Titel: Die theoretischen Grundlagen der Rollen- und Kugellager.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1903, Band 318 (S. 459–461)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj318/ar318124

Die theoretischen Grundlagen der Rollen- und Kugellager.

Von Hermann Studte, Berlin.

Herr Professor Stribeck1) geht in seinen Untersuchungen über Kugellager und Rollenlager für beliebige Belastungen von den Differentialgleichungen aus, welche Heinrich Hertz2) über die Berührung elastischer Körper aufgestellt hat. Diese Gleichungen beruhen auf den Voraussetzungen, dass die Körper, welche gegeneinander gepresst werden, absolut homogene sind; ferner sollen die Druckflächen der gepressten Körper ausserordentlich klein zu ihren Gesamtoberflächen sein, d.h. nur berühren; die Kräfte sollen normal, zur Oberfläche zwischen den in Kontakt befindlichen Teilen gerichtet sein, und ausserdem muss für das Material Proportionalität zwischen den Dehnungen und Spannungen bestehen. Die Stribeckschen Versuche über die zulässigen Belastungen von Kugeln und ihrer Lager wurden auf Anregung der deutschen Waffen- und Munitionsfabriken in Berlin unternommen und fanden durch Herrn Ingenieur A. Riebe, welcher als praktischer Konstrukteur von Kugellagern auf diesem Gebiete anerkannte Erfahrungen besitzt, bereitwillige Unterstützung. Hervorzuheben ist noch die Mitarbeiterschaft des Dr. Schwinning3), welcher in seiner Eigenschaft als Ingenieur der Zentralstelle für wissenschaftlich-technische Untersuchungen in Neubabelsberg ausreichende Gelegenheit fand, sich erfolgreich mit dem praktischen Ausbau der Stribeckschen Belastungstheorien fürKugellager zu beschäftigen. Die von Stribeck benutzten Einrichtungen für Druckversuche mit Kugeln sind von der Firma Amsler, Laffon & Sohn in Schaffhausen geliefert und den von Professor Rudeloff bei den in der Königl. mechanisch technischen Versuchsanstalt zu Charlottenburg ausgeführten Kugelprüfungen benutzten Einrichtungen nachgebildet.

Ausser diesen Arbeiten der Zentralstelle in Neubabelsberg und der Versuchsanstalt in Charlottenburg wurden Prüfungen von Gusstahlkugeln ausgeführt durch Professor Föppl in München und durch E. Rasch4), als Oberingenieur an der Materialprüfungsanstalt des Bayerischen Gewerbemuseums in Nürnberg. Zu erwähnen sind ferner die vorgängigen Untersuchungen, betreffend Kugel- und Rollenlager von Geh. Rat Reuleaux5), sowie des um den Maschinenbau hochverdienten Professor Bach6) in Stuttgart. Ferner sei auf das kleine Sammelwerk von M. R. Zechlin7) hingewiesen; dasselbe giebt zur Orientierung eine Aufzählung diesbezüglicher Patente.

Im allgemeinen ist die bis jetzt erschienene Litteratur über diese Lagerarten sehr spärlich. Man muss bedenken, dass noch vor wenigen Jahrzehnten die Stahlkugelerzeugung für Kugellagerzwecke durchaus unzureichend war; und demgemäss |460| wehrten sich auch damals selbst bewährte Maschinenbauer mit Recht gegen die allgemeine Einführung von Rollen- und Kugellagern.

