Titel: Der Resonanz-Undograph, ein Mittel zur Messung der Winkelabweichung.
Autor: Anonymus
Fundstelle: 1909, Band 324 (S. 529–537)
URL: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj324/ar324163

Der Resonanz-Undograph, ein Mittel zur Messung der Winkelabweichung.

Von Dipl.-Ing. O. Mader, München.

A. Einleitung.

Im Folgenden soll ein neues Meßverfahren mitgeteilt werden, das nicht nur wegen seiner eigenen Bedeutung, sondern auch wegen seines anderweitig anwendbaren Prinzipes Beachtung verdienen dürfte.

Gegenstand der Messung.

Jede rotierende Kraftmaschine zeigt, auch bei gleichmäßiger Belastung, Abweichungen von der gewünschten gleichförmigen Winkelgeschwindigkeit. Unter der Voraussetzung einer gleichbleibenden Tourenzahl läßt sich dann das Gesetz der Winkelgeschwindigkeit v darstellen durch:

v = ψ(t),

wo ψ(t) eine periodische Funktion der Zeit t vorstellt. Die Periode dieser Funktion stimmt überein mit einer „Kraftzuführungsperiode“ der Maschine (T).

Der jeweilige Drehungswinkel der Maschinenwelle wird dann bestimmt durch:

wo a den in der Zeit t beschriebenen Drehwinkel vorstellt. Wäre v konstant, so würde a gleichförmig zunehmen. Infolge der ungleichförmigen Winkelgeschwindigkeit wird jedoch eine gewisse „Winkelabweichung“ eintreten. Unter „Winkelabweichung“ versteht man den Unterschied zwischen der jeweiligen Winkelstellung der Maschine und derjenigen Stellung, welche diese bei vollkommen gleichmäßiger Drehung in dem betreffenden Augenblick einnehmen würde. Diese Winkelabweichung zu messen, ist der Zweck des nachstehend beschriebenen neuen Instrumentes, Resonanz-Undograph genannt.

Jedes periodische Gesetz, eine Uebereinanderlagerung einzelner „harmonischer“ Schwingungen.

Die Wirkungsweise des Resonanz-Undographen fußt darauf, daß jedes periodische Gesetz, z.B.

v = ψ(t)

sich als eine Uebereinanderlagerung einzelner sogenannter „harmonischer“ Schwingungen, d.h. als eine

Fouriersche Reihe

auffassen läßt. Um dies zu erkennen, sei an folgenden, von Fourier zuerst als allgemein gültig aufgestellten Satz aus der Reihenlehre erinnert:

Eine willkürlich wählbare Funktion f(x) sei in dem Intervall – π ≦ x ≦ + π eindeutig definiert. Dann gibt es für dieselbe eine Darstellung durch die Reihe:

f(x) = ½b0 + b1 cos x + b2 cos 2x + b3 cos 3x + ...

+ a1 sin x + a2 sin 2x + a3 sin 3x + ...,

welche nach cos und sin der Vielfachen von x fortschreitet und deren Koeffizienten nach dem Gesetz

und

gebildet werden. Die Durchführung dieser Darstellung nennt man „harmonische Analyse.“ (Näheres siehe: Dr. R. Fricke, „Kurzgefaßte Vorlesungen über verschiedene Gebiete d. höh. Mathematik“).

Textabbildung Bd. 324, S. 529

Graphisches Beispiel einer „harmonischen Analyse“.

Mehrfach ausgeführt wurde die Zerlegung in einzelne harmonische Schwingungen für die Tangentialkraftkurven von Kolbenmaschinen. Hier sei als Beispiel die aus der Tangentialkraftkurve eines Dieselmotors nach der üblichen Rechnung sich ergebende Kurve |530| der Winkelgeschwindigkeiten gewählt. (Fig. 1). Angenommen wurde ein Ungleichförmigkeitsgrad δ = 1/80 und eine Tourenzahl n = 190 i.d. Min., so daß die mittlere Winkelgeschwindigkeit vm = 19,9 = 20 m/Sek. wird. Mittels des von Prof. S. Finsterwalder (Zeitschrift f. Math, und Phys. 1898, S. 85) angegebenen graphischen Verfahrens wurde die harmonische Analyse für die 4 ersten Glieder der Fourierschen Reihe durchgeführt. Es ergab sich die Winkelgeschwindigkeit v in mm/Sek. am Radius im zu:

v = 20000 + 44,5 sin 10t + 12 sin 20t – 0,3 sin 30t – 3,6 sin 40t + ...

– 45 cos 10t – 39,4 cos 20t – 28 cos 30t – 11,5 cos 40t + ...

Die daraus folgende Winkelstellung (α) der Maschine wird durch Integration nach der Zeit gewonnen:

α =vdt,

was ergibt:

α = 20000 t – 4,45 cos 10t – 0,59 cos 20t + 0,023 cos 30t

+ 0,09 cos 40t + ...

