Titel: Die Berechnung der Lasthaken und die sich daraus ergebenden Hakenformen bester Materialausnutzung.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1904, Band 319 (S. 146–151)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj319/ar319044

Die Berechnung der Lasthaken und die sich daraus ergebenden Hakenformen bester Materialausnutzung.

Von Dipl.-Ing. G. Griffel.

(Fortsetzung von S. 133 d. Bd.)

Bei der gebräuchlichen Hakenform ist der Hebelarm des Biegungsmomentes gleich dem Krümmungshalbmesser (r); ausserdem bewirkt das Biegungsmoment stets eine Verringerung der Krümmung. Daraus folgt:

Mb = – Qr

Hiermit wird Gleichung (11) vereinfacht auf:

. . . . .(11a)

Die grösste Zug- bezw. Druckbeanspruchung ergibt sich daraus für η = – e2 bezw. η = + e1 zu:

und

Darin ist (vergl. Fig. 1):

r – e2 = a: r + e1 = a + h

Es wird also:

. . . . . . . (12)

. . . (12a)

Nach diesen Formeln ergibt sich unter Umständen eine um mehr als 60 v. H. grössere Zugbeanspruchung11)wie nach dem vorigen Rechnungsgang. Man pflegt deswegen jetzt wohl den Haken, dessen Abmessungen nach der vorigen Methode bestimmt sind, nach diesen Formeln nachzurechnen und zu verändern.

Dabei schlug Professor Klein in seinen Vorträgen über Hebezeuge vom Winterhalbjahr 1902/03 folgenden Weg ein:

Für einen nach der vorigen Methode berechneten Haken mit dem Verhältnis ; ist, wenn man die dort ermittelten Breitenabmessungen hier mit b1' und b2' bezeichnet:

; und

12)

Die Grashofsche Formel gibt – wenn man für κ den Annäherungswert setzt – die grösste Zugspannung

|147|

und die grösste Druckspannung

13)

Der Wert σz ist also gewachsen von:

auf

und σd gesunken von:

auf

Textabbildung Bd. 319, S. 147

Um die Beanspruchungen gleich zu halten, werden nun die Breitenabmessungen des Querschnittes entsprechend geändert, und zwar b2' vergrössert auf:

und b1' verkleinert auf:

(Vergl. Fig. 5).

Setzt man darin und ein, so wird:

Für den 10 Tonnen-Haken ergibt sich danach beispielsweise, wenn man σz = 120014) und annimmt:

h = 2 a = 12 cm

Dieser Querschnitt soll jetzt nach der genauen Grashofschen Formel (12 und 12a) nachgerechnet werden. Es ist nach Gleichung (3)

Der Wert κ ist für das Trapez:15)

Für den vorliegenden Fall wird:

κ = 0,0915

Durch Einsetzen dieser Werte in (12 und 12a) erhält man:

Hier wird somit die beabsichtigte grösste Zugbeanspruchung um 3¾ v. H., also nicht wesentlich überschritten.16)

Textabbildung Bd. 319, S. 147

Aber der Trapezquerschnitt muss nun zur Schonung des eingehängten Seiles noch abgerundet werden. Diese Abrundung wurde bei dem vorliegenden Querschnitt nach Gutdünken so ausgeführt wie Fig. 6 zeigt, und der so entstandene Querschnitt abermals nach Gleichung (12 und 12a) nachgerechnet. Die dazu erforderliche Bestimmung der Schwerpunktslage und damit von e2 und e1, geschah durch Aus wägen der aus Zeichenpapier ausgeschnittenen Querschnittsfigur, während der Wert κ f nach einem von Prof. M. Tolle angegebenen zeichnerischen Verfahren bestimmt wurde.17) Es ergab sich so:

e2 = 4,75 cm; e1 = 7,25 cm; κ f = 5,3 qcm

Damit wird nach Gleichung (12 und 12a)

