Titel: [Die Kreisabwicklung.]
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1907, Band 322 (S. 545–546)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj322/ar322182

Die Kreisabwicklung.

Eine Studie von Ingenieur Werner Gropp.

Legt man den Scheitel eines rechten Winkels in den Punkt d und läßt den Winkel in d pendeln, dann schneiden bekanntlich die Schenkel auf der Horizontalen ub Linien vom Fuße der Senkrechten de ab, welche stets das gleiche Produkt geben:

tcsc = uc ∙ lc = dc2.

Gibt man d c den Wert von π = 3,14...., dann müssen die Produkte den Umfang des Kreises vom Durchmesser π geben oder

tcsc = uc ∙ lc = π2.

Geht der eine Schenkel, z.B. ud durch denjenigen Punkt der Horizontalen, welcher um die Umfangslänge von c liegt, dann muß lc gleich den Wert der Einheit annehmen, wenn der andere Schenkel dl durch den Punkt l geht.

Denn uclc = π2 und da uc = π2 ist, muß lc = l sein.

Daraus ergibt sich, daß, wenn man den einen Schenkel durch den Halbierungspunkt von u c legt, der andere Schenkel dann durch einen Punkt gehen muß, welcher zwei Einheiten von c entfernt liegt und umgekehrt, schneidet der eine Schenkel z.B. drei Einheiten von c aus ab, dann muß der andere Schenkel durch den Punkt gehen, welcher oder oder des Umfanges von c entfernt liegt.

Bildet man aus dc, oder wie angenommen, aus π ein rechtwinkliges Dreieck von 60° und 30°, also q a c, dann wird bekanntlich

3ac–2 = π2 . . . . . I)

Dieser Ausdruck läßt sich linear darstellen.

Zu diesem Zweck nehme man die beliebige Einheit cl und erhebe im Punkt l die Senkrechte. Trägt man die Diagonale vom Quadrat cl × cl oder √2 von l nach e, dann ist ec = √3.

Legt man durch den Punkt e eine Linie ag unter 60° zur Horizontalen, dann wird das Dreieck cga ein gleichseitiges, wenn man von c aus ebenfalls unter 60° zur Horizontalen die Linie cgq zieht.

Erhebt man in a die Senkrechte und verlängert ce bis r, dann hat man:

cl; ca = ce : er und weil ce = √3

ca √3 = cr.

Schlägt man mit cr aus c den Bogen drb, dann hat man auch dc = ca √3 und muß ag verlängert durch d gehen.

Textabbildung Bd. 322, S. 545

Die Linie cq schneidet den Bogen drb in w und weil. wc = cb und Winkel web 60° ist, muß wb parallel da sein. Die Linie wb schneidet rc im Punkt m, und man hat

wc : gc = mc : ec

oder

wc ∙ ec = gc ∙ mc

und weil

wc = rc = ca √3, ec = √3 und gc = ac

ist, hat man

ca ∙ √3 ∙ √3 = ac ∙ mc

oder

mc = 3 . . . . . II)

Schlägt man mit ac aus c den Bogen gna und zieht durch n den Strahl cnp, dann hat man nc : cl (oder l) = pc : ac und da nc = ac ist

pc = ac2 . . . . . III)

Multipliziert man II mit III, dann hat man

mcpc = 3 ac2.

Weil aber 3ac–2 = π2 ist, ergibt sich

mcpc= π–2 = 3 ac–2.

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Es ist

m c = 3, folgl.

und damit ein Drittel vom Umfang (von π2) abgewickelt.

Ist nach dem Vorstehenden ein Kreis vom Durchmesser de gegeben, so setze man de = π, dessen wirkliche Länge hier dann gegeben ist. Zieht man von d aus die Linie da unter 60° zur Horizontalen und erhebt in a die Senkrechte ar bis zum Schnittpunkt mit der Kreislinie, dann schneidet die Linie rc auf da einen Punkt der Senkrechten in l.

Damit ist das Verhältnis der Einheit zu π linear gegeben und jegliche Potenz von π leicht in Linien ausgedrückt.

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