Titel: Studien über die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1904, Band 319 (S. 609–612)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj319/ar319170

Studien über die Beanspruchung und Formänderung kreisförmiger Platten.

Von Dr. ing. Max Ensslin, Stuttgart.

Die Versuche über die Elastizität kreisförmiger Platten, welche in D. p. J. 1903, 318, 705, 721, 785 und 801 beschrieben worden sind, haben die Theorie dieser Platten in ausreichendem Maasse bestätigt. Diese Arbeit sollte einen Beitrag zu der Frage liefern, in welchem Grade die Entwicklungen der allgemeinen Elastizitätstheorie für kreisförmige Platten mit dem Versuch übereinstimmen. Sonderfälle mit bestimmter Belastung und Unterstützung wurden darin nur insoweit behandelt, als sie sich zur Beantwortung der gestellten Frage als brauchbar erwiesen.

Die vorliegende Arbeit ist ausschliesslich der Untersuchung von Sonderfällen voller und durchbrochener Kreisscheiben, die in ganz bestimmter Weise belastet, gestützt und an den Rändern befestigt sind, gewidmet; solchen steht der ausführende Ingenieur immer gegenüber; für ihn bedeutet der Sonderfall fast alles, die allgemeine Lösung nur wenig; letztere erhält erst dann Bedeutung, wenn sie zur Anwendung auf die technisch wichtigen Sonderfälle gebrauchsfertig ausgestaltet ist. Die Gründe hierfür sind ja bekannt. Der Ingenieur ist mit Konstruktion, Ausführung und Betrieb vollauf beschäftigt. Zur Ableitung allgemeiner Lösungen hat er keine Zeit, nicht einmal zur Spezialisierung vorhandener Lösungen für die Zwecke seiner besonderen Aufgaben. Auch liegen Arbeiten, deren Durchführung hauptsächlich wissenschaftlicher Art ist, der Ingenieurtätigkeit ferne.

Nun scheint die allgemeine Theorie kreisförmiger Scheiben einerseits sicher genug begründet und experimentell bestätigt zu sein, andererseits stellt sie über die technisch wichtigen Aufgaben Aufschlüsse in Aussicht, die dem Ingenieur bei der Ausführung von Nutzen zu werden vermögen, so dass es sich verlohnen dürfte, dieses Gebiet dem Ingenieur zugänglich zu machen und das Haupthindernis, das hier im Wege steht, zu beseitigen: langwierige Vorarbeit. Was sich auf Grund der allgemeinen Elastizitätstheorie über die Beanspruchung (und Formänderung) kreisförmiger Platten aussagen lässt, dies dem Ingenieur vorzuführen, zu veranschaulichen, war meine Absicht. Ich war bemüht, den Stoff so darzustellen, dass man sich leicht zurechtfinden kann. Vollständigkeit in der Behandlung der grundsätzlich wichtigen Einzelfälle wurde angestrebt; die nachher gegebene Uebersicht über den behandelten Stoff lässt dies erkennen.

Die Figuren geben sofort Auskunft über die Art der Belastung, Befestigung und Unterstützung der Platte. Ich habe es nicht dabei bewenden lassen, die Gleichungen für die Beanspruchung und Formänderung in den Einzelfällen mit allgemeinen Zahlsymbolen anzugeben, stets sind Zahlenbeispiele für die Beanspruchung ausgerechnet und überdies ist die Spannungsverteilung an der Plattenoberflächebildlich dargestellt worden, so dass rasch eine Anschauung von dem Anstrengungszustand gewonnen und der Einfluss der Befestigungsweise des Plattenrandes – freies Aufliegen, vollkommene Einspannung, Uebergang vom einen zum andern – verfolgt werden kann.