|148|

Textabbildung Bd. 319, S. 148

Jetzt wird die beabsichtigte grösste Zugbeanspruchung um 25 v. H. überschritten,18) man sieht daraus, dass der Einfluss der Abrundung keinesfalls der Schätzung überlassen werden darf, sondern rechnerisch zu berücksichtigen ist. Im vorliegenden Falle kann das so geschehen, dass man alle Breitenabmessungen des Querschnittes der Ueberschreitung von σz = 1200 proportional vergrössert. Vergl. Fig. 8. Dadurch wird die Schwerpunktslage und damit e2 nicht verändert, während – wie sich aus untenstehender Anm. 17 leicht ergibt – die Werte κ f den Breitenabmessungen der Querschnitte direkt proportional sind.

Im ganzen bietet die Grashofsche Formel dadurch eine Unbequemlichkeit, dass sie sich auf Nachrechnenvorhandener Querschnitte beschränkt, und dass die Bestimmung der Abmessungen eines Querschnittes – auch eines nicht abgerundeten – auf Probieren hinauskommt.

Im Folgenden werde ich nun zunächst untersuchen, welche einfache Querschnittsform (Trapez oder Dreieck) – einstweilen abgesehen von der Rundung – die beste Materialausnutzung gibt, und für diese dann, ausgehend von der Grashofschen Formel, Beziehungen herleiten, welche die Abmessungen unmittelbar ergeben. Später werde ich dann die erforderlichen Abrundungen möglichst einfach berücksichtigen.

Um19) gute Materialausnutzung zu erreichen, stelle ich zunächst die Forderung, dass der absolute Betrag der grössten Zugspannung gleich dem der Druckspannung sein soll, dann gilt nach Gleichung (12 und 12a) die Beziehung:20)

oder

. . . . . (13)

Daraus folgt für die Trapezform die weitere Gleichung:21)

. . . . . . (13a)

Textabbildung Bd. 319, S. 148

Diese Gleichung zeigt, dass für a = h der Wert b1 = Null wird – in dem Fall wird das Trapez zum Dreieck – und dass b1 für alle Werte von h > a negativ wird. Im letzten Falle nimmt das Trapez die in Fig. 9 gezeichnete Form an, wobei zu beachten ist, dass eine positive, eine negative Querschnittsfläche bedeutet; negative Querschnittsflächen gibt es aber praktisch nicht; also diejenige Trapezform, für welche die Grashofsche Formel gleiche Zug- und Druckbeanspruchung giebt, ist für alle Werte h > a unausführbar.

|149|

Es soll nun zunächst untersucht werden, wie sich für den ausführbaren Trapezquerschnitt mit gleicher grösster Zug- und Druckbeanspruchung das Hakenvolumen – welches nach früher gesagtem von f . r abhängig ist – ändert mit dem Verhältnis , das wieder mit m bezeichnet werde.

Nach Gleichung (12) ist die grösste Zugspannung:

daraus folgt:

. . . . . . .(14)

Auf der rechten Seite dieser Gleichung lassen sich nun alle Grössen ausser Q und σz durch a und m ausdrücken.

Es ergibt sich:22)

Damit wird Gleichung (14):

In diesem Ausdruck für f . r ist der erste Faktorfür einen zu konstruierenden Haken konstant; fr wird also seinen Mindestwert erreichen, wenn der zweite Faktor ein Minimum wird. Er möge mit z bezeichnet werden, also:

(15)

Aus dieser Gleichung ist nun derjenige Wert m zu ermitteln, für den z sein Minimum erreicht. Aus der Beziehung Null lässt sich m nicht isolieren, man wird also den gesuchten Wert m am einfachsten direkt durch Probieren finden. Dabei brauchen nur Werte von berücksichtigt zu werden, denn für h > a lässt sich ein Trapezquerschnitt gleicher Festigkeit nicht herstellen. Die für z berechneten Werte sind in folgender Tabelle zusammengestellt:


nach Gleichung (15)
3 24,82
2 19,25
1,5 16,72
1 14,76
0,5 16,36

Die Tabelle zeigt, dass für m = 1 der Wert z und damit das Hakenvolumen am kleinsten wird.

