Titel: Versuche mit Gußeisen über den Einfluß des Kugeldurchmessers und des Druckes usw.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1907, Band 322 (S. 33–37)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj322/ar322012

Versuche mit Gußeisen über den Einfluß des Kugeldurchmessers und des Druckes bei der Brinellschen Methode der Härtebestimmung.

Von R. Malmström.

In nahem Zusammenhang mit dem Begriff der Härte steht der Begriff der Berührung fester elastischer Körper. Die Lösung des letzten Problems verdankt man Heinrich Hertz1). Unter den Annahmen, daß die zwei sich berührenden Körper dem Hookeschen Gesetze gehorchen, daß ferner die Druckfläche klein ist im Verhältnis zu den Krümmungsradien der Oberflächen, berechnete Hertz den Zusammenhang zwischen Druck und den Abmessungen der im allgemeinen Falle elliptischen Druckfläche, sowie die Verteilung des normalen Druckes über derselben. Nehmen wir der Einfachheit halber an, daß die beiden Körper sphärisch gekrümmt sind, und bezeichnen wir den Durchmesser der in diesem Falle kreisförmigen Druckfläche mit d, sowie die Krümmungen der beiden Körperoberflächen mit ρ1 und ρ2, so verlangt die Theorie von Hertz, daß

Hier ist P der Gesamtdruck und

wo m die Poissonsche Konstante und E den Elastizitätsmodul bedeuten. Ferner ist der größte Druck in der Mitte der Druckfläche gleich dem mittleren Druck

multipliziert mit

Auf dieser Grundlage wollte Hertz eine Definition der Härte geben, die von den Einwänden frei war, welche gegen die ältere Definition der Härte als Widerstand, den das Material dem Eindringen von Spitzen und Schneiden entgegensetzt, erhoben werden können. Diese sind, wie Hertz hervorhebt, folgende: erstens ist es schwer eine Spitze genau zu definieren, zweitens ist das so definierte Maß der Härte kein absolutes, da es von der Härte der angewandten Spitze abhängt, drittens ist die so ermittelte Härte nicht diejenige des Materials im ursprünglichen Zustand da bleibende Formänderungen erzeugt werden.

Der erste Einwand ist leicht dadurch zu beseitigen, daß man anstatt der Spitze, die ja nichts anderes ist als ein Körper von sehr großer Krümmung, einen Körper von ganz bestimmter Krümmung setzt z.B. eine Kugel oder Linse; die zweite dadurch, daß man diesen Körper aus demselben Material, wie den zu prüfenden Körper wählt. Um der dritten Bedingung zu genügen, wählte Hertz einen Zustand des Körpers, bei dem gerade noch die ursprünglichen Eigenschaften desselben erhalten bleiben, nämlich die Elastizitätsgrenze. Seine vollständige Definition lautete: Die Härte ist gleich dem Normaldruck in der Mitte einer kreisförmigen Druckfläche, bei welchem die Elastizitätsgrenze erreicht wird, also bei spröden Körpern ein Sprung, bei plastischen eine bleibende Deformation entsteht.

Die Hertzsche Theorie wurde von Auerbach eingehend geprüft.2) Er benutzte Linsen und Platten von demselben Material. Für diesen Fall lautet die oben angegebene Formel

Es muß also die Größe wo D der Krümmungsdurchmesser der Linse ist, eine Materialkonstante sein. Wenn nun die Normalspannung das Ueberschreiten der Elastizitätsgrenze verursacht, so muß ihr Grenzwert und auch die damit proportionale mittlere Spannung oder die Größe wo P0 und d0 die Grenzwerte von P und d sind, ebenfalls eine Materialkonstante sein. Hieraus folgt aber, daß noch die Größen und nur von den Eigenschaften des Materials abhängen müssen.

Bei spröden Körpern fand Auerbach die Gleichung

vollkommen bestätigt. Dagegen versagte die Theorie in dem für die Theorie der Härte wichtigsten Punkt. Es zeigte sich nämlich, daß der Druck, bezogen auf die Flächeneinheit, bei der ein Sprung eintritt, nicht von der Krümmung der Linse unabhängig war und zwar war

anstatt der Größe die Größe

|34| und schließlich noch, wie aus der ersten und dritten folgt,

Man würde zunächst geneigt sein, die Abweichungen dadurch zu erklären, daß die in der Theorie gemachte Annahme, daß die Abmessungen der Druckfläche im Verhältnis zum Krümmungsradius klein sein müssen, bei den Versuchen nicht erfüllt waren. Dies ist aber, wie Auerbach zeigt, nicht der Fall. Es bleibt also nur übrig, anzunehmen, daß die größte Normalspannung nicht die entscheidende Rolle spielt. Hiermit entsteht nun die Frage: welche Größe ist für die Festigkeit (Eindringungswiderstand) eines Materials maßgebend. Leider hat man bis jetzt auf diese Frage keine bindende Antwort geben können und es bestehen infolgedessen hierüber mehrere verschiedene Ansichten. Nach einer ersten Ansicht, die eben Hertz als selbstverständlich ansah, spielt die größte Spannung überhaupt die entscheidende Rolle, nach einer zweiten die größte Deformation, nach einer dritten, die wohl heutzutage die meisten Anhänger hat, die Schubspannung, nach einer vierten, die neuerdings von Mohr aufgestellt ist, das Zusammenwirken von Normal- und Schubspannung, und schließlich ist nach einer fünften, besonders von Voigt vertretenen Ansicht die Festigkeit überhaupt keine Materialkonstante.

Nach den Versuchen von Auerbach würde man geneigt sein, der letzten Ansicht beizutreten, da aus denselben hervorgeht, daß die Härte eines Körpers von dessen Krümmung abhängig ist und somit möglicherweise die Oberflächenspannung eine Rolle spielt. In der Technik muß man sich aber, so lange die Frage nicht endgültig beantwortet worden ist, für irgend eine Ansicht entscheiden. Und so wird im Bauingenieurwesen gewöhnlich die erste, im Maschinenbau die zweite den Berechnungen zugrunde gelegt.

Für die Meßung der Härte eines spröden Körpers wird es wiederum notwendig sein, den größten Normaldruck zugrunde zu legen und eine bestimmte Krümmung zu wählen. Da die Zahlen, die man mit verschieden gekrümmten Linsen erhält, für jedes Material in einem ganz bestimmten Verhältnis stehen, genügt das auch praktisch vollkommen.

Die Härte von plastischen Körpern wurde auch von Auerbach und unabhängig davon von Föppl3) untersucht. Hierbei wurde nicht einmal die Formel

bestätigt. Die Größe nimmt mit wachsendem Druck stark ab. Dies rührt natürlich daher, daß schon bei kleinem Druck eine bleibende Formänderung entsteht. In einer von Auerbach angeführten vollständigen Versuchsreihe4) für Flußspath, wovon einige Zahlen in Tab. 1 wiedergegeben sind, findet man aber durch Ausrechnung des Ausdrucks daß die Zahlen für zwei verschiedene Durchmesser bei abnehmendem Druck oder bei Annäherung an den Gültigkeitsbereich der Elastizitätsgrenze sich immer mehr nähern, so daß wenigstens in diesem Falle auf eine Unabhängigkeit der Größe vom Durchmesser im Grenzfall bei unendlich kleinem Druck zu schließen wäre.

Tabelle 1.

D = 6 D = 20
P d P d
11 2,0 8,3 11 3,0 8,2
38 3,4 5,8 38 4,8 7,0
88 5,0 4,2 138 7,9 5,4

Nach Hertz sollte nun die Härte definiert werden als der Druck, bei dem zuerst eine bleibende Formänderung eintritt. Dieser Druck ist aber fast unmöglich zu beobachten, hängt insbesondere von der Empfindlichkeit der Methode ab, wenn eine solche scharfe Grenze bei plastischen Körpern überhaupt besteht. Dagegen fanden Auerbach und Föppl, daß bei größerem Druck der Druck f. d. Flächeneinheit konstant bleibt, und schlagen vor, diese Größe als Maß der Härte anzusehen. Es zeigte sich auch hier, daß die so definierte Härtezahl von der Krümmung abhing, indem nicht die Größe sondern konstant war.

Bei späteren Versuchen (mit Messing),5) wobei das gleich zu beschreibende Verfahren mit gekreuzten Zylindern verwendet wurde, fand Föppl die Gleichungen

und

nicht mehr bestätigt. Die Größe nahm vielmehr mit wachsendem Druck (besonders stark bei kleinem Zylinderdurchmesser) stetig zu und für die Abhängigkeit der Härtezahl H von der Druckfläche f und dem Zylinderquerschnitt F wurde die Beziehung

aus den Versuchen abgeleitet. Hier ist die Konstante k von D unabhängig, während der Exponent m mit wachsendem D abnimmt. Infolgedessen wird bei größeren Durchmessern der Ausdruck sich immer mehr der Zahl 1 nähern, so daß die Härte sich ziemlich unabhängig vom Druck und Zylinderdurchmesser erweisen wird.

Man wird also gezwungen sein, für die Bestimmung der Härte plastischer Körper zu einer Methode zu greifen, die wenigstens mit den dritten von Hertz hervorgehobenen Uebelständen behaftet ist und um vergleichbare Zahlen zu erhalten, Probekörper von einem bestimmten Normaldurchmesser zu verwenden. Eine solche für Metalle sehr geeignete Methode ist von Föppl vorgeschlagen und von Schwerd geprüft worden.6) Zwei zylindrisch abgedrehte Stäbe aus dem zu prüfenden Material werden kreuzweise gegeneinander gedrückt und die Durchmesser der Druckfläche gemessen. Der mittlere Druck in kg/qmm wird als Härtezahl genommen. Als Normaldurchmesser der Zylinder wird 40 mm vorgeschlagen.

In der letzten Zeit hat Brinell7) ein anderes Verfahren in Vorschlag gebracht. Brinell benutzt immer eine Gußstahlkugel (D = 10 mm) die gegen eine ebene Fläche des zu prüfenden Materials gedrückt wird. Diese Methode |35| kann also nicht einmal gegen den zweiten der von Hertz erhobenen Einwände verteidigt werden. Sie hat vor der alten Methode nur den Vorzug, daß ein Körper vom bestimmten Krümmungsradius benutzt wird. Bei der Berechnung der Druckfläche wird die Kugel als starr angesehen und die Druckfläche als die dem Durchmesser des Kugeleindrucks entsprechende Kugelkalotte angesehen. Diese Voraussetzung wird wohl bei Prüfung härterer Körper nicht erfüllt sein.

Daß die Methode trotzdem große Verbreitung gefunden hat, rührt wohl daher, daß sie die praktisch einfachste und für technische Zwecke genau genug ist, daß ferner nach dieser Methode auch fertige Maschinenteile in Bezug auf Härte und Gleichmäßigkeit geprüft werden können und daß schließlich eine Beziehung zwischen der Härtezahl und der Zugfestigkeit vorhanden zu sein scheint.

Im folgenden sollen einige Versuche beschrieben werden, die ich auf Anregung von Herrn Prof. Dr. Eugen Meyer im Festigkeistlaboratorium der technischen Hochschule zu Charlottenburg zur Prüfung dieser Methode angestellt habe. Es sollten ursprünglich Versuche mit mehreren verschiedenen Materialien unternommen werden, jedoch reichte die Zeit, die uns zur Verfügung stand, nicht aus um sie durchzuführen. Statt dessen wurden eingehendere Versuche über den Einfluß des Kugeldurchmessers und des Druckes auf die Härte des Gußeisens gemacht, welche Versuche, da das Gußeisen in seinen elastischen Eigenschaften eine Sonderstellung einnimmt, einiges Interesse bieten dürfte.

Die Kugeln von den Durchmessern 5, 7,5, 10, 15 und 20 mm waren von der Firma Ludwig Loewe bezogen.

Die Kugeleindrücke wurden in einer Pohlmeyer-Maschine für 50 t ausgeführt. Jede ganze Umdrehung des Lastzeigers entsprach 10 t und ein Teilstrich der Skala 20 kg, so daß noch 2 kg geschätzt werden konnten. Der Druck wurde immer ganz langsam erhöht und dann 5 Min. konstant gehalten.

Das verwendete Gußeisen war normaler Maschinenguß und besaß im Mittel 1200 kg/qcm Festigkeit. Die Druckflächen wurden gehobelt und geschlichtet. Die Platten waren etwa 120 mm lang, 50 mm breit und 30 mm hoch. Zur Führung für die Kugeln wurde jede Platte mit einem Pappdeckel bedeckt, der mit Löcher von etwas kleinerem Durchmesser als derjenige der Kugeln versehen war.

Die Messung der Durchmesser der Eindrücke geschah mit einem kleinen Komparatur der Firma Carl Zeiss, Jena. Die Durchmesser wurden immer in zwei gegeneinander senkrechten Richtungen gemessen, in jeder Richtung wenigstens zweimal und aus beiden das Mittel genommen.

Erste Versuchsreihe.

Abmessungen der Platte: Länge 120, Breite 52, Höhe 27 mm. Verwendete Kugeln: 5, 7,5 und 10 mm Durchmesser.

Die Kugeleindrücke wurden zu zwei Reihen in 17,5 mm Abstand vom Rande angebracht und zwar in der Reihenfolge: 5 mm Kugel in der ersten Reihe, 7,5 in der zweiten, 10 in der ersten, dann wieder 5 in der zweiten usw. Der Abstand zwischen zwei Eindrücken in einer Reihe war 34,5 mm, derjenige zwischen zwei benachbarten in den beiden Reihen 25 mm. Die Versuchsergebnisse sind in Tab. 2 zusammengestellt. Hier bedeuten d1 und d2 die Durchmesser der an den zwei verschiedenen Stellen der Platte, mit derselben Kugel und mit demselben Druck erhaltenen Eindrücke. Aus beiden ist das Mittel genommen und hieraus die Druckfläche f berechnet.8)

Tabelle 2.


Reihe
Kugel-
durch-
messer
Belastung
P
kg
Kugeleindruck Härte-
zahl
Durchmesser mm Fläche
+
qmm
d 1 d 2 Mittel
I a 5 500
1000
2,042
2,802
2,045
2,814
2,044
2,808
3,429
6,78
145,8
149,0
145,8
147,5

I b

7,5
500
1000
1500
2000
2,134
2,936
3,529
4,051
2,113
2,895
3,495
3,998
2,124
2,916
3,512
4,025
3,624
6,95
10,28
13,80
137,9
150,2
150,2
142,0
137,9
143,9
145,9
144,9


I c


10
500
1000
1500
2000
2500
3000
2,202
3,019
3,621
4,131
4,588
4,948
2,196
3,022
3,609
4,129
4,563
4,952
2,199
3,021
3,615
4,130
4,576
4,950
3,849
7,337
10,62
14,01
17,41
20,60
129,9
143,4
152,4
147,4
147,1
156,7
129,9
136,2
141,2
142,7
143,6
145,6

Die den Tabellen entsprechenden Kurven (s. Fig. 1).

Zweite Versuchsreihe.

Durchmesser der Kugeln: 10, 15 und 20 mm.

Abmessungen der Platte: Länge 120, Breite 50, Höhe 29 mm.

Da hierbei größere Pressungen verwendet werden mußten als bei Reihe I, so wurde der Abstand zwischen den Eindrücken größer gewählt. Die letzteren wurden nämlich in einer Reihe in der Mitte der Platte angeordnet und zwar die 10 mm-Kugel 20 mm, die 15 mm-Kugel 25 mm vom Rande und die 20 mm-Kugel in der Mitte zwischen beiden auf 40 mm Abstand.

Textabbildung Bd. 322, S. 35

Wenn die Härte dieser Platte dieselbe gewesen wäre, wie die der ersten, so hätte man jetzt eine vollständige Reihe mit den Kugeln 5, 7,5, 10, 12, 20 gehabt. Da dies indessen nicht der Fall war, wurde nachträglich mit der 5 mm-Kugel in einem Abstand von etwa 20 mm von der 10 und 15 mm-Kugel gedrückt um eine Reihe mit vier Kugeln zu gewinnen. Die Versuchsergebnisse sind in der Tabelle 3, die entsprechenden Kurven in Fig. 2 dargestellt.

Textabbildung Bd. 322, S. 35
|36|

Tabelle 3.


Reiche
Kugel-
durch-
messer
mm
Belastung
P
kg
Kugeleindruck Härte-
zahl
Mittlerer
Durchm.
mm

Fläche f
qmm


II a


5
200
400
600
800
1000
1,224
1,708
2,047
2,347
2,607
1,195
2,364
3,442
4,595
5,762
167,3
171,1
185,5
173,5
171,4
167,3
169,2
174,3
174,1
173,6

II b

10
1000
2005
3006
4000
2,844
3,863
4,647
5,324
6,49
12,19
17,99
24,11
154,1
176,3
172,6
162,4
154,1
164,5
167,1
165,9



II c



15
1000
2008
3008
4000
5000
6000
8000
3,040
4,089
4,922
5,597
6,236
6,771
7,730
7,35
13,39
19,58
25,52
31,99
38,06
50,60
136,1
166,9
161,6
167,0
154,6
164,7
159,5
136,1
150,0
153,6
156,7
156,3
157,6
158,1




II d




20
1000
2010
3002
4000
5000
6000
7000
8000
10000
13000
3,063
4,216
5,075
5,804
6,417
6,993
7,514
8,000
8,867
10,027
7,46
14,14
20,61
27,02
33,22
39,71
46,00
52,46
65,15
84,57
134,0
151,2
153,3
155,7
161,3
154,1
159,0
154,8
157,5
154,6
134,0
142,1
149,6
148,0
150,5
151,1
152,2
152,5
153,5
153,7

Dritte Versachsreihe.

Durchmesser der Kugeln: 5, 10, 15, 20 mm.

Dimensionen der Platte: 122, 51, 28,5 mm.

Die Eindrücke wurden wieder in zwei Reihen jede in 17,5 mm Abstand vom Rande angeordnet und zwar in der ersten Reihe die 5 mm-Kugel 17,5 mm vom Ende der Platte und 58 mm davon die 15 mm-Kugel, in der zweiten Reihe die 10 mm-Kugel 17,5 mm vom anderen Ende der Platte und 58 mm davon die 20 mm-Kugel. Der Abstand zwischen 15 und 20 mm-Kugel war dann 34 mm. Die Ergebnisse finden sich in Tab. 4 und der Fig. 3.

Textabbildung Bd. 322, S. 36

Besprechung der Versuchsergebnisse.

Die den ersten zwei Versuchsreihen entsprechenden Kurven sind, wie aus den Figuren ersichtlich sehr nahe gerade Linien, die die Abszissenachse in der Nähe des Nullpunktes schneiden. Ihre Gleichungen würden also die Form haben

P = af – b.

Tabelle 4.


Reiche
Kugel-
durch-
messer
mm
Belastung
P
kg
Kugeleindruck Härte-
zahl
Mittlerer
Durchm.
mm
Fläche f
qmm



III a



5
60
120
200
400
600
810
1010
0,746
1,024
1,305
1,770
2,108
2,425
2,692
0,440
0,833
1,363
2,543
3,659
4,930
6,18
136,3
152,7
150,9
169,5
179,2
165,2
160,1
136,3
144,1
146,7
157,3
164,0
164,3
163,4



III b



10
100
400
700
1000
2000
3000
4000
1,098
1,932
2,455
2,882
3,895
4,701
5,346
0,949
2,96
4,82
6,67
12,41
18,44
24,33
105,3
149,3
161,3
162,1
174,2
165,8
169,8
105,3
135,1
145,1
149,9
161,0
162,6
164,4


III c


15
200
600
1000
2000
3000
4000
1,592
2,488
3,097
4,166
4,982
5,704
2,00
4,88
7,62
13,90
20,05
26,51
100,0
138,9
146,0
159,2
162,6
154,8
100,0
123,0
131,2
143,9
149,7
150,8


III d


20
200
600
1000
2000
3000
4000
1,622
2,593
3,184
4,331
5,116
5,832
2,14
5,32
8,02
14,87
20,92
27,31
93,5
125,8
148,1
146,0
165,3
156,5
93,5
112,7
124,7
134,5
143,5
146,4

Selbstverständlich müssen aber die Kurven in der Wirklichkeit durch den Nullpunkt gehen, und um hierfür einen experimentellen Nachweis zu haben, wurde die dritte Versuchsreihe gemacht. Wie man sieht, ist dieses auch der Fall. Die bei größeren Drucken geraden Linien biegen in der Nähe des Nullpunktes um und nähern sich demselben immer mehr. Hiernach würden also die Kurven etwa als Hyperbeln aufzufassen sein mit den Asymptoten P = af – b, und man könnte sie durch die Gleichung

darstellen. Diese Gleichung stellt eine Hyperbel dar, die durch den Nullpunkt geht und deren andere Asymptote der Ordinate parallel ist. Da indessen der Verlauf in der Nähe des Nullpunktes für die Bestimmung der Härte belanglos ist, so wird man sich mit der Gleichung der geraden Linie begnügen können. Hieraus würde man denn für den Druck auf der Flächeneinheit oder die Härte den Ausdruck

erhalten, und die Härte würde dann als der konstante Grenzwert für große Druckflächen, d.h. durch die Konstante a zu definieren sein. Berechnet man so aus der ersten Versuchsreihe nach der Methode der kleinsten Quadrate die beiden Konstanten a und b, so erhält man folgende Werte:

D = 5 7,5 10
a = 149,3 147,6 150,0
b = 11,9 28,5 98,8

Aus der zweiten Reihe erhält man wieder, wenn für die 20 mm-Kugel die Drucke 4000–13000, für die 15 mm-Kugel 3000–8000, 10 mm-Kugel 1000–4000 und 5 mm-Kugel 200–1000 genommen werden

D = 5 10 15 20
a = 176,0 170,6 160,6 156,1
b = 11,2 90,6 123,5 194,7
|37|

Die Konstante b ist in beiden Fällen ziemlich gleich, obwohl die Härte verschieden ist, was ja auch ein Zufall sein kann. Sie wächst rasch mit dem Kugeldurchmesser, jedenfalls rascher als die zweite Potenz desselben. Die Konstante a, welche also die Härte darstellen sollte, ist in der ersten Reihe so gut wie unabhängig vom Kugeldurchmesser, im zweiten Falle nimmt sie deutlich aber langsam mit wachsendem Durchmesser ab. Dies tritt auch deutlich in den Kurven zum Vorschein; in Fig. 1 sind sie nahezu parallel, in Fig. 2 nicht. Auch bei der dritten Platte, die weicher war als die zweite, tritt diese Erscheinung deutlich zu Tage. Hier sind einerseits die mit 5 und 10, andererseits die mit 15 und 20 mm-Kugeln erhaltenen Kurven parallel. Daß es alle nicht sind, beruht wohl auf Ungleichmäßigkeit der Platte. Von einer Beziehung H3√D , wie sie Auerbach bei seinen Versuchen gefunden hat, ist also hier in Uebereinstimmung mit den späteren Versuchen von Föppl keine Rede. Je weicher das Material desto weniger hängt die Härte von dem Kugeldurchmesser ab.

Es ist aber auch möglich, daß der geradlinige Verlauf der Kurve nur in erster Annäherung gilt. Betrachtet man nämlich in den Tabellen die Größe so sieht man, daß sie, abgesehen von den unregelmäßigen Schwankungen bei größeren P doch deutlich abnimmt. Hiernach würde der Verlauf in der Wirklichkeit etwas komplizierter sein, indem die Kurve zuerst langsam, dann schnell und dann wieder langsamer steigt, um schließlich möglicherweise, da die Größe ziemlich konstant bleibt, in eine Gerade überzugehen, die durch den Nullpunkt selbst geht. Man hätte dann die Härte nicht durch die Konstante a, sondern durch den Einheitsdruck selbst zu definieren, wie es auch Auerbach und Föppl getan haben. Für die so definierte Härte gilt natürlich dasselbe, was oben von der Konstante a gesagt wurde.

Eine Beziehung zwischen Härte und Kugeldurchmesser, die von den Eigenschaften des Stoffes unabhängig wäre, scheint also nicht vorhanden zu sein. Dagegen geht aus den Versuchen deutlich hervor, daß diese Abhängigkeit desto unmerkbarer wird, je weicher das Material ist. Bei ganz plastischen Stoffen, wie beispielsweise Kupfer und Blei würde vermutlich die nach der Brinellschen Methode bestimmte Härte sich von dem Kugeldurchmesser ganz unabhängig erweisen.

|33|

Ges. Werke, Bd. I S. 155 und 174.

|33|

Wied. Ann. 43, 61, 1891 und 45, 262, 1892.

|34|

Baumaterialienkunde II, 177, 1897/98.

|34|

Wied. Ann. 45, S. 264, 1892.

|34|

Mitteilungen aus dem Mech.-techn. Laboratorium der k. techn. Hochschule zu München, Heft 28 1902.

|34|

Mitteilungen aus dem mechan.-techn. Laboratorium der k. techn. Hochschule zu München, Heft 25, 1897.

|34|

Baumaterialienkunde 1900 u. D. p. J. 1905, Bd. 320, S. 280.

|35|

Streng genommen müßte man erst aus den beiden Flächen das Mittel nehmen. Da aber die Unterschiede zwischen d1 und d2 nur bei der 7,5 mm Kugel bemerkenswert waren, so ist einfach das Mittel aus den Durchmessern genommen.

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