Titel: Ventilspiel bei Pumpen und Gebläsen.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1901, Band 316 (S. 331–335)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj316/ar316074

Ventilspiel bei Pumpen und Gebläsen.

Von Karl Rudolf in Bochum.

(Schluss von S. 309 d. Bd.)

5. Stabilität der Ventilbewegung.

Für das masselose Ventil mit konstanter Spaltgeschwindigkeit ergab sich Gleichung 14

zur Bestimmung des Verspätungswinkels a0.

Wir nehmen nun jetzt die Spaltgeschwindigkeit u als mit der Zeit t veränderlich an und untersuchen, für welche Form der Funktion u von t das Ventil dieselbe Schwingungsdauer hat wie der Kolben; wenn dies der Fall ist,so wollen wir die Ventilbewegung stabil nennen. Dazu ist offenbar erforderlich, dass der Verspätungswinkel α0 unabhängig von der Zeit t ist, damit das Ventil bei jedem Kolbenspiel stets pünktlich im gleichen Zeitpunkt hinter den Totlagen öffnet und schliesst. Allgemeiner wäre der Fall, wo der Eröffnungsverspätungswinkel nicht gleich dem Schlussverspätungswinkel wäre; wir wollen aber Gleichheit der Winkel annehmen.

Wir knüpfen an die Teilgleichungen 12 und 13 an

f . c = F . U . sin α0 . cos β . . . 12)

lu . h = F . U . cos α0 . sin β . . . 13)

|332|

Wir differenzieren 13 nach t und bedenken, dass u jetzt variabel gedacht ist; wir erhalten, wenn wir setzen

lu . c + lh . u' = F . U . ω cos α0 . cos β.

Unter Benutzung von 12 folgt durch Division

Soll α0 konstant sein, so muss auch

. . . . 35)

konstant sein.

Nun lässt sich das Verhältnis aus Gleichung 12 und 13 bestimmen; es ist

. . . . 36)

Gleichung 36 mit 35 verbunden, gibt

Nun ist , damit folgt

. . . . 37)

Aus dieser Gleichung ist u als Funktion von t zu bestimmen, wobei β = ωt ist.

Durch Umformung erhalten wir

Die Veränderlichen lassen sich jetzt trennen.

Integriert, ergibt sich

wobei wir die Integrationskonstante als log mit dem Faktor behaftet einführten. Durch Umformung folgt

oder

. . . . 38)

Dies wäre die allgemeine Funktionsform von u bezw. t; jetzt bleibt noch die Konstante A zu bestimmen.

Zu diesem Zweck schreibt man Gleichung 38 in der Form

u muss offenbar für alle Werte von t positiv sein, was nur möglich ist, wenn die Integrationskonstante A = 0 ist.

Damit folgt

u = k . ω.

Also nur für eine konstante Spaltgeschwindigkeit ist unter den früheren Voraussetzungen eine solche periodische Ventilbewegung zu erwarten, dass das Ventil bei jedem Hube in demselben Momente nach der Totlage des Kolbens öffnet und schliesst.

In Wirklichkeit wird die Spaltgeschwindigkeit nie ganz konstant sein wegen der unvermeidlichen Massenwirkungen, die sich allerdings bei einer gegebenen Tourenzahldurch variable Federspannung ausgleichen liessen. Abgesehen von der Hubbegrenzung wirken aber die unterschiedlichen, unumgänglichen Reibungskräfte dämpfend, und mag diesbezüglich für eine gegebene Pumpe eine günstigste Tourenzahl existieren.

6. Allgemeinere Differentialgleichung des Ventilproblems.

Nicht das Vollständige, sondern das Wesentliche ist das Ziel technisch-mechanischer Probleme; doch verlangt die wissenschaftliche Strenge die Angabe eines wenn auch nur beiläufigen Masses dafür, welchen Grad von Annäherung die wesentliche Lösung gegenüber der vollständigen Lösung bedeutet. Zu diesem Behufe ist es nützlich, die Differentialgleichung der Ventilbewegung in möglichster Allgemeinheit aufzustellen.

Die Verallgemeinerung wird darin bestehen, dass gegen früher die Massen- und Gewichtskräfte, die Reibungskräfte und die hydraulischen Berichtigungsziffern berücksichtigt werden.

Die Kräfte, welche auf das Ventil wirken, lassen sich in drei Gruppen ordnen, je nach ihrer Wirkungsrichtung.

Nach aufwärts wirken beständig der Strahldruck s und der Ergänzungsdruck p2; beide setzen sich zusammen zu dem Spaltdruck p1, unter welchem die Ausströmung erfolgt.

