Titel: Beitrag zur Theorie elektrischer Schwingungen.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1904, Band 319 (S. 33–37)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj319/ar319010

Beitrag zur Theorie elektrischer Schwingungen.

Von Willy Wagner, Ingenieur und Dozent am Technikum, Frankenhausen a. K.

Die immer zunehmende praktische Bedeutung der drahtlosen Telegraphie lässt es manchem in Praxis stehenden Elektriker wünschenswert erscheinen, sich über die physikalischen Vorgänge in deren Sende- und Empfangsvorrichtungen Klarheit zu verschaffen, ohne indes die Zeit zu haben, sich in die umfassenden Abhandlungen über elektrische Wellen von Kirchhoff, Helmholtz, Hertz, Abraham, Slaby u.a. vertiefen zu können. Es ist nun in folgendem versucht, die elektrischen Erscheinungen im offenen und geschlossenen Schwingungskreise in möglichst einfacher Weise klarzulegen.

Textabbildung Bd. 319, S. 33
Textabbildung Bd. 319, S. 33
Textabbildung Bd. 319, S. 33

1. Wellen in einem gerade ausgespannten Drahte.

Von einer durch die Sekundärspule J (Fig. 1) eines Induktoriums erregten Funkenstrecke F erstrecke sich beiderseits ein gerader metallischer Leiter von der Länge l. Wie man mittels der bekannten Versuche zeigen kann, ist dann das Gleichgewicht der Elektrizität des Leiters zeitlich und räumlich gestört. Es bilden sich stehende Schwingungen des Stromes und der Spannung aus; für die elektrische Strömung bildet die Funkenstrecke stets einen Schwingungsbauch, die Drahtenden einen Schwingungsknoten; ferner können unter geeigneten Verhältnissen auch Knoten und Bäuche innerhalb des Drahtes auftreten, wie die Kurven I und II der Fig. 2 zeigen. Die räumliche Verteilung der Spannung erfolgt ähnlich, nur sind gegenüber dem Strome die Begriffe Schwingungsbauch und -Knoten zu vertauschen.

Zur mathematischen Untersuchung dieser Verhältnisse müssen wir die elektrischen Vorgänge in einem unendlich kleinen Leiterstück von der Länge dx (Fig. 3) betrachten, indem wir annehmen, dass Widerstand, Selbstinduktion und Kapazität gleichmässig über die ganze Drahtlänge verteilt sind und ihre bezüglichen Werte für die Längeneinheit W1, L1 und C1 betragen.

Für das Drahtstück dx haben wir dann den Widerstand W1 . dx, die Selbstinduktion L1 . dx und die Kapazität C1 . dx. Ist dV die Potentialdifferenz an den Enden des Leiterelements, so haben wir die Gleichung

. . . . . (1)

An der einen Seite des Leiters d x tritt der Strom i ein; der auf der anderen Seite austretende Strom istid i; die Differenz d i, einer Elektrizitätsmenge d i . d t entsprechend, erteilt der Kapazität C1 . dx eine Ladung d q . d x, wobei d q die Ladung der Längeneinheit bedeutet.

Es gelten dann die Gleichungen:

d q . dx = d V . C 1 d x

d q . d x = d i . dt

Es folgt hieraus sofort

. . . . . (2)

Setzt man diesen Wert in (1) ein, so resultiert

oder

Differenziert man nach der Zeit, so erhält man

. . . . . (4)

Das Integral dieser Gleichung ergibt sich durch die Substitution

. . . . . (5)

Es ist dann

Durch Einsetzung dieser Werte in Gleichung (4) folgt die Bestimmungsgleichung für a

. . . . (6)

Ist W1 sehr gross, so dass

so erhält man zwei reelle, negative Wurzeln – a1 und |34| a2 und durch entsprechendes Einsetzen in Gleichung (5) wird das allgemeine Integral der Gleichung (4)

Es geht hieraus hervor, dass bei grossem Widerstand überhaupt keine zeitliche Schwingung, sondern nur eine kontinuierliche Entladung stattfindet, indem die Glieder e–at mit wachsender Zeit stetig kleiner werden und gegen Null konvergieren.