In den letzten zwei Jahrzenten entwickelte sich mit erstaunlicher Schnelligkeit die Fahrradtechnik und mit ihr die Vervollkommnung und Einbürgerung der Kugellager in die Praxis. Die Kugellagerpraxis eilte jäh der Theorie voraus; und diese Tatsache ist nur möglich geworden, weil die gesamte Fachwelt der Schnellfahrzeugtechnik energisch und kapitalkräftig darauf losstrebte, für ihre Zwecke Lager mit möglichst geringer Reibung zu verwenden; und dazu eignen sich ganz besonders die Kugel- und Rollenlager, oder mit ihrem Kollektivbegriff „Rollager“ benannt. Die Fahrradtechnik, der Automobilbau können ohne die Verwendung von Rollagern schon nicht mehr auskommen. Man durchmustere nur die einschlägigen Patentlisten aller Länder, so wird man über die Reichhaltigkeit der Konstruktionsanordnungen dieser Lagerarten staunen. Die schnelle, elegante Lauffähigkeit verdankt das Fahrrad lediglich dem Kugellager. Es ist daher auch nicht zu verwundern, dass man nicht allein das Fahrrad, sondern auch die für die Fahrradfabrikation notwendigen Werkzeugmaschinen mit Kugellagern ausstattete. Neuerdings schenkt auch der Dynamobau dieser Lagergattung erhöhtes Interesse, weil die unmittelbare Kupplung des Dynamo mit der Antriebsmaschine schnelle Umdrehungsgeschwindigkeit erfordert mit möglichst reibungsloser Bewegung. Auch die Strassen- und Bahnfahrzeuge wurden nach dieser Richtung kritisch untersucht, und man kam zu der Ueberzeugung, statt der früheren, ausschliesslich üblichen Gleitlager ebenfalls mit Vorteil Rollenlager zu benutzen. An diesen hat Professor Stribeck8) ebenfalls erfolgreiche Versuche ausgeführt. Auf jede Weise wäre es nun verfehlt, der Rollagertechnik für den Maschinenbau noch untergeordnete Bedeutung beizumessen, denn durch die theoretischen und praktischen Untersuchungen des Professor Stribeck werden die Rollager eine achtunggebietende Stellung in der Lagertechnik einnehmen, weil derselbe mit genialem Geschick und Ausdauer Messungen an Rollen- und Kugellagern, betreffend ihre Belastungsgrenzen und Reibungsarbeit vornahm.

Seine überaus günstigen, messtechnischen Erfolge, welche er zum Teil mit Hilfe der Reibungswage erzielte, sind von grossem, wissenschaftlichen Werte, so dass dem Gleitlager jetzt nach vielen Richtungen eine ernstliche Konkurrenzverwendung durch das Kugellager in Aussicht steht.

Ausser Stribeck setzten auch noch andere Forscher, wie J. W. F. Harris in Terre-Haute in Indiana bei veränderten Versuchsanordnungen Kugeln, sowie Rollen starken Belastungen aus, um deren Materialfestigkeit und Formänderung bei verschiedenen Druckspannungen zu prüfen. Ebenso wurde auch der Profilierung der Auflageflächen für die Rollkörper gebührende Beachtung gewidmet, um auf diese Weise die günstigsten Aufbaubedindungen der Rollager allgemein festzustellen.

Bei allen vorgenannten praktischen, sowie theoretischen Arbeiten wurden die Lagebedingungen der Kontakte auf den Oberflächen der gegeneinander gepressten Rollkörper keinem massgebenden Kriterium unterworfen. Diese Kenntnis lehrt die Kontaktzahlentheorie, welche als ein neuer Zweig der mathematischen Analysis hinzugefügt wird. Sie löst das Problem, warum Kontakte zustande kommen müssen, erwägt die dabei notwendigen mechanischen Bedingungen, stellt den Berührungsort der einzelnen im Kontakt befindlichen Grössen fest und zählt die Anzahl der wirklichen und möglichen Kontakte. Und besonders für die Rollagertechnik gewinnt die Kontaktzahlentheorie hervorragende Bedeutung, indem der Konstrukteur durch sie jetzt erst systematisch die günstigsten Kontaktbedingungen der Rollkörper gegeneinander verstehen lernt und mit Genauigkeit die Kontaktplätze als die Angriffsorte und Uebergangsstellen der Energie bestimmt; denn gerade die Kontaktstellen sind diejenigen Orte, an denen die Komponenten der eingeleiteten Kräfte ihre Wirkungen ausüben. Die Kontaktzahlentheorie, die Lehre der Berührungsmannigfaltigkeit von Grössen, ist die Fundamentalwissenschaft der Rollagertechnik überhaupt.