Nach Gleichung 6a ist der Strahldruck s pro Ventilflächeneinheit gleich der Wassermasse pro Zeit- und Flächeneinheit mal der scheinbaren Geschwindigkeit des Ventils bezüglich des Wasserstromes:

. . 6a),

Nach abwärts wirken beständig die Federbelastung p, das Ventilgewicht q, dessen Gewichtswert im Wasser nur beträgt, wenn y1 das spezifische Gewicht des Ventilstoffes bezüglich der Pumpflüssigkeit ist. Hätte das Ventil dasselbe raumeinheitliche Gewicht wie die Flüssigkeit, in welcher es arbeitet, so wäre nach obigem der Gewichtswert des Ventils im Wasser gleich Null; dies gilt aber nur so lange, als das Ventil allseitig vom Wasser berührt wird und der Auftrieb zur Geltung kommen kann, also im geöffneten Zustande. Im geschlossenen Zustande kann der Auftrieb nicht zur Wirkung gelangen und das Ventil muss die ganze über ihm befindliche Wassermasse tragen. Wegen der Unzusammendrückbarkeit des Wassers ist der Auftrieb oder Gewichtsverlust unabhängig davon, ob ich den Körper seicht oder tief in eine Flüssigkeit eintauche, entsprechend einem kleineren oder grösseren Förderdruck der Pumpe, in welcher das Ventil arbeitet.

Endlich haben wir eine dritte Gruppe von Kräften, welche der Ventilbewegung stets entgegenwirkt; das sind die Flüssigkeitsreibung w und die Ventilführungsreibung r; beide Kräfte wirken nach abwärts bei Ventilaufgang und nach aufwärts bei Ventilniedergang. Beide Kräfte beziehen sich natürlich auf die Ventilflächeneinheit und es kann für w annähernd gesetzt werden

wo c die Ventilgeschwindigkeit und ζ die Widerstandsziffer bedeutet.

Nunmehr können wir die Bewegungsgleichung aufstellen; für Ventilaufgang ist, wobei s und p2 positiv zu setzen sind:

39)

wo die Ventilbeschleunigung, h der Ventilweg ist, und die auf die Ventilflächeneinheit entfallende Ventilplus Wassermasse bedeutet.

Für Ventilniedergang folgt

40)

Denn jetzt wirken die Feder- und Gewichtskraft im Sinne der Bewegung, alle übrigen Kräfte aber entgegen.

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Vernachlässigen wir den Einfluss der Masse, des Gewichtes und der Reibung, so erhalten wir aus Gleichung 39 und 40 unsere frühere Gleichung

s + p2 = p = p1.

So lange die Reibungen berücksichtigt werden, so lange ist Auf- und Niedergang gesondert zu betrachten.

Vernachlässigen wir w und r, so können Gleichung 39 und 40 zusammengezogen werden zu

. . . 41)

wenn abkürzend gesetzt wird.

Das Minuszeichen des linken Gliedes in Gleichung 41 gilt für Niedergang; der Massendruck wirkt daher im Sinne der Bewegung, also als Beschleunigung, während er bei Aufwärtsgang als Verzögerung wirkt.

Nehmen wir die Beschleunigung einschliesslich des Zeichens, so folgt

. . . . 42)

Massgebend für die Spaltgeschwindigkeit ist nun der Spaltdruck p1 = s + p2, und es folgt unter Benutzung der Geschwindigkeitsziffer ϕ

. . 43)

Diese Ausflussformel ist nun nach früherem noch mit der Raumerfüllungsgleichung zu verbinden:

. . . . 44)

wo

C = U . sin ωt

und ε die EinschnürungszifFer des Ventilspaltes ist.

Gleichung 43 und 44 führen nun endlich zu der gesuchten allgemeinen Differentialgleichung:

45)

wenn μ = εϕ die Ausflussziffer bedeutet.

Diese allgemeinere Differentialgleichung des Ventilproblems, wobei die Reibungen schon ausser acht gelassen sind, ist eine nicht lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche nicht allgemein integrabel ist und daher nur angenäherte Lösungen zulässt. Die Federbelastung p kann dabei auch als mit der Zeit oder dem Ventilhub variabel angesehen werden, so lange dabei der periodische Charakter des Ventilspieles gewahrt bleibt.

