Titel: Versuche über Torsion rechteckig-prismatischer Stäbe.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1907, Band 322 (S. 819–822)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj322/ar322269

Versuche über Torsion rechteckig-prismatischer Stäbe.

Von August Hempelmann, Diplomingenieur.

(Schluß von S. 813 d. Bd.)

Aus den Versuchsergebnissen ist sodann die Tab. 4 berechnet worden. Der ausgerechnete Elastizitätsmodul ist den Tabellen entnommen und aus den einzelnen Werten ist der Gleitmodul für berechnet worden. Die den Tabellen entnommenen Werte für den mittleren Drallwinkel bei dem bestimmten Drehmoment 500 mm/kg sind noch, wie schon erwähnt, mit zu multiplizieren, um die Verdrehung f. d. Längeneinheit zu erhalten; ebenso ist der jedem Querschnitt eigentümliche, reciproke Wert von Q ausgerechnet und eingetragen worden. Die ausgerechneten Werte für die Konstante C sind für die bearbeiteten Stäbe und für die unbearbeiteten zu je einem besonderen Mittelwert vereinigt worden. Wir erhalten für die bearbeiteten Stäbe

Cm1 = 0,2064,

für die unbearbeiteten

Cm2 = 0,2005,

beide unter der Annahme

Bei dem großen Einfluß dieser Zahl erschien es nötig, sie noch besonders zu prüfen, zumal sie schon oft zu Bedenken Anlaß gegeben hat. Aus diesem Grunde trat der Verfasser auch dieser Frage näher. Die diesbezüglichen Untersuchungen basieren auf der Tatsache, daß bei Torsion runder Stäbe die Querschnitte eben bleiben und der Drall mit der Formel

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berechnet werden kann, in welcher

das polare Trägheitsmoment des Kreises ist. Durch Beobachtung von D für einen runden Stab kann sonach, da Ip bekannt ist, G gefunden werden. Aus dem Verhältnis

folgt sodann

Zu diesem Zwecke wurden die Stäbe Ia, IIa, IIIa und IVa mit Ausnahme der Enden zylindrisch abgedreht (Fig. 8); sodann wurden sie, wie schon beschrieben, in den Versuchsrapparat eingespannt, um D zu ermitteln. In derselben Weise wurde mit den unbearbeiteten Stäben G und H verfahren. Die Versuchsresultate sind in den Fig. 9 und 10 graphisch eingetragen worden. Leider war es nicht möglich, den Stab IIa zu untersuchen, da er beim Abdrehen unbrauchbar wurde.

Textabbildung Bd. 322, S. 820

Die Ermittlung des Elastizitätsmoduls gestaltete sich ein wenig schwieriger. Die Versuche waren im Prinzip genau dieselben wie schon geschildert, indessen lag die Schwierigkeit in der Auflage der runden Stäbe, die ja auf den Schneiden nicht ruhig liegen bleiben konnten. Die auf der Skizze (Fig. 15) abgebildete Hilfsvorrichtung half hierüber gut hinweg. Der Stab wurde zunächst auf einer Seite in einem Kästchen D mittels zweier Schrauben fest eingespannt. Das Kästchen war unten mit einem Schlitz versehen und konnte auf der Stütze A pendeln. Stütze B war nun selbst pendelnd angeordnet, was durch zwei gehärtete und mit Gegenmutter versehene Schräubchen, deren Spitzen auf einem gehobelten Eisenstück C standen, ermöglicht wurde. Beide Stützen standen wieder isoliert, Stab und I-Schiene waren genau wagerecht eingestellt, und bei den Versuchen wurde in der schon beschriebenen Weise verfahren, Ebenso wurde auch der Elastizitätsmodul berechnet. Dadurch war auch dieser Wert bekannt. Die Versuchsergebnisse sind in Fig. 13 und 14 graphisch aufgezeichnet. In der Tab. 5 ist Jp für jeden Querschnitt berechnet worden, ebenso wurde der Gleitmodul bestimmt aus der Formel

