Titel: Ueber die Ausströmung der gesättigten Wasserdämpfe.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1903, Band 318 (S. 369–372)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj318/ar318097

Ueber die Ausströmung der gesättigten Wasserdämpfe.

Von W. Schüle, Breslau.

(Fortsetzung von S. 358 d. Bd.)

Vereinfachte Formel für den Verlauf der ψ Linie.

(Gl. 6 bezw. Fig. 1).

Durch die zuletzt behandelte Frage wird das Folgende nicht berührt, ausser inbezug auf die Spannungsgrenze, bis zu welcher die ψ1 Formel zu gelten hat.

Es ist nach Gleichung 6.)

Hierfür schreiben wir zunächst

Die Exponenten und unter der Wurzel sind nun kleine Brüche, äussersten Falles für trockenen Dampf und widerstandslosen Ausfluss mit

m = k = 1,135.

Ausserdem ist, wenigstens nach der älteren Annahme, nicht grösser als rund 1,8. Nach der Exponentalreihe ist nun

Beide Reihen sind beim zweiten Glied abgebrochen, da sie bei der Kleinheit von und von das höchstens ln 1,8 = ∞ 0,59 wird, rasch konvergieren. Nun wird

und daher

In dieser Formel kommen zwar keine gebrochenen Exponenten von mehr vor, dafür aber der natürliche Logarithmus und die Formel muss weiter vereinfacht werden, wenn sie sich für Aufgaben mit veränderlichem verwenden lassen soll.

Für die Werte von zwischen 1 und 1,8, um die es sich handelt, kann man mit guter Annäherung

setzen.

Es ist also

Diese Näherungsformel besitzt um so grössere Genauigkeit, je kleiner ist, die Abweichungen nehmen mit zunehmendem zu. Man erhält aber einen Ausgleich der Fehlerverteilung, wenn man unter der Wurzel statt den Mittelwert

setzt. Dann wird

9.)

Diese Formel besitzt nun in bezug auf die Veränderliche die wünschenswerte Einfachheit und kann auch ohne wesentliche Beeinträchtigung der Genauigkeit nicht weiter vereinfacht werden. Dass trotz der verschiedenen Abkürzungen und Vereinfachungen die Genauigkeit über das ganze fragliche Gebiet in praktisch zulässigen Grenzen geblieben ist, zeigt Fig. 2, in welcher die genauen Werte und die Näherungswerte von ψ für zwei Grenzfälle aufgetragen sind.13)

Bei der Anwendung der Formeln ist häufig nicht di, sondern der Widerstandskoeffizient ξ gegeben. Es ist

|370|

In der Formel für ψ und in den folgenden Entwicklungen treten zusammengesetzte Ausdrücke. mit m und k auf. So ist

Textabbildung Bd. 318, S. 370

und der in ψ vorkommende Ausdruck

Man kann daher ψ1 auch in der Form schreiben

und

10.)14)

Der Einfluss der Widerstände auf die Ausflussmenge.

Aus Gleichung 10 ist dieser Einfluss leicht zu erkennen. Je feuchter die Dämpfe sind (je kleiner also k) und je grösser die Widerstände, umsomehr verschwindet die Bedeutung des zweiten Klammerglieds der ersten Wurzel (vergl. Fussbemerkung 14), so dass man für nasse Dämpfe schreiben kann

11.)

Aus dieser Gleichung ist zu entnehmen, dass die Ausflussmenge mit abnimmt, wenn ξ zunimmt, ganz gleichgiltig, wie gross der Feuchtigkeitsgrad oder der sonstige Zustand der Dämpfe ist. Die Widerstände verkleinern unter allen Umständen die Ausflussmenge in dem gleichen Verhältnis . Aus der ursprünglichen Gleichung 2.) ist es unmöglich, dies zu erkennen.

Der Einfluss der Feuchtigkeit auf die Ausflussmenge.

Denkt man sich Wasserdämpfe von gleicher Spannung pi aber verschiedener Dampfnässe, d.h. verschiedenem spezifischen Volumen vi, so übt ausser vi noch die Verschiedenheit der Werte von k einen Einfluss auf das Gewicht G1; dieser letztere ist aber, wie man wieder bei Beachtung des geringen Wertes von

gegen{PROBLEM}unlesbar{PROBLEM} erkennt, so geringfügig, dass er gegenüber dem anderen viel grösseren, besonders bei grösserem Feuchtigkeitsgrad, zurücktritt. Ist nun vi das Volumen des trocken gesättigten Dampfes, so ist x . vi sehr angenähert dasjenige des nassen Dampfes mit der spezifischen Dampfmenge x. Für nassen Dampf wird also das Ausflussgewicht im Verhältnis grösser als für trockenen unter sonst gleichen Verhältnissen.15)

Für Dampf mit 20 v. H. Wassergehalt, also x = 1 – 0,2 = 0,8 ist z.B. das Ausflussgewicht in derselben Zeit mal oder um 11 v. H. grösser, als für trockenen Dampf.