Man unterscheidet Punktkontakte, wie sie z.B. bei der Berührung idealer Kugeln vorhanden wären, ferner lineare Kontakte, sowie Flächenkontakte. Lineare Kontakte z.B. entstehen, wenn Zylinder in ihrer Längsrichtung, parallel i zu einander in Berührung gebracht werden; die Gleitlager stellen Flächenkontakte dar.

Es ist wohl selbstverständlich einleuchtend, dass aus der Reihe der Kontaktkombinationen theoretisch bei Punktkontakten die Reibung am geringsten ist; dagegen tritt der grösste Reibungswert auf, wenn Flächenkontakte, wie bei den Gleitlagern vorhanden sind. Für die Gleitlager resultiert der logische Schluss sofort ungünstig nach dem Satze von Helmholtz: „Jede Reibung vernichtet lebendige Kraft.“

Der Vollständigkeit halber darf es nicht überflüssig erscheinen, die verschiedenen Kontaktkombinationen besonders anzuführen:

Es können zustande kommen:

Punkt- mit Punktkontakt,
Punkt- mit Linienkontakt,
Punkt- mit Flächenkontakt,
Linien- mit Linienkontakt,
Linien- mit Flächenkontakt,
Flächen- mit Flächenkontakt,
Minimum der
Reibung

Maximum der
Reibung

Auffallend ist bei der Wichtigkeit der Kontaktlehre, dass die Geschichte der Wissenschaften nach dieser Richtung nirgends zweck- und zielbewusste Forschung aufweist, und umsomehr verlohnt hier die Arbeit, weil es mir durch die Schaffung der Kontaktzahlentheorie jetzt gelungen ist, die eigentlichen Grundlagen der Kugel- und Rollenlagertechnik festzulegen.

Kinematische Systeme von Rollen und Kugeln.

Schiebt man zwei parallel gelegte zylindrische Rollen gleicher Durchmesser so weit gegeneinander, dass ihre Mäntel sich berühren, so kommt der Kontakt derselben in einer graden Linie, ihrer gemeinschaftlichen geometrischen Tangente, welche zu den Rollenachsen parallel liegt, zu stände; und zwar ist unter den angenommenen Voraussetzungen die Rollentangente gleichweit von den Mittelachsen jeder der beiden Rollen entfernt; oder denkt man sich durch die beiden Mittelachsen eine Ebene gelegt, so ist die Rollentangente die Halbierungslinie der Mittelachsenebene. Angenommen, es werde die Rolle 1 durch irgend eine Energie in der Richtung der Uhrzeigerbewegung gedreht, so dreht sich die Rolle 2 im entgegengesetzten Sinne; wird die Drehung der Rolle 1 in entgegengesetzter Richtung bewirkt, so dreht sich die Rolle 2 ebenfalls in ihrer zwangsläufigen Bewegung im entgegengesetzten Sinne.

Es seien n Rollen gleicher Durchmesser gegeneinander im Kontakt so gelagert, dass ihre Rollentangenten in der Mittelachsenebene liegen. Ihre Kontaktzahl sei mit Kt bezeichnet:

Kt = n – 1

Fig. 2 stelle die Querschnitte solcher in Berührung befindlicher Rollen mit einskizziertem Drehungssinne dar:

Textabbildung Bd. 318, S. 460
Textabbildung Bd. 318, S. 460
Textabbildung Bd. 318, S. 460

Die Berührungslinien sind gleichzeitig die Reibungsplätze der Rollen gegeneinander. Wird die Rolle 1 gedreht, so pflanzt sich die eingeleitete Energie durch den Mantelkontakt zur Rolle 2 fort, so dass sich die Rolle 2 in entgegengesetzter Richtung mitdreht; ebenso wird von der Rolle 2 die Energy nach der Rolle 3 durch den Mantelkontakt übergeführt und bewirkt in derselben eine zwangsläufige Drehung, welche der der Rolle 2 entgegengesetzt, derjenigen der Rolle 1 aber gleichgerichtet ist. Man kann diesen Drehungsfolgen in |461| derselben Weise immer weiter nachgehen und gelangt bei der offenen einreihigen Rollenreihe zu folgenden Ergebnissen;

