Titel: Die Beanspruchung der Kugeln im Kugellager.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1901, Band 316 (S. 69–73)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj316/ar316014

Die Beanspruchung der Kugeln im Kugellager.

Von G. Perl.

Die Veranlassung zu dieser Untersuchung ist der missglückte Versuch von Knoke in Nürnberg, ein Kugeltraglager herzustellen, über den er in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 1897 S. 1448, berichtet. Die Kugeln waren mit 575 d2, d. i. 80 % der von dem Lieferanten angegebenen Tragkraft, belastet und sind nach 8 Tagen alle zerbrochen gewesen. Seitdem ist nicht bekannt geworden, dass es geglückt ist, ein Kugeltraglager für grössere Belastung herzustellen.

Meine Untersuchung stützt sich auf die Abhandlung von Hertz (Zeitschrift zur Beförderung des Gewerbfleisses, 1882 S. 449). Dort wird nachgewiesen, dass bei der Zusammenpressung irgendwie geformter elastischer Körper eine Abplattung derselben eintritt, welche die Gestalt einer Ellipse hat. Die Normaldrücke verteilen sich über diese Fläche in der Weise, dass sie, als Senkrechte aufgetragen, ein Ellipsoid geben würden, so dass also der grösste Druck im Mittelpunkt der Ellipse mal so gross ist, als wenn der Druck sich gleichmässig über die ganze Fläche der Druckellipse verteilte.

Ist also der grösste Normaldruck k, so ist der Druck zwischen den Körpern: . a und b, die Halbachsen der Druckellipse, haben nach Hertz folgende Werte:

ϱ11 und ϱ12 bedeuten die Hauptkrümmungen des einen, ϱ21 ϱ22 diejenigen des anderen Körpers und sind positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt im Inneren des Körpers liegt.

ϑ1 und ϑ2 sind eine besondere Form des Elastizitätsmoduls, und zwar ist für .

μ und ν sind Zahlenwerte, die von der Gestalt der Körper abhängen und gibt Hertz zu ihrer Bestimmung eine Tabelle, welche für 10 Werte eines Hilfswinkels τ diese Zahlen angibt. Es ist:

Beim Kugellager hat der eine Körper überall gleiche Krümmung:

damit wird

oder wenn wir

setzen

Uns interessiert nur das Produkt von μ und ν, und dieses habe ich für die Werte der Hertz'schen Tabelle berechnet und graphisch aufgetragen, ∾ 16,7mal so gross wie Fig. 1, um damit die Interpolation bequem zu machen; μν kann dann für jeden Wert von τ genau genug abgelesen werden.

Textabbildung Bd. 316, S. 69

Für m = 1, d.h. wenn die Kugel genau in die Rinne passt, in der sie läuft, wird τ = 0; μ = ∞; ν = 0; die Tabelle lässt uns also im Stich. Es hat auch keinen Zweck, diesen Fall genauer zu untersuchen, denn wenn er in der Praxis wirklich vorkäme, würde eine Rechnung doch ein nur mathematisch richtiges Resultat ergeben, dessen Voraussetzungen in der Praxis nicht vorhanden sind. Ich habe mir geholfen, indem ich statt m = 1 angenommen habe.

Die grösste Normalspannung wird dann:

und mit

und daraus

|70|

Den Wert F(n, m) habe ich für eine Reihe von n und drei Werte von m berechnet und graphisch aufgetragen (Fig. 2), die höchste Kurve mit halben Ordinaten.

Textabbildung Bd. 316, S. 70
m = 10 : 9
F(nm) = 0,64 0,98 1,15 1,24 1,31 1,36 1,40 1,43 1,456 1,475 1,57 1,612 1,63 1,634
m = 2
F(nm) = 0,215 0,302 0,353 0,373 0,392 0,405 0,416 0,421 0,438 0,444 0,458 0,467 0,471 0,475
m = x
F(nm) = 0,12 0,165 0,188 0,202 0,208 0,213 0,218 0,222 0,225 0,227 0,238 0,242 0,244 0,246

Sieht man von der verschiedenen Höhenlage der Kurven, dem Einfluss von m, vorläufig ab, so findet man, dass das Zunehmen von n bis etwa n = 10 bis 20, die Tragfähigkeit der Kugeln bedeutend vermehrt, darüber hinaus aber wenig Vorteil mehr bietet.

Der Unterschied zwischen n = 10 und n = 20 beträgt bei nur 6,3 %.

