Titel: Theorie eines hydraulischen Maschinenreglers.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1907, Band 322 (S. 659–663)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj322/ar322218

Theorie eines hydraulischen Maschinenreglers.

Von Diplom-Ingenieur Otto Schäfer, Hannover.

(Fortsetzung von S. 647 d. Bd.)

Mit Ausnahme des ersten Gliedes stimmen alle Gleichungen für den Rückgang miteinander überein. Beim Differenzieren dieser Gleichungen – zwecks Bestimmung der Wassergeschwindigkeit w im Rohr – verschwinden aber diese ersten Glieder, da sie konstant sind und ihr Differentialquotient Null wird. Es ergibt sich sonach für alle

Der Ausdruck in der runden Klammer, also der von φ abhängige Teil werde der Kürze halber mit G (φ) bezeichnet, dies gibt für den Rückgang:

. . . 3)

und für den Vorwärtsgang

. . . . . 4)

Beide Zustände, der Vorwärts- und der Rückwärtsgang sollen dargestellt werden durch die Gleichung

worin H (φ) für alle Werte von

φ = n 2 π bis φ = n 2 π + π

mit G (φ) übereinstimmen muß und für alle Werte von

|660|

φ = n 2 π + π bis φ = n 2 π + 2 π

nach Gleichung 4 gleich Null sein muß. Die Funktion H (φ) läßt sich so umformen, daß sie nur aus den Sinus und Cosinus der Vielfachen des Winkels φ besteht:

Das Zeichen N (φ) soll dabei andeuten, daß es sich um eine Näherungsfunktion handelt. Die Annäherung wird um so besser, je mehr Glieder man nimmt. Hierbei haben die Koeffizienten folgende Werte:

usw. usw.

Diese Integrale lassen sich sämtlich in je zwei Integrale zerlegen, das erste zwischen den Grenzen Null und π und das zweite von π bis 2 π. Von Null bis π, also beim Rückgang des Kolbens, stimmt H (φ) mit G (φ) überein, von π bis 2 π dagegen ist w ständig gleich Null, also auch H (φ) gleich Null. Alle Integrale von π bis 2 π werden daher Null, so daß für die Koeffizienten gesetzt werden kann:

Die Berechnung der Koeffizienten verläuft jetzt so:

also

Diese Integrale sind in üblicher Weise ausgerechnet und ergeben

A1 = – 0,02 14 26.

Ebenso ist mit A3 und A5 verfahren:

A3 = 0,02 59 10 A5 = 0,00 59 44.

Von A7 an, also von da an, wo in allen Integralen der Faktor von φ in dem Cosinus größer ist als in dem Sinus (größer als 6) wird das Bildungsgesetz so übersichtlich, daß die Rechnung nach einem bestimmten Schema erfolgen kann:

Bedeutet / eine ungerade ganze Zahl, so ist

stets gleich Null.

Die Beiträge des zweiten Integrals zu den einzelnen Koeffizienten sind dann

A7 A9 A11 A13 A15 A17

Die Beiträge des dritten Integrals

A7 A9 A11 A13 A15 A17

Die Beiträge des vierten Integrals

A7 A9 A11 A13 A15 A17

Diese Beiträge werden mit ihren Faktoren multipliziert, dann addiert und geben

A7 = 0,00 24 61 A9 = 0,00 14 68 A11 = 0,00 09 74

A13 = 0,00 07 13 A15 = 0,00 05 17 A17 = 0,00 04 02

Die Berechnung der A-Werte mit geradem Index ist einfacher, weil hier nur das erste Integral

einen Beitrag liefert. Abgesehen von dem aus G (φ) zu ergänzenden Faktor wird

und somit

A2 = – 0,21 22 06 A4 = – 0,04 24 41 A6 = – 0,01 81 88

A8 = – 0,01 01 05 A10 = – 0,00 64 30 A12 = – 0,00 45 15

Die Reihe der A-Werte mit geradem Index konvergiert, wie man sieht, noch langsamer, als die Reihe der A-Werte mit ungeraden Index; so ist

A30 = – 0,00 07 08.