Praktisch liegt der Fall meist umgekehrt, indem der Widerstand W1 gegenüber der Selbstinduktion L1 klein bleibt, so dass man das Glied

gegen

in Gleichung (6) ohne weiters vernachlässigen darf

Dann erhält man

Gleichung (5) wird somit

Nach dem Moivreschen Satz kann dies umgeformt werden zu

Die Konstanten δ und φ bestimmen sich aus der Erwägung, dass zur Zeit t = 0 und in der Mitte der Drähte, also für x = 0, die Stromstärke i ein Maximum J0 hat. Das ist nur möglich für δ = o und φ = 0.

Daher ist

Nun führt man die auf die ganze Drahtlänge 2 l bezogenen Widerslände, Selbstinduktionen und Kapazitäten ein.

. . . (7)

Für einen geraden Leiter von der Länge 2 l und dem Durchmesser 2 r bestimmt sich die Selbstinduktion annähernd zu

Henry

Die Kapazität in absoluten elektrostatischen Einheiten wird

oder in Farad

Farad

wobei v = 3 . 1010 cm/Sek. ist.

Es ist dann

in Gleichung (7) eingesetzt, folgt

. . . . (7a)

Hieraus ergibt sich die Wellenlänge λ als Abstand χzweier Punkte, an welchen der gleiche Schwingungszustand herrscht

Analog folgt die Schwingungsdauer zu

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellenbewegung wird dann

wie auch durch Versuche bewiesen ist.

Ist der Draht nicht, wie hier angenommen, von Luft umgeben, sondern von einem Stoffe, dessen magnetische Permeabilität μ und dessen Dielektrizitätskonstante ε beträgt, so wird

Henry und

Farad,

so dass man durch eine ähnliche Ueberlegung, wie oben, erhält

Wie man aus Gleichung (7 a) ersieht, entspricht der Verlauf der Stromstärke in dem Drahte einer stehenden Schwingung. In Punkten mit der Absisse

. . . . (7c)

ist i dauernd Null, wir haben Schwingungsknoten.

Der Widerstand W hat zur Folge, dass die Amplituden stetig abnehmen, so dass die Schwingung eine gedämpfte ist, was in dem Gliede

zum Ausdruck kommt.

Das Verhältnis zweier aufeinander folgender Amplituden wird

so dass die Amplituden in geometrischer Reihe abnehmen.

Da, wie schon oben angenommen, die Länge des Drahtes so gewählt werden soll, dass die Drahtenden Schwingungsknoten der Stromstärke werden (Abstimmung!) so muss cos m x für x = l den Wert Null annehmen, was der Fall ist, wenn

. . . . . . (7d)

k ist irgend eine ganze, positive Zahl, darf auch Null werden.

Nach Gleichung (7c) kann man den Abstand zweier Knotenpunkte, also auch die Wellenlänge berechnen. Es ergibt sich

Setzt man hierin den in Gleichung (7d) gefundenen Wert für m ein, so folgt

Die Wellenlänge der elektrischen Eigenschwingung eines in der Mitte erregten geraden Leiters von der Länge 2 l ist gleich der doppelten Länge 4 l oder gleich einem ungeraden aligurten Teil dieser Länge.

|35|

Um eine Gleichung für den Verlauf der Spannung zu erhalten, benutzen wir die Gleichung (2)

In Kombination mit Gleichung (7 a) ergibt dies

oder

. . . (8)

Die Konstante K wird Null, wenn wir den Resultaten von Versuchen entsprechend annehmen, dass in der Mitte des Drahtes, also für x = 0 die Spannung einen Knoten bildet (V = 0). Die andern Konstanten Vo und ψ, Amplitude der Spannung und zeitliche Phasenverschiebung derselben gegenüber dem Strome sind aus den Konstanten der vorhergehenden Gleichung zu berechnen. Da wir ihrer zur Erkenntnis der Vorgänge nicht bedürfen, und die Umformungen umständlich sind, so ist an dieser Stelle auf ihre Bestimmung verzichtet worden.