Gerade der Zwischenzustand zwischen Freiaufliegen und vollkommener Einspannung des Plattenrandes kommt häufig vor und es ist zum Teil äusserst schwierig, zum Teil zurzeit unmöglich, den Zusammenhang zwischen Platte und den sich anschliessenden Konstruktionsteilen – die Nachgiebigkeit der Verbindung – in mathematische Form zu fassen. Bei dieser Sachlage ist es von Wert, wenigstens die Grenzfälle zu kennen und sich dann ein ungefähres Bild von dem Zwischenzustand machen zu können.

Die Untersuchung erstreckt sich auf volle und durchbrochene Scheiben, letztere mit zentral ausgeschnittener Kreisöffnung. Als Belastung ist entweder eine konzentrierte Last, die auf dem Umfang eines Kreises um die Plattenmitte gleichmässig verteilt ist, oder eine gleichmässige Oberflächenbelastung (Flüssigkeitspressung, Eigengewicht oder Massenkräfte senkrecht zur Plattenoberfläche), oder gleichmässig über den Plattenumfang verteilte Biegungsmomente angenommen. Die Plattendicke ist als gleich gross vorausgesetzt.

In der Literatur findet man wohl in allen Werken über Elastizität die Berechnung der vollen, gleichmässig belasteten Scheibe mit frei aufliegendem oder vollkommen eingespanntem Rand angegeben. Auch die volle Scheibe mit einer Einzellast in der Mitte ist in mehr oder weniger strenger Weise1) behandelt. Die zur Berechnung einer durchbrochenen kreisförmigen Platte erforderlichen allgemeinen Gleichungen teilt St. Venant im Clebsch annoté mit, gibt auch Anweisung, wie in besonderen Fällen vorzugehen ist. Die Differentialgleichung der elastischen Mittelfläche hat – nebenbei bemerkt – für die volle und durchbrochene Platte die gleiche Grundform. Auf technisch interessante Einzelfälle durchbrochener Platten hat die allgemeine Lösung meines Wissens nur Grashof angewandt, der auf S. 343 seiner Theorie der Elastizität und Festigkeit die Beanspruchung eines Zylinderdeckels mit Stopfbüchse und einer gleichmässig belasteten Platte berechnet, deren äusserer und innerer Rand vollkommen eingespannt ist, wobei der innere überdies als fest verankert angesehen wird.

In der vorliegenden Arbeit sind, wie aus der weiter |610| unten stehenden Inhaltsübersicht hervorgeht, zuerst die einfachsten Fälle der Belastung. Befestigung und Unterstützung – wie ich glaube – erschöpfend behandelt. Zusammengesetzte Belastungsfälle können leicht auf diese grundlegenden Einzelfälle zurückgeführt werden, was am Schluss an einigen der Technik entnommenen Beispielen erläutert ist.

Inhaltsübersicht.

A. Konzentrierte Belastung.

(Die Belastung ist gleichmässig über den Umfang eines Kreises um die Plattenmitte verteilt).

  • a) Volle Scheibe:
    • 1. am Rande frei aufliegend,
    • 2. am Rande eingespannt.
  • b) Gelochte Scheibe:
    • 1. am inneren oder äusseren Rand aufliegend, beide Ränder frei beweglich,
    • 2. am äusseren Rand eingespannt, am inneren frei,
    • 3. am inneren Rand eingespannt, am äusseren frei,
    • 4. beide Ränder eingespannt.

B. Gleichmässige Oberflächenbelastung.

  • a) Volle Scheibe:
    • 1. am Rande frei aufliegend,
    • 2. am Rande eingespannt.
  • b) Gelochte Scheibe;
      • I. am äusseren Rand gestützt
    • 1. beide Ränder frei beweglich,
    • 2. äusserer Rand eingespannt, innerer frei,
    • 3. innerer Rand eingespannt, äusserer frei,
    • 4. beide Ränder eingespannt.
      • II. am inneren Rand gestützt sonst wie unter I.

C. Belastung durch biegende Momente, die gleichmässig über den inneren oder äusseren Umfang der Scheibe verteilt sind.

Einfluss überstehenden Materials.

D. Technische Beispiele.

E. Allgemeine Bemerkungen.

Maasseinheiten. Lage des Koordinatensystems. Bezeichnungen.

Die im Folgenden benützten Einheiten sind: kg und cm.

Die Platte ist so in ein rechtwinkliges Koordinatensystem hineingelegt gedacht, dass die Normale in der Plattenmitte mit der z-Achse, die Mittelfläche vor der Belastung mit der xy-Ebene zusammenfällt. Es bedeutet:

x den Abstand eines Punktes der Meridianlinie der deformierten Mittelfläche (Drehfläche) von der Plattenmitte,

z die Senkung dieses Punktes unter die xy-Ebene,

λ die Entfernung eines beliebigen Plattenpunkts von der Mittelfläche, + bezw. –, wenn in Richtung der + bezw. – z-Achse gelegen.

Da von den Normalen auf der Mittelfläche angenommen wird, dass sie auch nach der Deformation gerade und senkrecht zur elastischen Mittelfläche bleiben, so ist die Lage eines Punktes durch x, y, λ ausreichend bebestimmt.

h die als unveränderlich angenommene Plattenstärke,

m das Verhältnis Längsdehnung: Querzusammenziehung ( für Schmiedeisen und Stahl.)

Zu den Figuren.

Die Figuren für eine und dieselbe Belastungsweise – konzentrierte Last bezw. gleichmässige Oberflächenbelastung – sind in gleichem Maasstab gezeichnet (Spannungsmaasstäbe s. Fig. 1a und 14a), so dass sie unter sich verglichen werden können. Der Einfluss der verschiedenen Befestigungsweise ist an einer Platte von Ra = 28 cm äusserem und Ri = 14 cm innerem Halbmesser gezeigt, welche Abmessungen bei allen Sonderfällen beibehalten sind.

Die Differentialgleichung der elastischen Mittelfläche bezw. ihres Meridians lässt sich mit Hilfe der von Grashof gegebenen Gleichung für die Schubspannung τy (in Richtung der z-Achse wirkend und in einer Zylinderfläche vom Halbmesser x gelegen) in folgender Form schreiben:

. . I)

Hierin bedeutet S die Schubkraft in einer Schnittfläche, welche mit einem konzentrischen Zylinder vom Halbmesser x senkrecht durch die Platte geführt ist.

Durch Einführung des Sonderwertes von S in den einzelnen Belastungsfällen erhält man leicht die Differentialgleichung der elastischen Mittelfläche für die betreffenden Einzelfälle.

A. Konzentrierte Belastung

(über den Umfang eines Kreises um die Plattenmitte gleichmässig verteilt).

a) Volle Scheibe (Fig. 1).

Textabbildung Bd. 319, S. 610

Eine volle Scheibe zerfällt durch den Auflagerkreis und den Belastungskreis in zwei Zonen: eine äussere Ringzone und eine innere Zone. In der Ringzone ist die Schubkraft S = P d.h. gleich der konzentrierten Belastung. Die obenstehende Gleichung I) liefert durch Integration die schon in D. p. J. 1903, 318, 785 benützten Gleichungen:

für die Durchbiegung im Abstand x von der Plattenmitte:

. . . 1)

für die Neigung der Meridianlinie gegen die x-Achse im Abstand x

. . . . . . 2)

Radialspannung

Ringspannung:

. 3)

Hierin bedeuten:

c1, c2, c3 Integrationskonstante,

|611|

In der inneren Zone zwischen x = 0 und x = Ri ist die Schubkraft gleich Null; die Meridianlinie der elastischen Mittelfläche hat im Scheitel, d.h. in der Plattenmitte (x = 0) eine zur x-Achse parallele Tangente, so dass daselbst . Damit liefert Gleichung I) die schon in D. p. J. 1903, 318, 785, benützten Gleichungen:

. . . 4)

. . . 5)

. . . 6)

1. Voile Scheibe am äusseren Umfang x = Ra frei aufliegend (Fig. 1).

Wie in D. p. J. 1903, 318, 786, ausführlich hergeleitet ist, erhält man im vorliegenden Fall:

. . . 7)

. . . 8)

. . . 9)

Biegungspfeil in der Plattenmitte:

. . . 10)

Beispiel 1: Ra = 28 cm; Ri = 1,5 cm; ; ln Ra2 = 6,657; ln Ri2 = 0,811; ; . Nach Gleichung 7) bis 9) erhält man ; ; und nach Gleichung 6):

Spannung an der Ober- und Unterfläche der inneren Zone:

Radialspannung in der Ringzone:

Ringspannung in der Ringzone:

Hieraus ergibt sich folgende Spannungsverteilung: Abstand von der Mitte:

x = 0 bis 1,5 7 14 21 28 cm
σx = –6,4 –2,8 –1,38 –0,58 0
σs = –6,4 –3,8 –2,35 –1,67 –1,08
mal

Die Spannungsverteilung ist in Fig. 2 durch die stark ausgezogenen Kurven bildlich dargestellt. Die grössteSpannung tritt in der mittleren Zone auf, innerhalb deren Radial- und Ringspannungen einander gleich sind und konstanten Wert haben.

Textabbildung Bd. 319, S. 611

Im Nachfolgenden soll ein Bild davon gegeben werden. wie sich die Spannungsverteilung ändert, wenn der Durchmesser 2 Ri des Belastungskreises grösser gemacht wird.

Beispiel 2: Ra = 28; Ri = 14;

; ln Ra2 = 6,657; ln Ri2 = 5,282; ; nach Gleichung 7) bis 9): ; ; .

Nach Gleichung 3): Abstand von der Mitte:

x = 0 bis 14 21 28 cm
σx = 1,776 0,688 0 mal ±
σy = 1,776 1,283 0,803 „ „

Die Spannungsverteilung ist in Fig. 1, und in Fig. 2 durch die strichpunktierten Linien bildlich dargestellt.

Beispiels: Ra = 28; Ri = 21; ; : ln Ri2 = 6,657; ln Ri2 = 6,082: ; nach Gleichung 7) bis 9): ; ; . Spannungsverteilung nach Gleichung 3):

x = 0 bis 21 28 cm
σx = 0,812 0 mal ±
σy = 0,812 0,472 „ „

Die Spannungsverteilung ist in den schwach ausgezogenen Linienzügen, Fig. 2, abgebildet.

Der Vergleich der drei Linienzüge in Fig. 2 zeigt, wie rasch die grösste in der Platte auftretende Spannung abnimmt, wenn der Belastungskreis, über dessen Umfang P gleichmässig verteilt ist, vergrössert wird. Gleichzeitig sieht man, dass die Spannungsverteilung um so gleichmässiger wird, je grösser der Belastungskreis im Verhältnis zum Auflagerkreis ist.

|612|

2) Volle Scheibe am äusseren Umfang x= Ra eingespannt. (Fig. 3).

Textabbildung Bd. 319, S. 612

Die im vorigen Fall giltigen Grenzbedingungen bleiben dieselben, nur ist jetzt nicht mehr die Radialspannung σx = 0 in x = Ra, vielmehr besitzt jetzt die Meridianlinie der Mittelfläche am äusseren Umfang eine zur xy-Ebene parallele Tangente, es ist also in Gleichung 2): für x = Ra. Damit erhält man aus Gleichung 1) bis 6):

. . . . . 11)

. . . . . 12)

. . . . . 13)

Biegungspfeil in der Plattenmitte:

. 14)

Beispiel: Ra = 28 cm; Ri = 1,5; ; ln Ra2 = 6,657; ln Ri = 9,811; . Nach Gleichung 11) bis 13) wird: ; ; ; nach Gleichung 6) und 3) wird:

Spannung an der Ober- und Unterfläche der inneren Zone:

Radialspannung in der Ringzone:

Ringspannung in der Ringzone:

Hieraus berechnet sich folgende Spannungsverteilung: Abstand von der Mitte:

x = 0 bis 1,5 7 14 21 28 cm
σx = + 4,847 + 1,257 – 0,157 – 0,959 – 1,540
σy = + 4,847 + 2,283 + 0,907 + 0,110 – 0,464

Die Spannungsverteilung ist durch, die Linien b in Fig. 4 veranschaulicht. Die grösste Spannung tritt in der mittleren Zone auf; Radial- und Ringspannungen sind daselbst gleich gross und konstant.

