Titel: Studien und Versuche über die Elastizität kreisrunder Platten Flusseisen.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1903, Band 318 (S. 785–789)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj318/ar318214

Studien und Versuche über die Elastizität kreisrunder Platten Flusseisen.

Von Dr.-Ing. Max Ensslin, Stuttgart.

(Fortsetzung von S. 726 d. Bd.)

c) Gleichungen zur Ermittlung der Anstrengung und des Biegungspfeiles.

An den vollen Scheiben, wie sie bei den vorhin beschriebenen Versuchen verwendet worden sind (vergl. Fig. 1, S. 707), lassen sich zwei Zonen unterscheiden, eine innere (zentrale) Zone vom Durchmesser 2 Ri und eine äussere Zone (Ringzone), welche die innere konzentrisch umschliesst und deren grösserer Durchmesser 2 Ra ist. Nach Anbringen der belastenden Kräfte an den beiden Kreisumfängen 2 π Ri und 2 π Ra sieht man sofort, dass die Ringzone auf Biegung und Schub beansprucht ist, da die über den äusseren Umfang 2 π Ra gleichmässig verteilte Kraft in bezug auf jeden Querschnitt der Ringzone, den man mit einem konzentrischen Kreiszylinder vom beliebigen Durchmesser 2 x durch die Scheibe führt, biegende Momente und Schubkräfte liefert, welche auf die Längeneinheit des Umfangs 2 π x bezogen, gleiche Grösse haben; die Ebenen der Biegungsmomente gehen alle durch die Normale in der Scheibenmitte. Die zentrale Zone dagegen ist nur auf Biegung beansprucht durch Momente, welche von der Ringzone auf die zentrale Zone ausgeübt werden und welche dadurch entstehen, dass die innere Zone infolge ihres Zusammenhangs mit der äusseren gezwungen ist, sich mit der letzeren zusammen zu deformieren; die Schubkraft ist in der inneren Zone überall gleich Null.

Nimmt man nun an, dass von der Ringzone auf die zentrale Zone nur Biegungsmomente der angegebenen Art ausgeübt werden, so wölbt sich die innere Zone unter dem Einfluss derselben nach dem Teil einer Kugel,10) ähnlich wie sich ein gerader Stab, der nur an seinen Enden von reinen Biegungsmomenten gleicher und entgegengesetzter Grösse ergriffen wird, nach einem Kreisbogen krümmt.

Legt man die Scheibe so in ein rechtwinkliges Koordinatensystem hinein, dass die xy- Ebene mit der Mittelfläche, die z- Achse mit der Normalen in der Mitte der Scheibe zusammenfällt, bezeichnet ferner

z die Durchbiegung eines im Abstand x von der Plattenmitte befindlichen Punkts der Mittelfläche gegenüber

der x y-Ebene und zwar sofern der Punkt der inneren/äusseren Zone angehört,

λ die Entfernung eines ausserhalb der Mittelfläche gelegenen Punkts von derselben,

α den Dehnungskoeffizienten des Materials (reciproker Elastizitätsmodul),

m das Verhältnis zwischen Längsdehnung und Querzusammenziehung,

so gilt unter Voraussetzung homogenen und isotropen Materials, wenn man sich die Scheibe im Umfang 2 π Ri festgehalten denkt, für die innere Zone, die sich nach dem Teil einer Kugel wölbt (s. Clebsch, St. Venant, S. 342):

. . . (1)

. . . (2)

. . . (3)

Für die Ringzone benützen wir die Gleichungen, welche Grashof unter der Annahme, dass die Normalen auf der Mittelfläche vor und nach Eintritt der Belastung gerade und senkrecht auf derselben bleiben, abgeleitet hat. Sie gelten in der nachher angegebenen Form für den Fall, dass eine gleichmässig über die Plattenoberfläche verteilte Pressung nicht vorhanden ist und dass die Mittelfläche nicht gedehnt wird, dass vielmehr nur eine senkrecht gegen die Oberfläche gerichtete Belastung auf die Kreisumfänge 2 π Ri und 2 π Ra wirkt; die Gleichungen lauten (vergl. z.B. C. Bach, Elast, und Fest., 3. Aufl., S. 512 f., mit a = 0, p1 = 0) nach Gleichung (9) a. a. 0.

