Titel: Untersuchung eines zweifach statisch unbestimmten Fachwerkträgers.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1901, Band 316 (S. 101–104)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj316/ar316021

Untersuchung eines zweifach statisch unbestimmten Fachwerkträgers.1)

Von Professor Ramisch, Breslau.

I.

Der Träger in der beigegebenen Abbildung soll zwei feste Auflager A und B haben und ausserdem sollen die beiden Knotenpunkte D und E durch einen elastischen Stab D E gelenkartig miteinander verbunden sein. Der Träger ist daher zweifach statisch unbestimmt und unsere Aufgabe soll es sein, seine Stabspannkräfte zu berechnen, wenn er irgendwie belastet ist.

Textabbildung Bd. 316, S. 101

Zunächst mache man das eine Auflager, hier B, in irgend einer Richtung, z.B. parallel zu u v, beweglich. Der Träger wird hierdurch einfach statisch unbestimmt. Doch sind nur die Stabspannkräfte innerhalb der schraffierten Fläche von der Stabspannkraft in D E abhängig; denn entfernt man irgend einen Stab ausserhalb der schraffierten Fläche, so entsteht eine zwangläufige kinematische Kette, während stets zwei Stäbe der schraffierten Fläche zu entfernen sind, um eine solche zu erhalten. Es lassen sich demnach, wenn der Träger irgendwie belastet ist, die Spannkräfte in den Stäben der nicht schraffierten Fläche mittels des Cremona' schen Kräfteplanes, der Ritter'schen Methode oder eines anderen Verfahrens sofort ermitteln. Um nun die Stabspannkräfte der schraffierten Fläche auch bestimmen zu können, entferne man z.B. die Stäbe DE und JK und wir erhalten die zwangläufige Kette, die aus den beiden Scheiben ACmJ und BCmK besteht; erstere ist um A und letztere um den Schnittpunkt B' von A Cm mit der Senkrechten zu u v im Punkte B drehbar.

Man belaste die beiden Scheiben bezw. mit Pa und Pb und man erkennt, dass beide Lasten eine Verkleinerung des spitzen Winkels JCmK veranlassen. Infolgedessen nähern sich die beiden Punkte J und K und es entfernensich die beiden Punkte D und E voneinander. Denkt man sich die beiden Stäbe DE und JK wieder, jedoch als elastisch eingefügt, so wird ersterer auf Zug und letzterer auf Druck beansprucht. Auf gleiche Weise findet man, dass sämtliche Obergurtstäbe auf Druck und sämtliche Untergurtstäbe auf Zug beansprucht werden. Der Stab DE wird stets gezogen. Uebrigens gilt dies auch für diejenigen Gurtstäbe, welche ausserhalb der schraffierten Fläche sich befinden.

Wir bezeichnen mit pa die Entfernung des Punktes A von Pa, mit pb die Entfernung des Punktes B' von Pb, ferner die unendlich kleinen Drehwinkel um A und B' bezw. mit Δα und Δβ und die gleichzeitig stattfindende unendlich kleine Veränderung des spitzen Winkels JCmK mit Δγ. Weiter benennen wir die von Pa und Pb in JK erzeugte Spannkraft mit S°m und die in DE erzeugte Spannkraft mit X°; dieselben haben vom Punkte Cm die bezüglichen Entfernungen rm und xm. Die von Pa, Pb, X° und S°m gleichzeitig geleisteten unendlich kleinen Arbeiten sind:

Pa . pa . Δα, Pb . pb . Δβ, X°. xm . Δγ und S°m . rm . Δγ

Da die ersteren Arbeiten die letzteren hervorbringen, so muss sein:

Pa . pa . Δα + Pb . pb . Δβ = (S°m . rm + X° . xm) . Δγ.

Hierin sind:

. . . . I

und

. . . . . II

so dass entsteht

Wir nennen (Sm) die Spannkraft in JK, wenn der Stab DE nicht vorhanden, also X° gleich Null ist. Es entsteht dann aus der vorigen Gleichung:

. 1)

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt:

(Sm) . rm = S°m . rm + X° . xm

oder auch:

. . . . . 2)

Die Gleichung 1 gilt für alle Stäbe des Fachwerks, wenn DE nicht vorhanden ist. Man kann demnach die Spannkraft für jeden Stab aus dieser Gleichung berechnen und darf sie demnach als bekannt voraussetzen. Uebrigens findet man sie auch, wie schon gesagt worden ist, mittels des Cremona'schen Kräfteplanes, der Ritter'schen Methode u.s.w.