Die B-Werte lassen sich schneller erledigen

Da die Integrale

und

|661|

gleich Null sind. Die weiteren B-Werte mit ungeradem Index sind sämtlich gleich Null. Die B-Werte mit geradem Index konvergieren sehr schnell

B2 = – 0,05 05 09 B4 = – 0,00 02 58 B6 = 0,00 00 02.

Damit sind also die sämtlichen Koeffizienten der Fourierschen Reihe bekannt.

Eine kurze Ueberlegung mag zeigen, wie die Reihe für den Grenzfall bei Länge der Schubstange = ∞ ausgefallen wäre. Die Darstellung des Gesetzes für w ist von Null bis π eine reine Sinuslinie (Fig. 8), also eine zu der bei gezogenen Achse C D symmetrische Linie. Die zweite Hälfte der Periode ist symmetrisch zu der bei liegenden Achse E F. Irgend eine Sinuswelle mit gradem Index würde aber in einem Abstande a vor einer solchen Symmetrieachse einen anderen Beitrag (den gleichen mit entgegengesetzten Vorzeichen) liefern, als im gleichen Abstand dahinter. Sie würde also die Uebereinstimmung mit dem gegebenen Linienzuge an einer Stelle immer ebensoviel verschlechtern, wie sie diese an einer anderen verbessert; eine solche kann daher nicht vorkommen, so daß bei unendlicher Schubstangenlänge alle B Werte mit geradem Index gleich Null sein müssen. Denkt man sich nun die Periode bei beginnend und bis dauernd, so ist sie symmetrisch zur Achse E F. Daraus folgt, daß alle Glieder mit ungradem Index, Cosinus- sowohl wie Sinusglieder mit Ausnahme des ersten Cosinus, verschwinden müssen, weil sie unsymmetrisch zur Achse E F liegen. Da wir um weiter gerückt sind, so entspricht dieser nicht verschwindende Cosinus dem Sinus, der mit B1 zu multiplizieren war. Außer diesem Gliede B1 bleiben nur noch die A Glieder mit geradem Index. Für diese Werte lieferte immer nur das aus dem ersten Gliede von G (φ), nämlich sin φ, gebildete Integral einen Beitrag. Dieser sin φ, also auch die Integrale, sind aber nicht mit einem von abhängigen Faktor multipliziert. Daher bleiben B1 und die A Werte mit geradem Index unverändert. Die Reihe lautet

Die Sinus- und Cosinusreihen, durch welche F (φ) ersetzt worden ist, konvergieren sehr langsam. Dies liegt an dem plötzlichen Richtungswechsel bei 0, π, 2 π usw., also an dem Sprung des Differentialquotienten an dieser Stelle.

Textabbildung Bd. 322, S. 661

Der Verlauf des Differentialquotienten also der Beschleunigung, kann ebenfalls durch eine Fouriersche Reihe ersetzt werden; aber diese Reihe wird noch schlechter konvergieren als die vorige, aus der man sie durch Differentiation bilden wird. Denn hierbei wird ja jeder A- und B-Wert mit der Zahl seines Index multipliziert, wobei zugleich aus jedem Sinus ein Cosinus und aus jedem Cosinus ein negativer Sinus wird. Gleichung 5 wird nach w aufgelöst, dabei die Werte der Konstanten A und B eingesetzt und für die Winkelgeschwindigkeit der die Pumpe antreibenden Welle die Bezeichnung ω eingeführt. Dann ergibt sich:

. . . 6)

Die Beschleunigung der Wasserteilchen in der Rohrleitung ergibt sich hieraus zu:

Aus Gleichung 1 war abgeleitet worden:

so daß nun die Beschleunigung die das Belastungsgewicht in irgend einem Augenblick erfährt, bestimmt werden kann. Weil ferner die Masse des Belastungsgewichtes bekannt ist, so können auch die auftretenden Kräfte einfach aus dem Produkt: Masse mal Beschleunigung berechnet werden. Die Masse bleibt immer gleich groß, so daß sich die Kräfte im gleichen Verhältnis wie die Beschleunigungen also auch im gleichen Verhältnis wie ändern.

