Titel: Beitrag zur Untersuchung des Verhaltens von Francisturbinen bei veränderlicher Wassermenge, usw.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1904, Band 319 (S. 547–552)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj319/ar319154

Beitrag zur Untersuchung des Verhaltens von Francisturbinen bei veränderlicher Wassermenge, Umdrehungszahl und Gefällshöhe.

Von R. Baumann, Regierungsbauführer, Stuttgart.

(Schluss von S. 529 d. Bd.)

Die vollständige Untersuchung unserer Turbine hat nun zu bestimmen:

1. Die Linie des hydraulischen Wirkungsgrades η h
2. totalen η t
3. der Nutzleistung ηt
4. Leitschaufelöffnung s0

in Funktion der Wassermenge Q.

5. Die Linien 1. bis 3. sowie die Linie der Wassermenge Q in Funktion der Leitschaufelöffnung s0.

Zu 1. Nach Aufzeichnung des Diagrammes Fig. 24) wird die „Eintrittsellipse“ bestimmt und ihr die jeder Beaufschlagung entsprechenden Werte5) von wv entnommen (s. Fig. 4). Ebenso lassen sich die zugehörigen Werte von c2 entnehmen. Da ce2 als Erfahrungswert angesehen |548| werden darf, (normal ce2 = 0,85 – 0,87 für gute Ausführungen 0,89 und mehr) so bietet die Ermittlung des hydraulischen Wirkungsgrades keine Schwierigkeiten mehr. Die auf diese Weise ermittelten Werte des hydraulischen Wirkungsgrades sind in Fig. 7 eingetragen (unter Annahme von ce2 = 0,89).

Textabbildung Bd. 319, S. 548

Zu 2. und 3. Von der unter Berücksichtigung des hydraulischen Wirkungsgrades noch zur Verfügung stehenden Leistung

(wo Ni die „ideale“ Leistung )

gehen nun noch zwei Beträge verloren, nämlich erstens die Leerlaufleistung, zweitens die infolge des Spaltwasserverlustes q' nicht ausnützbare Leistung . Solange genaue Versuche über den ersteren Verlust nicht vorliegen, kann derselbe als für alle Beaufschlagungen nahezu konstant und gleich 2 v. H. von N1 angenommen werden (d. i. im vorliegenden Fall gleich

).

Zur Ermittlung des zweiten Verlustes bestimmt man die durch den Spalt entweichende Wassermenge q' mit Hilfe der als bekannt zu betrachtenden Querschnitte am Spalt (siehe Fig. 1) und der im Spalt sich einstellenden Geschwindigkeit c', welche sich bekanntlich aus der Gleichung:

. . . 9)

berechnen lässt. Setzt man den Kontraktionskoeffizienten = 0,5 und nimmt man die Breite von f' zu 1 mm, die von f''2 zu 2 mm, den Durchmesser von f''1 zu 60 mm und die Zahl der Entlastungslöcher zu 3 an, so ergibt sich:

wo cp6) der in Fig. 7 eingetragenen Linie der cp entnommen werden kann. Man ist so in der Lage zu ermitteln, wieviel Prozente der gesamten Wassermenge durch den Spalt ungenützt entweichen oder auch wie viele Prozente der Wassermenge das Laufrad durchströmen, also eine Art von Lieferungskoeffizienten ηp zu bilden.

Für den speziell betrachteten Fall erhält man:

φ = 1/1 ¾ ½ ¼
q' Liter = 19 16 14 13
ηp v. H. = 99 98 98 96

Die abgesehen von der Leerlaufleistung verfügbare Leistung ist nun proportional ηp ηp. Für jede Beaufschlagung stehen also nach Abzug der 2 PS für mechanische Verluste als Nutzleistung zur Verfügung:

Nt = (Ni . ηp . ηh – 2) PSn.

Textabbildung Bd. 319, S. 548

Somit ist der mechanische Wirkungsgrad

. 10)

Der totale Wirkungsgrad ηt ist dann bestimmt durch:

ηt = ηm . ηp . ηh . . . . . 11)

oder durch:

Auf diese Weise erhält man:

|549|
φ = 1/1 ¾ ½ ¼
ηh v. H. = 82 84 83 76
ηp v. H. = 99 98 98 96
ηh . ηp = 81 82,5 81,5 73
Ni PS. = 100 75 50 25
Nt PS. = 79 60 39 16
ηt v. H. = 79 80 78 64

Diese Werte von ηh, ηt, Ni und Nt sind in Fig. 7 eingetragen.

Zu 4. Zur Bestimmung der für volle Beaufschlagung erforderlichen Leitschaufelöffnung s'0 dient bekanntlich, wenn i0 die Schaufelzahl bezeichnet, die Beziehung:

. . . 12)

wo nur s'0 unbekanntist. Es ergibt sich für den speziellen Fall s'0 = 66 mm. Bei Drehschaufelregulierungen vergrössert sich nun im allgemeinen der Durchmesser des Kreises, auf welchem der Austritt des Wassers aus dem Leitapparat erfolgt, mit abnehmender Wassermenge infolge der Regulierbewegung von d1 auf d0. Wie sich diese Aenderung vollzieht, das wäre der Zeichnung der für die Turbine entworfenen Regulierung zu entnehmen. Für den vorliegenden Fall kann gesetzt werden:

. . . 13)

Solange nun die Wasserführung zwischen dem Leitradaustritt und Laufradeintritt eine derartige ist, dass der Wasserweg eine Trajektorie bildet, muss zur Wahrung der Kontinuität die im grösseren Durchmesser d0 herrschende Geschwindigkeit c0 im Verhältniss der Durchmesser kleiner sein als die Geschwindigkeit c1, im Kreisdurchmesser d1 d.h. es muss sein;

. . . . 14)

Damit geht Gleichung 12) über in:

wo c1 als Radiusvektor von O aus der „Eintrittsellipse“ entnommen werden kann.

Es findet sich auf diese Weise:

φ = 1/1 ¾ ½ ¼
ψ = 1 0,98 0,96 0,94
s0 mm 66 45 28,5 14

Auch diese Werte s0 sind in Fig. 7 eingetragen. Es Ist nun ohne weiteres ersichtlich, dass sich jetzt die Linie der ηh, ηt, Nt und Q ohne Schwierigkeit in Funktion der Leitschaufelöffnung s0 darstellen lassen (s. Fig. 8).

Damit sind alle gesuchten Grössen für konstante Tourenzahl und Gefällshöhe ermittelt, wenn ce2 als konstant angenommen werden darf. Scheint dies unzulässig und ist die Veränderlichkeit von ce2 bekannt (etwa durch Rechnung der Verluste ermittelt, wobei die erforderlichen Geschwindigkeiten unbedenklich dem Ellipsendiagramm entnommen werden können), so erfolgt die Bestimmung des geometrischen Orts des Endpunktes von c1 derart, dass man mit Hilfe des jeweiligen Wertes von ce2 die Achsen der Eintrittsellipsen bestimmt, dieselben aufzeichnet und den Schnittpunkt mit den zugehörigen Parallelen zu u1 im Abstand φ c1 . sin α1 aufsucht. Man erhält so die Eintrittskurve punktweise ohne erheblichen Mehraufwand an Zeit. Der weitere Verlauf der Bestimmung von ηh usf. ist genau wie oben angegeben.

Es kann nun zur Behandlung des Falles:

II. Tourenzahl veränderlich, Gefälle und Leitschaufelöffnung konstant

geschritten werden.

Auch hier ist es, um auf einfache Weise zum Ziel zu kommen, erforderlich, die Grösse von ce2 vorerst als konstant anzunehmen. Ausserdem scheint es zulässig, das bisher unserer Betrachtung zugrunde gelegte Diagramm des Wasserweges 1–2 beizubehalten.

Der nächstliegende7) Weg, (welcher jedoch im Folgenden nicht beschritten, vielmehr durch einen weit einfacheren ersetzt werden soll) ist nun der, die zu jeder Tourenzahl gehörigen Werte von u1 und u2 auszurechnen – durch Multiplikation des normalen u1 bezw. u2 mit dem Verhältnis der Tourenzahlen – und damit die Achsen der Eintrittsellipse zu ermitteln.

Aus dem durch den Schnitt der Eintrittsellipse mit dem freien Schenkel von α1 (dessen Richtung für jede Schaufelöffnung aus Fig. 4 entnommen werden kann) festgelegten Eintrittsdiagramm kann die Grösse von c1 sin α1 gefunden und damit w2,

dessen Richtungswinkel β2 sich nicht ändert, ermittelt werden.

Wie früher, ist nun c2 und wv dem Diagramm zu entnehmen, womit der hydraulische Wirkungsgrad sich berechnen lässt. Auch die Bestimmung aller anderen Grössen (ηt, Nt, Q hat keine neuen Schwierigkeiten.

