, k2 = 72.

Die Vorderradnabe besitze gleichfalls Kugelreihen innerhalb der Konen, rechtwinkliges Schalenprofil, zehn Kugeln von 3/16 Zoll Durchmesser. Es ist

; α = 26° 34'; ϕ1 = 4,34; ϕ2 = 1,94.

Dieselbe ist vertikal belastet mit 25 kg Gewichtsanteil des Fahrers und 5 kg Gewichtsanteil des Fahrrades. Da die Belastung symmetrisch ist, verhalten sich beide Lager ganz gleich. Es ist

A = B = 15 kg

X = Y = 16,8 kg; Z = 0

u = 2,25.

Für die Konen wird

; Q1 = Y: k1 = 131.

Für die Schalen

ϑ = 1; ; Q2 = B: k2 = 29.

Die Pedale mögen Kugelreihen zwischen den Konen besitzen, rechtwinkliges Schalenprofil, in jedem Lager zwölf Kugeln von ⅛ Zoll Durchmesser. Es ist

; α = 29° 14'; ϕ1 = 4,22; ϕ2 = 2,06.

Die Belastung durch 19 kg Druck werde symmetrisch angenommen, so dass beide Lager gleich beansprucht sind. Es ist

A = B = 9,5 kg; X = Y = 10,9 kg; u = 1.

Für die Schalen, welche mit der Kraftrichtung feststehen, wäre zu erwarten; da die Pedale aber von beiden Seiten getreten werden können, so wird ϑ = 1. Für die Konen wird ϑ = 1, Die Belastung wechselt innerhalb einer Umdrehung zwischen Qr und Ql, und zwar ist immer einer dieser Werte = 0. Nach Gleichung 35) wird also

.

und damit für die Konen

Q1 = 4,3 kg; k1 = 12

und für die Schalen mit

ρ2 : ρ1 = 1,06 : Q2 = 3,8 kg; k2 = 6.

Die in vorstehenden Beispielen gefundenen Werte von k, sowie die beeinflussenden Grössen sind in der Tafel übersichtlich zusammengestellt. Sie sind in gewissen Grenzen als typisch zu betrachten, da die zu Grunde gelegten Lagerdimensionen sehr übliche sind und kleinere Dimensionsabweichungen – in den Achsweiten u.s.w. – die k-Werte nur um wenige Einheiten verschieben. Das allgemeine Bild, welches durch die Zahlen gewonnen wird, stimmt auch gut mit der Wirklichkeit überein; es sind bekannte Erfahrungen, dass die Radkonen am schwierigsten zu behandeln sind und des häufigsten Nachersatzes bedürfen, und dass die Pedale selbst dann nicht übermässigen Verschleiss zeigen, wenn die Teile: Konen und Schalen in der Härte unsorgfältig behandelt sind. Man kann der Tafel auch eine gewisse mittlere Zahl entnehmen, welche die Grenze des Zulässigen der relativen Abnutzung repräsentiert. Man hat das Tretkurbellager früher mit ¼''-Kugeln ausgerüstet, ist aber fast ganz allgemein zu 5/16'' übergegangen und hat damit Klagen über vorzeitige Abnutzung fast gänzlich beseitigt. Wenn einige Konstruktionen noch weiter gehen, und ⅜''-Kugeln verwenden, so sind hierfür wohl mehr andere Rücksichten, als Festigkeit der Achsen, Verwendung von Hohlachsen – Columbia – massgebend gewesen. Aus diesen Thatsachen mag der Rückschluss gerechtfertigt sein, dass die Werte für das Kurbellager die Grenze des Zulässigen repräsentieren, und dass diese bei etwa 75 bis 100 zu suchen ist.

Tafel der relativen Abnutzungen.

Textabbildung Bd. 314, S. 42
|43|

Diesen Zahlen gegenüber sind die relativen Abnutzungen der Radkonen unzulässig hoch. Bei Beurteilung derselben können indessen zwei Punkte nicht ausser Betracht bleiben. Erstens liegt in eine sehr ungünstige Annahme. Nach dem Herausnehmen des Rades zur Reinigung, Anstellen der Konen u.s.w. wird wahrscheinlich nicht wieder derselbe Teil des Konusumfanges an die Stelle der Kraftübertragung kommen, also die Abnutzung nicht wieder auf denselben Bogen einwirken. Wird während längerer Betriebsdauer die Achse planmässig allmählich herumgedreht, so kann man dadurch bis auf ϑ = 1 gelangen, d.h. die k-Werte bis auf die Hälfte ermässigen (den linken Hinterkonus nicht so weit, wegen des Systems X/Z). Zweitens ist die Annahme des Pedaldruckes zu ¼ des Körpergewichts des Fahrers diskutabel. Für eine längere Betriebsdauer scheint dieser Druck als Mittelwert sehr hoch. Nimmt man indessen einen geringeren an, so wird die Hinternabe dadurch nur zum Teil entlastet, da die vertikal wirkenden 56 kg unbeeinflusst bleiben; die Vordernabe wird überhaupt von dieser Annahme nicht getroffen. Die Zahlen für das Tretkurbellager werden aber am meisten reduziert, und da diesen die Norm für das Zulässige entnommen ist, erscheinen die Radkonen in noch ungünstigerem Lichte. Nach dem ersten der beiden erwähnten Gesichtspunkte scheinen die Radkonen also zu ungünstig, nach dem zweiten zu günstig beurteilt zu sein; die Zahlen der Tafel werden also eine gewisse Mittelstrasse innehalten.