Es ist daher zur Bestimmung von S°m die Kraft X° die einzige Unbekannte in der Gleichung 2. Unser erstes Ziel soll sein, X° zu berechnen. Unter m ist übrigens, wie man sich schon vorstellen konnte, die Ordnungsziffer irgend eines Stabes innerhalb der schraffierten Fläche zu verstehen. Wir nennen weiter Fm und f die Querschnittsflächten, |102| lm und l die Längen der Stäbe JK bezw. DE und nehmen für alle Stäbe dasselbe Material an, so dass sie denselben Elastizitätsmodul (E) haben. Da rm . Δγ und xm . Δγ die Längen Veränderungen der bezüglichen Stäbe sind, so hat man nach dem Hooke'schen Gesetze:

. . . . III

und

. . . . . IV

Hierdurch erhält man aus der der Gleichung 2 vorhergehenden:

und wir setzen:

. . . . 3)

Bezeichnet man mit Δbm die Längenveränderung xm . Δγ des Stabes DE, so folgt aus den letzten Gleichungen:

Die Längenveränderungen sämtlicher Gurtstäbe innerhalb der schraffierten Mäche können wir, da sie sämtlich Ausdehnungen des Stabes DE verursachen, addieren und erhalten:

. . . . 4)

Die Ausdehnungen bezw. Zusammenziehungen der Wandglieder vernachlässigen wir, weil sie sehr gering sind; übrigens ist es so durchweg üblich, sie zu vernachlässigen.

Nun soll nach dem Hooke'schen Gesetze:

sein, so dass endlich entsteht, wenn man noch die Gleichung 3 berücksichtigt:

. . . 5)

Hieraus lässt sich X° berechnen, falls die Querschnitte aller Stäbe innerhalb der schraffierten Fläche und der Querschnitt f von DE bekannt sind.

Man wird vorziehen, der Gleichung folgende Gestalt zu geben:

und danach X° berechnen.

Es bleibt uns noch übrig, die Spannkraft X°t zu ermitteln, welche infolge der Wärme im Stabe DE hervorgebracht wird. Hierbei nehmen wir an, dass alle Stäbe gleiche Temperaturveränderungen erfahren. Ist ± t die Temperatur, je nachdem Zu- oder Abnahme derselben vorhanden ist, α der Ausdehnungskoeffizient für 1° C. des Materials, so ist:

Es ergibt sich demnach aus den Gleichungen 3 und 4

Da weiter

nach dem Hooke'schen Gesetze ist, so entsteht schliesslich:

. . 6)

Was aber die Summe in dieser Formel anbetrifft, so ist auf folgendes sehr zu achten: Nimmt die Temperatur zu, so dehnen sich alle Stäbe aus. Je nachdem nun die Ober-odeUntergurtstäbe ausgedehnt werden, wird der Stab DE auf Druck oder Zug beansprucht. Demnach ist

als eine algebraische Summe aufzufassen, indem alle Summanden, welche von den gurtstäben herrühren, zu nehmen sind. Bei einer Temperaturabnahme findet das Umgekehrte statt. Indem man nun X° zu ± t addiert, erhält man endlich die in DE von den gegebenen Lasten und der Wärme erzeugte Spannkraft. Jetzt ist man endlich in der Lage, mittels der Formel 2, welcher man die Gestalt:

. . . 7)

geben muss, die Spannkräfte aller Stäbe innerhalb der schraffierten Fläche zu berechnen. Die Spannkräfte der übrigen Stäbe kann man, wie schon gesagt worden ist, mittels der Formel 1 finden.2)

II.

Nachdem mittels der Formel 1 die Spannkräfte aller Stäbe, also auch der Wandglieder der nicht schraffierten Felder, und mittels der Formel 7 die Spannkräfte aller Stäbe, also auch der Wandglieder des schraffierten Feldes berechnet worden sind, bezeichnen wir, wie bisher, mit m die Spannkraft irgend eines Stabes, also sowohl im schraffierten als auch im nicht schraffierten Felde, und mit m die Spannkraft in DE. Wenn jedoch das Auflager B nicht mehr frei beweglich ist, soll erstere mit Sm und letztere mit Xm benannt werden. Wir stellen uns jetzt die Aufgabe Sm und Xm zu berechnen, namentlich dann, wenn das Auflager B fest liegt.

In B sei parallel und in der Richtung von u nach v eine Kraft H angebracht. Diese Kraft muss nun von vornherein bestimmt werden. Indem wir die Strecke BB' mit h benennen, erkennt man, dass die von Pa, Pb und H geleisteten unendlich kleinen Arbeiten sind: Pa . pa . Δα, Pb . pb. Δβ und H . h . Δβ; denn H ist als eine Kraft der Scheibe BCmK aufzufassen. Sie bringen Arbeiten in JK und DE hervor und letztere sind: Sm . rm . Δγ und Xm . xm . Δγ. Es muss nun sein analog dem früheren:

Pa . pa . Δα + Pb . pb . Δβ + H . h . Δβ

= Sm . rm . Δγ + Xm . xm . Δγ.

