Titel: Analytisch-graphisches Verfahren zur Bestimmung der Durchbiegung zwei- und dreifach gestützter Träger.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1903, Band 318 (S. 145–149)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj318/ar318038

Analytisch-graphisches Verfahren zur Bestimmung der Durchbiegung zwei- und dreifach gestützter Träger.

Von Dr.-Ing. Max Kloss.

Um bei Drehstrommotoren einen möglichst guten cos φ zu erhalten, muss man bekanntlich den Luftraum zwischen rotierendem und festem Teil möglichst klein machen. Mit Rücksicht auf die Betriebssicherheit ist es dann erforderlich, dass die Durchbiegung der Welle einen bestimmten Prozentsatz des Luftabstandes nicht übersteigt. Die Berechnung der Welle auf Festigkeit (zulässige Belastung auf Biegung und Drehung) genügt nicht, da sie hinsichtlich der Durchbiegung meist zu schwache Wellen liefert.

Das Bedürfnis nach einer einfachen Methode zur Bestimmung der Durchbiegung für zwei- und dreifach gelagerte glatte und mehrfach abgesetzte Wellen hat den Verfasser zur Ausarbeitung des im folgenden dargestellten Verfahrens veranlagst, das selbstverständlich nicht nur für Wellen, sondern ganz allgemein für beliebige Träger gilt.

Mit Rücksicht auf den im Rahmen einer Zeitschrift zur Verfügung stehenden Raum beschränken wir uns auf die Wiedergabe des Verfahrens für die verschiedenen in der Praxis vorkommenden Fälle und verweisen bezüglich der ausführlichen Ableitung der Gleichungen, sowie bezüglich ausführlich durchgeführter, der Praxis entnommener Anwendungsbeispiele auf die unter gleichem Titel im Buchhandel erschienene Abhandlung.1)

Das Verfahren ist kein einheitliches, wie z.B. das Mohrsche Verfahren des Seilpolygons. Es beruht vielmehr auf wechselseitiger Anwendung von Rechnung und Zeichnung, indem man, soweit die Formeln sich für den Gebrauch des Rechenschiebers eignen, die Werte rechnerisch ermittelt, andere wiederum konstruiert. Die Konstruktionen ergeben sich einfach als graphische Bilder der analytisch abgeleiteten Gleichungen.

Bei mehrfach abgesetzten Trägern stösst man auf mehr oder minder komplizierte analytische Ausdrücke. Hierbei werden jedoch umständliche Rechnungen vermieden durch Benutzung der vom Verfasser aufgestellten graphischen Tabellen, aus denen gewisse Hilfsgrössen entnommen werden, mit deren Hilfe die Konstruktionen in denkbar einfachster Weise ausgeführt werden können.

Wir werden zunächst den glatten Träger, und zwar den zweifach gestützten mit Innen- und Aussenlast beanspruchten, sowie den dreifach gestützten Träger behandeln und dann zum abgesetzten Träger übergehen.

A. Der glatte Träger.

I. Der zweifach gestützte Träger.

a. Träger mit Innenlast.

Wir beziehen die Gleichung der elastischen Linie auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem, dessen Ursprung in einem der beiden Stützlager liegt und dessen Abscissenachse horizontal angenommen wird.

Textabbildung Bd. 318, S. 145

Um die im folgenden abzuleitenden Gleichungen für spätere, kompliziertere Fälle verwenden zu können, wollen wir annehmen, dass die beiden Lager (Fig. 1) einen Höhenunterschied Δy2 haben, wobei jedoch vorausgesetzt sein soll, dass diese Grösse Δy2 ebenso wie alle Ordinaten der elastischen Linie im Vergleich zur Trägerlänge l so klein ist, dass für alle Punkte x das Längenelement der elastischen Linie dl gleich seiner Projektion dx gesetzt werden kann. Wenn wir ferner die Wirkung der Schubkräfte und der in den Lagern auftretenden Reibungskräfte, vernachlässigen, so gelten für den in Fig. 1 dargestellten Träger folgende Beziehungen:

Das im Angriffspunkte der Kraft P auftretende Biegungsmoment ist

. . . . . (1.

und das in einem beliebigen Punkte x auftretende Biegungsmoment ist

für x ≦ a . . . (2.

|146|

bezw.

für xa . . . (3.