– 4,5 sin 10t – 1,97 sin 20t – 0,95 sin 30t

– 0,29 sin 40t +...

wo α in mm am Radius 1 m gemessen ist. Es teilt sich α in zwei Teile:

α = Winkelstellung bei gleichförmiger Drehung + Winkelabweichung.

Textabbildung Bd. 324, S. 530

Die einzelnen Winkelabweichungsschwingungen und deren Resultierende sind in Fig. 2 dargestellt, die Annäherung der strichpunktiert gezeichneten Resultierenden an die ebenfalls – ausgezogen – eingezeichnete genaue α-Kurve ist bereits bedeutend besser wie bei den v-Kurven in Fig. 1.

Einfluß der harmonischen Schwingungen auf ein Tachometer.

Sucht man die Winkelgeschwindigkeitsänderung durch die bekannten Zentrifugalkrafttachometer zu messen, so werden die verschieden lange dauernden harmonischen Schwingungen, auch solche von gleicher Amplitude, verschieden aufgezeichnet. Es können sogenannte Resonanzerscheinungen auftreten, die nur durch die eigene Dämpfung des Instrumentes unschädlich gemacht werden können. Die Ursache dafür liegt in der Elastizität einerseits des üblichen Bandantriebes, anderseits der Meßfedern.

Benutzung der Resonanzerscheinung zu Messungen.

Gerade die bei Benutzung der Federtachometer auftretenden, dort als ein Fehler empfundenen Resonanzerscheinungen, die sehr gesetzmäßig verlaufen und sich auch rechnerisch verfolgen lassen, legten dem Verfasser den Gedanken nahe, sie absichtlich hervorzurufen und zu Messungen zu benutzen. Denn dieses Verfahren ermöglicht es, ganz allgemein gesprochen, den Einfluß sehr kleiner zu messender Größen auf das Meßinstrument beliebig oft zu wiederholen und die jedesmal eintretende Wirkung aufzuspeichern. So gelangt man durch Aneinanderreihung solcher Einzelwirkungen zu praktisch brauchbaren Beobachtungsgrößen.

Als Beispiel sei auf das von den Physikern angewandte Multiplikationsgalvanometer hingewiesen.

In ähnlicher Weise versuchte der Verfasser auf Grund vorhergehender rechnerischer Ueberlegung einen Meßapparat zu bauen, der unter dem Einflüsse der wechselnden Winkelgeschwindigkeit einer Kraftmaschine stehen, jeweils jedoch nur für eine Schwingung dieser Winkelgeschwindigkeit durch Resonanz empfindlich sein sollte. Die Größe dieser jeweiligen Schwingung oder der daraus folgenden Winkelabweichungsschwingung sollte möglichst graphisch aufgezeichnet werden.

Das Resultat dieser Versuche ist der

Resonanz-Undograph1),

dessen

Theorie, Konstruktion,

Prüfung und Anwendung

in den folgenden Abschnitten gebracht werden sollen.

B. Theorie des Resonanz-Undographen.

Ansatz der zu verwendenden physikalischen Größen.

Ein Körper von der Masse m sei mit zwei festen Punkten I und II durch Spiralfedern verbunden (vgl. Fig. 3).

Er drücke mit seinem Gewicht G und anderen auf ihm lastenden, senkrecht zu den Federnachen verlaufenden Kräften P auf eine Horizontalebene UU'. Die Masse der Federn sei verschwindend klein.

Bewegt man den Körper (kurz m genannt) aus seiner Mittellage, in der sich die Federkräfte gerade ausgleichen, um x cm heraus, so wird ihn eine Kraft

F = α2x

dahin zurückzuführen streben. Die Konstante α2 bestimmt sich aus den Eigenschaften der Federn.

Auf m wirkt aber auch noch die stets nur bremsende Kraft der Reibung

R = (P + G) f,

wobei wir, vorbehaltlich späterer Weiterungen, den Reibungskoeffizienten f vorerst konstant annehmen.

Ueberlassen wir nun den Körper m sich selbst, so wird er eine, durch die Reibung stark gedämpfte, bald erlöschende Schwingung um seine Mittellage ausführen. (Vgl. Lorenz, „Technische Mechanik starrer Systeme,“ § 25, S. 173 u. folg.).

Bewegen wir jedoch gleichzeitig die Unterlage UU' so rasch in irgendeiner Richtung vorwärts (mit der Geschwindigkeit ), daß die Relativbewegung des Körpers gegen seine Unterlage stets in derselben Richtung verläuft, so werden wir die Reibung als eine konstante, in der Bewegungsrichtung der Unterlage wirkende Kraft R betrachten können.