Textabbildung Bd. 316, S. 70

Betrachtet man ein Kugeltraglager (Fig. 3), so ist n abhängig von der Anzahl der Kugeln, welche im Ringe um den Zapfen laufen. Ersetzt man den Umdrehungskörper, auf dem dies geschieht, durch den tangierenden Kegel, so ist der Radius der Hauptkrümmung (= nr), das Stück der gemeinschaftlichen Normalen von der Mantelfläche bis zur Achse. Es ist dann m = ∞. Ich habe aber auch für andere Werte von m dieses Stück als Krümmungsradius angesehen, nachdem ich mich durch Probieren überzeugt habe, dass ein bemerkbarer Unterschied nicht vorhanden ist. Ist a der halbe Winkel an der Kegelspitze, so gilt die Gleichung (Fig. 3):

R = (n + 1) r cosα.

Es ist aber auch , wenn der Teil des Umfanges ist, der auf eine halbe Kugel kommt. Lässt 180 man 4 % Spielraum für jede Kugel, so ist bei i Kugeln im Ringe. Also

Das ergibt folgenden Zusammenhang für α = 45° (Fig. 4):

i = 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
n = 1,48 3,76 8,38 13,0 17,8 22,4 27,1 31,8 36,4 41,2 45,7

Mit Hilfe von Fig. 4 kann also für jeden Wert von i das zugehörende n abgelesen und aus Fig. 2 F(n, m) bestimmt werden.

Textabbildung Bd. 316, S. 70

Jetzt habe ich noch für einen bestimmten Wert von n, und zwar n = 12, den Wert F(n, m) für eine Anzahl m berechnet und graphisch aufgetragen, m kann schwanken zwischen 1 und ∞. Ich habe die reziproken Werte als Abscissen eingeführt. Es ist für (Fig. 5):

m = ∞ 2 1,43 1,2 1,11 1,05 1,01
1 : m = 0 0,5 0,7 0,83 0,9 0,95 0,99
F(n,m) = 0,23 0,44 0,66 1,0 1,5 2,3 6,8

Nach diesem hätte also eine Verengung der Laufrinne eine ganz ausserordentliche Steigerung der Tragfähigkeit der Kugel zur Folge. Bis zu einem gewissen Grade ist das natürlich auch wirklich der Fall, denn das Anschmiegen der Unterlage muss die Druckfläche vergrössern, doch ist bei den grösseren Werten Misstrauen am Platze. Der Grenzfall m = 1 gibt μ = ∞. Die Länge der Druckellipse kann natürlich nie unendlich werden, sondern doch höchstens gleich rπ. Nach der Grenze hin lässt uns also die Rechnung im Stich. Bach schlägt vor für zu setzen. Ich statt dessen habe genommen, weil der Wert für die Rechnung bequemer ist.

Textabbildung Bd. 316, S. 70

Damit wird dann , wenn n = 12 ist.

Eine grosse Unsicherheit liegt nun vor für die Wahl von k. Für gedrückte prismatische Stahlstäbe ist schon 5700 eine recht hohe Belastung; eine Kugel von 1 cm |71| Durchmesser trüge also nur 1 kg. Nach Angaben von H. Meyer und Co. in Düsseldorf zerbrechen die von ihm verfertigten Stahlkugeln bei einer Belastung zwischen harten ebenen Platten bei 5150 d2 bis 8730 d2 kg.

Das arithmetische Mittel ist 7150 d2.

Bei ebenen Platten ist ϱ21 und ϱ22 = 0, also cosτ = 0; μ = ν = 1.

Setzt man die von Meyer gefundenen Grenzwerte ein, so ergibt sich:

K = 179000 bis 214000 kg/qcm Bruchfestigkeit.

Für das arithmetische Mittel der Meyer'schen Versuche 200000 kg/qcm.

Härtester Stahl hat etwa 10000 kg Druckfestigkeit. Dass Kugeln aus demselben Material 20mal so viel aushalten, muss auf den Einfluss der gehinderten Querdehnung zurückgeführt werden. Ein gedrückter prismatischer Körper baucht sich bekanntlich erst aus, ehe er durch kegel- oder pyramidenförmige Brüche ins Innere zerstört wird. Es ist aber bekanntlich nicht die Spannung an sich, welche einen damit behafteten Körper zerstört, sondern vielmehr die mit der Spannung verknüpfte Formänderung.

Ein hübsches Beispiel gibt Bach an. Wasser kann bekanntlich überhaupt keinen Druck aushalten, wenn ihm das Ausweichen gestattet wird; wird es jedoch daran gehindert, so ist seine Tragfähigkeit beliebig gross. Die äusseren Teile der Kugel werden nun nicht direkt in Mitleidenschaft gezogen, hindern aber die inneren seitlich auszuweichen und dadurch den Bruch der Kugel.