Unsere allgemeinere Differentialgleichung gibt wenigstens einen Fingerzeig, welch verwickelter Natur die Bewegung eines so einfachen maschinellen Organes, wie solches ein Pumpenventil ist, sein kann. Jetzt begreifen wir auch, warum sich die ältere Litteratur, abgesehen von den in der Einleitung genannten Autoren, mit ihren Worten ohne Rechnung zu einer klaren Erkenntnis des Ventilspiels nicht durchringen konnte; denn alle Probleme, welche auf eine Differentialgleichung führen, lassen eine direkte Erkenntnis nicht zu; man müsste dazu im stande sein, alle Operationen, welche zur Lösung der Differentialgleichung dienen, auf einmal zu begreifen.

Erstrebenswert wäre eine solche angenäherte Lösung der Gleichung 45, in welcher die Masse in möglichst einfacher Weise in erster Annäherung vertreten wäre; darauf soll aber hier nicht eingegangen werden.

Für sehr hohe Pumpendrücke können zu den oben in Betracht gezogenen Kräften auch noch die elastischen Kräfte der Pumpflüssigkeit, der Wandungen, des Ventils und Kolbens in Frage kommen, wodurch die Gleichung noch allgemeiner würde.

b) Das Gebläseventil.

1. Allgemeines.

Als Gebläseventil wollen wir jedes Ventil bezeichnen, welches in einer elastischen Flüssigkeit arbeitet, als derenVertreter die Luft gelten soll, während wir jedes Ventil für eine unzusammendrückbare Flüssigkeit, welche am besten durch Wasser repräsentiert ist, als Pumpenventil ansprechen wollen.

Die Verschiedenheit des Aggregatzustandes von Gebläse- und Pumpflüssigkeit hat einige sofort in die Augen springende Unterschiede in der Arbeitsweise der bezüglichen Ventile zur Folge.

Die Elastizität der Luft bedingt ein stark verspätetes Oeffnen des Druckventils und, wenn auch in viel geringerem Grade, des Saugventils, welches allerdings durch kleine schädliche Räume oder durch das Hilfsmittel des Druckausgleiches infolge Ueberströmens noch vermindert werden kann. Die daraus entspringende heftige Eröffnung bei hoher Kolbengeschwindigkeit wird Schläge an die Hubbegrenzung zur Folge haben, wenn die Ventilkonstruktion nicht in geeigneter Weise getroffen ist. Die bei Wasser stattfindende Gleichzeitigkeit von Eröffnen und Schluss der zusammengehörigen Saug- und Druckventile ist bei Gebläsen demnach nicht vorhanden.

Das bedeutend geringere spezifische Gewicht von Luft gegenüber Wasser verschafft der Massenwirkung des Ventils bei Gebläsen ungleich höheren Einfluss auf die dynamischen Verhältnisse, als solches bei Pumpenventilen der Fall ist.

Als Hebel zur Lösung des Ventilproblems haben wir im früheren bezeichnet die Kontinuitätsformel in Verbindung mit der Ausflussformel. Wir müssen daher zunächst an die Ableitung der entsprechenden Ausdrücke für Gase schreiten.

2. Die Kontinuitätsgleichung für Gase.

Nach Fig. 1 (Seite 309) bezeichnen wir mit V das veränderliche Volumen zwischen Kolben und Ventil; dieses Volumen setzt sich zusammen aus demjenigen Teil des Hubvolumens, welcher bis zur nächstfolgenden Totlage zurückzulegen ist, und sich daher unter Benutzung der früheren Bezeichnungen ausdrückt durch

FR (1 + cos α);

ferner aus dem Inhalt des schädlichen Raumes V0, d. i. demjenigen Teil des Pumpenraumes, welcher bei geschlossenem Saug- und Druckventil zwischen diesem und der zugehörigen Kolbentotlage verbleibt; endlich aus der Ventilverdrängung f . h, welche für das Druckventil positiv, für das Saugventil negativ zu setzen ist. Nehmen wir die veränderlichen Grossen einschliesslich des Zeichens, so ist

V = V0 + F . R . (1 + cos α) + f . h . . . 46)

Für eine gegebene, durch den Kurbelwinkel α bestimmte Kolbenstellung entspricht dem Pumpenraume V ein bestimmtes Gasgewicht

V . γ = G . . . . . 47)

Rückt nun der Kolben um eine unendlich kleine Strecke dS vorwärts, wobei wir zur Fixierung der Vorstellungen an das Druckventil denken wollen, so ändert sich das Gewicht G um die unendlich kleine Grosse dG, und wir erhalten durch Differenzieren von Gleichung 40

V . dγ + γ . dV = dG . . . . . 48)

dG bedeutet offenbar eine Volumabnahme, welche gleich ist dem durch den Ventilspalt entwichenen Gasvolumen y . lh . dx; daher ist

V . dγ + γ . dV= – γlh . dx . . . 49)

Dividieren wir diese Gleichung durch das Zeitdifferential dt, so folgt

. . . . 50)

Dies wäre die Kontinuitätsformel für Luft in Differentialquotientenform; wir wollen zur Kontrolle diese Formel sofort auf eine unzusammendrückbare Flüssigkeit anwenden, für welche γ konstant, also Null sein muss. Es folgt

. . . . 51)

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Denken wir an Ventilaufgang, so ist für Wasser

dV = – F . dS + f . dh,

oder

somit

F . C = f . c + lhu,

worin wir unsere frühere Kontinuitätsgleichung 1 für Wasser erkennen.