Durch Vergleich der Gleichung (8) und (7a) erkennt man, dass die Kurven für Strom und Spannung räumlich um 90° versetzt sind, während die Spannung zeitlich dem Strom um den Winkel ψ in Phase voraneilt.

Für die Ladung dq pro Längeneinheit fand sich oben die Beziehung

dq . dx = di . dt oder

Bestimmt man den Differentialquotienton aus Gleichung (7a), so erhält man

Es soll der Einfachheit halber nun von der Dämpfung abgesehen, d.h. W = 0 gesetzt werden. Es wird dann

Zur Zeit t = o soll q ebenfalls = o sein, so dass die Konstante Null ist.

Konst. = 0; also

. . . . . (9)

Da q die Ladung für die Längeneinheit ist, so wird diejenige für den ganzen Draht

. . . (9a)

Vernachlässigt man in Gleichung (7a) für den Strom ebenfalls die Dämpfung, so wird

i = J0 cos mx cos m v t . . . . . (7b)

Wie man aus den Gleichungen (7b) und (9a) ersieht, sind die Kurven für Strom und Ladung nach Zeit und Raum um 90° versetzt. Wären Strom und Ladung räumlich konstant, so würden sich die während einer Viertelperiode umgesetzte elektromagnetische Energie, bezw. die elektrostatische Energie berechnen aus der Formel

Um diese Energiemengen auch bei räumlicher Verteilung des Stromes und der Ladung nach Sinuswellen bestimmen zu können, ersetzt man die räumlich verschiedenen Amplituden durch einen räumlichen Mittelwert der Amplitude, der das fache der räumlichen Maximalamplitude beträgt.

Es ist hier der sogenannte effektive oder quadratische Mittelwert der nach dem Sinusgesetz sich ändernden Amplituden genommen (dessen Quadrat bekanntlich gleich dem halben Quadrat der Maximalamplitude ist) da die zu berechnenden Energien proportional den Quadraten des Stroms, bezw. der Ladung sind.

Für den Strom ist die Maximalamplitude gegeben burch den Wert J0; an der Stelle x ist die Amplitude dloss J0 cos m x; die mittlere räumliche Amplitude ist also

Genau so ergibt sich der mittlere räumliche Maximalwert der Ladung zu

Der Umsatz an elektromagnetischer Energie in einer

Viertelperiode wird dann

. . . . . . (10)

Die in der gleichen Zeit erhaltene bezw. aufgebrauchte elektrostatische Energie ist

nun ist aber, wie oben gefunden

; daher

. . . . (10a)

Aus Gleichung (10) und (10 a) geht hervor, dass

ES = EM; d.h.:

Der elektrische Vorgang ist durch ein fortwährendes Hin- und Herwogen der elektrischen Energie zwischen der elektromagnetischen und der elektrostatischen Erscheinungsform gekennzeichnet.

Dieser kontiniuierliche Energieumsatz erfolgt indessen nicht ohne Verluste, die bei obiger Ableitung vernachlässigt wurden und sich im wesentlichen ans drei Hauptsummanden zusammensetzen. Das sind: 1. die Joule Wärme, die dem Widerstände proportional ist. 2. der Stromverlust durch Ableitung von Elektrizitätsmengen durch das umgebende Dielektrikum (Isolation. Luft), das kein Isolator von unendlich hohem Widerstände ist; dieser Stromverlust ist proportional der Spannung und bei hohen Spannungen sehr beträchtlich; 3. der Energie Verlust durch Ausstrahlung elektromagnetischer Energie in den Raum, welcher bei der drahtlosen Telegraphie als eigentliche Nutzarbeit anzusehen ist.