Außer der Reibung besteht jedoch noch eine weitere, jeder Bewegung Widerstand leistende Kraft L, die sich vor allem aus dem Luftwiderstand und der bei dem Dehnen der Federn auftretenden Molekularreibung zusammensetzt. |531| Diese Kraft läßt sich ungefähr direkt proportional der Geschwindigkeit des Körpers m setzen:

wo x den jeweiligen Abstand von der Mittellage, t die Zeit und λ eine Konstante vorstellen.

Textabbildung Bd. 324, S. 531

Nun denke man sich über den Körper m eine Ebene SS' mit einer periodisch wechselnden, absoluten Geschwindigkeit V = f(t) hinweggleiten (vgl. Fig. 4). Diese Ebene habe die Eigenschaft, daß sie eine der Relativgeschwindigkeit gegenüber m proportional, in deren Richtung wirkende, mitnehmende Kraft II auf die Masse m ausübe:

wo s eine Konstante. Physikalisch findet sich diese Forderung bei den zur Bestimmung der Arbeitsleistung von Kraftmaschinen verwendeten elektrischen Wirbelstrombremsen verwirklicht, wenigstens für geringe Geschwindigkeitsänderungen.

Um diese Konstruktion hier nachzuahmen, hat man nur den Schwingungskörper m geeignet als Elektromagneten auszubilden und durch den so erzeugten Kraftlinienstrom die aus einem metallischen Leiter wie Kupfer oder Eisen bestehende Ebene SS' hindurchzuführen, (vgl. Fig. 5). Die Konstante ε wird dann nur von der Anzahl der Kraftlinien abhängen, d.h. in erster Linie von der Magneterregung. Damit ε konstant bleibe, muß also der Erregerstrom möglichst konstant bleiben (Akkumulatorenstrom). Es muß aber auch der Widerstand im Kraftlinienstrom konstant erhalten werden, der in der Hauptsache von dem Luftspalt zwischen Magnet und Ebene SS' gebildet wird. Also ist bei einer späteren konstruktiven Verwirklichung dieser ganzen Grundidee auf die Einhaltung eines konstanten Luftspaltes zu achten.

Aufstellung und Auswertung der Bewegungsgleichung.

Unter dem Einfluß aller auf den Magneten wirkenden Kräfte wird dieser eine Bewegung ausführen nach dem allgemeinen Gesetze:

mb = ΣP,

wo b die Beschleunigung vorstellt, also

Somit lautet in unserem Falle die Bewegungsgleichung:

oder etwas anders angeordnet:

––––––––––

Dies ist die Differentialgleichung einer erzwungenen gedämpften Schwingung, in der Form dargestellt, wie sie in Lorenz, „Technische Mechanik starrer Systeme,“ § 28, 29 und 30 abgeleitet wird. Dort wird gezeigt, daß durch Zerlegung des Ausschlages x in zwei Teile x' + x'' = x die Differentialgleichung ebenfalls in zwei Teile zerfällt, nämlich in

und

Die erste Gleichung führt auf gedämpfte Eigenschwingungen, die bald erlöschen. Einige Zeit nach der Einleitung des Schwingungsvorganges wird nur noch der durch die zweite Gleichung bestimmte Ausschlag x'' merklich bleiben. Somit genügt eine Verfolgung der zweiten Gleichung. Stellt man den, meist „Störungsfunktion“ genannten Ausdruck R + ε . f(t) durch eine Fouriersche Reihe dar, so nimmt die Diff.-Gleichung die Form an:

wo

Die Lösung dieser Gleichung ist bekannt. Es wird (vgl. Lorenz, ... S. 222):

wo sich die Konstanten C und D bestimmen aus

und

Hier kann h der Reihe nach jede ganze positive Zahl bedeuten. Wir erhalten auf Grund dieser Lösung eine Reihe übereinander gelagerter erzwungener Schwingungen, jedoch erkennt man,

„daß die beiden Koeffizienten des kten erzwungenen Welle infolge der Dämpfung nicht aus denen der entsprechenden Welle der Störungsfunktion, der sogenannten erregenden Welle, durch Multiplikation mit einem und demselben Faktor hergeleitet werden können.“

|532|

Vereinfachter Fall: Eine Erregerwelle allein vorhanden.

Um den Einfluß der Konstanten C und D übersichtlich darstellen zu können, sei einmal angenommen, die Geschwindigkeit V = f(t) bestehe aus einer konstanten Geschwindigkeit (Vm) und einer einzigen Erregerwelle, dargestellt durch

Akcoskα0t + Bksinkα0t.