Wir wollen nunmehr das spezifische Gewicht γ durch den flächeneinheitlichen Pumpendruck ausdrücken und dabei der Einfachheit halber isothermische Zustandsänderung zu Grunde legen, wofür das Mariotte'sche Gesetz gilt:

. . . . 52)

Die Konstante α bestimmt sich aus der Zustandsgleichung für Gase

. . . . 53)

wenn T0 die konstant herrschende Temperatur und die Gaskonstante ist; für Luft ist bei den Einheiten m und kg.

Verbinden wir nun weiter Gleichung 52 mit Gleichung 50, so entsteht

. . . . 54)

Dies ist unsere Kontinuitätsformel für Gase bei isothermischer Zustandsänderung; ist h = 0, d.h. erfolgt die Zustandsänderung mit demselben Gasgewicht, so geht Gleichung 54 in das Mariotte'sche Gesetz

p . V = A

über. Somit stellt Gleichung 54 eine verallgemeinerte Form jenes Gesetzes dar, wobei die zu Grunde gelegte Gasmenge veränderlich ist.

3. Die Ausflussformel für Gase.

Nunmehr müssen wir zur Aufstellung der zweiten Hauptgleichung des Ventilproblems schreiten, nämlich der Ausflussformel.

Fassen wir das Druckventil ins Auge, und ist dasselbe mit der Federspannung p belastet, so muss, abgesehen von Massenwirkungen, der Luftdruck unter dem Ventil um den Federdruck p grösser sein, als der Druck über dem Ventil; d.h. im Ventilspalt herrscht ebenfalls der Druck p als sogen. Spaltdruck, unter welchem die Abströmung erfolgt. Die Spaltgeschwindigkeit u ist demnach nur abhängig vom Federdruck p, nicht aber vom Pumpendruck . Dieser Spaltdruck besteht ebenso wie früher aus dem Strahldruck s und dem Ergänzungsdruck p2, so dass s + p2 = p ist.

Bei den verhältnismässig geringen Werten von p lässt sich nun die Spaltgeschwindigkeit ebenfalls nach Toricelli's Theorem bestimmen:

. . . . 55)

4. Die Differentialgleichung des masselosen Gebläseventils.

Fassen wir die Druckperiode eines Winddruckdiagramms ins Auge während eines Kolbenhubes, so umfasst unsere Kontinuitätsgleichung 54 beide Abschnitte, sowohl die Kompressionsperiode, während welcher die Saugspannung auf die Betriebsspannung ansteigt, als auch die eigentliche Ausströmperiode in den Druckraum.

Für den ersten Abschnitt ist beständig h = 0, wodurch sich die Kontinuitätsformel auf das Mariotte'sche Gesetz

vereinfacht, wenn und V1 zwei zusammengehörige Werte sind.

Setzen wir für die Abströmperiode den Förderdruck konstant, wie es fast allgemein zutrifft, so vereinfacht sich Gleichung 54 auf

d. i. die frühere Gleichung 51, welche sich ja auf die Kontinuitätsgleichung 1

F . C = f . c + lhu

für Wasser reduzierte.

Sonach sind die Grundgleichungen für das masselose Gebläseventil und das masselose Pumpenventil die gleichen.

Der Ventilerhebungsriss, bezogen auf den Kolbenweg, war für Wasser eine Ellipse nach nachstehender Fig. 12.

Textabbildung Bd. 316, S. 334

Für das Gebläseventil wird der entsprechende Riss beiläufig nach Fig. 13 verlaufen.

Textabbildung Bd. 316, S. 334

Im Momente der Eröffnung ist h = 0, daher nach Gleichung 1

F . Ce = f . ce,

wobei der Zeiger c die Eröffnungsperiode markiert.