Der für m = 0,5 noch berechnete Wert von z ist praktisch bedeutungslos, es ist aber theoretisch ganz interessant, dass z für m < 1 wieder zunimmt.

Für den Trapezquerschnitt gleicher Zug- und Druckbeanspruchung ist also das Verhältnis am günstigsten; für dieses Verhältnis wird das Trapez zum Dreieck und es liegt jetzt nahe, den Dreiecksquerschnitt einmal weiter zu verfolgen für Verhältnisse .

Textabbildung Bd. 319, S. 149

Für einen solchen Dreiecksquerschnitt ist die Zugbeanspruchung grösser wie die Druckbeanspruchung; die grösste auftretende Zugspannung ist also der Rechnung zugrunde zu legen.

Wählt man die Bezeichnungen der Fig. 10, so gilt die Gleichung (14) unverändert auch für den Dreiecksquerschnitt; es ist also:

. . . . . . .(14)

Darin lassen sich wieder alle Grössen der rechten Seite |150| ausser Q und σz, durch a und m ausdrücken. Es wird:

und der Wert x wird für das gleichschenklige Dreieck:23)

Damit wird:

Textabbildung Bd. 319, S. 150

Auch hier erreicht fr seinen Mindestwert zugleichmit dem zweiten Faktor, der wieder z genannt werden soll, also:

(16)

Derjenige Wert von m für den z und damit das Hakenvolumen seinen Mindestwert hat, ist auch hier durch Probieren zu ermitteln. Die zu dem Zweck berechneten Werte von z sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt:


(nach Gleichung 16)
1 = 1,0 14,76
¾ = 0,75 13,95
⅔ = 0,667 13,81
⅗ = 0,6 13,77
½ = 0,5 13,91
⅓ = 0,333 15,25

In Fig. 11 sind die Werte z = Punkt (m) der beiden Tabellen in einem Koordinatensystem aufgetragen. Man sieht daraus, dass z und damit das Hakenvolumen am kleinsten wird für den Dreiecksquerschnitt mit dem Verhältnis

oder

Hiernach hat bei Zugrundelegung der Grashofschen Formel der Trapezquerschnitt gleicher grösster Zug- und Druckbeanspruchung, für welchen ; (h < a) wird, abgesehen von seiner unschönen Form, auch theoretisch keine Berechtigung, denn der Dreiecksquerschnitt ungleicher Zug- und Druckbeanspruchung gibt bessere Materialausnutzung.24)

Ein Trapezquerschnitt mit dem Verhältnis ; (h > a) gibt auch keinen so kleinen Wert von f . r wie ein entsprechender Dreiecksquerschnitt, was aus der Nachrechnung eines Beispiels folgt.25)

Hiernach soll im Folgenden der Dreiecksquerschnitt näher betrachtet werden. Für diesen folgt aus Gleichung (14):

|151|

Setzt man darin:

und so wird:

oder:

. . . . . . (17)

Für die Wahl von a sind wieder die Ausführungen auf Seite 131 u. ff. massgebend; es sollen auch hier die Werte a = 0,05 √Q und a = 0,06 √Q berücksichtigt werden. Die grösste auftretende Beanspruchung soll zu σz = 1200 kg/qcm gewählt werden; den Wert κ erhält man für ein bestimmtes Verhältnis aus der Gleichung auf Seite 150 oben. Für verschiedene Verhältnisse von ergeben sich als Abmessungen des reinen Dreiecksquerschnittes (ohne Rundungen) die Werte der folgenden Tabelle:

a = 0,05 √Q 0,06 √Q
1,7 2,0 2,3 1,7 2,0 2,3
h = 0,085 Q 0,100 √Q 0,115 √Q 0,102 Q 0,120 √Q 0,138 √Q
b = 0,172 Q 0,139 √Q 0,117 √Q 0,143 Q 0,116 √Q 0,097 √Q

Die für gültigen fett gedruckten Werte führen zur besten Ausnutzung des Materials.