Für die elastische Linie gilt dann die Bedingung

. . . . (4.

worin E der Elastizitätsmodul und J das Trägheitsmoment des Trägers im Querschnitt x ist.

Unter der Annahme, dass J für alle Querschnitte gleich gross ist, lässt sich diese Gleichung bequem integrieren. Die Integrationskonstanten ergeben sich aus den Bedingungen, dass für x = 0 y = 0, für x = l y = Δy2 sein muss und dass die für die beiden Abschnitte a und b geltenden Gleichungen für den Punkt x = a gleiche Ordinaten und gleiche Tangenten geben müssen. Wir erhalten dann für den Abschnitt a (also für Werte von xa) als Gleichung der elastischen Linie

. . (5.

Uns interessieren jedoch vor allem die absoluten Durchbiegungen (y' in Fig. 1), gemessen von der Lagerverbindungslinie aus.

Da diese Verbindungslinie die Gleichung

hat, so erhalten wir für die absoluten Durchbiegungen

. . . (6.

oder auch

. . . (6a.

Da in diesen Gleichungen der Lagerhöhenunterschied Δy2 nicht mehr vorkommt, so gilt unter den gemachten Voraussetzungen für einen zweifach gestützten mit Einzellast beanspruchten Träger folgender Satz:

Satz 1. Die absoluten Durchbiegungen, in vertikaler Richtung von der Lagerverbindungslinie aus gemessen, sind unabhängig vom Lagerhöhenunterschiede Δy2.

Für den Abschnitt b gelten natürlich ganz analoge Gleichungen. Man erhält sie aus den obigen, indem man a und b miteinander vertauscht und die Strecken x vom andern Lager aus misst. Will man jedoch das oben angenommene Koordinatensystem beibehalten, so erhält man als Gleichung der elastischen Linie für den Abschnitt b (also für Werte von xa).

. . . . . (7.

Die absolute Durchbiegung ist dann

. . . (8.

Satz 1 gilt also auch für den Abschnitt b.

Die Durchbiegung im Angriffspunkte der Kraft P erhält man aus Gleichung (6. für x = a

. . . . .(9.

Für das Aufzeichnen der elastischen Linie ist es wünschenswert, für jeden beliebigen Punkt der Kurve die Tangente zu kennen. Vor allem interessiert uns die Neigung der elastischen Linie im Auflager. Wir bestimmen sie am einfachsten durch Ermittelung des von der Lagertangente auf der Kraftachse gebildeten Abschnittes ha (von der Lagerverbindungslinie aus gemessen). Dieser ist (Fig. 1)

Aus Gleichung (5. ergiebt sich nun durch Differentiation

. . . (10.

Somit für x = 0

. . . .(11.

Es ist demnach auch diese Strecke unabhängig vom Lagerhöhenunterschied.

Aus Gleichung (9. und (11. ergiebt sich

und demnach

. . . (12.

Entsprechend findet man für die andere Lagertangente den Abschnitt

. . . (13.

Textabbildung Bd. 318, S. 146

Aus diesen Gleichungen ergiebt sich eine sehr einfache Konstruktion für die Lagertangenten (Fig. 2). Die einzelnen Punkte sind mit Ziffern bezeichnet in der Reihenfolge, wie sie bei der Konstruktion erhalten werden. 1 und 2 sind die beiden Lager, 3 der Angriffspunkt der Kraft P, 4 und 5 die Halbierungspunkte der Strecken a und b, sodass Strecke

und

ist. 6 ist der Endpunkt der Strecke f, die nach Gleichung (9. bekannt ist. Man bestimmt dann 7 als Schnittpunkt der Linie 2/6 mit der Vertikalen 4/4' und macht 7/8l/2. Dann ist 1/8 die gesuchte Lagertangente für Punkt 1. Ebenso bestimmt man durch 9 und 10 die Lagertangente für Punkt 2.

Der Unterschied zwischen der Tangehtenordinate ha und der Kurvenordinate f (Strecke (6/8) in Fig. 2) ist

. . . . (14.

|147|

Entsprechend

. . . . (15.

Man kann diese Strecken auch direkt aus M berechnen, ohne vorher erst f bestimmen zu müssen. Aus Gleichung (9. und (14. ergiebt sich

. . . . (16.