Der Einfluss dieser Verluste auf den Schwingungszustand ist, wie schon oben gezeigt, eine zeitliche |36| Dämpfung, ferner aber auch eine räumliche Verzerrung der Wellen, die wohl vorzugsweise der unter (2) genannten Ableitung zuzuschieben ist und sich besonders bemerkbar macht, wenn der Draht nicht im Grundton schwingt (Wellenlänge λ = 4 l), sondern in irgend einem Oberton

Das Ergebnis unserer Betrachtungen ist, kurz zusammengedrängt, folgendes: Wird ein Draht nach Fig. 1 durch die Sekundärspule eines Induktors erregt, so gerät die Elektrizität auf demselben in stehende Schwingungen, deren Wellenlänge lediglich von den Dimensionen des Drahtes (Kapazität, Selbstinduktion und Widerstand) abhängt, Solche Schwingungen heissen Eigenschwingungen. Ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist, wenn der Draht von Luft umgeben ist, gleich der Lichtgeschwindigkeit. Allerdings können dem Draht auch andere Schwingungen aufgezwungen werden, dazu bedarf es aber eines schwingenden Systems mit grosser Trägheit, d.h. mit grosser Tendenz, seine eignen Schwingungen festzuhalten, und grösserer Energiemengen. Sind hingegen die Dimensionen des Drahtes so gewählt, dass seine Eigenschwingung mit derjenigen des Systems übereinstimmt, so wird es nur eines geringen Anstosses bedürfen, um den Draht zum Mitschwingen zu veranlassen (Resonnanz). Das ist das Grundprinzip der Abstimmung bei der Funkentelegraphie.

2. Wellen in geschlossenen Schwingungskreisen.

Eine durch ein Induktorium J (Fig. 4) erregte Funkenstrecke F bilde zusammen mit einer Kapazität C und einer Selbstinduktion L einen geschlossenen Stromkreis. Der Widerstand desselben sei W; die Kapazität der Drahtleitungen soll gegen diejenige der Kondensatoren C als ausserordentlich klein vernachlässigt werden.

Textabbildung Bd. 319, S. 36

Ist in irgend einem Zeitmoment die Spannung am Kondensator = V und der Strom = J, so hat man die Gleichung

. . . . . 11)

Zwischen der Ladung Q des Kondensators und seiner Spannung V besteht die Beziehung:

. . . . . 12)

Da der Strom J die auf die Zeiteinheit bezogene Abnahme der Ladung repräsentiert, so gibt

; somit auch . . . . . . . 13)

Setzt man diese Werte in Gleichung 11) ein, so ergibt sich

. . . . . 14)

Diese Differentialgleichung wird dadurch gelöst, dass man

Q = A . eat setzt. Dann wird

Die Gleichung 14) geht über in:

oder

Wird a reell, so erhält man zwei negative Werte, – a1 und – a2, so dass sich ergibt

d.h. die Entladung ist eine kontinuierliche; eine Schwingung kommt nicht zustande.

In Praxis liegt der Fall stets so, dass der Widerstand W sehr klein ist; dann wird der Ausdruck unter der Wurzel negativ und a imaginär. Es ergeben sich die beiden Wurzeln

Dann erhält man aus

Q = A . eat die Lösung

Nach dem Moivreschen Satze ist dieser Ausdruck gleichwertig dem folgenden

Q = Q0 ert . cos (st + φ)

Die Grössen Q0 und φ bestimmen sich aus der Festsetzung, dass zu Beginn des Vorgangs die Ladung Q ein Maximum sein soll. Also für t = 0 muss Q = Q0 werden; daher muss φ = 0 sein.

Setzt man noch die Werte von r und s ein, so folgt

. . 15)

Nach Gleichung 13) ist

; daher

Was man auch schreiben kann

. 16)

J0 und ψ sind durch die Konstanten Q0, W, L u. C völlig bestimmt; auf ihre Ermittlung ist hier verzichtet worden.

Aus Gleichung 16) erkennt man, dass in dem Stromkreis ein gedämpfter Wechselstrom zustande kommt; die Dauer einer Periode wird

. . . . . . 16a)

In Praxis ist der Widerstand W meist völlig zu vernachlässigen; für diesen Fall ergibt sich

. . . . . . 16b)

. . . . . . 16c)

Man ersieht, dass durch den Ohmschen Widerstand die Amplituden kontinuierlich verkleinert werden, während die Schwingungsdauer steigt.