A1, A2, ... Ak–1, Ak+1, ... und B1, B2, ... Bk–1, Bk+1 ,... seien gleich 0; dann würde sich die Differentialgleichung vereinfachen zu:

woraus folgt:

Führen wir die etwas geänderte Schreibweise ein:

Akcoskα0t + Bksinkα0t = aksink0t + ßk), wo

und ferner

Ckcoskα0t + Dksinkα0t = bksink0t + δk), wo

und so wird

Dies heißt, je nach der Federkonstanten α2 ändert sich die Amplitude bk der erzwungenen Schwingung der Masse m:

und ebenso der sogenannte „Phasenverschiebungswinkel“

kk – δk).

In Fig. 6 ist der Verlauf von bk als Funktion von α aufgezeichnet für m = 1, k = 2, λ = 0, Ak = 1, Bk = 0, und für verschiedene Werte von ε.

Wie die Auswertung der Formeln sofort ergibt, wird die Amplitude im allgemeinen verschieden bei geändertem ε, sie wird jedoch, vorausgesetzt, daß λ = 0, für jedes ε gleich, wenn

a2k2ma20 = 0,

d.h. wenn die Bedingung der „Resonanz“; erfüllt ist.

In diesem Falle wird

und weiter

kk – δk) = 90°,

so daß das Gesetz des Ausschlages der Masse m gegeben ist durch:

Lagenbeziehung zwischen der Ebene SS' (Fig. 5) und dem Körper m.

Das Bewegungsgesetz der Ebene SS' war gegeben durch

V = Vm + Akcoskα0t + Bksinkα0t = Vm + aksink0t + ßk),

so daß irgendein Punkt dieser Ebene nach der Zeit t von seiner Anfangslage eine Entfernung

hat. Hier ist der periodische Ausschlag ξ'' gegenüber einem sich gleichförmig von seiner Anfangslage entfernenden Punkt, für den ξ = ξ', zu jeder Zeit genau so groß, wie das Pendeln der Masse m, gemessen durch den 2. Summanten von x'', gegen ihre Mittellage (x'' = 0).

Im Falle der Resonanz zeichnet also der Magnet (Fig. 5) das Pendeln der Ebene SS' nach Größe und Phase genau auf, vorausgesetzt, daß die Dämpfung λ = 0 ist.

Einfluß von Schwingungen anderer Periode.

Textabbildung Bd. 324, S. 532

Würde sich nun V = f(t) neben der einen Erregerwelle noch aus anderen Erregerwellen zusammensetzen, d.h., wären A1 A2 ... und B1 B2 ... nicht = 0, so würden sich auch die dadurch erzwungenen Schwingungen über die erste lagern. Es werden aber zu einer Zeit, in der Resonanz mit der k'ten Welle eintritt, die Amplituden dieser Schwingungen bedeutend kleiner sein als die zugehörige Pendelung der Ebene |533| SS', und zwar um so kleiner, je kleiner ε ist. Für praktische Messungen muß dann ε so klein gewählt werden, daß diese darübergelagerten Schwingungen von anderer Periode vernachlässigt, gegebenenfalls abgesondert werden können.

Textabbildung Bd. 324, S. 533

Es ist in Fig. 6 außer für k = 2 auch für k = 1 und k = 3 die zu dem entsprechenden α2 gehörige Amplitude, und zwar für ε = 0,01 und ε = 0,001 eingezeichnet. Dabei seien die Koeffizienten b in allen drei Fällen gleich, so daß bei Resonanz die gleichen Amplituden erscheinen.

Einfluß der Dämpfung λ.

Bisher war angenommen, daß die Dämpfung λ gleich 0 sei, was sich praktisch schwer verwirklichen läßt. Wird also λ > 0, so werden die in Fig. 6 gezeichneten Amplituden nicht ganz erreicht werden. In Fig. 7 sind für k = 2 und ε = 0,01 die zugehörigen Amplitudenwerte gezeichnet, und zwar für λ = 0, λ = 0,005 und λ = 0,02. Die gemessene größte Amplitude x''max gibt somit einen zu kleinen Wert für die zu messende Größe ξ''. Es ist also bei einer konstruktiven Verwirklichung der Rechnungsidee dahin zu streben, das Genauigkeitsverhältnis

möglichst = 1 zu machen. Eine weitgehende Vergrößerung von ε ist nicht statthaft, da dann die Amplituden der erzwungenen Schwingungen von anderer Periode zu groß werden. Es ist also vor allem der Eigenwiderstand des Apparates, λ, möglichst klein zu machen.

(Fortsetzung folgt.)

|530|

Resonanz-Undograph ist später mehrfach mit R.-U. abgekürzt geschrieben.

Suche im Journal   → Hilfe
Alternative Artikelansichten
  • XML
  • Textversion
    Dieser XML-Auszug (TEI P5) stellt die Grundlage für diesen Artikel.
  • BibTeX
Feedback

Art des Feedbacks:
Ihre E-Mail-Adresse:
Anmerkungen: