Titel: Beitrag zur Theorie und Berechnung der hydraulischen Regulatoren für Wasserkraftmaschinen.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1904, Band 319 (S. 341–346)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj319/ar319098

Beitrag zur Theorie und Berechnung der hydraulischen Regulatoren für Wasserkraftmaschinen.

Von Dipl.-Ing. Adolf Schmoll von Eisenwerth, Darmstadt.

(Schluss von S. 330 d. Bd.)

II. Teil.

Untersuchung der Kolbenbewegung des Servomotors für veränderliche Verstellkraft des Leitapparates.

Die Bewegungsgleichung für diesen Fall lautet nach S. 262

Wir haben gesehen, dass im besonderen Falle (pk = ko = konst.) das Glied näherungsweise durch ersetzt werden durfte, so dass an die Stelle von ein Glied – v2 a' trat, also die Potenz von v verschwand (S. 276).

Es fragt sich nun, ob eine solche Vereinfachung auch im vorliegenden Falle statthaft ist.

Auch hier wird beim Ingangsetzen des Treibkolbens Jessen Geschwindigkeit von Null aus bei zunächst noch Weinen Wegen s rasch anwachsen. Ist pk nicht aussergewöhnlich stark vom Wege s abhängig, so wird daher jährend der starken Geschwindigkeitssteigerung am Anfang der Bewegung der Druck pk sich noch nicht viel geändert haben; es gilt daher für den Anfang der Bewegung hinsichtlich des Einflusses von dasselbe wie im Falle pk = konst.

Bei den nunmehr erreichten grösseren Geschwindigkeiten findet eine raschere Zunahme des zurückgelegten Kolbenweges statt und es machen sich die Aenderungen von pk deutlicher geltend. Wächst mit zunehmendem Kolbenweg der Widerstandsdruck pk, so nimmt die Kolbengeschwindigkeit v allmählich wieder ab. Das Maximum von v ist in diesem Falle etwas kleiner als diejenige Geschwindigkeit vo max, die bei konstanter Wirkung der Anfangsgrösse von pk (= pk für s = 0) im Maximum eintreten könnte. Wird dagegen mit zunehmendem Kolbenweg der Widerstandsdruck pk kleiner, so nimmt die Kolbengeschwindigkeit v weiter zu und kann vo max überschreiten. Diese Geschwindigkeitsänderungen im weiteren Verlaufe der Kolbenbewegung liegen nun bei brauchbaren Konstruktionen innerhalb gewisser Grenzen. Jedenfalls darf v nicht unter einen bestimmten Betrag sinken, da sonst die Regulierung ungünstig (mit grosser Schlusszeit) arbeitet. Im allgemeinen wird die Kolbengeschwindigkeit in den Gebieten der grösseren Geschwindigkeiten bleiben, in denen die Aenderungen des Gliedes gegenüber dem Werte nicht mehr von grossem Einfluss sind.

Wir werden daher auch hier, ohne grosse Fehler zu begehen, statt des veränderlichen das konstante setzen dürfen, d.h. an Stelle von

setzen wir

v2 a',

wobei

ist, und vo max aus der Gleichung folgt:

.

Mit dieser Vereinfachung lautet jetzt die Bewegungsgleichung:

Setzen wir zur Abkürzung:

± c0 ± c1 s ± c2 s2 ± . . . ± cv sv = Φ (s),

so ist:

.

Die Lösung dieser Gleichung lautet (Forsyth-Maser, Lehrbuch der Differentialgleichungen (1889) 4. Kap. § 67):

;

dabei bedeutet:

,

,

,

e = Basis der natürlichen Logarithmen.

C ergibt sich aus dem Anfangszustand:

Für s = 0 soll sein v = 0, also ist

.

Aendert sich der Verstellungswiderstand beispielsweise |342| nach einer Geraden derart, dass er mit zunehmendem Weg s grösser wird, so ist

Φ (s) = co – c1 s,

also

Φ' (s) = – c1,

Φ'' (s) usw. bis Φv (s) = 0.

Also:

und

Mit wachsendem s wächst e2a's rasch, also nimmt vom Werte Null aus rasch zu; dagegen wächst 2 a' c1 s langsamer. Daraus folgt, dass v in diesem Falle zunächst rasch zunimmt, ein Maximum erreicht und dann allmählich abnimmt (vergl. die graphische Darstellung Fig. 16)

Textabbildung Bd. 319, S. 342

Die Lösung liefert die Kolbengeschwindigkeit v als Funktion des Weges s.

Der Zusammenhang zwischen Weg und Zeit ergibt sich dann mit Hilfe der Beziehung:

Zeichnen wir mit Benützung der Lösung eine Kurve:

,

indem wir z.B. die Wege s als Abszissen, die reziproken Werte der zugehörigen Geschwindigkeiten v als Ordinaten auftragen, so stellt das Flächenelement zwischen zwei um ds entfernten Ordinaten die Zeit dt dar, die für die Zurücklegung des Weges ds erforderlich ist. (Fig. 17). Die Fläche zwischen den zu s1 und s2 zugehörigen Ordinaten und stellt folglich die Zeit dar, die zur Zurücklegung des Weges s2 – s1 erforderlich ist.

Wir brauchen nun die Zeiten vom Anfang der Bewegung an, also von s = 0 an. Dabei ergibt sich dieSchwierigkeit, dass die zu s = 0 zugehörige Anfangskoordinate unendlich ist, da ia für s = 0 auch v = 0 ist. Diese Schwierigkeit lässt sich folgendermaassen umgehen:

Textabbildung Bd. 319, S. 342

Wir bestimmen für den Bewegungsanfang die Beschleunigungen als Funktion von v aus der ursprünglichen Gleichung

(vgl. S. 341),

wobei wir den zu v gehörigen Wert s aus der Kurve v = Funktion (s) entnehmen.

Nun ist

,

Textabbildung Bd. 319, S. 342

mithin stellt das Flächenelement unter der neuen Kurve Funktion (v), begrenzt von zwei um dv entfernten |343| Ordinaten, die Zeit dt dar, während welcher die Geschwindigkeit um dv gewachsen ist. Die Fläche von v = 0 an bis v = v stellt die Zeit t dar, die von Anfang der Bewegung bis zur Erreichung der Geschwindigkeit v verstrichen ist. Fig. 18. Da nun die zu den Geschwindigkeiten v zugehörigen Werte s aus der Kurve v = Funktion (s) bekannt sind, so sind wir auch imstande, die Zeiten t zu bestimmen, die zum Zurücklegen der Wege s erforderlich sind. Die Zusammenstellung dieser Wertepaare s und t in rechtwinkligen Koordinaten gibt das gesuchte Kolbenwegdiagramm s = Funktion (t), Fig. 19. Die Anfangskoordinaten der hier zur Zeitbestimmung benutzten Kurve Funktion (v) liegen im Endlichen, so dass diese Methode für die Verfolgung des Bewegungsanfanges zu verwenden ist.

Textabbildung Bd. 319, S. 343

Für den Teil des Bewegungsvorganges dagegen, für welchen wird (wo v einen Höchtswert erreicht), ist die zuerst angegebene Methode mit Benützung der Kurve Funktion (s) zur Zeitbestimmung zu verwenden.

Die rein analytische Ermittlung des Kolbenwegdiagrammes bei variablem Verstellungswiderstand pk ist nur mit Anwendung von Näherungsverfahren für die Integrationen möglich und daher nicht übersichtlich.

Sind die Massen des Servomotors zu vernachlässigen, so heisst die Bewegungsgleichung zunächst nach S. 262:

,

oder, mit :

;

durch einen konstanten Faktor dividiert:

.

Diese Gleichung geht also aus der Bewegungsgleichung mit Berücksichtigung der Massenwirkung, S. 262 oder 341, hervor, wenn das Glied gleich 0 gesetzt wird.

Es folgt daher nach S. 342:

.

Die weitere Behandlung zur Ermittlung der Zeit bleibt wie vorher, d.h. man zeichnet die Kurve als Funktion von s; das Flächenstück unter der Kurve von s = s1 bis s = s2 gibt die Zeit t, die zur Zurücklegung des Weges s2 – s1 erforderlich ist. Da stets v > 0 sein muss, so ist diese Methode hier immer anwendbar.

Zahlenbeispiel.

Wir setzen denselben Servomotor voraus wie für das Zahlenbeispiel des ersten Teiles (S. 291).

Die aufzuwendende Verstellkraft K sei linear abhängig von den Kolbenwegen, und zwar sei

für offene Schaufeln: Ki = 0 kg; Kr = 30 kg;
für geschlossene Schaufeln: Ki = 300 kg; Kr = 90 kg.

Für die Schliessbewegung gilt also (vergl. Fig. 20):

in Richtung auf „Zu“.

Textabbildung Bd. 319, S. 343

Für die Oeffnungsbewegung:

in Richtung auf „Offen“.

|344|

Auch bei diesem Beispiele handle es sich um eine Aenderung des Momentes entsprechend 0,75 auf 0,55 der Füllung.

Bei stark veränderlicher Verstellkraft besteht meist Proportionalität zwischen Schaufelöffnung und Kolbenweg, denn der Grund zu einer Abweichung von diesem Verhältnis besteht für Drehschaufeln vorwiegend darin, möglichst gleichmässige Verstellwiderstände zu erzielen. Wir wollen daher annehmen, dass der Kolben bei 0,75 Füllung der Turbine auch auf 0,75 seines Hubes in Richtung auf „Offen“ steht, bezw. auf 0,25 seines Hubes in Richtung auf „Zu“. Zählen wir dann von diesem Punkte aus die Kolbenwege s, so ist in obiger Beziehung für „Schliessen“ zu setzen:

Kolbenweg = s + 0,25 Hub,

Daraus ergibt sich:

po + phppo sei wie im vorigen Beispiel (S. 292 und 294) = 1,85 + 0,15 – 0,207 = 1,793

also:

po + phppo – pk = 1,793 – 0,497 – 4,97 s = 1,296 – 4,97 s.

Der Koeffizient Co (absolutes Glied der Bewegungsgleichung, vergl. S. 262) wird daher

Co = 1,296.

Der Koeffizient von s:

C1 = 4,97.

Ferner sei wie vorher 1,1142 (S. 307), also:

Die ideelle Kolbengeschwindigkeit für die Anfangsgrösse von pk = 0,497 ist wie vorher:

vi = 0,266,

also bleibt auch

a' = 16,45 (S. 308).

Demnach lautet die Bewegungsgleichung:

Nach S. 342 ist:

Φ' (s) = – 4,45

Φ'' (s) usw. = 0,

,

.

Es ergibt sich aus dieser Formel z.B.:

für s = 0 m v = 0 m/sek.
0,01 0,139 7,16
0,02 0,180 5,55
0,05 0,224 4,47
0,07 0,2283 4,38
0,1 0,220 4,54
0,15 0,194 5,16
0,2 0,157 6,37
Hubende 0,225 0,134 7,46

In Fig. 16 sind die Wege s als Abszissen, die Geschwindigkeiten v als Ordinaten aufgetragen.

Maasstab für s: 1 cm = 0,05 m Kolbenweg;

Maasstab für v: 1 cm = 0,05 m/sek.

In Fig. 17 sind gleichfalls die Wege s als Abszissen im Maasstab:

1 cm = 0,05 m Kolbenweg

aufgetragen, ferner als Ordinaten die Grössen im Maasstab:

1 cm = 1 sek./m.

Für den Anfang der Kolbenbewegung ist nach S. 342 die Kurve Funktion (s) zur Ermittlung der Zeit unbrauchbar, da die Anfangsordinate unendlich ist. Wir berechnen daher noch die Beschleunigungen und deren reziproken Werte als Funktion (v) aus

,

v s
0,0 m/sek. 0,0 m 1,16 m/sek2. 0,864 sek2/m
0,139 „ 0,01 „ 0,786 „ 1,273 „
0,180 „ 0,02 „ 0,536 „ 1,866 „
0,224 „ 0,05 „ 0,115 „ 8,73
vmax ∾ 0,2283 „ 0,07 „ ∾ 0,006 „ 177,7 „
0,227 „ 0,08 „ – 0,042 „ – 24,16 „

indem wir die Werte s aus der obigen Tabelle oder der Kurve (Fig. 16) für die betreffenden Werte v entnehmen. Z.B.

|345|

In Fig. 18 sind die Geschwindigkeiten v als Abszissen, die reziproken Werte der Beschleunigungen als Ordinaten aufgetragen.

Maasstab für v: 1 cm = 0,05 m/sek.;

Maasstab für sek. 2/m.

Es stellt somit 1 qcm Fläche unter der Kurve: Funktion (v) eine Zeit dar von

1 sek. 2/m . 0,05 m/sek. = 0,05 sek.

Es ist z.B. die Fläche von v = 0 bis v = 0,139 = ∾ 2,72 qcm; also ist die Zeit, bis der Servomotor-Kolben die Geschwindigkeit 0,139 m/sek. angenommen hat,

t = 2,72 . 0,05 = 0,136 sek.

Der zu v zugehörige Weg ist nach Tabelle oder Kurve Fig. 16:

s = 0,01 m,

also hat der Kolben nach 0,136 sek. von seiner Anfangsstellung aus einen Weg von 0,01 m zurückgelegt.

Textabbildung Bd. 319, S. 345

Auf diese Weise sind die Wertepaare t und s bis in die Gegend von s ∾ 0,07 (entsprechend vmax) ermittelt und im Kolbenwegdiagramm Fig. 19 zusammengestellt.

Maasstab für t: 1 cm = 0,2 sek. (Abszissen);

Maasstab für s: 1 cm = 0,02 m (Ordinaten).

Von den grösseren Werten v ab ist die Zeit ausder Kurve Funktion (s), Fig. 17, durch Flächenberechnung ermittelt. Es stellt 1 qcm der Fläche unter dieser Kurve dar:

1 sek./m . 0,05 m = 0,05 sek.

So ist z.B. die Fläche von s = 0,1 bis s = 0,15 = ∾ 4,8 qcm. Der Kolben des Servomotors braucht also eine Zeit von

4,8 . 0,05 = 0,24 sek.,

um den Weg von 0,1 m (von seiner Anfangsstellung aus gemessen) bis 0,15 m zurückzulegen. Die so gefundenen Wertepaare sind zur Ergänzung des Kolbenwegdiagrammes in Fig. 19 eingetragen. In Fig. 21 ist der Anfang dieses Diagrammes doppelt vergrössert dargestellt, also im gleichen Maasstabe wie das Kolbenwegdiagramm Fig. 5 für K = konst. (s. S. 274).

Die Umzeichnung des Kolbenwegdiagrammes zur Füllungskurve und deren weitere Verwendung erfolgt in derselben Weise, wie bei dem Beispiel für konstante Verstellkraft K gezeigt wurde (s. S. 326).

Vereinfachtes Verfahren.

Textabbildung Bd. 319, S. 345

Da im vorstehenden Beispiele dieselbe Anfangsgrösse der Verstellkraft K = 120 kg vorausgesetzt ist, wie im Beispiel für konstante Verstellkraft K (S. 292). so sind die Kolbenwegdiagramme Fig. 21 und Fig. 5 zum Vergleich geeignet. Man erkennt, dass der Beschleunigungsvorgang am Anfang der Bewegung in beiden Fällen sich fast deckt und dass sich die immerhin beträchtliche Aenderung der Verstellkraft erst bei grösseren Wegen im Kolbenwegdiagramme deutlich bemerkbar macht. Aehnliche Verhältnisse wird man im allgemeinen von guten Konstruktionen erwarten dürfen. (Vergl. auch S. 341). Für kleinere Füllungsänderungen darf man daher wohl in den meisten Fällen der Praxis die Veränderlichkeit von K während des Hubes vernachlässigen und verfahren wie bei unveränderlicher Verstellkraft, nur muss man die Anfangsgrösse von K für die betreffende Anfangsstellung des Servomotorkolbens richtig einsetzen. Insbesondere kann dann zur Berücksichtigung der Massenwirkung auch von dem vereinfachten Verfahren mit Benützung der Asymptote des Kolbenwegdiagrammes Gebrauch gemacht werden (s. S. 330).

|346|
Textabbildung Bd. 319, S. 346

Diesen Voraussetzungen gemäss ist für das vorliegende Beispiel bei kleineren Füllungsänderungen die unten folgende Tabelle verwendbar. Sie enthält für die Oeffnungs- und Schliessbewegung des Kolbens, ausgehend von vier Anfangsstellungen, die zugehörigen Anfangsgrössen der aufzuwendenden Verstellkraft K, ferner co = Anfangsbeschleunigung, sowie die Bestimmungsgrössen vi und ts für die Asymptoten der Kolbenwegdiagramme.

Die Werte für andere als die angeführten Anfangsstellungen des Kolbens lassen sich aus der graphischen Darstellung der Tabelle, Fig. 22, interpolieren. In Fig. 23 sind die Asymptoten der Kolbenwegdiagramme mit Hilfe der Grössen vi und ts der Tabelle aufgezeichnet Es ist ersichtlich, dass die grösseren Verstellkräfte gleichzeitig eine Verkleinerung von vi und Vergrösserung von ts verursachen, also in doppelter Hinsicht ungünstig auf die Füllungsänderung und damit auf den Reguliervorgang überhaupt wirken.

Was die weitere Ausführung des Verfahrens betrifft, so darf wohl auf das Beispiel des ersten Abschnittes verwiesen werden.

Sind die Massen des Servomotors zu vernachlässigen, so stellen die vi der Tabelle oder der Fig. 22 die während des Bewegungsvorganges bei den betreffenden Kolbenstellungen auftretenden Geschwindigkeiten dar. Wir erhalten somit nur eine Geschwindigkeitskurve v = vi = Funktion (s) für „Schliessen“ und nur eine für „Oeffnen“, die von jedem Punkte aus für den weiteren Verlauf der Bewegung gelten. D.h.: die Geschwindigkeitskurve, die z.B. für eine Bewegung von 0,5 des Hubes aus gilt, ist die kontinuirliche Fortsetzung der Kurve, die von irgend einer vorhergehenden Stellung aus in derselben Bewegungsrichtung bis zu 0,5 des Hubes gilt. (Bei Massenwirkung im Servomotor und Reguliergetriebe beginnen dagegen alle Geschwindigkeitskurven stets mit v = 0).

Die Kurven v = vi = Funktion (s), die bei unmerklicher Massenwirkung gelten, sind im übrigen ebenso weiter zu verwenden wie die entsprechenden bei Berücksichtigung der Massenwirkung gültigen Kurven v = Funktion (s).


Anfangskolbenstellung
Anfangsgrösse der
aufzuwendenden Ver-
stellkraft K:

c0 = Anfangsbeschleuni-
gung:

v i

t s
Schliessen.
offen
¼ Hub
½ Hub
¾ Hub
zu
kg:
30
120
210
300
390
m/sek.2;
1,495
1,160
0,826
0,495
0,159
m/sek.:
0,303
0,266
0,222
0,167
0,095
sek.:
0,140
0,159
0,186
0,234
0,413
Oeffnen. zu
¾ Hub
½ Hub
¼ Hub
offen
– 210
– 150
– 90
– 30
+ 30
2,387
2,160
1,940
1,716
1,495
0,383
0,364
0,346
0,324
0,303
0,111
0,117
0,124
0,131
0,140
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