Auch dies ist aus der ursprünglichen Gleichung 2.) nicht erkennbar, da sich dort der Einfluss der Grössen k und m die beide den Feuchtigkeitsgrad enthalten, nicht übersehen lässt.

Ausströmungszeit des gesättigten Wasserdampfes aus einem Gefäss ohne Zufluss.

Die Ausflusszeit zerfällt im allgemeinen immer in zwei Teile, die Zeit, solange der Mündungsdruck grösser ist als der äussere Druck, und die Zeit, während welcher beide Drücke gleich sind. Für den ersten Teil hat Weyrauch16) eine genaue Formel gegeben, die weiter unten angeführt wird. Für den zweiten Teil, dessen Bestimmung grösseren Schwierigkeiten begegnet, hat Grashof17) eine Näherungsformel entwickelt, für den Fall, „dass der innere Druck nur wenig grösser ist als der äussere.“ Leider ist dabei nicht näher angegeben, bis zu welchem Druckverhältnis die Formel Anwendung finden soll. In seinem Beispiel wendet sie Grashof selbst für ein Druckverhältnis an und |371| dies erweist sich bei näherer Durchsicht der Entwicklungen auch als die oberste Grenze. Man wäre demnach in der Lage, mittels der Weyrauchschen Formel z.B. die Zeit zu berechnen, welche bei Ausströmen des Dampfes in die Atmosphäre aus einem geschlossenen Gefäss ohne Zufluss verstreicht, bis der Druck von 4 auf rund 1,8 Atm. gesunken ist, nach der Grashofschen Formel die Zeit für die Drucksenkung von 1,25 auf 1 Atm. Die dazwischen liegende Zeit von 1,8 bis 1,25 Atm. bleibt unbekannt.18) Mit Hilfe der Gleichung 10.) lässt sich jedoch die Aufgabe vollständig lösen und ein einfacher geschlossener Ausdruck für die Zeit aufstellen.

Entwicklung der Formel für den Teil der Entleerungszeit, während dessen der Mündungsdruck gleich dem äusseren Druck ist.

Das Ausflussgewicht in dt Sekunden ergibt sich aus der Ausflussformel

. . 12.)

da während der kleinen Zeit dt die Druckänderung im Behälter verschwindend klein ist. α ist der Kontraktionskoeffizient.

Der im Gefäss zurückbleibende Dampf führt eine Zustandsänderung aus, die wesentlich durch den Einfluss der Gefässwände auf den Wärmezustand bedingt ist. Man pflegt zu setzen

pi . vir = p1 . v1r . . . 13.)

worin pi der Druck zur beliebigen Zeit t, p1 der Anfangsdruck ist. (Desgl. vi und v1 die zugehörigen spezifischen Volumina.) Bei Gefässwänden, die weder Wärme annehmen, noch abgeben, noch weiterleiten, wäre r = k, die Zustandsänderung adiabatisch. Gerade bei feuchten Dämpfen wird jedoch für den vorliegenden Fall von adiabatischer Zustandsänderung keine Rede sein können, weil erstens die Gefäss wände, die aus Metall bestehen, die Wärme an das im Dampf suspendierte Wasser leicht abgeben oder von ihm aufnehmen; und aus dem zweiten Grunde nicht, weil bei dem allmählich geringer werdenden Druck die Temperatur des Dampfes stetig sinkt und das dadurch zwischen der heissen Gefässwand und dem Dampf hervortretende Wärmegefälle den Wärmeübergang von den Wänden zum Dampf sehr befördert. Von den Dampfmaschinen her ist ja bekannt genug, dass die Expansionslinie durch die heissen Gefässwände eine nicht unbeträchtliche Erhöhung über den adiabatischen Verlauf erfährt. – Die grösste Rolle wird die Zeit spielen. Ist diese bis zum vollständigen Druckausgleich sehr klein, so wird sich die Zustandsänderung der Adiabate nähern; dies ist der Fall, wenn die Ausflussöffnung gross ist.19) Dagegen wird r < k sein, die Zustandsänderung unter Wärmezufuhr vor sich gehen, wenn die Ausflussöffnung relativ klein ist und daher die Zeit für den Druckausgleich gross. Einen besonders einfachen Fall stellt r = 1 vor, der dann eintreten kann, wenn sich der Dampf in einem Gefäss befindet, dessen Wände zu Beginn der Ausströmung höhere Temperatur besitzen, als der Dampf selbst (z.B. bei Ausströmen aus Dampfmaschinenzylindern).