Der oben erwähnte weit einfachere Weg beruht auf dem Umstand, dass für eine und dieselbe Leitschaufelöffnung die Wassermenge der Grösse der absoluten Eintrittsgeschwindigkeit proportional sein muss, und dass sich die Linie der c1 für veränderliche Umfangsgeschwindigkeit leicht ermitteln lässt.

Der Eckpunkt des Eintrittsdiagramms ist durch Gleichung 7) bestimmt:

. 7)

Bezeichnet man mit r die veränderliche Grösse von c1, mit ψ den Winkel von r gegen die x-Achse, so ist:

x = r . cos ψ und y = r . sin ψ . . . . 8)

Ferner ist:

. . . . . 15)

8) und 9) in Gleichung 7) eingesetzt gibt:

. . . . . 16)

Für eine und dieselbe Leitschaufelöffnung ist nun Winkel ψ = konstant; ebenso ist das Verhältnis und konstant.

Für volle Leitschaufelöffnung ist ψ = 25° = α1; cos ψ = 0,91; sin ψ = 0,425.

Ferner ist:

|550|

Damit kommt speziell:

1,654 r2 + 0,515 u12 = 0,89 . . 17)

Man erkennt, dass der Endpunkt von r sich auf einer Ellipse bewegt, deren Achsen leicht zu ermitteln sind. r (bezw. c1) ist nun proportional der Wassermenge und stellt bei entsprechendem Maasstabe der Ordinaten diese selbst dar. Die Linie der Wassermenge ist also bei veränderlicher Tourenzahl für eine und dieselbe Leitschaufelöffnung eine Ellipse. („Wasserellipse“.) Bei geändertem Ordinaten-Maasstab ist selbstredend die Wasserellipse auch die Linie der idealen Leistung .

Die Grösse des hydraulischen Wirkungsgrades ηh ist nun bestimmt durch:

ηh = ce2c22wv2.

Wie früher bei der Bestimmung der „Eintrittsellipse“ ergibt sich hieraus unter Beachtung von Gleichung 15):

. . 18)

Hieraus ergibt sich für volle Leitschaufelöffnung mit:

β2 = 26°; cos β2 = 0,90; ce2 = 0,89; ϕ = 1.

ηh = 0,89 – 0,485 u12 – 0,81 c12 + 1,13 u1 c1

Textabbildung Bd. 319, S. 550

Der Wert von (u1c1 cos α1) wird auf die in Fig. 9 angedeutete einfache Weise gefunden, ηh hängt also nur noch von u1 und c1 ab, deren zusammengehörige Werte der „Wasserellipse“ Fig. 9. entnommmen werden können. Aus Gleichung 18'), welche sich sehr bequem handhabt, sind die in Fig. 9 eingetragenen Werte von ηh ermittelt worden. Da die „Wasserellipse“ auch die Werte von c1 darstellt, so sind auch die Grössen von cp damit q' und ηp leicht zu bestimmen.

Die in der früher geschilderten Weise gefundenen Werte von ηt und Nt sind in Fig. 9 gleichfalls dargestellt. (Die Leerlaufarbeit wird der Tourenzahl proportional angenommen).

Für eine andere Schaufelöffnung ändert sich in Gleichung18') der Wert von φ und ψ so, wie sich diese Werte für das, der normalen Umdrehungszahl (125) entsprechende Diagramm (Fig. 4) ändern. Für die Schaufelöffnung s0 = 28,5 mm schluckt z.B. die Turbine bei normaler Tourenzahl die halbe Wassermenge, es ist daher für dieses s0 der Koeffizient φ = ½ zu setzen. Der Winkel ψ ergibt sich aus Fig. 4 für φ = ½ zu ψ = 10°.

In der beschriebenen Weise könnten für verschiedene Leitschaufelöffnungen die Linien der Leistungen und des Wirkungsgrades ermittelt und aufgezeichnet werden; da sie jedoch nichts neues bieten würden, wird auf ihre Wiedergabe verzichtet.

Die Annahme ce2 = konstant trifft nun bei normalen Verhältnissen innerhalb weiter Grenzen zu. Berechnet man, falls man die Veränderlichkeit zu berücksichtigen wünscht, die jeweils auftretenden Verluste8), so lässt sich die Wassermengenlinie, welche bei veränderlichem ce2 an Stelle der „Wasserellipse“ tritt, wie früher die „Eintrittsellipse“ punktweise bestimmen als Schnitt der jeweiligen Ordinate mit derjenigen Wasserellipse, welche durch das für die betreffende Umfangsgeschwindigkeit geltende ce2 bestimmt ist. Die Linie der ηh bestimmt sich wie für konstantes ce2 aus Gleichung 18') mit dem Unterschied, dass jetzt ce2 von Punkt zu Punkt wechselt.

Man erhielte bei Berücksichtigung des veränderlichen Wertes von ce2 eine Leistungslinie, bei welcher der für dieselbe charakteristische Knick, welcher durch den Verlauf der Linie des hydraulichen Wirkungsgrades hervorgerufen wird, noch ausgeprägter ist als ihn Fig. 9 zeigt.

Nachdem nun auch der Fall II völlig untersucht ist, soll der Fall:

III. Gefälle veränderlich, Tourenzahl und Leitschaufelöffnung konstant,

behandelt werden.

Der nächstliegende Weg ist hier analog dem unter II beschriebenen: Aus der bekannten Tourenzahl bestimmt sich die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades in Metern und, nach Division mit dem jeweiligen Wert von die Grösse von u1 und u2 im Gefällsmaasstab. Nimmt man wieder ce2 = konstant (speziell = 0,89) an, was, wie sich durch Berechnung der im Leit- und Laufrad auftretenden Verluste zeigen lässt, innerhalb weiter Grenzen praktisch zulässig ist, so finden sich alle zu den einzelnen Werten von u1 gehörigen Diagrammwerte mit Hilfe der Eintrittsellipse wie früher und man kann ηh, c1, damit die Wassermenge Q und weil H jeweils bekannt ist auch sowie schliesslich cp, ηp, ηt und Nt bestimmen. (Leerlaufarbeit ∾ = konstant.)

Weit einfacher erhält man alle gesuchten Grössen mit Hilfe von Gleichung 16) bezw. 17).

. . 16)

Diese Gleichung ermöglicht es, die absolute Eintrittsgeschwindigkeit (r bezw. c1) in Funktion der im Gefällsmaasstab gemessenen Grösse von u1 darzustellen, wobei es gleichgiltig ist, ob sich u1 bei konstantem Gefälle |551| infolge verschiedener Tourenzahl oder bei konstanter Tourenzahl infolge verschiedenen Gefälles und Gefällsmaassstabes ändert. Man erhält somit als Ort der Endpunkte von c1 dieselbe Ellipse wie unter II, Eig. 9. Die Linie der Wassermenge bestimmt sich aus der Linie der c1 sehr einfach durch Einführung des jeweiligen Gefällsmaasstabes, d.h. durch Multiplikation der Ordinaten mit dem dem jeweiligen u1 entsprechenden Werte von . Die ideale Leistung N1 erhält man durch Multiplikation der Ordinaten der Wassermengenlinie mit . Auch die in Fig. 9 eingetragene Linie der ηh kann, wie sich aus Betrachtung der Gleichung 18) bezw. 18') ergibt, ohne weiteres für Fall III verwendet werden. In Fig. 10 sind, entsprechend obigen Erwägungen, die Linien der r (bezw. c1) und ηh identisch mit den gleichbenannten Linien in Fig. 9 aufgezeichnet, während die gleichfalls eingetragene Linie der Q so wie oben erwähnt ermittelt wurde. Die zu den einzelnen Werten von u1 gehörigen Werte von H sind ebenfalls in Fig. 10 verzeichnet, so dass jetzt (Fig. 11) die Werte der Q und ηh ohne weiteres in Funktion der Gefällshöhe dargestellt werden können. In Fig. 11 ist ausserdem noch die Linie der Ni eingetragen.

Textabbildung Bd. 319, S. 551
Textabbildung Bd. 319, S. 551

Ganz wie früher kann man nun aus c1 und cc die Grösse von cp, aus dieser die Spaltwassermenge q' und somit (da Q jeweils bekannt ist) auch den „Lieferungskoeffizienten“ ηp ermitteln. Alsdann steht der Berechnung von ηt und Nt nichts mehr im Wege. Die so gefundenen Werte von ηt und Nt sind in Fig. 11 eingetragenund stehen in voller Uebereinstimmung mit Bremsergebnissen.

Textabbildung Bd. 319, S. 551

So wie hier für eine Schaufelöffnung bei verschiedenem Gefälle der Verlauf der Leistungslinie ermittelt wurde, kann für beliebige andere Stellungen der Leitschaufel verfahren werden. Man erhält dann die in Fig. 12a dargestellte „Variationsfläche“ der Turbine. In dieser Figur sind nur die Werte der Nutzleistung eingetragen, um die Uebersichtlichkeit nicht zu beeinträchtigen, der Aufzeichnung auch des Wirkungsgrades (Fig. 12b) steht jedoch nichts entgegen.

Textabbildung Bd. 319, S. 551

Durch die im vorstehenden beschriebenen Untersuchungen scheint das Verhalten der Turbine nach jeder Richtung hin beleuchtet. Erschiene es wünschenswert, andere Kombinationen von Leitschaufelöffnung, Touren-I zahl, Wassermenge, Gefällshöhe, Wirkungsgrad und Nutzleistung |552| als Linien oder Flächen darzustellen, so würde das neue Schwierigkeiten nicht bieten, ebenso wie sich die für jede Turbine günstigsten Verhältnisse mit verhältnismässig geringem Zeitaufwand ermitteln liessen. – Zum Schlusse sei es gestattet, die der vorliegenden Arbeit zugrunde liegenden Annahmen und ihre Ergebnisse zu wiederholen.

1. Es ist zulässig, das Diagramm für den Wasserweg 1–2 allein der Untersuchung zugrunde zu legen; Wasserweg 1–2 ist hierbei dadurch bestimmt, dass er die Wassermenge bei voller Beaufschlagung halbiert oder auch dadurch, dass er durch den Schwerpunkt der Austrittskante verläuft.

2. Die relative Austrittsgeschwindigkeit für Punkt 2 ist der Wassermenge proportional.

3. Die effektive Gefällshöhe, d.h. das Gefälle vermindert um die ausser durch den Stossverlust am Laufradeintritt in den Kanälen der Turbine durch Reibung,Krümmung und Querschnittsänderung verursachten Gefällsverluste ist konstant.

Die Annahmen 1. bis 3., deren Zulässigkeit nachgewiesen wurde, ergeben:

1. Die Gleichung des geometrischen Ortes des Endpunktes der absoluten Eintrittsgeschwindigkeit c1 bei konstanter Tourenzahl und Gefällshöhe, d.h. die Gleichung der „Eintrittsellipse“. Gleichung 7).

2. Aus der Gleichung der Eintrittsellipse ergibt sich für veränderliche Tourenzahl aber konstantes Gefälle die Gleichung der „Wasserellipse“, welche zugleich die Linie der c1 ist. Gleichung 16) bezw. 17).

3. Die „Wasserellipse“ kann bei veränderlichem Gefälle als Linie der c1 beibehalten werden, ebenso wie die für veränderliche Tourenzahl gefundene Linie des hydraulischen Wirkungsgrades.

|547|

Aus der Gleichung der Eintrittsellipse ergibt sich, dass die Annahme von c1 und Berechnung von c1 cos a1 aus Gleichung 5) ersetzt werden kann durch Annahme des Verhältnisses . Diese Annahme ist dadurch zu kontrollieren, dass der sich ergebende Wert von a1 für die gewählte Regulierung und die Verhältnisse der Turbine geeignet sein muss.

|547|

Ist c1 sin a1 der Wert für volle Beaufschlagung, so muss, da die Eintrittsquerschnitte am Laufrad konstant bleiben, der Wert von (c1 sin a1) ½, für halbe Beaufschlagung, halb so gross sein wie c1 sin a1 usf. Aus demselben Grunde muss w2 gleichfalls der Wassermenge proportional sein; c2 ist dann gleich der Entfernung des Endpunktes von w2 vom Ursprung O.

|548|

cp ist bekanntlich bestimmt durch die Beziehung

cp2 = ce2 – c12

in welcher ce konstant ist und c1 als radiusvector von 0 aus der „Eintrittsellipse“ entnommen werden kann.

|549|

Die Bestimmung der Diagramme nach Gleichung 5) kommt als sehr zeitraubend, kaum in Betracht.

|550|

Sind für eine und dieselbe Turbine mehrere Verlustbestimmungen auszuführen, so empfiehlt es sich die Verluste – welche alle dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional sind – auf 1 m Geschwindigkeit zu reduzieren. Man erreicht so, dass für jede Leitschaufelstellung die eigentliche Verlustrechnung nur einmal durchzuführen ist, indem sich die einer anderen Geschwindigkeit entsprechenden Verluste durch Multiplikation des reduzierten Wertes mit dem Quadrat der Geschwindigkeit (in m) ergeben. Ein grosser Teil der Verluste ist für alle Leitschaufelstellungen gleich gross.

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