Textabbildung Bd. 319, S. 151

Der reine Dreiecksquerschnitt ist nun praktisch noch nicht brauchbar; es müssen daran zur Schonung des Einhängeseiles Rundungen angebracht werden, deren Einfluss – wie weiter vorne gezeigt wurde – rechnerisch zu berücksichtigen ist.

Im weiteren sollen h und b die Abmessungen des dem fertig abgerundeten Querschnitt umschriebenen Dreiecksbedeuten; die nach der Abrundung wirklich vorhandene grösste Höhe und Breite des Querschnittes bezeichne ich hw und bw. (Vergl. Fig. 12.)

Die in Fig. 12 gezeichnete Wölbung in der Hakenkehle nach einem Halbmesser ρ = h und daran anschliessend eine Rundung nach entspricht im Mittel den Ausführungsformen einiger namhafter Firmen,26) von denen ich hierüber Erkundigungen eingezogen habe.

Die Abrundung der nach aussen gewandten Spitze wähle ich nach einem Halbmesser .

Es sollen nun hier die für den reinen Dreiecksquerschnitt geltenden Werte a und h beibehalten werden; dann muss der dort gültige Wert von b hier vergrössert werden, damit nach der Abrundung des Querschnittes die für zulässig erachtete grösste Beanspruchung σz = 1200 kg/qcm nicht überschritten wird. Welche Werte von b dem abgerundeten Querschnitt zugrunde zu legen sind, lässt sich nur durch Probieren bestimmen. Es wurde demgemäss für b in jedem Falle so oft nach Gutdünken eine Annahme gemacht und der dadurch bedingte Querschnitt mit Hilfe der Grashofschen Formel nachgerechnet, bis die gewünschte grösste Beanspruchung von 1200 kg/qcrn mit genügender Annäherung erreicht war.27) Dabei wurde wieder die Schwerpunktslage und damit e2 durch Auswägen der ausgeschnittenen Querschnittsformen, der Wert κ f nach dem schon erwähnten Tolleschen Verfahren28) gefunden.

Das für den reinen Dreiecksquerschnitt zur besten Materialausnutzung führende Verhältnis wird nun durch die Abrundung wesentlich verschoben und zwar erhöht; es sind deswegen den Berechnungen höher liegende Werte von zugrunde gelegt.

(Fortsetzung folgt.)

|146|

Vergl. Ernst: Die Hebezeuge. 4. Aufl. 1903. Seite 44 und ff. Bei einem dort angeführten Beispiel ergibt sich σz nach dem vorigen Rechnungsgang zu 750 kg/qcm, nach der Grashofschen Formel zu 1290 kg/qcm.

|146|

Vergl. Seite 131 oben.

|147|

Diese Werte ergeben sich wie folgt: Nach Gleichung (12 und 12a) ist:

Setzt man darin so wird;

Nun wird nach den Gleichungen (3), wenn man zugleich buchtet, dass und b'2 = 3 b'1 wird (vergl. Seite 131 oben)

und

setzt man diese Werte ein, so wird:

und

|147|

Diese hohe Beanspruchung ist unter Voraussetzung besten Materials bei Berechnung eines Hakens nach der Grashofschen Formel zulässig, da man hier vor einer Ueberschreitung dieser Beanspruchung sicher ist. Ob sie auch bei dieser angenäherten Rechnungsart zulässig ist, wird sich erst aus der Nachrechnung eines so bestimmten Querschnittes ergeben.

|147|

Die Entwicklung dieses Wertes κ findet sich in Bach: „Elasticität und Festigkeit“. 4. Aufl. 1902. Seite 481.