Mit Rücksicht auf die Gleichungen I und II entsteht hieraus:

Ist im besonderen H gleich Null, so ist:

8)

so dass sich aus den beiden Gleichungen weiter ergibt:

Sind weiter Pa gleich Null, Pb gleich Null und H gleich Eins, so nennen wir S'm und X'm die Spannkräfte in JK bezw. DE und es entsteht aus der vorigen Gleichung:

. . . 9)

Man erhält deshalb:

(S°m . rm + X°m . xm) + H . (S'm . rm + X'm . xm)

= Sm . rm + Xm . xm.

|103|

Um diese Gleichung zu vereinfachen, bedenke man, dass nach den Gleichungen III und IV:

ist. Setzt man der Kürze wegen:

so entsteht:

. 10)

Ebenso ergibt sich:

. 11)

und:

. 12)

Die Gleichung lässt sich demnach in folgende zwei andere vereinfachen:

S°m + H . S'm = Sm . . . . . . . . . 13)

und

X°m + H . X'm = Xm . . . . . . . . . 14)

Weiter hat man aus der Gleichung 8

15)

und aus der Gleichung 9

. 16)

Aus den Gleichungen 15 und 16 kann man auch unabhängig von den im Abschnitt I gegebenen m, S'm, X°m und X'm bestimmen, so dass in den Gleichungen 13 und 14 zur Ermittelung von Sm und Xm die Kraft H die einzige Unbekannte ist.

Es ist nun nach der Gleichung III:

. . . . 17)

Ferner ist:

nach der Gleichung II.

Bezeichnet man mit Δbm den von B parallel zu uv zurückgelegten unendlich kleinen Weg, wenn die Kräfte Pa, Pb und H auf den Träger wirken, so ist:

Δb m = h . Δβ

und es entsteht aus der vorigen Gleichung:

Hierin ist nach der Gleichung 16:

so dass aus der Gleichung 17 sich ergibt:

Aus der Gleichung 13 ergibt sich weiter:

d.h.

. 18)

Auf ähnliche Weise findet man auch:

. 19)

So kann man mittels der Gleichung 18 Δbm für jeden Stab des Fachwerkträgers ermitteln. Sämtliche Δbm muss man addieren und erhält:

Da nun das Auflager B festliegen soll, so muss ∑Δbm gleich Null sein und es entsteht endlich aus der vorigen Gleichung:

. . . 20)

Hiermit ist die Kraft H ermittelt und es ist nunmehr leicht, die Stabspannkräfte des Fachwerkbogens mittels der Formel 13 zu bestimmen. Nach der Gleichung 14 findet man auch die Kraft X, nämlich da X = ∑Xm ist, so entsteht:

X = ∑X0m + H . ∑X'm . . . . . . . . . . . 21)

Beachtenswert ist die Formel 20, sie stimmt nämlich der Form nach mit der von Prof. Mohr gefundenen überein (man vgl. Mohr, Beitrag zur Theorie der Bogenfachwerkträger in Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover, 1874 S. 223). Sie stimmte genau damit überein, wenn der Stab DE nicht vorhanden wäre.

Sollen die Elastizitätsmodel der Stäbe verschieden sein, und die Kraft H von einem Stabe parallel zu uv aufgenommen werden, welcher die Länge (L), den Querschnitt (F) und den Elastizitätsmodul (E) hat, so würde sich ergeben:

22)

In der Formel von Prof. Mohr ist, weil DE nicht vorhanden ist:

Um noch Ht infolge der Wärme zu bestimmen, hat man:

d.h.

m = ± α . t . Fm . (Em).

Hierdurch findet man aus der Gleichung 20:

23a)

wenn alle Stäbe denselben Elastizitätsmodul haben. Bildet AB mit der Senkrechten zu BB' den Winkel φ, so kann man auch setzen:

. . 23b)

|104|

wenn L der Abstand des Punktes A von BB' ist. Es rührt dies daher, dass, wenn das Auflager B beweglich ist, der Träger nach erfolgter Temperaturänderung sich ähnlich bleibt.

Dieses Ht muss zu H zugezählt werden und man erhältendlich die Spannkräfte der Stäbe des Fachwerkbogens mittels der aus der Formel 13 abgeleiteten, nämlich:

Sm = S°m + (H:Ht) . Sm . . . . . . . . . 24)

und aus der von der Formel 21 abgeleiteten:

X = ∑X°m + (HHt) . ∑X'm . . . . . . . . . 25)

Die Untersuchung desselben Trägers auf eine andere Weise geschieht von Prof. Müller-Breslau in der Graphischen Statik der Baukonstruktionen, Bd. 2 S. 156.

|102|

In der Praxis nimmt man t = ± 35°, da α(E) = 24 kg für den Quadratcentimeter beträgt, so ist in der Formel 6 α(E)t = 840 kg als Belastung des Quadratcentimeters infolge der Temperaturänderung zu nehmen.

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