Die ausgerechneten Beziehungen zwischen Gleit- und Elastizitätsmodul erscheinen befremdend gegenüber dem seit vielen Jahren verwandten Wertheimschen Versuchswert. Zur Vereinfachung hat auch hier der Verfasser Mittelwerte ausgerechnet. Es ergibt sich G = 0,423 E und G = 0,4288 E als Mittelwerte, welchem ein m in der Poissonschen Formel = 5,5 resp. m = 6 entspricht. Die Versuche selbst wurden mit peinlichster Genauigkeit und wiederholt ausgeführt; eine wesentliche Aenderung der Beziehungen zeigte sich nicht. Allerdings ist die Zahl der Versuche gering; sie sind für die folgenden Berechnungen der Aufgabe von Bedeutung. Hier dürften die Betrachtungen interessant sein, welche der französische Physiker H. Bouasse an diese Frage knüpft.20) Derselbe läßt sich über den Poissonschen Koeffizienten – den er σ nennt und dessen Wert ist –, wie folgt aus: „Man weiß heute, daß σ sehr veränderlich ist, je nach dem betrachteten Körper. Die heutige, klassische Theorie der durchaus elastischen Deformationen erlaubt σ alle Werte zu geben zwischen 0 und 0,5; sie läßt infolgedessen alle Beziehungen zu, die zwischen E = 2 G und E = 3 G enthalten sind.“

Nach Bouasse heißt die Gleichung, welche die Beziehung zwischen Gleit- und Elastizitätsmodul ausdrückt

E = 2 G (1 + σ),

entsprechend unserer Gleichung

Der Gleitmodul G kann demnach zwischen ⅓ und ½ E liegen. Bouasse schließt seine Betrachtungen mit den Worten: „Es ist also endgültig nicht möglich, auf den Wert des E resp. G aus der Kenntnis des andern zu schließen. Man ist gezwungen, sie alle beide an der Probe, die man benutzt, zu messen.“

Aus diesen Ueberlegungen und Ergebnissen wurde dann mit den neuen Beziehungen G = 0,423 E resp. G = 0,4228 E die Tab. 6 in derselben Weise wie Tab. 4 berechnet. Damit haben wir ein wertvolles Resultat erhalten. Alle Werte der Konstanten C nähern sich dem von Föppl auf Grund der elastischen Energie aufgestellten

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Tabelle 4.

Für


Stab
Elastizitäts-
modul
Gleitmodul
G = 0,385 E

Drall
D

Dreh-
moment

Konstante
C

Ia
19354 7451
0,000003594


3836,34








500 kgmm
0,20548
19268 7418 0,20456

Ib
19502 7508
0,000003422
0,19829
19617 7553 0,19946
IIa 20164 7763 0,00000764
0,20017

IIb
20376 7845
0,00000756
0,20016
20298 7815 0,1994

IIIa
20997 8084
0,0000132


1000
0,21309
21710 8358 0,22032

IIIb
20619 7938
0,0000132
0,20957
20806 8010 0,21147
IVa 20361 7839 0,0000426
0,20872

IVb
20279 7807
0,00004302
0,2099
20228 7788 0,20937
Mittlere Konstante Cm1 = 0,2064

A
18862 7262
0,0000081634








500 kgmm
0,2001
18929 7288 0,2008

B
19602 7547
0,000006696

1984,75
0,2006
19299 7430 0,1975

C
18375 7074
0,0000124

1104,75
0,1938
18698 7199 0,1972

D
18728 7210
0,00001037

1321,71
0,1977
18779 7240 0,1985

E
19068 7341
0,000008977

1582,03
0,2085
18729 7211 0,2048

F
18694 7197
0,000021746

648
0,2028
18762 7224 0,2036
Mittlere Konstante Cm2 = 0,2005.

Tabelle 5.


Stab
Drallwinkel
D
Gleitmodul
G
Elastizitätsmodul
Emittel

G = x . E
Ia Durchm. = 11,45 0,000035292 1687,42 8396,0 20639,86 G = 0,4068 E
IIIa Durchm. = 9,2 0,00007863 703,3188 9041,4 20637,43 G = 0,4332 E
IVa Durchm. = 8,6 0,0001011 537,025 9209,25 21464,6 G = 0,42904 E
Im Mittel G = 0,423 E
G Durchm. = 15 0,000012856 4970,1094 7825,25 16960,5 G = 0,4613 E
H Durchm. = 11,2 0,00003955 1544,8026 8183,72 20644,8 G = 0,3964 E
Im Mittel G = 0,4288 E

Tabelle 6.