Die Beanspruchung der Kugelteilchen wechselt fortwährend zwischen ihrem Höchstwert und Null. Für derartige Beanspruchungen setzt man sonst den 10. Teil der Bruchfestigkeit als zulässige Spannung. Nimmt man hier ⅛ derselben, so erhält man:

Kugeln zwischen ebenen stählernen Platten:

bis bis 17 d2

im Mittel .

Bach gibt hier 6d2 an.

Kugeln in ebenen Rinnen mit Halbmesser (Spurlager).

; ϱ21 = 0; ; cosτ = 0,8; τ = 3652

μν= 1,23

bis bis 104 d2

im Mittel d2 = 85 d2.

Bach gibt hier p = 300 d2; das wäre k = 38100, also nur etwa 5fache Sicherheit. Die Kugeln im Kugeltraglager mit n = 12, haben dieselbe Tragkraft wie im eben betrachteten Spurlager. Das Lager von Knoke mit 575 d2 hatte 4fache Sicherheit. Die zulässigen Belastungsangaben von Meyer haben mit ⅛ der Bruchbelastung nicht 8fache Sicherheit, wie er sagt, sondern nur ∛8, also 2fache.

Einen Anhaltspunkt für die Wahl von k liefern die Kugellager des Fahrrades. Das meist beanspruchte derselben ist das rechte Hinterradlager.

Die Radachse erhält einen Druck G (Fig. 6) senkrecht nach unten. Das Rad erhält einen Druck N senkrecht nach oben und die Reibung der Lauffläche = T wagerecht. N = Gcosα, T = Gsinα.

Textabbildung Bd. 316, S. 71

Auf eine Kugelreihe kommt die Hälfte dieser Kräfte. Angenommen das Kettenrad sitzt gerade über der rechten Kugelreihe, so erhält diese den Kettenzug Z dazu

Die gesamte Belastung der rechten Kugelreihe ist also:

Ist die Steigung der Strasse 1 : 30, also genau genug , cosα = 1 und R = ∾ 10 r, so ist

Bei 1 : 12,5 Steigung: , cosα = ∾ 1 wird

G zu 90 kg angenommen, ergibt im ersten Falle P = 55 kg, im zweiten Falle P = 88 kg. Die letztere Beanspruchung kommt fast nie vor, da bei solchen Steigungen jedermann absitzt, auch die erstere ist noch lange kein Mittelwert. Häufig vorkommende Lager enthalten 11 Kugeln von 6 mm Durchmesser.

für α = 45°.

Nach einer später abzuleitenden Formel erhält die meist belastete Kugel einer Reihe

bezw. .

Für n = 4,2, ist nach Fig. 2 F(nm) = 1,25, also:

bezw.

Eine andere Lagerkonstruktion enthält 8 Kugeln von 8 mm Durchmesser.

i = 8; sinφ = 0,3686;

F(nm) = 1,13

|72|

bezw. = 0,73 . 88 = 64,2 kg

bezw. = 29200 kg/qcm.

Bei diesen Beanspruchungen sind aber Kugelbrüche, wie jeder Radfahrer weiss, keineswegs ausgeschlossen.

Ich habe daher den schon oben angenommenen Wert k = 25000 beibehalten und damit ergibt sich für Kugeltraglager p = 56 F(nm) d2, für Spurlager p = 85 d2, für Kugeln zwischen ebenen Platten p = 14 d2.

Eine Vergrösserung von p um das afache verursacht allerdings nur eine ∛afache Vergrösserung der Spannung, so dass bei 8facher Sicherheit die Belastung 512mal so gross werden müsste, um Bruch herbeizuführen. Solche Ueberlastung kommt natürlich niemals vor. Wenn aber trotzdem, wenigstens bei geringerer Sicherheit, häufig Brüche vorkommen, so kann man das nur auf die Unzuverlässigkeit des Materials zurückführen. Die grosse Verschiedenheit in den Ergebnissen der Belastungsversuche lässt auch den Schluss zu, dass irgend welche unbekannte Vorgänge im Material eine wichtige Rolle spielen. Uebrigens kommen ja auch an anderen Maschinenteilen, trotzdem sie mit 10facher Sicherheit berechnet sind, Brüche aus unbekannten oder bekannten Ursachen vor.