Die Gründe, aus denen die Abnutzungen der Radkonen eine enorme Höhe erreichen, sind der Tafel leicht zu entnehmen: Es trifft das grosse ϕ1 (gegenüber dem kleinen ϕ2) mit zusammen, während beispielsweise beim Tretkurbellager ϕ1 mit ϑ = 1 zusammentrifft; ausserdem tritt für die Nabe erschwerend hinzu u = 2,25. An diesem Zusammentreffen dürfte auf konstruktivem Wege nichts zu ändern sein3); es bleibt daher noch die Frage aufzuwerfen, inwieweit man mit Hilfe der Dimensionierung die Werte von k herabdrücken kann. Ein Mittel ist die Vergrösserung des Kugeldurchmessers. Mit wachsendem sinkt k, da jenes im Nenner steht, aber nur langsam, da es in der vierten Wurzel erscheint. Das Mittel ist also wenig ausgiebig; ein Teil des eingebrachten Vorteils wird ausserdem wieder eingebüsst dadurch, dass ϕ1 wächst. Betrachtet man nämlich den lichten Raum der Kugelreihe 2 () als fest gegeben durch die Festigkeitsberechnung der Achse, so nimmt die Kugelzahl ab und damit wächst, wie leicht einzusehen ist, der Unterschied zwischen ϕ1 und ϕ2 (s. a. die Tafel). Ein anderes Mittel bietet die Profilierung der Schale. Macht man den Profilwinkel bei sonst gleich bleibenden Verhältnissen grösser als 90° (Fig. 27), so wird der Winkel α des pivotreibungsfreien Konus kleiner, und werden grösser. Durch geeignete Umformung und Diskussion der Gleichungen 16) lässt sich zeigen, dass ϕ1 bei gleichbleibender Kugelzahl mit a wächst und abnimmt. Bei Achsen mit angreifenden äusseren Achsialkräften könnte diese Massnahme Bedenken erregen, da bei kleinem a die Konen sehr stark keilartig auf die Kugelreihen wirken müssten; bei den Rädern des Zweirades ist indessen jede Achsialkraft durch den Gleichgewichtszustand desselben ausgeschlossen.

Textabbildung, Bd. 314, S. 43

Die nachstehende Tafel soll an dem Beispiel des rechten Hinterradkonus zeigen, welchen Einfluss die Vergrösserung der Kugeln und des Profilwinkels auf k und seine Faktoren hat.

Zahl der Kugeln 9 8 8
¼'' 5/16'' 5/16''
Schalenprofil 90° 90° 120°
α 24° 54' 22° 31' 14° 11'
54,7 kg 53,7 kg 51,6 kg
ϕ 1 4,42 4,52 4,41
k 300 286 271

Wie ersichtlich, ist auf diesem Wege nur geringer Nutzen zu erzielen, will man nicht zu Extremen schreiten. Es erhellt daraus die grosse Bedeutung, welche technologische und konstruktive Hilfsmittel für die Konstruktion der Naben gewinnen, und durch welche der Konus befähigt werden muss, eine weitaus grössere abnutzende Wirkung aufzunehmen als die Konen der Kurbel- und Pedalachsen. Hierher gehören: Verwendung vorzüglichen Stahles, vorzügliche Arbeit und Härtung; gute Durchbildung der Nabe in Bezug auf Oelzufuhr, Oelhaltung und Staubsicherung.

|43|

Ein naheliegendes Mittel wäre die kinematische Vertauschung von Konus und Schale, da alsdann auch ϕ1 und ϕ2 die Rollen tauschen, und ähnlich wie beim Tretkurbellager die Werte von k für Konus und Schale sich entgegenkommen. Schon der Versuch, diese Idee am Reissbrett zu verwirklichen, lehrt, dass die Dimensionen der Lager unförmlich gross werden, wenn man eine steife Radachse von etwa 8 bis 10 mm Durchmesser wie üblich beibehalten will, welche den in den Rahmengabeln sitzenden Teilen, also hier den Schalen, eine genügend sichere und unbewegliche Lage zu geben hat. Für die nächste Saison kündet die Firma Hiller in Zittau eine Radlagerung an, bei welcher die kinematische Vertauschung vorgenommen, und zur Verhütung grosser Lagerdimensionen ein dünner gespannter Draht statt der steifen Achse angewendet ist. Ob derselbe zur Versteifung der Rahmengabeln und zur Sicherung einer festen Lage der von denselben aufzunehmenden Schalen ausreicht, muss der Erfolg lehren.

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