. . . (4)

nach Gleichung (8) a. a. O.

. . . (5)

nach Gleichung (4) und (10) a. a. O.

In den Gleichungen (1) bis (6) sind

c1, c2, c3, c4 Konstante

Die Konstanten c erhält man für den Fall der gelochten und für den Fall der vollen Scheibe unter Berücksichtigung gewisser Grenzbedingungen, wie folgt.

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1. Gelochte Scheibe.

Zur Ermittlung der Konstanten c1, c2, c3 führen folgende Erwägungen und Vereinbarungen:

α und β In jedem Punkt des inneren Lochrandes (x = Ri; λ beliebig) und des äusseren Umfangs (x = Ra, λ beliebig) müssen die Radialspannungen σx gleich Null sein, da keine äusseren Radialkräfte vorhanden sind; es muss also in Gleichung (6) σx = 0 werden für x = Ri und x = Ra und jeden Wert von λ.

γ) Wir nehmen an, die Ringzone sei am äusseren Umfang festgehalten, es sei somit z2 = 0 für x = Ra.

Mit diesen Bedingungen liefern die Gleichungen (4) und (6):

. . (7)

. . (8)

Hiermit wird gemäss Gleichung (4) der Biegungspfeil in x = Ri

oder mit Einführung des Wertes von b

2. Volle Scheibe.

Die Konstanten c1, c2, c3, c4 findet man aus folgenden Bedingungen:11)

α) In allen Punkten des äusseren Umfanges (x = Ra, λ beliebig), muss die Radialspannung σx gleich Null sein, da dort keine äusseren Radialkräfte wirken; es muss also in Gleichung (6) σx = 0 werden für x = Ra und jeden Wert von λ.

β) Wir nehmen an, die Scheibe werde im Umfang 2 π Ri festgehalten, dann muss sein z2 = 0 in Gleichung (4) für x = Ri; in Gleichung (1) ist die Bedingung z1 = 0 für x = Ri schon erfüllt.

γ) Da die Mittelflächen der inneren und äusseren Zone stetig ineinander übergehen, so muss sich die Neigung der Meridianlinie der Mittelfläche aus Gleichung (2) und (5) für x = Ri gleich gross ergeben.

δ) Die Spannungen in jedem Punkt der Uebergangsstelle (x = Ri, λ beliebig) aus der äusseren in die innere Zone müssen gleich gross sein; auf die Normalspannungen σx und σy angewendet heisst dies: für x = Ri und jeden Wert von λ muss sich aus Gleichungen (3) und (6) derselbe Wert von σx und σy ergeben.

Mit diesen Bedingungen liefern die Gleichungen (1) bis (6)

. . (10)

. . (11)

(12)

Wenn die Durchbiegung der Ringzone in x = Ra(z2)x = r – und die Durchbiegung der inneren Zone in x = O – (z1)x = 0 – unter Benutzung der vorstehenden Konstantenwerte aus Gleichung (4) und (1) berechnet sind, so findet man die Gesamtdurchbiegung, d.h. den Biegungspfeil z' in der Plattenmitte, als Summe der Einzeldurchbiegungen; da die beiden zuletzt genannten Werte entgegengesetztes Vorzeichen haben, so wird:

z' = – (z1)x = 0 + (z2)x = Ra

oder mit Einführung des Wertes von b

d) Grösse der Spannungen bei den Versuchen.