Zum Vergleich zwischen der Spannungsverteilung bei vollkommener Einspannung mit derjenigen bei Freiaufliegen ist in den Linienzügen a Fig. 4 noch die Spannungs-Verteilung bei Freiaufliegen dargestellt. Wie man sieht, wird durch den Uebergang vom Zustand des Freiaufliegens in denjenigen der vollkommenen Einspannung die grösste Spannung in der Plattenmitte vermindert; der Linienzug b erscheint gegen den Linienzug a parallel verschoben. Leicht kann man sich nun auch das Spannungsbild vorstellen, wenn der Plattenrand weder vollkommen eingespannt ist noch ganz frei aufliegt, sondern sich in einem Zwischenzustand befindet. Die Linie, welche den Spannungszustand darstellt, verläuft dann äquidistant zu einer der Kurven a oder b, und zwar näher bei a oder b, je nachdem die Platte mehr als frei aufliegend oder als vollkommen eingespannt anzusehen ist.

Textabbildung Bd. 319, S. 612

Man erinnert sich an dieser Stelle, dass die Verhältnisse bei einem geraden auf Biegung beanspruchten Stab genau ebenso liegen, wenn er symmetrisch durch zwei Einzelkräfte belastet ist und an beiden Enden frei aufliegt oder vollkommen eingespannt ist, oder sich in einem Zwischenzustand befindet. Eine ausführliche Beschreibung hiervon findet man, wenigstens für den Fall gleichmässiger Belastung, in C. Bach, Elastizität und Festigkeit IV. Auflage, Seite 465.

Beispiel: Ra = 28, Ri = 14. Nach Gleichung 11) bis 13) ist: ; und , womit Gleichung 3) liefert:

x = 0 bis 14 21 28 cm von der Mitte
σx = + 0,627 – 0,472 – 1,151 mal ±
σy = + 0,627 + 0,126 – 0,345 „ „

Die Spannungsverteilung ist in Fig. 3 abgebildet. Die grösste Spannung – eine Radialspannung – tritt am äusseren Umfang auf.

Ueber den Ort der grössten Beanspruchung und dessen Abhängigkeit von dem Verhältnis der Durchmesser des Belastungs- und Auflagerkreises ist zufolge Fig. 3 und 4 folgendes zu bemerken:

Bei verhältnismässig grossem Belastungskreis findet die grösste Beanspruchung am äusseren Umfang der Scheibe durch Radialspannungen statt. Dies gilt, solange Ra : Ri < 3,13; wird dagegen Ra > 3,13 Ri, so ist die grösste Spannung in der mittleren Zone zu suchen, in der die Radial- und Ringspannungen gleich gross sind.

Bei einer vollkommen eingespannten Platte mit konzentrierter Belastung nach Fig. 3 ist hiernach die Lage der am meisten beanspruchten Stelle, nicht nur die Grösse der Spannung, von dem Verhältnis Ra : Ri des Auflager- und Belastungskreises abhängig.

(Fortsetzung folgt.)

|609|

Hierbei ist die Belastung zum Teil in einem Punkt konzentriert (Grashof), oder über den Umfang eines kleinen Kreises verteilt angenommen (St. Venant). Da ein punktförmiger Lastangriff tatsächlich kaum vorkommt, so ist die unter dieser Annahme abgeleitete Spannung nur als Näherungswert anzusehen. Weiteres hierüber siehe D. p. J. 1903, 318, 787, Anm. 13).

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