Entsprechend

. . . . (17.

Wir sehen aus Gleichung (16., dass bei gegebenem Momente M die Strecke sa unabhängig von b, also vom Horizontal abstand der beiden Lager ist, d.h. wenn wir bei einem Träger das im Punkt x = a auftretende Moment M kennen, so können wir für den Abschnitt a die Ordinatendifferenz sa berechnen, ohne dass wir über Entfernung und Art des zweiten Stützpunktes näheres zu wissen brauchen. Ausserdem ist sa auch vom Lagerhöhenunterschiede Δ y2 unabhängig.

Wir werden diese Eigenschaften später beim zweifach gestützten Träger mit Aussenlast, sowie beim dreifach gestützten Träger anwenden.

Für einen beliebigen Punkt x (Fig. 3) ist die Ordinatendifferenz zwischen Kurve und Lagertangente

. . . . . (18.

also bei gegebenem M sowohl von b als von Δy2 unabhängig.

Aus Gleichung (16. und (18. ergiebt sich ferner

. . . . . (19.

Mit Hilfe dieser einfachen Gleichung können wir für jeden Punkt x des Abschnittes a die zugehörige Ordinate der elastischen Linie sehr leicht bestimmen. Wir kennen aus Gleichung (9. die Durchbiegung f in der Kraftachse und können nach Fig. 2 die Lagertangente konstruieren. Damit ist aber sa = ha – f bekannt. Für ein beliebiges x < a berechnet man dann aus Gleichung (19. die Grösse sx und trägt diese auf der zugehörigen Ordinate der Lagertangente ab. Der so erhaltene Endpunkt der Strecke ist ein Punkt der elastischen Linie.

Textabbildung Bd. 318, S. 147

Da die Strecken sx in späteren Abschnitten eine bedeutsame Rolle spielen werden, wollen wir der Kürze halber eine besondere Bezeichnung dafür einführen. Wir gehen dabei von der Betrachtung aus, dass der Träger in der Ruhelage mit der Richtung der einen (z.B. der linken) Lagertangentezusammenfiele und dass die Biegungskurve entstanden wäre unter der Einwirkung des rechten Auflagerdruckes, der das freie Ende des Trägers von der Richtung der linken Lagertangente weg nach oben biegt. Wir wollen daher die Strecken sx als „Aufbiegung“ bezeichnen.

Für die Aufzeichnung der elastischen Linie empfiehlt es sich, den zu gehörigen Kurvenpunkt zu bestimmen, da man (Fig. 2) von der Konstruktion der Lagertangente her bereits die Vertikale 4/4' im Punkte hat. Für diesen Fall muss nach Gleichung (19. sein

Da nun auf der Vertikalen 4/4' bereits durch die Linien 1/6 und 1/8 die Strecke

abgeschnitten wird, so braucht man nur diese Strecke in vier gleiche Teile zu teilen. Der der Lagertangente zunächst liegende Teilpunkt 13 ist der gesuchte Punkt der elastischen Linie.

Wir wollen nun für einen beliebigen Punkt der Kurve die zugehörige Tangente bestimmen. Um sie in einfacher Weise konstruieren zu können, brauchen wir nur den von ihr auf der Lagervertikalen 1/1' gebildeten Abschnitt zu bestimmen, den wir mit gx bezeichnen wollen (Fig. 3).

Für den in Fig. 1 dargestellten allgemeinen Fall, in dem die beiden Lager einen Höhenunterschied Δy2 haben, erhalten wir für den gesuchten Abschnitt

Setzt man hier für y den Wert aus Gleichung (5. und für den Wert aus Gleichung (10. ein, so erhält man

. . . (20.

einen Wert, der wieder von Δy2 und bei gegebenem Moment auch von b unabhängig ist.

Aus Gleichung (18. und (20. ergiebt sich die sehr einfache Beziehung

gx = 2 . sx . . . (21.

Da die Grösse gx ebenfalls für die späteren Konstruktionen viel verwendet wird, wollen wir sie der Kürze wegen einfach als Tangentenabschnitt bezeichnen und darunter stets den von einer beliebigen Kurventangente auf der Lagervertikalen gebildeten Abschnitt verstehen.