Während die Beschleunigung des Wassers in der Zuleitung und die des Belastungsgewichtes in dem konstanten Verhältnis stehen, unterscheiden sich die Geschwindigkeiten V und w um eine additive Konstante. Nach Gleichung 1 ist

FV = qw – f ∙ ν....

Der Wert von fν läßt sich bei Annahme eines Beharrungszustandes ermitteln. Es muß dabei das, während einer Pumpenumdrehung zugeführte Wasser gleich dem in derselben Zeit abfließenden sein, also

oder

Da gleich der Winkelgeschwindigkeit ω ist, so ist

auch

also,

|662|

oder

Hierin den Wert von w aus Gleichung 6 eingesetzt, liefert

Die Beschleunigungen des Akkumulatorgewichtes ergeben sich hieraus durch Differenzieren nach der Zeit.

8)

Textabbildung Bd. 322, S. 662

Es kam darauf an, das Beschleunigungsgesetz für das Belastungsgewicht und damit die Größe der auftretenden Kräfte zu finden. Die augenblicklichen Wege des Akkumulatorgewichtes sind weniger wichtig, man kann sie aber leicht auf verschiedene Weise erhalten: Erstens würde ein Stift, der am Belastungsgewicht befestigt ist, auf einem mit gleichmäßiger Geschwindigkeit an ihm vorbei bewegten Streifen das Bewegungsgesetz direkt aufzeichnen. Zweitens kann man es durch Integration der Geschwindigkeitsgleichung 7 erhalten. Die Integrationskonstante kann dabei weggelassen werden, da sie nur angibt, in welcher Lage des Belastungsgewichtes sich der ganze Vorgang abspielt, also ob der Beharrungszustand bei mehr oder weniger gefülltem Akkumulator stattfindet. Das Gesetz für s lautet:

9)

Drittens läßt sich das Gesetz für s auch direkt zeichnerisch bestimmen, indem man für eine Anzahl Kurbelstellungen den zugehörigen Kolbenweg aus Fig. 6 entnimmt und mit dem Verhältnis Kolbenquerschnitt zu Akkumulatorquerschnitt multipliziert in Fig. 9 aufträgt. Der so erhaltene Linienzug gibt das Ansteigen des Akkumulators infolge des eingepumpten Wassers; infolge des gleichmäßig abfließenden Wassers sinkt der Akkumulator gleichmäßig. Durch Zusammensetzung beider Bewegungen erhält man die wirkliche Bewegung des Akkumulators. Der so erhaltene Linienzug muß mit der zeichnerischen Darstellung der Fourierschen Reihe für s übereinstimmen. Zur Kontrolle sind die Wellen dieser Reihe in Fig. 10 aufgetragen, zuerst nur eine, dann diese und die folgende dazu addiert, und zwar nach absteigenden Amplituden geordnet, nicht nach der Ordnungszahl. Diese Kurven sind punktiert über den ausgezogenen Linienzug gezeichnet, der jedesmal der Fig. 9 entspricht, damit man sehen kann, wie eine Welle nach der anderen den Anschluß an die gegebene Kurve ständig verbessert.

Textabbildung Bd. 322, S. 662

Vergleichshalber sind noch einmal die Gleichungen für s,

und

zusammengestellt, und zwar sowohl für r/l = ⅕, als auch für unendliche Schubstangenlänge (r/l = 0).

1. Schubstangenlänge l = 5 mal Kurbelradius r:

a) Weg.

b) Geschwindigkeit.

|663| c) Beschleunigung.

2. Schubstangenlänge = ∞ (r/l = 0).

a) Weg.

b) Geschwindigkeit.

c) Beschleunigung.

(Fortsetzung folgt.)

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