Die Rollen:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 . . . . . . . . . 2n – 1

haben bei den dargelegten Anordnungsbedingungen unter sich gleichen Drehungssinn, ebenso verhält es sich mit den Rollen:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 . . . . . . . . . . 2n

welche unter sich ebenfalls gleichen, aber den Rollen:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 . . . . . . . . . 2n – 1

entgegengesetzte Umdrehungen aufweisen. Dieselben Beziehungen gelten für die Kontaktzahl und die Drehungsrichtungen einer offenen einreihigen Reihe von n Rollen, wenn ihre Mittelachsenebenen eine polygonale Gestalt annehmen, wie sie Fig. 3 zeigt.

Bildet die polygonale Gestalt der Mittelachsenebenen von Rollen ein geschlossenes Prisma mit gleichen oder ungleichen Seiten, so hat man eine geschlossene einreihige Rollenreihe. Beträgt die Anzahl der Rollen einer solchen Reihe n, so ist ihre zugehörige Kontaktzahl ebenfalls n.

Bei der Betrachtung geschlossener Rollenreihensysteme sind zwei Fälle zu unterscheiden:

n = 2n1 . . . . . . . 1)

in diesem Falle ist die Anzahl der Rollen eine grade Zahl;

n = 2n1 – 1. . . . . . . 2)

dann ist die Rollenanzahl eine ungrade Zahl. Dementsprechend fallen auch die Drehungsergebnisse für beide Fälle verschieden aus. Fig. 4 sei ein geschlossenes, einreihiges Rollensystem, dessen Rollenanzahl eine grade Zahl ist. Es leuchtet ohne weiteres ein, wieviel Rollen in grader Zahl gegeneinander gelagert sein mögen, damit eine derartige Rollenreihe in Bezug auf ihre Drehungseffekte eine läufige oder ungehemmte ist. Dreht man die Rolle 1 an, so laufen alle Rollen gegeneinander und zwar jede in Bezug auf ihre benachbarten entgegengesetzt, in ungehemmter Bewegung.

Textabbildung Bd. 318, S. 461
Textabbildung Bd. 318, S. 461

Gerade der umgekehrte Fall tritt ein, wenn die Rollenzahl einer geschlossenen einreihigen Rollenreihe eine ungrade ist. So zeigt Fig. 5, dass die Rolle 1, in welche die drehende Energie eingeführt ist, mit der ihr benachbarten, das Polygon schliessenden Rolle 7 infolge der entgegengesetzten Energierichtung eine Hemmung erfährt.

Ein solches gehemmtes Rollensystem, worin die eingeleitete Energie nicht als kinetische bestehen kann, ist gebremst.

Verwendet man statt Rollen zu diesen Betrachtungen Kugeln, so erhält man in entsprechender Weise analoge Ergebnisse.

Mehrreihige Rollensysteme einer Schicht.

Ungehemmte tetragonale Anordnungen.

Werden mehrere Rollenreihen gegeneindaner in Berührung gebracht, so dass sie als Ganzes ein Quadrat bilden, so ist ihre Anzahl, die mit A bezeichnet sein möge:

A = n2

die zugehörige Kontaktzahl, Kt genannt, ist:

Ein solches Rollensystem ist ein läufiges, ungehemmtes, weil die in irgendwelche Rolle eingeleitete Energie jedes einzelne Glied des gesamten Systems an der Drehung im Sinne der Pfeile (Fig. 6) teilnehmen lässt. Zu derselben Gattung von Rollensystemen gehört das Rechteck, dessen Rollenanzahl:

A = mn

ist, worin m die kleinere, n die grössere Seite bedeutet. Die zugehörige Kontaktzahl ist:

Ein solches Rechteck stellt Fig. 7 dar.

Geradezu überraschende Ergebnisse findet man für den Drehungssinn der einzelnen Rollenelemente in Bezug auf ihre diagonale Lage zu einander, sowohl für das Rollenquadrat als auch für das Rollenrechteck.