Für die gelochten Scheiben, welche zu den Versuchen II, IV bis VI verwendet wurden, ist Ra = 28 cm, Ri = 1,5 cm, hiermit und mit erhält man aus Geichung (7) und (8)

Die Spannungen σx und σy sind proportional dem Abstand λ von der Mittelfläche, erlangen also ihre Grösstwerte für d.h. an der Scheibenober- und Unterfläche. Zur Berechnung der Spannung daselbst dienen bei den Versuchen II, IV bis VI gemäss Gleichung (6) mit und den soeben gefundenen Werten von c1 und c2 die Gleichungen

Hiernach sind die Spannungen σx und σy an der Oberoder Unterfläche der gelochten Scheibe A bei Versuch II

im Abstände x = 1,5 7 14 21 28 cm a. d. Mitte,
mit h = 1,616 cm σx = ± 0 0,298 0,157 0,065 0 × P kg/qcm
σy = ± 1,518 0,489 0,3 0,1995 0,13 × „ „

Die Spannungsverteilung ist in Fig. 3 bildlich dargestellt.

In einer gelochten Scheibe, welche nach Fig. 1 belastet und gestützt ist, besitzen diesen Zalüen zufolge die Ringspannungen σy (d.h. die in Richtung des Umfangs auftretenden Spannungen) beträchtlich höhere Werte, als die Radialspannungen σx.

Die sogenannte resultierende Anstrengung (reduzierte Spannung)

12)

(da σz = 0) nimmt folgende Werte an

res σy = ± 1,518, 0,401, 0,253, 0,1975, 0,13 mal P kg/qcm

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Die grösste Anstrengung der gelochten Scheibe tritt am inneren Lochrand in Richtung des Umfangs (x = Ri, ) auf, sie beträgt

bei Versuch II IV V VI
max res σ y 1,518, 2,79, 2,5 3,78 mal P kg/qcm
Textabbildung Bd. 318, S. 787

Mit Hilfe dieser Zahlen sind die Anstrengungswerte in den Tabellen 2-11, Abschn. b, berechnet worden.

Die grösste Anstrengung bei Versuch VII findet sich auf ähnliche Weise wie bei Versuch VIII, zu max res σy = 3,72 P.

Mit den zuletzt angegebenen Werten der grössten Anstrengung (Versuch VIII: 2,2 P; Versuch VII: 3,72 P) sind die Anstrengungen in den Tabellen 2-11 berechnet worden.

Für die vollen Scheiben, welche zu den Versuchen I und III verwendet wurden, ist Ra = 28 cm, Ri = 1,5 cm, hiermit und mit erhält man aus Gleichung (10) bis (12):

Mit diesen Werten und liefert Gleichung (3)

zur Berechnung der Spannungen an der Ober- oder Unterfläche der inneren Zone bei Versuch I und III, und ferner liefert Gleichung (6) analog für die äussere Zone:

Die Spannungen in der inneren Zone werden hiernach bei Versuch I (h = 1,616 cm), bei Versuch III (h = 1,193 cm)

σx = σy = ± 0,76 ± 1,395 mal P kg/qcm

= ± 0,532 ± 0,9765 mal P kg/qcm

Die Spannungsverteilung und resultierende Anstrengung an der Ober- oder Unterfläche der Ringzone bei Versuch I ersieht man aus folgenden Zahlen:

Abstand von der Scheibenmitte

x = 1,5 7 14 21 28 cm
σ x = ± 0,76 0,332 0,165 0,069 0 × P kg/qcm
σ y = ± 0,76 0,455 0,291 0,196 0,128 × "
13) = ± 0,532 0,355 0,242 0,175 0,128 × "

Von den Radialspannungen σx in einer vollen Scheibe gilt somit nicht, was von denselben in einer gelochten Scheibe oben zu bemerken war, dass sie gegenüber den Ringspannungen beträchtlich zurücktreten. Die Radialspannungen in einer vollen Scheibe – Freiaufliegen ist in diesem ganzen Abschnitt vorausgesetzt – sind in der zentralen Zone gleich gross wie die Ringspannungen, in der Ringzone nehmen die Radialspannungen, wenn man auf einen Durchmesser gegen den äusseren Umfang hingeht, bis auf Null ab.

Die Spannungsverteilung ist in Fig. 4 bildlich dargestellt.

Textabbildung Bd. 318, S. 787

Für die vollen Scheiben, welche zu den Versuchen IX und X verwendet wurden, ist Ra = 28 cm; Ri = 3 cm; hiermit und mit erhält man aus Gleichung (10) bis (12):

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Mit dem Wert von c4 und erhält man zur Berechnung der grössten Spannung an der Ober- und Unterfläche der inneren Zone nach Gleichung (3):

Die Spannungen in der inneren Zone werden hiernach bei Versuch IX (h = 1,581 cm), bei Versuch X (h = 1,0085 cm)

σx = σy = ± 0,621 P ± 1,53 P

und die grösste resultierende Anstrengung:

Die Spannungen an der Ober- oder Unterfläche der äusseren Zone werden nach Gleichung (6):

Die Spannungsverteilung und resultierende Anstrengung an der Ober- und Unterfläche der Platte bei Versuch IX ersieht man aus ff. Zahlen:

Abstand aus der Scheibenmitte

x = 3 7 14 21 28 cm
σx = ± 0,621 0,355 0,175 0,072 0 × P kg/qcm
σy = ± 0,621 0,465 0,288 0,203 0,133 × P kg/qcm

Die Spannungsverteilung bei Versuch IX ist in Fig. 5 bildlich dargestellt.

Für die gelochten Scheiben, welche zu den Versuchen VII und VIII verwendet wurden, ist Ra = 28 cm, Ri = 3 cm, ; hiermit und mit erhält man aus Gleichung (7) und (8)

Mit diesen Werten und liefert Gleichung (6)

zur Berechnung der Spannungen an der Scheibenoben- und Unterfläche bei Versuch VII und VIII.

Die Spannungsverteilung bei Versuch VIII ist hiernach folgende: (h = 1,193 cm) (vergl. oben).

Abstand aus der Scheibenmitte

x = 3 7 14 21 28 cm
σx.= 0 0,435 0,268 0,117 0 × P kg/qcm
σy = 2,2 1,03 0,594 0,392 0,258 „ „
2,2 0,9 0,512 0,357 0,258 „ „

Auch hier treten die Radialspannungen gegenüber den Ringspannungen stark zurück, wie schon oben hervorgehoben wurde.

Die Spannungsverteilung ist in Fig. 6 bildlich dargestellt.

Ein Vergleich der Fig. 3 und 6, d.h. der Spannungs-Verteilung in zwei gelochten Scheiben mit verschieden grosser Bohrung zeigt, dass die Spannungsverteilung gleichmässiger ist in der Scheibe mit der grösseren Bohrung. Die Spannungsverteilung in einer gelochten Scheibe wird in Richtung eines Durchmessers um so gleichmässiger, je grosser die Bohrung in der Mitte ist.

e) Dehnungskoeffizient der Platten nach Gleichungen (9) und (13).

Zur Berechnung des Dehnungskoeffizienten aus den Versuchen I und III mit den vollen Scheiben dient Gleichung (13), welche mit Ra = 28 cm, Ri = 1,5 cm, und übergeht in

Textabbildung Bd. 318, S. 788

Zur Berechnung des Dehnungskoeffizienten aus den Versuchen II, IV bis VI mit den gelochten Scheiben (Ri= 1,5 cm) dient Gleichung (9), welche mit den oben angegebenen Werten übergeht in

Textabbildung Bd. 318, S. 788

Zur Berechnung des Dehnungskoeffizienten aus den Versuchen VII und VIII mit den gelochten Scheiben (Ri = 3) liefert Gleichung (9) mit Ra = 28 cm, Ri = 3 cm,

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Zur Berechnung des Dehnungskoeffizienten aus den Versuchen IX und X mit den vollen Scheiben C und D (Ri = 3 cm) liefert Gleichung (13) mit: Ra = 28 cm; Ri = 3cm,

Eine Durchsicht der Versuchsergebnisse (Abschnitt b) zeigt, dass bis zu einer gewissen Belastung hin die Durchbiegung proportional der Belastung P in der Plattenmitte zunimmt. Ueber die Proportionalität zwischen Durchbiegung und Spannung vergl. unten (Abschnitt g, 1).

Zufolge Versuch I (S. 721) mit der h = 1,616 cm starken, vollen Scheibe A besteht Proportionalität zwischen Belastung und Durchbiegung, soweit der Versuch fortgesetzt wurde; einer Steigerung der Belastung um 3600 – 300 = 3300 kg entspricht nach der 6. Reihe des Versuchs T eine Zunahme des Biegungspfeils von 0,142 cm, sodass Gleichung (13a) für den reziproken Wert des Dehnungskoeffizienten (Elastizitätsmodul) liefert

Aus Reihe 7 des Versuches III (S. 722) mit der h = 1,193 cm starken, vollen Scheibe B ist ersichtlich, dass Durchbiegung und Belastung proportional sind zwischen P = 300 kg und P = 2300 kg; einer Steigerung der Belastung um 2300 – 300 = 2000 kg entspricht eine Zunahme des Biegungspfeils um 0,230 cm, so dass nach Gleichung (13a):

Reihe 5 des Versuches II (S. 721) mit der h = 1,616 cm starken, gelochten Scheibe A zeigt, dass Durchbiegung und Belastung proportional sind zwischen P = 300 und P = 1500 kg; einer Steigerung der Belastung um 1500 – 300 = 1200 kg entspricht eine Zunahme des Biegungspfeils um 0,056 cm, so dass nach Gleichung (9a)

das ist nahezu derselbe Wert, den die gleiche Platte A im ungelochten Zustande bei Versuch I ergeben hat.

Aus Reihe 4 des Versuches IV mit der h = 1,193 cm starken, gelochten Scheibe B geht hervor, dass Durchbiegung und Belastung proportional sind zwischen P = 300 und P = 900 kg; einer Steigerung der Belastung um 900 – 300 = 600 kg entspricht eine Zunahme des Biegungspfeiles von 0,075 cm, so dass nach Gleichung (9a) wird

in naher Uebereinstimmung mit dem Werte, der für die gleiche Platte B im ungelochten Zustande bei Versuch II gefunden worden ist.

Platte A, welche bei Versuch I und II verwendet worden war, wurde auf h = 1,257 cm abgedreht und dem Versuch V unterzogen. Nach Reihe 6 des Versuches V sind Durchbiegung und Belastung proportional zwischen P = 300 kg und P = 900 kg; einer Steigerung der Belastung um 900 – 300 = 600 kg entspricht eine Zunahme der Durchbiegung von 0,06 cm, womit Gleichung (9a) liefert:

das ist ein Wert, der sich nur um rund 1 v. H. von demjenigen unterscheidet, der für die gleiche Platte bei den Versuchen I und III gefunden worden ist.

Die Platte A wurde hierauf nochmals abgedreht auf h = 1,024 cm und sodann Versuch VI vorgenommen. NachReihe 5 dieses Versuches entspricht einer Steigerung der Belastung um 600 – 200 = 400 kg eine Zunahme des Biegungspfeiles von 0,073 cm, womit Gleichung (9a) gibt:

das ist der Wert, den die gleiche Platte A bei Versuch I geliefert hatte.

Schliesslich wurde die Platte A ausgeglüht und da sie sich hierbei ein wenig verzogen hatte, soweit abgedreht, bis sie wieder eben war; nach dem Abdrehen war h = 0,918 cm, die Bohrung in der Mitte wurde auf 5,5 cm vergrössert und der Druck vom Presskolben mittels eines Druckrings (vergl. S. 706) von 6 cm Durchmesser ausgeübt. Einer Zunahme der Belastung von 800 – 200 = 600 kg, entspricht nach Reihe 3 oder 8 des Versuches VII eine Vergrösserung des Biegungspfeiles von 0,168 cm, womit nach Gleichung (9b) wird:

Infolge des Ausglühens ist somit der Elastizitätsmodul ein wenig (2%) kleiner geworden, als er sich aus Versuch I und VI ergeben hatte.

Auch die Platte B (h = 1,193 cm) wurde noch mit einer grösseren Bohrung (Ri = 3 cm) in der Mitte versehen und dem Versuch VIII unterworfen. Einer Steigerung der Belastung um 700 – 300 = 400 kg entspricht zufolge Reihe 4 bis 7 des Versuchs VIII (S. 723) eine Zunahme des Biegungspfeiles von 0,054 cm, womit nach Gleichung (9b) wird

in Uebereinstimmung mit dem Wert, welcher an der gleichen Platte bei Versuch IV gefunden worden ist.

Zufolge Versuch IX (S. 723) mit der h = 1,581 cm starken vollen Scheibe C besteht Proportionalität zwischen Belastung und Durchbiegung bis P = 3000 kg; einer Steigerung der Belastung um 3000 – 300 = 2700 kg entspricht gemäss Versuchsreihe 7 eine Zunahme des Biegungspfeiles um 0,135 cm, sodass nach Gleichung (13b) wird:

Zufolge Versuch X, Reihe 3 und 6, mit der h = 1,0085 cm starken vollen Scheibe D besteht Proportionalität zwischen Belastung und Durchbiegang bis P = 1,200 kg; einer Steigerung der Belastung um 1200 × 200 = 1000 kg entspricht eine Zunahme des Biegungspfeiles von 0,193 cm, sodass nach Gleichung (13b) wird:

Die vorstehend ausgerechneten Werte des Elastizitätsmoduls sind um 1,27 v. H. zu vermindern, da die Eichung des Instrumentes, mit dem die Durchbiegungen gemessen worden sind, ergeben hat, dass es den Biegungspfeil in dem benutzten Messbereich um 1,27 v. H. zu niedrig angezeigt hat. Die berichtigten Werte von sind:

für Versuch I : = 2336000
II = 2326000
III = 2170000
IV = 2158000
V = 2307000
VI = 2330000
VII = 2283000
VIII = 2156000
IX = 2090000
X = 2084000

(Schluss folgt.)

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Der genaue Nachweis ist geführt in Clebsch, Théorie des corps solides, annoté par St. Venant, S. 338 bis 343, besonders Abschn. 4.

|786|

Vergl. Clebsch annoté par St. Venant, S. 354, Abschn. 14.

|786|

Siehe z.B. C. Bach, Elast. u. Fest., § 7.

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Allgemein ist dieser Anstrengungswert ausgedrückt durch:

Grashof gibt hierfür, ohne auf die Spannungsverteilung in der inneren Zone näher einzugehen, die Gleichung

(vergl. Grashof Theorie der Elast. u. Fest. 1878 S. 338.)

Diese Gleichung ist von Grashof unter der Annahme entwickelt, dass die Belastung in einem Punkt – in der Plattenmitte – konzentriert angreife. Unter dieser Voraussetzung liefern die von Grashof für die Spannungen σx, σy und τ gegebenen Gleichungen für die Plattenmitte unendlich grosse Werte und in der Nähe der Mitte grössere Werte als sie in Wirklichkeit sein können, wo die Belastung nicht in einem Punkt konzentriert, sondern über eine endliche Linie bezw. Fläche verteilt ist. Der Wert der grössten Anstrengung ergibt sich aus der Grashofschen Gleichung etwas höher, als aus der vorangehenden Gleichung.

Je weiter die Punkte der Platte von der Mitte ab- und dem äusseren Umfang zugelegen sind, desto weniger wird die Grösse der Spannung davon beeinflusst, ob man annimmt die Belastung sei in einem Punkt konzentriert oder über eine Linie bezw. Fläche verteilt (vergl. die dahingehende Bemerkung Grashofs a. a. O.)

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