In Bezug auf das Verhältnis der Belastung der einzelnen Kugel zur ganzen auf den Zapfen wirkenden Kraft ist folgendes zu bemerken:

Die Stützpunkte einer auf zwei Kugelreihen laufenden Achse liegen nicht in der Ebene der Kugelmitten, sondern da, wo die Berührungsnormalen die Achse treffen. Die senkrechten Stützendrücke findet man wie gewöhnlich. Ist dieser für eine Kugelreihe = P, so ist der auf die Kugelreihe übertragene Druck (Fig. 3), wenn a der halbe Spitzenwinkel des die Lauffläche berührenden Kegels ist. Der Druck verteilt sich jedoch nicht gleichmässig auf alle Kugeln der unteren Hälfte. Jede einzelne erleidet durch den Druck eine Abplattung, welche nach Hertz proportional √p2 ist. Nimmt man nun an, dass der Zapfen und die Lagerschale eine gegen diejenige der Kugel verschwindende Formänderung erleiden, so nimmt die Abplattung der Kugeln ab mit dem cos des Winkels β, um den ihre Berührungsnormale von der Senkrechten entfernt ist. Die Belastung dieser Kugel im Abstand β ist dann .

Nimmt man die Zahl der Kugel unendlich gross an, so wird p der spezifische Druck und es muss sein:

Daraus ergibt sich der Druck an der untersten Stelle:

also 1,4mal so gross, als wenn er sich gleichmässig über den Umfang verteilte. Für die Umfangsstrecke der unten liegenden endlichen Kugel kann man diesen spezifischen Druck konstant annehmen, sie erhält dann eine Belastung

oder für p den schon gefundenen Wert gesetzt:

und weil

Der Durchmesser des Mittelpunktkreises der Kugeln ist noch von Interesse. Derselbe ist

Also:

d = AP: D = BP.

Fig. 7 gibt die Werte A und B für d in Centimeter, P in Kilogramm für α = 45°.

n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50
A = 0,198 0,131 0,105 0,0902 0,08 0,0725 0,067 0,0622 0,0585 0,0555 0,039 0,0317 0,0281 0,0244
B = 0,28 0,279 0,296 0,319 0,338 0,359 0,378 0,397 0,415 0,432 0,578 0,693 0,795 0,884
i = 3,41 6,15 8,35 10,5 12,67 14,83 17,0 19,12 21,3 23,5 44,7 66,1 87,5 108,2
Textabbildung Bd. 316, S. 72

A ist nach unten, B nach oben abgetragen und zwar mit i als Abscissen anstatt n. Die Summe beider Ordinaten ist dann die lichte Weite des Lagers. Diese wird am kleinsten, wenn das Lager 5 oder 6 Kugeln erhält. Da aber dann der Kugeldurchmesser gross wird, nimmt man besser mehrere. Lässt man die Kugeln steiler laufen, wird Kugel und Lager kleiner.

Die Kugeln werden mit wachsender Grösse teurer, etwa proportional dem Quadrat des Durchmessers, mit der Einschränkung, dass grosse Kugeln sehr viel rascher im Preise steigen. Die Kurve id2 Fig. 7 gibt also Aufschluss über die vorteilhafteste Kugelanzahl in einem Hinge, so lange d < etwa 20 mm bleibt. Für grössere Durchmesser kann man an Hand der Preisliste mit Hilfe der Kurve A bequem Vergleiche anstellen. Die Kurve id2 Fig. 7 zeigt, dass die vorteilhafteste Kugelzahl 15 bis 20 ist. Nur wenn dabei der Durchmesser sehr gross wird, wird man eine höhere Zahl wählen, wobei allerdings der Preis sich nicht wesentlich ändert. Für ein Lager mit 15 Kugeln ergibt sich bei einer Belastung

P = 100 1000 1500 2000 4000 10000 kg
d = 7,2 22,8 27,8 32,2 45,5 72 mm
D = 36 114 140 162 228 360 mm

Von 1500 kg an wird der Kugeldurchmesser schon unbequem gross., Bei 30 Kugeln ergeben sich folgende Zahlen:

P = 100 1000 1500 2000 4000 10000 kg
d = 4,75 15 18,4 21,2 30,0 47,5 mm
D = 47,5 150 184 212 300 475 mm
|73|

Man sieht, dass schon bei verhältnismässig geringen Kräften sowohl Kugeln wie Lager Abmessungen erhalten, welche wohl Veranlassung geben können, von der Verwendung von Kugellagern überhaupt abzusehen. Erscheint es doch zweifelhaft, ob bei solchen Hebelarmen für die Reibung überhaupt ein Vorteil damit verbunden ist. Allerdings gibt es ein Hilfsmittel. Man lege mehrere Kugelreihennebeneinander. Man kann dann Zapfen und Lager beliebig klein erhalten und der Preis vieler kleiner Kugeln ist nicht höher als weniger grosser. Nur wird das Lager sehr kompliziert, also auch teurer. Ob nicht doch bei Wahl einer höheren zulässigen Beanspruchung ein brauchbares Lager hergestellt werden kann, lässt sich natürlich nur durch Versuch entscheiden.

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