|147|

Der Umstand, dass die Druckbeanspruchung so weit unter dem beabsichtigten Wert bleibt, weist auf den Dreiecksquerschnitt hin, als einen Querschnitt, bei welchem die Bedingung gleicher grösster Zug- und Druckbeanspruchung jedenfalls besser erfüllt wird.

|147|

Vergl. „Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure“ 1903, Seite 886. Tolle findet den Wert κ f auf folgendem Wege: Aus der auf Seite 132 gegebenen Definition von κ folgt:

Textabbildung Bd. 319, S. 147

Dieses Integral bildet Tolle sehr einfach, indem er die Querschnittsfläche aufzeichnet und jeden Flächenstreifen df zeichnerisch mit seinem Wert multipliziert, so wie Figur 7 leicht erkennen lässt. Es entsteht so wieder eine Fläche, die den Wert des Integrals darstellt (abgesehen vom Vorzeichen) und die sich aus einem kleineren positiven und einem grösseren negativen Stücke zusammensetzt. Der Wert wird somit positiv; man erhält ihn durch Planimetrieren unmittelbar, indem man den negativen Flächenteil im Sinne des Uhrzeigers, den positiven in anderem Sinne umfährt.

|148|

Dieser bedeutende Einfluss der Abrundung des Querschnittes erklärt sich dadurch, dass die nach Fig. 4 am stärksten beanspruchten Schichten – also die wirksamsten – durch die vorgenommene Rundung sehr verkleinert werden, während die dafür angebrachte Vergrösserung des Querschnittes der spannungslosen Schicht verhältnismässig nahe liegt und deshalb von geringem Nutzen ist.

|148|

Der Gedankengang dieses Absatzes ist in einem Aufsatze von Bagge in der „Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure“ 1885, Seite 11, angegeben. Vergl. auch eine Erwiderung dazu von Bredt auf Seite 283 ebendaselbst.

|148|

Die Annahme, dass bei gleicher grösster Zug- und Druckbeanspruchung die Materialausnutzung am besten sei, hat viel Wahrscheinlichkeit, ohne aber bewiesen zu sein.

|148|

Die Entwicklung dieser Gleichung geschieht wie folgt: Für das Trapez gilt:

daraus folgt durch Division:

oder

;

;

|149|

Die Herleitung dieser Werte geschieht wie folgt: Aus Gleichung (13) folgt:

Daraus folgt:

Der auf Seite 147 oben angeführte Wert von κ gibt ausmultipliziert:

Darin ist ausser den eben entwickelten Werten von e2 und r einzusetzen:

(folgt aus Gleichung 13)

Damit wird:

oder

oder:

|150|

Dieser Wert für κ ergibt sich wie folgt: Auf Seite 149 ist in der Anmerkung der Wert κ für das Trapez angegeben zu:

Setzt man darin b1 = Null, so wird das Trapez zum Dreieck und es wird:

Für den Dreiecksquerschnitt gilt ferner:

Damit wird:

Führt man jetzt für den Wert m ein, so wird:

oder:

|150|

Damit ist gleichzeitig bewiesen, dass gleiche Zug- und Druckbeanspruchung nicht die ausschlaggebende Bedingung zur Erreichung bester Materialausnutzung ist.

|150|

Der auf Seite 147 für Q = 10000 kg, a = 6 cm und berechnete Trapezquerschnitt gibt bei σz = 1245 einen Wert f = 66,36 und r = a + e2 = 10,53, also:

f r = 66,36 . 10,53 = 699

Für den Dreiecksquerschnitt mit den gleichen Werten Q, a, σz und folgt aus der obigen Tabelle.

, also:

|151|

Nach Angaben der Firma Ludwig Stuckenholz und der Benrather Maschinenfabrik wählt man ρ, entweder gleich h oder gleich b. Ich habe mich für ρ = h entschieden, weil man diesen Wert auch in der Literatur meistens findet.

|151|

Hierbei bin ich in der Regel mit drei, häufig schon mit zwei Berechnungen zum Ziele gekommen.

|151|

Vergl. Seite 148, Anm. 17.

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