Für m = 5,5.


Stab
Elastizitäts-
modul
Gleitmodul
G = 0,423 E

Drall
D

Konstante
C

Ia
19354 8187
0,000003594


3836,34
0,2257
19268 8151 0,2247

Ib
19502 8250
0,000003422
0,2178
19617 8298 0,2191
IIa 20164 8529 0,00000764
0,2199

IIb
20376 8619
0,00000756
0,2199
20298 8586 0,2190

IIIa
20997 8882
0,00001318


1000
0,2341
21710 9183 0,2421

IIIb
20619 8722
0,0000132
0,2302
20806 8801 0,2323
IVa 20361 8613 0,0000426
0,2293

IVb
20279 8578
0,00004302
0,2306
20228 8556 0,2300
Mittlere Konstante CmI = 0,2267
Für m = 6

A
18862 8088
0,0000081634
0,2228
18929 8117 0,2236

B
19602 8405
0,000006696

1984,75
0,2234
19299 8275 0,2199

C
18375 7879
0,0000124

1104,75
0,2159
18698 8018 0,2196

D
18728 8031
0,00001037

1321,71
0,2202
18779 8053 0,2208

E
19068 8176
0,000008977

1582,03
0,2322
18729 8031 0,2281

F
18694 8016
0,000021746

648
0,2259
18762 8045 0,2267
Mittlere Konstante CmII = 0,2233.
|822|

Zahlenfaktor C = 0,225. Es ist Zufall, daß die beiden Versuchswerte CmI = 0,2267 und CmII = 0,2233 genau den Föpplschen Wert liefern.

Zusammenfassung.

Die Versuche haben ergeben, daß man für m = 5,5 bis 6 den Drall nach der Formel

berechen kann, um Werte zu erhalten, welche der Wirklichkeit hinreichend nahe kommen, daß sich also mit der technischen Methode und der zuerst von Föppl entwickelten Ableitung des Drallwinkels brauchbare Resultate erzielen lassen.

Ein Vergleich der Formeln für den Drallwinkel nach der Föpplschen und der Saint-Venantschen Methode mit den erhaltenen Versuchsresultaten führt zu folgendem Ergebnis:

De Saint-Venant gibt in seiner schon zitierten Formel

für den Zahlenwert x beim rechteckigen Querschnitt (Seiten 2 b und 2 c)

für ein Seitenverhältnis b = c, x = 42,68,
b = 2c, x = 42 an.21)

Das ergibt:

für b = c
für b = 2c

Aus Tab. 6 finden wir für die Stäbe IVa, IVb, E und F, welche ein Seitenverhältnis b = c besitzen, als Mittelwert

für die Stäbe IIIa, IIIb und B mit dem Verhältnis b = 2c den Mittelwert

Das entspricht bei der Föpplschen Formel mit dem Zahlenwert 0,225 einem Unterschied von 1,7 v. H. und bei dem Saint-Venantschen Wert 0,2223 einem Unterschied von 2,88 v. H. in Bezug auf den gefundenen Versuchswert 0,2289 für den quadratischen Querschnitt. Bei dem Seitenverhältnis b = 2c ergibt sich bei dem Föpplschen Wert ein Unterschied von 2,3 v. H. und bei dem Saint-Venantschen Wert 0,21875 ein Unterschied von 5,02 v. H. in Bezug auf den mittleren Versuchswert 0,2303.

Ob auch größere Querschnitte, die einen stärkeren Versuchsapparat erfordern würden, dieselben Resultate ergeben würden, kann noch nicht ohne weiteres geschlossen werden. Von größtem Einfluß war die Tatsache, daß die Poissonsche Zahl m statt 10/3 zu 5,5 resp. 6 gefunden und in der Berechnung der Versuchsergebnisse verwendet worden ist.

|820|

H. Bouasse, Essais des Matériaux. Notions Fonda. mentales, Relatives aux Déformations élastiques et permanentes. Grenoble et Paris 1905, S. 72. (Dieses Buch kam dem Verfasser kurz vor Abschluß seiner Arbeit zu Gesicht.)

|822|

Siehe de Saint-Venant, Comptes rendus 1879, S. 142 und folg.

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