Aus der Beziehung Gleichung 13.) folgt nun

somit

Die Gleichung 12.) geht hiermit über in:

Nach unserer Gleichung 9.) für ψ ist hierin

somit

worin

Die Bedingung der Aufgabe, dass das Gesamtvolumen V des Rückstandes konstant bleibt, führt ferner zu folgendem Ausdruck für dG20). Ist G1 das Gesamtgewicht zur Zeit t = t1, Gi das Gewicht des Behälterrückstandes zur beliebigen Zeit t, so ist während t – t1 Sekunden ausgeströmt

G = G1 – Gi

Nun ist nach der Definition des spezifischen Volumens

V = G1v1 = GiVi

somit

daher differentiert

Nach der Zustandsgleichung ist hierin

somit

Durch Gleichsetzen beider Ausdrücke für dG folgt alsdann

Wir setzen zur Abkürzung

oder mit dem Wert von β

Es ist nun die Gleichung

|372|

zu integrieren, um die Ausflusszeit für beliebige Druckabnähme zu erhalten. Es ist

Um die Integration in einfacher, geschlossener Form zu ermöglichen, setzen wir

Die Reihe kann unbedenklich mit dem zweiten Glied abgebrochen werden, da immer sehr klein ist (für adiab. Zust.-Aend. rd. – 0,03, für r = 1 sogar = 0), und höchstens 0,8 sein kann. Es ist nun

Da nun

und

so folgt mit

Denkt man an die Zeit, die bis zum vollständigen Druckausgleich verstreicht, wo also wird, so erhält man

worin nun für den Anfangszustand gilt. Mit dem Wert von c ist

. . 14.)

Setzt man für den meist zulässigen Ausdruck , so wird

21) 14a.)

Für r = 1 wird

15.)

Der Einfluss der Feuchtigkeit ist auch hier wieder fast allein durch den Wert bedingt. Ist also x die spezifische Dampfmenge, so verhalten sich die Ausflusszeiten von trockenem und nassem Dampf unter gleichen Verhältnissen wie . Der nasse Dampf braucht also längere Zeit, als der trockene, um auszuströmen, da x ein echter Bruch ist. Für 20 v. H. Feuchtigkeit ist z.B. die Zeit mal so gross, als für den trockenen Zustand, wenn in beiden Fällen die Spannung um den gleichen Betrag sinken soll.

(Schluss folgt.)

|369|

Dadurch unterscheidet sich diese Formel von anderen ähnlichen Abkürzungen, die nur für ein beschränktes Gebiet in der Nähe des Verhältnisses gelten.

|370|

Die logarithmische Formel würde lauten:

wenn man die Klammer unter der ersten Wurzel gleich l setzt. In der Tat ist dies, besonders bei grösseren Werten von ξ ohne grossen Fehler möglich. Sogar mit ξ = 0 wird für k = 1,135 nur gegen 1, ein Verhältnis, das sich durch die Quadratwurzel noch auf 0,034 gegen l reduziert. Für nasse Dämpfe und grössere Widerstünde wird der Unterschied noch viel kleiner. Diese logarithmische Formel, wie sie hier aus der Zeunerschen Gleichung abgeleitet wurde, ist identisch mit der Formel von Navier, die nach Zeuner in allen Lehrbüchern der Physik verwendet wird. Zeuner wendet sich (a. a. O. I S. 249) mit Recht gegen die Ableitung und Benutzung dieser Formel für Gase, da sie „unzulässigen Annahmen entsprungen ist“. Auf Wasserdämpfe braucht, wie die obige Entwicklung erkennen lässt, dieses Urteil, wenigstens praktisch, nicht ausgedehnt zu werden. Für nasse Wasserdämpfe stellt sie sogar eine recht gute Annäherung an den Zeunerschen Ausdruck vor. Für Gase ist dies freilich durchaus nicht der Fall, weil bei diesen k viel grösser ist (1,41 gegen 1,13 bei Dämpfen); und deshalb die obige Reihenentwicklung nicht ohne bedeutenden Fehler heim zweiten Glied abgebrochen werden kann.

|370|

Vergl. den Einfluss dieses Umstandes auf die Entleerungszeit von Dampfgefässen weiter unten.

|370|

Weyrauch, Zeitschr. d. V. deutsch. Ing. 1899, S. 1164.

|370|

Grashof, Theoretische Maschinenlehre. Bd. I S. 696. Gleichung 12.

|371|

Fliegner gibt in der Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 1901 S. 395 ein Näherungsverfahren an, dessen Richtigkeit aber nur für Gase erwiesen ist, und das auch für Dämpfe schwerlich durchführbar sein wird. Das von Weyrauch a. a. O. mitgeteilte Verfahren durch stufenweise Integration ist durch den Umstand beschränkt, dass ψ1 bei kleinen Spannungsverhältnissen, besonders nahe gegen hin, sehr stark veränderlich ist. Auf die Zwischenzeit in dem obigen Beispiel könnte es zwar wohl angewendet werden. Das ganze Verfahren würde aber dadurch sehr umständlich, da für die drei Zeitabschnitte drei verschiedene Methoden benutzt werden müssten.

|371|

Davon hat z.B. Hirn bei seinen Versuchen über die adiabatische Expansion des überhitzten Dampfes Gebrauch gemacht.

|371|

Vergl. Grashof, Theor. Maschinent. I S. 693 und Weyrauch, a. a. O.

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Es ist absichtlich statt 6,26 der etwas erhöhte Wert 6,3 gesetzt, um dem etwas zu kleinen Betrag von Rechnung zu tragen.

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