Textabbildung Bd. 318, S. 461
Textabbildung Bd. 318, S. 461

Es sei das Quadrat, Fig. 6, zur genauen Erläuterung herangezogen. In diesem Falle bestehe n2 aus 36 Rollenelementen. So haben z.B. 1, 8, 15, 22, 29, 36 unter sich identischen Drehungssinn, dasselbe gilt von jeder nach der gleichen diagonalen Richtung liegenden Rollenreihe, jedoch ist zu beachten, dass die diagonal benachbarten Rollenreihen abwechselnd gleichen Drehungssinn haben. Bildet man zwischen den einzelnen diagonalen Rollenreihenzahlen die Differenz, so erhält man nach erläuterter Richtung stets die Zahl 7; allgemein erhält man für n Rollen 2n – 1 diagonale Rollenreihen, deren jedes einzelne Glied um n + 1 verschieden ist.

Betrachtet man das Quadrat von der entgegengesetzten Seite und Richtung, so ergeben sich bei n2 Rollen ebenfalls 2n – 1 diagonale Rollenreihen, deren jedes einzelne Glied um n – 1 von einander unterschieden ist. Selbstverständlich lässt sich das letzte Glied u der längsten Rollenreihe, deren Gliederdifferenz n + 1 beträgt, allgemein darstellen durch die Gleichung:

u = 1 + (n – 1) (n + 1)

Die Summe aller dieser Rollenreihenglieder, welche mit S bezeichnet sein möge, gibt folgende allgemeine Formel:

Für die nach der entgegengesetzten diagonalen Richtung gelagerte längste Rollenreihe, deren Gliederdifferenz n – 1 ist, erhält man für das letzte Glied u1 folgende allgemeine Gleichung:

u1 = n + (n – 1) (n – 1)

oder vereinfacht:

u1 = n2 – n + 1

Die Summe sei mit S1 bezeichnet, dann ergibt sich als allgemeine Gleichung:

Verschiebt man ein quadratisches Rollensystem, welches einen Rollenrhombus darstellt (s. Fig. 6), indem man die Winkelgrössen der Reihenlagen ändert, so bleiben die Kugelanzahl n2, die Kontaktzahl 2 n (n – 1) und die Drehungsrichtungen konstant, bis die Rhombuswinkel in die Grenzwerte 60° bezw. 120° übergehen; dasselbe gilt vom Rollenrechteck für die Anzahl, zugehörige Kontaktzahl und seine Drehungsrichtungen bis zu den Grenzwinkeln von 60° bezw. 120°. Verbindet man die Kontaktplätze der Rollen unter sich, so erhält man für beide Fälle tetragonale Gebilde. Im analogen Sinne ergeben sich für die Kugelanordnungen die entsprechend gleichen Ergebnisse.

(Schluss folgt.)

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Stribeck, Zeitschr. d. Ver. Deutscher Ingenieure, 1901. Bd. XXXXV, Heft 73 u. 118, und Bd. XXXXVI, Heft 36 u. 38.

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Heinrich Hertz, Gesammelte Werke, Bd. I, S. 155 u. f. und S. 174 u. f.

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Schwinning, Zeitschr. d. Ver. Deutsch. Ingenieure, 1901, Bd. XXXXV, S. 352.

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E. Rasch, Prüfung von Gusstahlkugeln, Sonderabdruck a. d. Zeitschr. f. Werkzeugmaschinen u. Werkzeuge. Berlin. Polytechn. Buchhdlg, Seydel.

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Reuleaux, Konstrukteur, IV. Aufl., 2.

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Prof. Bach, Maschinenelemente, 7. Aufl.

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Max R. Zechlin, Kugel- und Rollenlager, Theorie, Berechnung u.s.w. Berlin, 1900. Verl. A. Seydel.

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R. Stribeck, die wesentlichen Eigenschaften der Gleit- und Rollenlager, Zeitschr. d. V. Deutsch. Ing., Bd. XXXXVI, No. 39.

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