Wir finden somit aus den oben gegebenen Ableitungen folgende wichtige Sätze:

Satz 2. Für alle Punkte zwischen dem einen Lager und der Kraftachse ist der Tangentenabschnitt gleich der doppelten zugehörigen Aufbiegung.

Satz 3. Ist bei einem Träger der eine Stützdruck gegeben, so ist für alle Punkte zwischen dem Lager und der Kraftachse die Aufbiegung und der Tangentenabschnitt unabhängig vom Horizontalabstande und vom Höhenunterschiede des andern Lagers.

Es mag bei dieser Gelegenheit noch einmal ausdrücklich auf die für den Höhenunterschied Δy2 gemachte Voraussetzung hingewiesen werden, dass nämlich Δy2 im Vergleich zur Trägerlange sehr klein ist.

Die Bedeutung des Satzes 3 zeigt sich in Fig. 4. Wenn wir für einen beliebigen Punkt x des daselbst dargestellten Trägers die Aufbiegung sx und den Tangentenabschnitt gX, also auch die zugehörige Tangente bestimmt haben, so wissen wir, dass für jeden andern Träger mit gleichem E und J und gleichem Stützdruck im linken Lager für Punkt x die Aufbiegung sx und der Tangentenabschnitt gx genau dieselben Werte haben, wie für den ersten Träger, dass also die beiden Tangenten die Lagervertikale im selben Punkte schneiden. Solche Tangenten wollen wir der Einfachheit halber als verwandte Tangenten bezeichnen. Wir haben dann folgenden Satz:

|148| Satz 4. Verwandte Tangenten schneiden sich auf der zugehörigen Lagervertikalen.

Textabbildung Bd. 318, S. 148

Die Tangente im Angriffspunkte der Kraft P.

Aus Gleichung (21. folgt ohne weiteres für x = a (Fig. 3)

ga = 2 . sa . . . . (22.

und entsprechend

ga = 2 . sb . . . . (23.

Setzt man in diese Gleichungen die Werte (16. und (17. ein, so erhält man

. . . . (24.

. . . . (25.

Kennt man bereits die Durchbiegung f, so kann man die beiden Tangentenabschnitte auch aus dieser bestimmen. Aus den Gleichungen (22. und (14. bezw. (23. und (15. ergiebt sich nämlich

. . . . (26.

. . . . (27.

Durch Multiplikation dieser beiden Gleichungen erhält man schliesslich

gagb = f2 . . . . (28.

Satz 5. Die Durchbiegung f im Angriffspunkte der Kraft P ist das geometrische Mittel der beiden zugehörigen Tangentenabschnitte ga und gb.

Aus den bisherigen Ableitungen ergiebt sich ohne weiteres, wie der Verlauf der elastischen Linie einer zweifach gestützten glatten Trägers mit Innenlast in einfachster Weise aufgezeichnet werden kann. Man berechnet zunächst nach Gleichung (9. die Durchbiegung f im Angriffspunkte der Kraft P. Dann werden nach Fig. 2 die beiden Lagertangenten konstruiert, die uns die Aufbiegungen sa und sb liefern. Nach Fig. 3 kann dann ein beliebiges Kurvenpunkt unter Benutzung der Gleichung (19. für die Aufbiegung bestimmt werden, zu dem sich nach Gleichung (21. ohne weiteres die zugehörige Tangente ergiebt. Schliesslich findet man unter Berücksichtigung der Beziehungen ga = 2sa und gb = 2sb nach Fig. 3 die Tangente im Punkte der Durchbiegung f.

Will man nur diese Tangente der elastischen Linie im Angriffspunkte der Kraft P bestimmen, so ist es nicht erst nötig, die Lagert an genten und die Grossen sa und sb zu ermitteln. Man bestimmt dann einfach die Tangentenabschnitte ga und gb nach den Beziehungen (26. und (27.

und

Die sehr einfache Konstruktion ist aus Fig. 5 ohne weiteres ersichtlich. 7/8 ist die gesuchte Tangente, die natürlich durch Punkt 4 gehen muss, was als Kontrolle für genaues Zeichnen dienen kann.

Wir haben jetzt immer nur den linken Kurvenast zwischen Lager und Kraftachse betrachtet. Es ist selbstverständlich,dass für den rechten Kurvenast b in sich genau dieselben Sätze gelten, wie sie bisher für den linken (a) abgeleitet wurden. Wir wollen jetzt untersuchen, wie die Tangenten des einen von den Grossen des anderen Astes abhängen.

Textabbildung Bd. 318, S. 148
Textabbildung Bd. 318, S. 148

In Fig. 6 ist die elastische Linie eines Trägers aufgezeichnet einmal für den Fall horizontaler Lagerung (y-Kurve) und dann für den Fall, dass die Lager einen Höhenunterschied Δy2 haben (y'-Kurve), wobei Δy2 den auf S. 145 gemachten Voraussetzungen genügen möge. An beide Kurven sind im Punkte x (> a) die Tangenten gelegt. Dann zeigt sich, dass auch hier der auf der linken Lagervertikalen gebildete Tangentenabschnitt für beide Kurven gleich, also unabhängig vom Lagerhöhenunterschiede Δy2 ist. Der Beweis ist sehr einfach. Es sei zunächst gx' der Abschnitt für die y'-Kurve, gx der für die y-Kurve. Nach Satz 1 sind die absoluten Durchbiegungen der beiden Kurven einander gleich; also

(in Fig. 6 ist Δy2
negativ angenommen.)

|149|

oder

Somit

Nun ist der Tangentenabschnitt für die y-Kurve

und entsprechend für die y-Kurve

also

w. z.B. w.

Satz 6. Für alle Punkte zwischen der Kraftachse und dem einen Lager sind die auf der anderen Lagervertikalen gebildeten Tangentenabschnitte unabhängig vom Lagerhöhenunterschiede Δy2. Die zugehörigen Tangenten sind verwandt.

Um die Abhängigkeit zwischen gx und b bezw. l zu bestimmen, müssen wir die allgemeine Gleichung von gx für x> a aufstellen. Es ist

Aus Gleichung (8. ist der Wert von y bekannt und durch Differenzieren der Wert von leicht bestimmbar. Wir erhalten durch Einsetzen dieser Werte in obige Gleichung nach einigen kleinen Umformungen

(für xa) . . (29.

Für x = a erhält man

was mit Gleichung (24. übereinstimmt.

Für x = l erhält man

. . (30.

Wir wollen die Gleichung (29. noch etwas näher untersuchen. In Fig. 7 ist das Momentendreieck dargestellt. 3 ist der Angriffspunkt der Kraft P. (3/5) = M = Biegungsmoment im Punkte 3. Das im Punkte x auftretende Biegungsmoment (4/6) ist Verlängern wir 2/5 bis zum Schnittpunkte 7 mit der Lagervertikalen 1/1' und ziehen wir die Linie 4/5, die 1/1' in 8 schneidet, so ist

Durch eine einfache Umformung können wir nun Gleichung (29. auf die Form bringen

Setzt man hier die eben gefundenen Werte für und ein, so erhält man

. . (31.

Textabbildung Bd. 318, S. 149

In dieser Gleichung ist aber weder l noch b enthalten. Um gx bestimmen zu können, ist es nur erforderlich, dass wir wissen, nach welchem Gesetze sich das Biegungsmoment Mx in Abhängigkeit von x ändert, d.h. wir müssen die Neigung der Momentenlinie 5/6 kennen. Daraus folgt aber, dass bei gegebenem M und Mx der Tangentenabschnitt gx für den Punkt x unabhängig von den Grossen des jenseits von x liegenden Trägerabschnittes ist.

Da der Zweck dieser Betrachtung zunächst noch nicht ersichtlich sein dürfte, mag hier der Hinweis Platz finden, dass wir das eben gefundene Ergebnis später benutzen werden, um in einfacher Weise die elastische Linie von Trägern aufzuzeichnen, die auf ihrer Länge verschiedene Trägheitsmomente haben.

(Fortsetzung folgt.)

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Analytisch-graphisches Verfahren zur Bestimmung der Durchbiegung zwei- und dreifach gestützter Träger. Mit besonderer Berücksichtigung der Berechnung von Drehstrommotorenwellen. Von Diplomingenieur Max Kloss. Von der Technischen Hochschule zu Dresden zur Erlangung der Würde eines Doktoringenieurs genehmigte Dissertation. Berlin 1902. Kommissionsverlag Polytechnische Buchhandlung A. Seydel. Preis 3 Mark. Mit 43 Textfiguren und 4 Tafeln.

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