Diese Resultate sind zuerst von William Thomson, dem jetzigen Lord Kelvin, 1853 veröffentlicht worden.

Das Wesentliche an der Sache ist, dass der Schwingungskreis eine Eigenschwingung hat, also von |37| der Periodenzahl des Induktors unabhängig ist und ferner bedeutende Energiemengen aufnehmen kann.

Unter Vernachlässigung der Dämpfung ergibt sich

Die maximale, der Selbstinduktion innewohnende Elektromagnetische Energiemenge wird

Dieselbe ist somit gleich der maximal vom Kondensator aufgenommenen Ladungsenergie

Es treten aber, wie aus den Gleichungen für Q und J hervorgeht EL max und EC max nicht gleichzeitig ein; beide sind um eine Viertelperiode zeitlich verschoben; erreicht die eine ihr Maximum, ist die andere gleich Null. Für irgend einen beliebigen Zeitpunkt erhält man leicht die Beziehung

; d.h.:

Im Thomsonschen Schwingungskreis findet eine dauernde Umwandlung von elektromagnetischer Energie in elektrostatische und umgekehrt statt. Auch hier treten die bei Fall (1) erwähnten Energieverluste durch Joulesche Wärme, Ableitung und Strahlung ein, lassen sich aber durch geeignete Anordnungen auf einen kleinen Bruchteil reduzieren. Wir haben daher im Thomsonschen Schwingungskreise eine Energiequelle geringer Dämpfung, grosser Trägheit und Energie. Zur Ausstrahlung elektrischer Wellen in den Raum (Funkentelegraphie) zwingt man die Schwingungen des Kreises einem Luftdrahte auf. Die elektrischen Vorgänge in demselben sind bereits unterFall I behandelt; es werden sich offenbar dann die kräftigsten Schwingungen in demselben ausbilden, wenn seine Eigenschwingung mit der des Kreises übereinstimmt. Dies ist der Fall, wenn seine Länge ¼ der Wellenlänge beträgt, wie oben gefunden. Wegen der Energieausstrahlung in den Raum werden zwar die Schwingungen in dem Drahte stark gedämpft sein; wir haben indessen in dem Schwingungskreise ein mächtiges Energiereservoir, aus welchem stets neue Energie an den Luftdraht abgegeben wird. Es ist hierdurch der Vorgang in einer Sendestation für drahtlose Telegraphie im Prinzip schon festgelegt.

Der Empfänger ist meist die Umkehrung des Senders. Für gutes Funktionieren müssen selbstredend die Eigenschwingungen von Sender und Empfänger übereinstimmen; hierauf beruht die Abstimmung beider Stationen aufeinander. Man erkennt auch sofort, dass die Abstimmung kein absolut sicheres Mittel zur Fernhaltung fremder Wellen ist; denn ist die Energie der letztern gross genug, so können sie in dem Sender sog. erzwungene Schwingungen hervorrufen, die unter Umständen den Wellenindikator zum Ansprechen veranlassen. Gegen diesen Uebelstand hilft man sich meist so, dass man die Schwingungen des Luftdrahtes nicht unmittelbar auf den Fritter einwirken lässt, sondern erst vermittelst ein- oder zweimaliger Uebertragung durch abgestimmte Schwingungskreise. Wegen der Abstimmung finden die Wellen des Senders hier geebnete Bahn vor und die Uebertragung erfolgt ohne nennenswerten Energieverlust. Alle andern Wellen werden aber so geschwächt, dass sie nicht mehr auf den Fritter einwirken können.

Hiermit ist das wichtigste erledigt, was zum Verständnis der elektrischen Erscheinungen bei den heutigen Systemen drahtloser Telegraphie erforderlich ist; der aufmerksame Leser wird auf Grund dieser theoretischen Erwägungen und an Hand der Schaltungen sich über die Vorgänge in den Einzelteilen irgend welchen Systems bald klar werden.

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