Hiermit folgt

. . . . 56)

Ce bestimmt sich aus dem Endvolumen Ve der Kompressionsperiode; das letztere ist, wenn die Saugspannung, die Druckspannung bezeichnet

. . . . 57)

Das Anfangsvolumen Va besteht aus dem schädlichen Kaum V0 und dem Hubvolumen 2 FR

Va = V0 + 2 FR . . . . . 58)

Ve stellt sich dar durch

Vc = V0 + FS,

wobei

S = R (1 – cos α)

und

Ve = V0 | FR (1 – cos α) . . . 59)

Aus Gleichung 57 und 59 lässt sich nun der Kurbelwinkel α berechnen, mit welchem sofort folgt

Ce = U . sin αe . . . . . 60)

wenn U die Kurbelkreisgeschwindigkeit ist.

Noch einfacher kann Ce in bekannter Weise graphisch ermittelt werden, wenn vorher der zugehörige Kolbenweg aus dem Winddruckdiagramm bestimmt wurde.

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In sinngemässer Weise erfolgt die Bestimmung der Eröffnungsgeschwindigkeit des Saugventils.

Bleiben wir beim Druckventil, so wird dasselbe fast plötzlich mit der Geschwindigkeit ce aufgeschleudert; es braucht dabei noch nicht gegen die Hubbegrenzung zu schlagen, was aber bei höheren Tourenzahlen eintreten wird. Sobald das Druckventil genügend offen ist, erfolgt die Bewegung genau den Gesetzen des Pumpenventils, was auch sinngemäss für das Saugventil gilt.

Legt sich das Druckventil an die Hubbegrenzung an, so ist die Spaltgeschwindigkeit der Kolbengeschwindigkeit so lange proportional, bis das Ventil die Hubbegrenzung wieder verlässt; die Spaltgeschwindigkeit wird dann wieder konstant, und die Gesetze des Pumpenventils treten wieder in Kraft.

Textabbildung Bd. 316, S. 335

Die nebenstehenden Ventildiagramme (Fig. 14) zeigen an, dass das Saugventil viel mehr flatternd eröffnet als das Druckventil; dies rührt wohl hauptsächlich davon her, weil letzteres sich in einer viel dichteren Luft bewegt, welche infolge ihrer grösseren Massenwirkung stärker dämpfend wirkt, als die dünne Luft, in welcher das Saugventil arbeitet.

Ebenso wie beim Pumpenventil darf auch beim Gebläseventil die zu fördernde Flüssigkeit durchaus nicht als masselos angenommen werden; denn dies würde die Anwendung der Ausflussformel ausschliessen; wir würden nämlich für γ = 0 erhalten u = ∞, was so viel heisst als: eine unendlich dünne Flüssigkeit würde mit unendlich grosser Geschwindigkeit ausströmen.

Die Massenwirkung der über dem Ventil lagernden Luftmenge müssen wir jedoch vernachlässigen, weil dieselbe die konstant vorausgesetzte Ventilbelastung p verändern würde, wie wir solches ja auch beim Pumpenventil gethan haben.

Wir haben früher darauf hingewiesen, dass die Ausflussformel weiter nichts ist als die auf die Masseneinheit bezogene Energiegleichung: , wo die Bedeutung einer Druckhöhe hat.

Es ist nun nützlich, darauf hinzuweisen, dass bei Ausschluss von Massenwirkungen die Kontinuitätsformel

F . C = f . c + lhu

ebenfalls eine Energiegleichung ist. Multiplizieren wir diese Gleichung nämlich mit , wo der Förderdruck und p der Federdruck ist, so folgt

Die linke Seite ist dann die vom Kolben in der Zeiteinheit geleistete Verschiebungsarbeit; das erste Glied rechts ist die Ventilverschiebungsarbeit, und das zweite Glied rechts ist die Ausströmungsarbeit. Infolge der ausgeschlossenen Massenwirkung gilt eben das Pascal'sche Gesetz allseitig gleicher Druckfortpflanzung.

Weil also jeder Energiebestandteil seinem Wirkungsvolumen direkt proportional ist, so vereinfacht sich die Energiegleichung auf eine Gleichung zwischen Volumen.

Sobald aber Massenwirkungen in Betracht gezogen werden, herrührend von der Flüssigkeit im Pumpenraum zwischen Saug- und Druckventil, den Ventilen und den darüber lagernden Flüssigkeitsmassen, so vereinfacht sich die Energiegleichung nicht mehr auf die Kontinuitätsgleichung; letztere bleibt aber in beiden Fällen bestehen, gleichgültig, ob Massen wirken oder nicht, und führt dann durch ihre Verbindung mit der Energiegleichung zu einer Beziehung zwischen den wirksamen Flächen- und Massendrücken. Diese Beziehung setzt uns in den Stand, einige Fragen von prinzipieller Wichtigkeit zu beantworten, worauf der Verfasser in einem besonderen Artikel zurückkommen wird.

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